CC BY
42
СЛОВО1 ПРЕДОСТАВЛЯЕТСЯ|
1УДК 372.851 ББК 74.262.21
СТРУКТУРА УМЕНИЯ АНАЛИЗИРОВАТЬ УСЛОВИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ УЧАЩИМИСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Ю. О. Слета
Аннотация. Освещена проблема анализа условия планиметрической задачи учащимися основной школы как основополагающего этапа в процессе решения планиметрической задачи. Рассмотрено понятие умения анализировать условие планиметрической задачи учащимися основной школы. Разработана компонентная структура умения анализировать условие планиметрической задачи учащимися основной школы. Каждый компонент (статический, преобразующий, графический) представляет собой группу умений, в совокупности составляющих умение анализировать условие планиметрической задачи. Статический компонент содержит умения, позволяющие считать информацию из условия задачи без его непосредственного изменения. Преобразующий компонент позволяет получить информацию из условия задачи при его изменении (варьировании). Графический компонент представлен умениями, связанными с построением чертежа, соответствующего условию задачи. Представлена схематическая структура умения анализировать условие планиметрической задачи учащимися основной школы. Приведены примеры планиметрических задач, формирующие выделенные умения, которые можно использовать в практике преподавания математики основной школы.
Ключевые слова: планиметрическая задача, анализ условия, умение анализировать условие планиметрической задачи, компоненты умения анализировать условие планиметрической задачи, структура умения анализировать условие планиметрической задачи.
STRUCTURE OF THE ABILITY TO ANALYZE THE PLANIMETRIC PROBLEM BY PUPILS OF PRIMARY SCHOOL
Yu. O. Sleta
Abstract. The article deals with the problem of analyzing the conditions of planimetric problems by pupils of the primary school as a fundamental step in the process of solving such problems. The concept of the ability to analyze the condition of planimetric problem is considered and a component structure of the ability is developed. Each component (static, converting, graphic) is a group of abilities making up the whole ability to analyze the condition of planimetric problem. Static component contains the ability which enables to read out the conditions of the problem without direct changes. The converting component allows to get information from the condition of the problem when it changes (variation). The graphic component is represented by the skills associated with the construction of the drawing, the respective tasks of the condition. A schematic structure of the ability to analyze the condition of planimetric problem by school pupils is presented. Examples of planimetric tasks that form the selected skills that can be used in the practice of teaching school mathematics are given.
Keywords: planimetric task, conditions analysis, the ability to analyze the condition of planimetric problem, components of the ability to analyze the condition of planimetric problem, the structure of the ability to analyze the condition of planimetric problem.
Как известно, решение математической задачи состоит из четырех основных этапов: осмысление условия задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, изучение найденного решения (взгляд назад). Для успешного решения задач у обучающихся должен быть сформирован сложный комплекс мыслительных умений в соответствии с каждым этапом. Очевидно, что умение анализировать условие задачи является среди них наиважнейшим. На первом этапе анализа условия задачи происходит расчленение данного и требуемого в задаче; перевод задачи на язык математики; выделение известных, неизвестных и искомых величин; определение достаточности, недостаточности или избыточности условия; поиск необходимой информации в памяти; соотнесение задачи с уже ранее решенными задачами. Без успешного выполнения данных действий дальнейшее решение задачи бессмысленно, так как вышеперечисленное способствует выработке стратегии решения. Вместе с тем изучение опыта работы учителей математики показывает, что должного внимания анализу условия планиметрической задачи в практике школьного обучения не уделяется. Многие учителя считают деятельность, адекватную первому этапу решения задачи, малозначимой. Одна из причин такого явления - отсутствие в теории и методике обучения решению задач методики работы с задачей на первом этапе ее решения. Анализ условия задачи до сих пор не рассматривался как целостное явление, не являлся предметом самостоятельного исследования в области методики математики, в том числе и диссертационного. Материал, посвященный этой проблеме, носит разрозненный, несистематизированный характер, отражая в большинстве случаев отдельные ее аспекты. Ю. М. Колягин указывает на необходимость проведения анализа условия задачи, рассматривает умения, которыми должны владеть обучающиеся для успешного анализа условия задачи [1]. Однако остается не ясным, как формировать такие умения. В работах Л. М. Фридмана [2] освещены вопросы о методах решения математических задач, вопросы обучения решению задач, но не указаны методы анализа условия задач. Методика обучения геометрии определяет роль чертежа в процессе решения планиметрических и стереометрических задач как необходимого элемента
анализа их условия. Труды В. Г. Чичигина [3], В. А. Далингера [4] посвящены функциям чертежа, требованиям к чертежам. При этом чертеж рассматривается отдельно от преобразования и анализа условия в целом.
