CC BY
39
Г.и. КОВАЛЕВА, Ю.о. СЛЕТА (Волгоград)
содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи
Освещается основополагающий при решении этап анализа условия планиметрической задачи. Рассматривается умение анализировать условие планиметрической задачи и его структура, состоящая из трех компонентов: статического, преобразующего, графического. Определены этапы формирования умения: адаптационный, ориентационный, стабилизационный. Представлен содержательный компонент методики обучения учащихся анализу условия планиметрической задачи, который представляет собой систему задач, сконструированную в соответствии со структурой формируемого умения.
Ключевые слова: планиметрическая задача, анализ условия, умение анализировать условие, методика обучения.
В методике обучения математике общепринято деление процесса решения учебной задачи на четыре основных этапа: осмысление условия задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, изучение найденного решения, так называемый взгляд назад. Причем первый этап определяет последующие, т. к. на нем происходит выделение компонентов задачи и связей между ними, сопоставление задачи с ранее решенными, с изученной теорией. Именно анализ условия задачи обеспечивает выбор стратегии ее решения. Понимая это, ученые и методисты говорят о необходимости его проведения.
Так, Г.И. Саранцев [6] пишет, что на первом этапе имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разборка отдельных элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в системе памяти, соотнесение условия и заключения с имеющимися знаниями и опытом. Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова [7], говоря об анализе условия задач, указывают на многообразие субъективных задач, порожденных многозадачностью слов и словосочетаний, поэтому цель данного этапа видят в выделении объективного содержания задачи, условия, заключения, создании краткой записи, чертежа.
жие науки -
Я.Е. Гольдберг [1] считает, что анализ геометрической задачи направлен прежде всего на то, чтобы выявить свойства фигуры, непосредственно связанные с ее условием; уяснить зависимости между данными и искомыми элементами, включить те и другие в состав вспомогательных плоских фигур.
Ю.М. Колягин [5], Л.М. Фридман [8] указывают, что наиболее результативно проблема обучения анализу условия задачи решается в контексте эвристики. Привлечение эвристической информации (совокупность различных видов эвристик, эвристических приемов, методов, правил) в ходе анализа условия задачи определяет его эффективность.
Отмечая важность первого этапа решения задач, методисты не уделяют должного внимания его организации: не существует общей схемы анализа условия задачи, отсутствует методика формирования у учащихся умения анализировать условие задач, не выделены приемы работы учителя на данном этапе.
необходимым элементом анализа условия геометрических задач является чертеж. Построение чертежа, соответствующего условию задачи, предполагает наличие у учащихся умений улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса, видеть нужный образ и выделять его из разнообразных сочетаний с другими геометрическими фигурами, устанавливать зависимость между элементами фигуры, видеть геометрические объекты «умственным взором», мысленно преобразовывать фигуру. Как формировать эти частные умения, входящие в структуру умения анализировать условие геометрической (в частности, планиметрической) задачи?
Таким образом, обучение учащихся анализу условия задач является необходимым условием формирования умения решать задачи и должно, на наш взгляд, стать предметом специальной методики.
Используя определение умения Л.В. Зан-кова как владения определенными приемами работы и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельности [3], под умением анализировать условие задачи будем понимать владение приемами умственной деятельности, направленными на обработку конкретно заданной информации и на выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему. Поясним, что вся информация, заложенная
О Ковалева Г.И., Слета Ю.О., 2018
ИЗВЕСТИЯ вгпу
в задаче, может быть разделена на три вида: а) непосредственно заданная в условии; б) полученная непосредственно из условия; в) полученная уже из новой, т. е. выведенной ранее, информации.
Анализ различных действий на этапе понимания условия задачи позволил предположить, что умение анализировать условие задачи является многокомпонентным, и спроектировать его структуру, выделив умения:
- статические (позволяющие получить информацию из условия задачи без его непосредственного изменения);
- преобразующие (позволяющие получить информацию из условия задачи при его изменении (варьировании));
- графические (связанные с чертежом).
Схематически структура умения анализировать условие планиметрической задачи представлена на рис. 1 (см. с. 51).
Процесс формирования умения проходит три этапа: адаптационный, стабилизационный и ориентационный. Каждый этап характеризуется целью и особыми средствами формирования умения. Выделенные структура умения и этапы формирования позволяют описать методику обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи, строго определенное педагогическое воздействие, направленное на обучение учащихся анализу условия планиметрических задач и проявляющееся при реализации целей и содержания курса планиметрии.
Содержательный компонент данной методики представлен компонентной системой задач в соответствии со структурой формируемого умения.
Что такое система задач? Г.И. Ковалева [4] и Т.Ю. Дюмина [2] под системой задач понимают совокупность упорядоченных и подобранных в соответствии с поставленной целью задач, действующих как одно целое, взаимосвязь и взаимодействие которых приводит к заранее намеченному результату.
Некоторые психологи отождествляют понятия «задача» и «вопрос». С точки зрения Ю.М. Колягина [5], это неправомерно. Действительно, в определенном смысле всякую задачу можно заменить вопросом. Однако не всякий вопрос является задачей. вопрос выступает лишь как некоторое указание к действию (решению задачи), являясь свойством, сопутствующим задаче (или одним из ее компонентов). Математический вопрос не предполагает решения, ответ на него заключается в простом воспроизведении одного какого-либо ре-
зультата, теоремы или определения из пройденного курса. Содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи представлен системой задач.
Почему именно система задач? Педагоги, психологи и методисты доказали, что задача, решаемая в отрыве от других задач, не дает желаемого результата, не позволяет добиваться общей цели.
