CC BY
224
педагогические науки
Шабашова Ольга Владимировна МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ...
УДК 372.851
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
© 2018
Шабашова Ольга Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Математика, информатика и физика» Оренбургский государственный университет, филиал в Орске (462403, Россия, Орск, проспект Мира, 15а, e-mail: [email protected]) Аннотация. Ежегодные отчёты ФИПИ по результатам проведения государственной итоговой аттестации в форматах ОГЭ и ЕГЭ отмечают крайне низкую результативность решения геометрических задач повышенного уровня сложности. Мало кто из школьников приступает к их выполнению, большинство считают их нерешаемыми. Это свидетельствует о наличии серьёзных проблем в преподавании геометрии в основной школе. Изучение геометрии в 7-9 классах имеет ряд особенностей: обучающимся необходимо запоминать много фактов, требующих аккуратности в формулировках; осваивать математический язык и символику; выполнять чертежи к задачам; осуществлять умозаключения по определённым правилам; оформлять решение задач, опираясь на лаконичные пояснения и грамотные ссылки на определения и теоремы. Исходя из сущности геометрических задач, обучение их решению - это обобщение и систематизация учебного опыта учащихся. Одним из средств целенаправленной организации этого процесса является планомерное знакомство обучающихся с системой методов решения задач. Зная разновидности методов, их названия, специфику использования, отличительные особенности, имея зрительные ассоциации по конкретным конфигурациям, школьник на этапе поиска решения задачи будет осуществлять не хаотичный, а осознанный поиск походящего решения. Это позволит отказаться от стихийности учебной деятельности ученика и перейти к её целенаправленной организации и планомерному формированию как того требует ФГОС ООО.
Ключевые слова: преподавание геометрии, государственная итоговая аттестация, решение планиметрических задач, методы решения задач, геометрический и алгебраический методы, частные эвристики, конфигурация, уровни владения умением решать задачи, репродуктивный и продуктивный характер деятельности.
METHODOLOGICAL ASPECTS OF TEACHING TO SOLVE PLANIMETRIC PROBLEMS
© 2018
Shabashova Olga Vladimirovna, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the department
of «Mathematics, Computer Science and Physics» Orenburg State University, branch in Orsk (462403, Russia, Orsk, prospect Mira, 15а, e-mail: [email protected]) Аbstract. Annual reports of the Federal Institute of Pedagogical Measurements on the results of the State Final Examination in the formats of Basic State Exam and Unified State Exam emphasize extremely low effectiveness of solving geometrical problems of an increased complexity level. There are very few students, who embark on the task, whereas the majority consider them unsolvable. This indicates serious problems in the teaching of geometry in secondary schools. The study of geometry by 7th - 9th-graders has a number of features: they have to remember a lot of facts that require accuracy in formulation, master mathematical language and symbols, carry out drawings to tasks, make inferences based on specific rules, execute tasks, relying on laconic explanations and competent references to definitions and theorems. The essence of geometrical tasks suggests that teaching to solve them means generalizing and systematizing students' experience of learning. One of the ways to organize this process purposefully is to systematically expose students to the system of problemsolving methods. Knowing a variety of methods, their names, the specificity of their use and their distinctive features, having visual associations on concrete configurations, at the stage of searching for a solution, the student will be doing so not chaotically, but consciously. This will allow moving from the student's spontaneous learning to its purposeful organization and systematic formation as required by the State Standard of Secondary Education.
Keywords: geometry teaching, State Final Examination, solution of planimetric problems, problem-solving methods, geometrical and algebraic methods, individual heuristics, configuration, levels of problem-solving ability, reproductive and productive nature of activity.