В психолого-педагогической литературе приводятся разные определения понятия «умение». Умение - это действие, основанное на практическом применении полученных знаний в данном виде деятельности [5, с. 166]. Умения -«...это способы выполнения действий, соответствующие цели и условиям, в каких приходится действовать» [6, с. 446]. В. В. Давыдов считает, что умение - это промежуточный этап овладения новым способом действия, основанным на каком-либо правиле (знании) и соответствующим правильному использованию этого знания в процессе решения определенного класса задач, но еще не достигшего уровня навыка [7]. Е. И. Бойко умение определяет как готовность к практическим действиям, выполняемым сознательно на основе приобретенных знаний. А. А. Смирнов и А. Н. Леонтьев считают, что умения -это способы выполнения действий, совершающиеся на основе полученных знаний и требующие полного осознания всех выполняемых операций, входящих в состав действия [8].
Т. А. Ильина под умениями понимает практические действия, которые ученик может совершить на основе полученных знаний. В данном определении подчеркивается, что умения - это сами практические действия, которые ученик может совершить тогда, когда требуется. К этому можно добавить, что умения, в свою очередь, в дальнейшем могут способствовать получению новых знаний и формированию новых умений. Исследователь употребляет понятие «умение» в двух смыслах. Простые умения связываются с действиями, совершаемыми на основе конкретных знаний. Умения более высокого порядка связаны с более сложными действиями, в которые включаются целые системы знаний, простых умений и навыков [9].
В учебной деятельности школьников, помимо овладения знаниями, следует различать также овладение определенными приемами работы, например: приемом соотнесения видимого на чертеже с моделью, приемом чтения графиков и т. п. Наличие необходимых знаний еще не является достаточным условием успеш-
ного использования их на практике. Наиболее отчетливо это выражено в определении: умение - это владение определенными приемами работы и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельность.
В нашем исследовании будем использовать определение Л. В. Занкова, а именно: под умениями понимаем владение определенными приемами работы и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельности [10].
Под умением анализировать условие задачи будем понимать приемы умственной деятельности, направленные на выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему, то есть выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи.
Поясним, что вся информация, заложенная в задаче, может быть разделена на три вида: а) информация, непосредственно заданная в условии; б) информация, полученная непосредственно из условия; в) информация, полученная уже из новой информации, то есть выведенной ранее.
Анализ научно-методической литературы по проблеме исследования [1] показал, что методисты выделяют разные действия на этапе осмысления условия задачи: выведение следствий непосредственно из условия задачи, переосмысливание объектов (фигур, отношений межу ними) с точки зрения других понятий, замена термина его определением, использование характеристических свойств понятия, интерпретация символических записей, перевод содержания задачи на язык специальной теории и наоборот, прояснение незнакомых слов, выделение главных слов, постановка дополнительных вопросов, раскрывающих сущность объектов, пересказ условия «своими словами», преобразование требования задачи в равносильное ему, разделение условия на составные части, составление промежуточных и обратных задач.
Ввиду вышесказанного можно предположить, что умение анализировать условие задачи является многокомпонентным, и назрела необходимость разработки его структуры.
Разделим составляющие исследуемого умения на группы. В первую группу отнесем умения, позволяющие считать информацию из условия задачи без его непосредственного изменения -будем называть такие умения статическими.
Вторую группу образуют умения, позволяющие получить информацию из условия задачи при его изменении (варьировании) - преобразующие умения. Третью группу составляют умения, связанные с построением чертежа, соответствующего условию задачи, - графические умения.
К статическим отнесем следующие:
1. Умение выявлять существенное (известные, неизвестные, искомые). Формирование этого умения является основным для анализа условия задачи. Учащиеся должны четко видеть данные задачи, уметь различать неизвестные величины (величины которые не заданы условием, но нужны для решения) и искомые (величины, которые требуется найти по условию).
2. Умение соотносить неизвестные элементы задачи с известными элементами.
3. Умение распознавать известные элементы в различных сочетаниях. Например, в треугольнике АВС СК является высотой, с другой стороны, СК является катетом прямоугольного треугольника АСК и СКВ.
4. Умение сопоставлять задачу с известными задачами. Например, для нахождения медиан равностороннего треугольника можно использовать формулу нахождения высоты равностороннего треугольника. Данное умение предполагает умение действовать по аналогии.
5. Умение перевести ситуацию на язык математики. Чаще всего данное умение необходимо в задачах «с практическим содержанием». В школьных учебниках задачи такого вида встречаются мало и на уроках решаются редко, поэтому ученики испытывают огромные затруднения при анализе условия таких задач.
6. Умение актуализировать те знания, которые необходимы для решения задачи.
