CC BY
16
С. В. МАТВЕЕВ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СПАЙНОВ
Основная теорема теории специальных спайнов утверждает, что любые два спайна одного и того же трехмерного многообразия можно связать цепочкой преобразований T±1, где преобразование T выполняется в регулярной окрестности ребра спайна и увеличивает на единицу число его истинных вершин. Однако даже в простых случаях доказательство этой теоремы мало помогает находить конкретные цепочки таких преобразований. В настоящей статье мы приводим первый нетривиальный пример такой цепочки.
Она связывает два конкретных специальных спайна трехмерной сферы с четырьмя вырезанными шарами. Этот результат является ответом на вопрос Скотта Картера (Scott Carter), которому понадобилось установить явную связь между упомянутыми спайнами.
Ключевые слова: трехмерное многообразие, спайн, движение 2 ^ 3.
Введение
Пусть М — компактное трехмерное многообразие с краем и P — двумерный полиэдр в нем. Тогда P называется специальным спайном многообразия M, если разность M \ P гомеоморфна прямому произведению края дМ многообразия М на полуоткрытый интервал (0,1]. Спайн называется простым, если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную конусу над окружностью, окружностью с диаметром или окружностью с тремя радиусами. Точки первого типа называются регулярными, третьего — истинными вершинами, а объединение точек второго типа — тройными линиями (или ребрами, рис. 1). Дополнительно требуется, чтобы объединение регулярных точек состояло из непересекающихся открытых дисков, а истинных вершин было по крайней мере две.
Теорема 1. [1; 2] Любые два специальных спайна любого трехмерного много-
образия можно соединить цепочкой преобразований Т±1, где преобразование Т состоит в переносе тройной .линии через истинную вершину спайна (рис. 2).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №. 11-01-00605, целевой программы УрО и СО РАН (совместный проект 12-С-1-1018/1) и гранта НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ.
Регулярная точка
Тройная линия
Истинная вершина
Рис. 1. Типы точек специального спайна
Рис. 2. Преобразование Т
Обозначим через М многообразие, получающееся из сферы Б3 вырезанием четырех непересекающихся шаров. Оно имеет два очевидных специальных спайна Р1, Р2. Спайн Р1 получается из 2-сферы Б С Б3 приклеиванием двух дисков так, чтобы они лежали по разные стороны от сферы Б, а их края в Б трансверсально пересекались ровно в двух точках. Спайн Р2 получается из стандартного тора Б1 х Б1 С Б3 приклеиванием двух пар непересекающихся дисков так, чтобы эти пары лежали по разные стороны от тора Б1 х Б1 и край каждого диска первой пары пересекал край каждого диска второй пары ровно в одной точке (рис. 3).
1. Три вспомогательных преобразования
Пусть Р — специальный спайн многообразия М и х — точка внутри его ребра. Выберем в М такой малый диск О, что О П Р = дО и граничная окружность дО диска О трансверсально пересекает выбранное ребро ровно в двух точках. В таком случае будем говорить, что специальный полиэдр Р1 = Р и О получен из полиэдра Р добавлением вздутия на ребре. При этом абсолютно не важно, в какой части дополнения к спайну расположен добавляемый диск, так как все три возможных расположения диска О приводят к изотопным полиэдрам. Поэтому удобно изображать вздутие простым кружком, (рис. 4, сверху). Оказывается, вздутия очень подвижны: их можно перемещать по ребрам с помощью преобразований Т±1 так, как это показан на рис. 4 снизу. Каждый проход вздутия через истинную вершину требует выполнения преобразования Т, потом — преобразования Т-1. Для краткости будем объединять каждую такую такую пару преобразований в одно преобразование, которое будем обозначать X (рис. 4).
Второе вспомогательное преобразование является суперпозицией одного преобразования Т и двух преобразований X. Оно применяется к фрагменту спайна, состоящему из боковой поверхности цилиндра, диска (прямоугольника) и
у
\У
Рис. 5. Еще два преобразования
двух параллельных круглых дисков, в крае каждого из которых лежит по одной истинной вершине (рис. 5, сверху). Среднее преобразование (помеченное знаком равенства) состоит в замене вздутия на его обозначение.
Третье преобразование является суперпозицией преобразований Т, Т-1 и применяется к фрагменту спайна, который отличается от предыдущего наличием двух прямоугольников и четырех истинных вершин (рис. 5, снизу).
2. Основная теорема
Теорема 2. Спайн Р1 можно преобразовать в спайн Р2 с помощью не более 20 преобразований Т±1.
Доказательство. Цепочка преобразований на рис. 6 состоит из одного преобразования Т, трех преобразований У±1, одного преобразования X и одного преобразования Ш-1. Каждое преобразование У±1 состоит из 5 преобразований Т±1, а преобразования X и Ш-1 — из двух преобразований Т±1 каждое. Вместе это дает в точности 20 преобразований Т±1. □
Рис. 6. Цепочка из 20 преобразований Т
Список литературы
1. Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий / С. В. Матвеев. — М. : Изд-во МЦНМО, 2007. — 453 с.
2. Матвеев, С. В. Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимана /
С. В. Матвеев // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. — 1987. — Т. 51, вып. 5. —
С. 1104-1116.