Проблема обучения решению геометрических задач не нова. Отдельные её аспекты рассматриваются в работах многих методистов-математиков (И.Ф. Шарыгин [9], В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко и А.Г. Мордкович [3], А.С. Зеленский и И.И. Панфилов [4], Р.К. Гордин [2], А.А, Прокофьев и А.Г. Корянов [6], В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и М.С. Якир [5], Г.И. Саранцев [7] , Л.М. Фридман [8]). Подобное внимание к ней не случайно. Геометрия традиционно считается сложным, а потому нелюбимым предметом для большинства школьников. Об этом свидетельствуют и ежегодные отчёты ФИПИ по результатам проведения государственной итоговой аттестации в формате ОГЭ и ЕГЭ [11]. В структуре ОГЭ задачи по планиметрии повышенного и высокого уровня представлены заданиями 24, 25 и 26. Их решаемость (в полном объёме) остаётся очень низкой на протяжении многих лет. Это, как правило от 1,5% (для заданий 25 и 26) до 7% (задание 24). Точных данных нет поскольку даже в пределах схожих вариантов данные разнятся. Среди заданий ЕГЭ профильного уровня планиметрическая задача высокого уровня сложности представлена в задании 16 и состоит из двух требований: доказать и вычислить. Решаемость (в полном объёме) этого задания составляет 1,5%, что ниже решаемости стереометрической задачи (задание 14) и заданий 18 и 19. Как отмечается в аналитических отчётах ФИПИ, среди тех, кто
получил общую отметку «5» на экзамене очень мало тех, кто продемонстрировал умение решать планиметрические задачи. Это свидетельствует о наличии серьёзных проблем в преподавании геометрии в основной школе.
Систематическое изучение геометрии начинается с 7 класса и предполагает рассмотрение двух разделов «Планиметрия» (в 7-9 классах) и «Стереометрия» (в 1011 классах). С первых уроков обучающимся необходимо: запоминать много фактов, требующих аккуратности в формулировках; осваивать математический язык и символику; выполнять чертежи к задачам; осуществлять простейшие умозаключения; оформлять решение задач, опираясь на лаконичные пояснения и грамотные ссылки на определения и теоремы. Именно здесь, в начальном курсе планиметрии высока роль учителя в формировании таких ключевых умений как: «видеть» то, что изображено на чертеже; записывать условие и требование задачи; делать чертёж к задаче, максимально соответствующий её условию; выполнять простейшие дополнительные построения.
Изучение геометрии в 8 классе характеризуется существенным увеличением фактического материала, подлежащего усвоению. Это сведения о четырёхугольниках и их частных видах, теорема Пифагора, теория площадей многоугольников, подобие треугольников, тригонометрические соотношения в прямоугольном треу-
Shabashova Olga Vladimirovna METHODOLOGICAL ...
pedagogical sciences
гольнике, соотношения отрезков и углов в окружности; вписанные и описанные окружности. Наряду с многообразием рассматриваемых фигур появляются новые методы решения задач. Однако в ныне действующих школьных учебниках геометрии методы решения задач в явном виде не выделяются, а значит и не фиксируются в памяти учащихся, если только об этом не позаботится учитель. Лишь в учебнике И.Ф. Шарыгина «Геометрия 7-9» [10] выделены некоторые методы решения задач.
Последний год изучения планиметрии в 9 классе нацелен на изучение тригонометрических соотношений в произвольных треугольниках посредством рассмотрения двух важнейших теорем тригонометрии - теоремы синусов и теоремы косинусов, теории правильных многоугольников, длины окружности и площади круга. Особо следует выделить знакомство с двумя методами геометрии - векторным и координатным.
Таким образом, содержание школьного курса геометрии позволяет формировать методологическеие аспекты у обучающихся начиная с 8 класса. Исходя из сущности геометрических задач, обучение их решению - это обобщение и систематизация учебного опыта учащихся. Цель нашей статьи - систематизировать и конкретизировать методы, используемые в практике решения школьных геометрических задач повышенного уровня сложности. Это позволит отказаться от стихийности учебной деятельности ученика и перейти к её целенаправленной организации и планомерному формированию как того требует ФГОС ООО [1].
Рассматривая целенаправленную подготовку школьника к решению задач повышенной сложности следует выделить несколько последовательных уровней обучен-ности:
1) уровень владения основными фактами планиметрии и умениями решать алгоритмические задачи;
2) уровень владения умениями решать полуалгоритмические задачи, предполагающие составление цепочки 2-3 несложных умозаключений;
3) уровень владения умениями решать полуалгоритмические задачи, предполагающие знание частных эвристик и узнавание конкретных конфигураций;
4) уровень владения умениями решать эвристические задачи, основанные на составлении цепочки большого числа умозаключений и (или) знании частных эвристик, узнавании конкретных конфигураций;
5) уровень владения умениями решать эвристические задачи на основе не только частных, но и общих эвристик.