Преобразующими умениями при анализе условия геометрических задач по планиметрии будем считать:
1. Умение переосмысливать элементы фигуры с точки зрения другого понятия. Например, АР - высота треугольника АВС, значит, прямые АР и ВС перпендикулярны.
2. Умение преобразовывать требование задачи в равносильное. Например, доказать, что если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке О, то AO ■ OB = CO ■ OD. Переформу* AO OD
лируем требование: доказать, что —— = —-¡г.
3. Умение преобразовывать условие задачи в равносильное ему. Например, условие, что точка М принадлежит отрезку АВ и AB = 2BM переформулируем: М - середина отрезка АВ
или AM = MB или AM = — MB.
2
4. Умение устанавливать полноту условий (достаточность или избыточность данных). Критерием определенности геометрической задачи может быть условие определенности геометрической фигуры. Например, «-угольник определен своими (2п - 3) независимыми элементами. (Сколько нужно знать независимых элементов, чтобы определить треугольник, четырехугольник, пятиугольник? Три, пять и семь независимых элементов соответственно.) Таким образом, количество данных элементов в задаче поможет сразу сделать предположение о степени ее определенности. Далее обязательно следует проверить независимость данных элементов. Переопределенные задачи - задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения. Данные в таких задачах могут быть противоречивыми, и выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом анализа условия задачи [11].
5. Умение выявлять скрытые свойства за-дачной ситуации. Данное умение формируется при решении вариативных задач, у которых формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования. Например, в задаче «Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если его площадь равна 16, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 4» - результат решения будет зависеть от вида исходного треугольника.
6. Умение создавать новые комбинации известных понятий и фактов, относящихся к элементам данной задачи. Например, СР - медиана прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе АВ. По свойству медианы
CP = — AB, следовательно, делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных.
7. Умение осуществлять мысленный эксперимент, предвидеть его промежуточные и конечный результаты. Для формирования данного умения полезно решать задачи на воображение, представление.
8. Умение составлять обратные задачи. Например, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два равнобедренных. Обратное утверждение -если в треугольнике сумма двух углов равна третьему, то он прямоугольный - помогает не только четко выделить условия и заключения задачи, но и осознать их.
В особую группу выделим умения, связанные с правильностью построения чертежа, соответствующего условию геометрической задачи. Чертеж, изображающий плоскую геометрическую фигуру, есть своеобразное наглядное пособие, с помощью которого передается форма фигуры-оригинала. Решение почти любой геометрической задачи начинается с построения чертежа. Чертеж позволяет охватить, причем в наглядной форме, все условие целиком, без него трудно, а в ряде случаев и невозможно усвоить условие задачи.
Разные авторы выделяют различные требования к чертежу. Например, Д. Пойа предлагает учитывать следующие замечания при выполнении чертежа к геометрической задаче:
1) на чертеже все элементы должны находиться между собой в предписанных отношениях, совершенно неважно, в каком порядке они были построены;
2) чертеж должен обладать общностью, отдельные части фигуры не должны быть расположены каким-либо специальным образом;
3) можно применять жирные и тонкие, сплошные и штриховые линии, чтобы подчеркнуть различную роль линий;
В методической литературе авторы определяют чертеж таким образом:
1) чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и их характеристик;
2) чертеж должен соответствовать задаче;
3) нет надобности соблюдать какой-либо масштаб.
Построение чертежа неразрывно связано с анализом условия задачи: хороший анализ условия дает правильные связи на чертеже, и наоборот, высокая степень сформированности графических умений дает успешный анализ условия задачи.
Под графическим умением будем понимать умение строить изображение геометрической
Структура умения анализировать условие планиметрической задачи
Статический компонент
Преобразующий компонент
I
I
■ умение выявлять существенное;
■ умение соотносить неизвестные элементы задачи с известными;
■ умение распознавать известные элементы в различных сочетаниях;
■ умение сопоставлять данную задачу с известными задачами;
■ умение перевести заданную ситуацию на язык математики;
■ умение актуализировать те знания, которые необходимы для решения задач
■ умение переосмысливать элементы фигуры с точки зрения другого понятия;
■ умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему;
■ умение преобразовывать условие задачи в равносильное ему;
■ умение установить полноту условий;
■ умение выявлять скрытые свойства задачной ситуации;
■ умение создавать новые комбинации известных понятий и фактов;
■ умение осуществлять мысленный эксперимент;
■ умение составлять обратные задачи
*
%
Графический компонент
■ умение конструировать простейшие математические модели данной задачной ситуации;
■ умение отождествлять элементы задачи с элементами модели
■ умение выделять на чертеже условие задачи;
■ умение преобразовывать чертеж
Рис. Структура умения анализировать условие планиметрической задачи
фигуры и выполнять чертежные операции на этом изображении. Ввиду вышесказанного к графическим умениям отнесем:
1. Умение конструировать простейшие математические модели данной задачной ситуации. Под данным умением будем понимать умение строить графическую интерпретацию задачи (чертеж) с использованием определенной символики.