Первые два уровня соответствуют репродуктивному характеру деятельности школьника, 3-й и 4-й - репродуктивному и продуктивному, 5-й уровень - высший -соответствует продуктивному характеру деятельности. Традиционная практика преподавания геометрии в 7-9 классах позволяет обучающемуся при наличии соответствующей мотивации выйти на 1-й и 2-й уровни в деятельности по решению задач. Остальные уровни без специального методического обеспечения могут так и остаться недосягаемыми даже для тех, кто имеет соответствующие способности и желание.
Целенаправленное освоение школьниками более высоких уровней в решении планиметрических задач возможно на основе планомерного знакомства с системой методов решения задач. Зная разновидности методов, их названия, специфику использования, отличительные особенности, имея зрительные ассоциации по конкретным конфигурациям, школьник на этапе поиска решения задачи будет осуществлять не хаотичный, а осознанный поиск походящего решения. В методической литературе имеются различные классификации методов решения геометрических задач. Мы, вслед за В.А. Гусевым, В.Н. Литвиненко и А.Г. Мордковичем [3], будем исходить из того, что существуют геометрический, алгебраический, векторный и координатный методы решения планиметрических задач. Разновидности этих методов иллю-
стрирует рисунок 1.
"Удвоение" медианы
Геометрический метод
Алгебраический метод
Рисунок 1 - Иерархия методов решения планиметрических задач
Геометрический метод решения планиметрических задач подразделяется на два вида: метод дополнительных построений и метод геометрических преобразований. Каждый из этих методов не поддаётся алгоритмизации, но существуют ориентиры, следуя которым можно определять перспективность применения того или иного метода.
Метод дополнительных построений - самый распространённый метод решения планиметрических задач. Знакомство с этим методом происходит в курсе геометрии 7 класса, здесь различные дополнительные построения используются и для доказательства теорем, и для решения задач повышенного уровня сложности. При этом к подобным задачам обычно даётся указание относительно того, какое именно дополнительное построение следует выполнить. Чаще всего это проведение отрезка через две точки или проведение через некоторую точку прямой, параллельной данной прямой. В 8 классе по мере изучения фактического материала дополнительные построения становятся более разнообразными. Появляется возможность не только выделить соответствующие конфигурации, узнавание которых позволяет планомерно осуществлять поиск подходящих дополнительных построений, но и познакомить обучаемых с методом «удвоения» медианы, методом средних линий, методом вспомогательной окружности. В 9 классе целесообразно провести систематизацию всех известных дополнительных построений в соответствии с типовыми конфигурациями в задачах. Для этого можно использовать таблицу 1.
Таблица 1 - Типовые конфигурации для выбора дополнительного построения
Геометрическая конфигурация Рекомендуемые дополнительные построения
Трапеция, в которой известны длины всех сторон 1. Разбить трапецию на прямоугольник и прямоугольные треугольники построением двух высот из концов меньшего основания. 2. Разбить трапецию на параллелограмм и треугольник отрезком, параллельным одной из боковых сторон трапеции.
Трапеция, в которой заданы длины диагоналей и(или) угол между ними Используя параллельный перенос одной из диагоналей трапеции, построить вспомогательный треугольник, две стороны которого являются диагоналями трапеции, а третья сторона равна сумме длин оснований трапеции.
Трапеция, в которой сумма острых углов при большем основании даёт 900 Достроить трапецию до треугольника продолжением её боковых сторон до пересечения или разбить трапецию на параллелограмм и треугольник отрезком, параллельным одной из боковых сторон трапеции.
Окружность вписана в многоугольник Построить центр окружности и провести радиусы в точки касания («скелетный» чертеж).
Внутреннее или внешнее касание окружностей Построить линию центров, проходящую через точку касания и воспользоваться зависимостью расстояния между центрами окружностей от суммы радиусов окружностей в случае внешнего касания и разности радиусов окружностей при внутреннем касании.
педагогические науки
Шабашова Ольга Владимировна МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ...
Окружность вписана в угол Определить местоположение центра окружности, построив биссектрису угла, провести радиусы в точки касания окружности со сторонами угла.
Две окружности имеют общую внешнюю касательную Построить линию центров, радиусы в точки касания, выделить прямоугольную трапецию, провести в ней высоту и воспользоваться соотношениями в образовавшемся прямоугольном треугольнике.
Две окружности имеют общую внутреннюю касательную Построить линию центров, радиусы в точки касания, выделить прямоугольные треугольники и воспользоваться их подобием.
Окружность проходит через две заданные точки А и В Определить местоположение центра окружности, построив серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Окружность проходит через три заданные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой Определить местоположение центра окружности, построив точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам АВ и ВС или построить треугольник АВС, вписанный в окружность, и воспользоваться его свойствами.
Задана медиана треугольника Удвоить медиану с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма и воспользоваться свойствами параллелограмма
Имеется середина одной или нескольких сторон многоугольника Добавить середины других сторон и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников или трапеций (метод «средних линий»).
Требуется найти отношение отрезков АМ : МВ, полученных при пересечении данных отрезков в многоугольнике Провести через точку М и (или) через концы отрезка АВ прямые, параллельные сторонам данного многоугольника или имеющимся отрезкам. Применить теорему Фалеса о пропорциональных отрезках или подобие треугольников.
Имеется четырехугольник, сумма противоположных углов которого равна 1800 Рассмотреть вспомогательную окружность, описанную около четырехугольника, воспользоваться свойствами центральных и вписанных углов.
По одну сторону от прямой имеются два равных угла, опирающихся на один и тот же отрезок Рассмотреть вспомогательную окружность, для которой данные углы будут являться вписанными, воспользоваться свойствами вписанных углов.
По одну сторону от прямой имеются два угла, опирающихся на один и тот же отрезок, причём величина одного из них в два раза больше величины другого и вершина большего угла равноудалена от концов отрезка Рассмотреть вспомогательную окружность, для которой данные углы будут являться соответственно вписанным и центральным, воспользоваться свойствами центрального и вписанного углов.
Второй разновидностью геометрического метода является метод геометрических преобразований (симметрия центральная и осевая, параллельный перенос, поворот, гомотетия), который подразделяется на метод движений и метод подобия. Движения широко используются в решение задач на доказательство равенства фигур и на построение. Метод подобия более распространён в школьной практике решения планиметрических задач. Теоретической основой для применения этого метода служат определение подобных фигур и треугольников в частности, признаки подобия треугольников, свойства подобных фигур. С помощью подобия часто удается решить задачи на вычисление (например, углов, длин отрезков, отношений отрезков). Обычно это такие задачи, в которых среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные - либо углы, либо отношения отрезков.
Применение метода подобия основано на узнавае-
мых конфигурациях (таблица 2).
Таблица 2 - Конфигурации, связанные с подобными треугольниками
конфигурация h'Kh А
С ВС В \ ¡\ С
конфигурации Фалесово подобие, возникающее в задачах, связанных с треугольником, паралл ел ограымомили трапецией. Подобиев ко нфнгу р а ции «пересекающиеся хорды окружности». Подобие в конфигурации «угол со сторонами, перес екающими окружность».
Наряду с геометрическим методом в практике решения самых первых задач систематического курса геометрии используется алгебраический метод - общее название для метода поэтапного решения и метода составления уравнений. Метод поэтапного решения является неотъемлемой частью решения любой геометрической задачи. Полуалгоритмические задачи чаще всего решаются исключительно данным методом, который состоит в последовательном движении от условия к требованию задачи.