Задача 1. Лестница длиной 12,5 метров приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 метра. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?
2. Умение отождествлять элементы задачи с элементами модели.
3. Умение выделять на чертеже условие и требование задачи. Данное умение подразумевает обязательное выделение на чертеже равных элементов: равные стороны выделять штрихами, равные углы - одинаковыми дугами.
4. Умение преобразовывать чертеж. Данное умение включает в себя не только умение изображать фигуру в нужном ракурсе, но и проводить дополнительные построения.
Задача 2. В окружности хорды АВ и СD пересекаются в точке О. Докажите что
AO • OB = ^ • OD. Изобразить на чертеже нужно не только окружность, хорды АВ и CD, но и хорды АС и BD (ЛБ, ВС).
Для наглядности структуру умения анализировать условие планиметрической задачи учащимися основной школы можно представить в виде схемы (рис.).
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Мерлина Н. И. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие. - Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 2009. - 732 с.
2. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи: пособие для учителя. - 2 изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1984. - 192 с.
3. Чичигин В. Г. Методика преподавания геометрии. - М.: УЧПЕДГИЗ, 1959. - 392 с.
4. Далингер В. А. Чертеж учит думать // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 32-35.
5. Рудик П. А. Психология: учебник. - Учпедгиз, 1955. - 420 с.
6. Смирнов А. А. Психология: учебник для педагогических институтов. - М.: Учпедгиз, 1962. - 560 с.
7. Психологический словарь / под ред. В. В. Давыдова, А. В. Запорожца, В. П. Зинченко [и др.]. - М.: Педагогика, 1983. - 448 с.
8. Психология / под ред. А. А. Смирнова, А. Н. Леонтьева, С. Л. Рубинштейна, Б. М. Тепло-ва. - М.: Просвещение, 1962.
9. Ильина Т. А. Педагогика. Курс лекций: учеб. пособие для студентов пединститутов. - М.: Просвещение, 1984. - 496 с.
10. Занков Л. В. О предмете и методах дидактических исследований. - М: АПН РСФСР, 1962. - 148 с.
11. Ковалева Г. И. Теория и практика обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: моногр. - Волгоград: Изд-во ВГПУ «Перемена», 2012. - 214 с.
REFERENCES
1. Kolyagin Yu. M., Lukankin G. L., Merlina N. I.
Metodika prepodavaniya matematik v sredney shkole. Obshchaya metodika: ucheb. posobie. Cheboksary: Izd-vo Chuvashskogo un-ta, 2009. 732 p.
2. Fridman L. M. Kak nauchitsya reshat zadachi: posobie dlya uchitelya. Moscow: Prosveshche-nie, 1984. 192 p.
3. Chichigin V. G. Metodika prepodavaniya geometrii. Moscow: UChPEDGIZ, 1959. 392 p.
4. Dalinger V. A. Chertezh uchit dumat. Matemati-ka v shkole. 1990, No. 4, pp. 32-35.
5. Rudik P. A. Psikhologiya: uchebnik. Uchpedgiz, 1955. 420 p.
6. Smirnov A. A. Psikhologiya: uchebnik dlya pe-dagogicheskikh institutov. Moscow: Uchpedgiz, 1962.560 p.
7. Davydov V. V., Zaporozhets A. V., Zinchenko V. P. (et al.) Psikhologicheskiy slovar. Moscow: Pedagogika, 1983. 448 p.
8. Smirnova A. A., Leontiev A. N., Rubinshtein S. L., Teplov B. M. Psikhologiya. Moscow: Pros-veshchenie, 1962.
9. Ilyina T. A. Pedagogika. Kurs lektsiy: ucheb. posobie dlya studentov pedinstitutov. Moscow: Prosveshchenie, 1984. 496 p.
10. Zankov L. V. O predmete i metodakh didak-ticheskikh issledovaniy. Moscow: APN RSFSR, 1962.148 p.
11. Kovaleva G. I. Teoriya i praktika obucheniya budushchikh uchiteley matematik konstruiro-vaniyu sistem zadach: monogr. Volgograd: Izd-vo VGPU "Peremena", 2012. 214 p.
Слета Юлия Олеговна, соискатель кафедры физики, методики преподавания физики и математики, ИКТ Волгоградского государственного социально-педагогического университета e-mail: [email protected]
Sleta Yuliya O., Post-graduate student, Physics, methods of teaching physics and mathematics, information and communication technologies Department, Volgograd State Pedagogical University e-mail: [email protected]