В более сложных задачах не удаётся продвигаться от заданных элементов к искомым, поскольку известных элементов не хватает или они «рассредоточены» по разным фигурам. В таких случаях на помощь приходит алгебра: недостающий элемент называют неизвестной величиной х и выражают через неё другие элементы имеющихся фигур. После чего отыскивается соотношение, позволяющее составить уравнение или систему уравнений. При этом важно понимать, что для решения геометрической задачи не всегда нужно стремиться решить полученную систему или уравнение в алгебраическом смысле. Иногда решение задачи появляется весьма неожиданно и здесь главное - распознать подобную ситуацию и вовремя «остановиться».
Геометрический и алгебраические методы относятся к классическим методам решения планиметрических задач. В школьном курсе геометрии 9 класса рассматриваются ещё два метода - метод координат и метод векторов. Которые являются весьма эффективными методами решения многих планиметрических задач. Однако в школьной практике они не получили должного признания и рассматриваются лишь в ознакомительном аспекте.
Из рассмотренных методов решения планиметрических задач наиболее продуктивным для решения задач повышенной сложности по праву является метод дополнительных построений.
Изложенные в статье методологические аспекты описывают методическую систему обучения решению планиметрических задач повышенного уровня сложности, апробированную в ходе предметной подготовки будущего учителя математики на занятиях по дисциплине «Элементарная математика», в процессе занятий со школьниками в рамках дополнительных общеразви-вающих программ и с учителями математики в рамках курсов повышения квалификации по программам дополнительного профессионального образования по подготовке к выполнению заданий повышенной сложности в форматах ОГЭ и ЕГЭ. Эффективность предлагаемой системы подготовки подтверждается результатами обучения: первичная диагностика умений решать планиметрические задачи и у студентов, и у школьников свидетельствовала о наличии умений решать алгоритмические задачи и несложные полуалгоритмические задачи (около 60%). Итоговая диагностика показывает, что в результате целенаправленной работы по методологии решения геометрических задач большая часть студентов и школьников перестали считать планиметрические задачи нерешаемыми, около 50% отметили, что понимают принцип выбора метода решения, а в случае знакомой конфигурации в состоянии довести поиск решения до конца.
Shabashova Olga Vladimirovna METHODOLOGICAL ...
pedagogical sciences
Типовые конфигурации, составляющие сущность метода дополнительных построений, должны накапливаться в процессе изучения геометрии в арсенале школьника, претендующего на высокий результат в государственной итоговой аттестации. Особенность изложения школьного курса такова, что все эти конфигурации рассредоточены по всему курсу 7-9 классов. Кроме того, предлагаемый в учебнике геометрии задачный материал, не позволяет в полной мере продемонстрировать многообразие дополнительных построений. Поэтому существует потребность в создании методического комплекса задач, ориентированного на усвоение методов решения планиметрических задач повышенной сложности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования // http://www. edu.ru/db/mo/Data/d_10/prm1897-1.pdf
2. Гордин, Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4 / Р.К. Гордин. - М.: МЦНМО, 2012. - 328 с.
3. Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике: Геометрия: учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1992.
- 352 с.
4. Зеленский, А.С. Геометрия в задачах / А.С. Зеленский, И.И. Панфилов. - М.: Научно-технический центр «университетский»: УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. - 272 с.
5. Полонский, В.Б. Геометрия: Задачник к школьному курсу / В.Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир.
- М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1988. - 256 с.
6. Прокофьев, А.А. Математика. Подготовка к ЕГЭ: решение планиметрических задач (С4) / А.А. Прокофьев, А.Г. Корянов. - Ростов-на-Дону: Легион, 2014. - 208 с.
7. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение, 1995. - 240 с.
8. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман. - М.- Воронеж: Изд-во НПО мОдЭК, 1999.
9. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 кл. сред. шк. / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1989. - 252 с.
10. Шарыгин, И. Ф. Геометрия: 7-9 / И. Ф. Шарыгин.
- М.: Дрофа, 2012. - 464 с.
11. Ященко, И.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года по математике / И.В. Ященко, А.В. Семенов, И.Р. Высоцкий // http:// www.fipi.ru/sites/default/files/document/1509023556/ matematika_2017_.pdf
Статья поступила в редакцию 08.01.2018
Статья принята к публикации 28.03.2018