в чем заключается отличительная особенность системы задач как средства обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрических задач? она строится в соответствии с компонентной структурой умения анализировать условия планиметрических задач.
в рамках поискового эксперимента определены задачи, без которых не может происходить формирование умения анализировать условие планиметрической задачи.
• Задачи на формирование статического компонента умения анализировать условие планиметрической задачи - на осознание смысла слов, входящих в формулировку задачи; на распознавание известных элементов в различных сочетаниях.
• Задачи на формирование преобразующего компонента - на преобразование формулировки в равносильную; обратные; не-стандартизированные; на отработку ключевой идеи (переосмысление элементов фигуры с точки зрения другого понятия).
• Задачи на формирование графического компонента - на нахождение ошибки в чертеже; на составление условия по чертежу; на варьирование чертежа.
Рассмотрим варианты систем задач на примерах.
I. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, удаленные от центра на расстояние 6 см и 10 см. найдите их длины (см. рис. 2 на с. 52).
Сис тема задач
1. вопросы и задачи для осознания смысла слов, входящих в формулировку задачи.
V Какие из отрезков являются хордами окружности?
V Какой из отрезков является расстоянием от точки до отрезка?
V Сравните длину отрезков ОЫ, ОВ, ОА.
V Какие отрезки являются радиусами?
V Пересекаются ли взаимно перпендикулярные прямые? Под каким углом?
2. вопросы для осознания элементов задачи, рассматриваемых в различных сочетаниях.
педагогические науки
Статический компонент
i
умение выявлять существенное; умение соотносить неизвестные элементы задачи с известными; умение распознавать известные элементы в различных сочетаниях; умение сопоставлять данную задачу с известными задачами;
умение перевести заданную ситуацию на язык математики; умение актуализировать те знания, которые необходимы для решения задач.
Преобразующий компонент
умение переосмысливать элементы фигуры с точки зрения другого понятия;
умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему; умение преобразовывать условие задачи в равносильное ему; умение установить полноту условий; умение выявлять скрытые свойства задачной ситуации; умение создавать новые комбинации известных понятий и фактов; умение осуществлять мысленный эксперимент; ^ умение составлять обратные задачи.
Графический компонент
л/
л/
умение конструировать простеишие математические модели данной задачной ситуации; умение отождествлять элементы задачи с элементами модели.
умение выделять на чертеже условие задачи;
умение преобразовывать чертеж.
Рис. 1. Структура умения анализировать условие задачи
V Элементами каких фигур являются отрезки DO, OD? (Расстояние от центра окружности до хорд; стороны прямоугольника; высота и медиана соответствующих треугольников, катеты соответствующих прямоугольных треугольников).
V Элементами каких фигур являются отрезки ON, OM? (Радиусы окружности; стороны соответствующих треугольников).
V Элементом каких фигур является отрезок OA? (Радиус окружности; сторона треугольника; диагональ прямоугольника).
3. Переформулировать условие (данные / требование)задачи в равносильное.
Катеты прямоугольного треугольника удалены от центра описанной окружности на расстояние 6 и 10 см. Найдите их длины.
4. Составить и решить обратную задачу.
• Две взаимно перпендикулярные хорды с длинами 20 и 12 см проведены из одной точки окружности. Найдите расстояние от центра до этих хорд.
• Две хорды с длинными 12 и 20 см пресекаются в точке А. Расстояние от центра окружности до хорд равно 10 и 6 см соответственно. Найдите угол между хордами.
5. Составить и решить (если возможно) задачу нестандартизированную.
известия вгпу
Рис. 2
Из одной точки окружности проведены две хорды, расположенные от центра на расстоянии 6 см и 10 см. Найдите их длины.
в данном случае задача не имеет решения, но необходима для осознания важности угла между хордами.
6. Составить и решить задачу на отработку ключевой идеи (радиус является сторонами равнобедренного треугольника).
АМ - хорда окружности длиной 10 см. Найдите радиус, если расстояние от центра до хорды равно 4 см.
При решении задач выполнять чертеж, данные и искомые величины отмечать разными цветами, соблюдать символику (равные углы отмечать равными дугами, равные отрезки - равными штрихами).
7. Найти ошибку на чертеже (рис. 3а).
8. Составить условие по чертежу (рис. 3б).
9. Изобразить чертеж к данной задаче, изменив расположение точек, если возможно (рис. 3в).
II. Найдите площадь трапеции ABCD с основанием АВ и CD и высотами АА } и ВВр если АВ=10 см, BC=DA=13 см, CD=20 см.
Система задач
1. вопросы и задачи для осознания смысла слов, входящих в формулировку задачи.
V Какие стороны трапеции параллельны?
V Являются ли отрезки AD и ВС основаниями трапеции?
V У любой ли трапеции боковые стороны равны?
V Какие из углов трапеции равны?
V Какие из отрезков трапеции равны?
V Сумма каких углов трапеции равна 180°?
2. Вопросы для осознания элементов задачи, рассматриваемых в различных сочетаниях.
V Элементами каких фигур является отрезок АА1?
V Элементами каких фигур является отрезок ВВ1?
3. Переформулировать условие (данные / требование) задачи в равносильное.
Например: Найдите площадь равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной 13 см и основаниями 10 см и 20 см.
4. Составить и решить обратную задачу.
Например: Площадь равнобедренной трапеции равна 180 см2, основания 10 см и 20 см. Найдите боковую сторону.
5. Составить и решить (если возможно) задачу нестандартизированную.
Например: Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной 13 см и основаниями 10 см и 20 см.
В данном случае задача не имеет решения, но необходима для осознания важности вида трапеции.
6. Составить и решить задачу на отработку ключевой идеи (в равнобедренной трапеции высоты отсекают два равных треугольника).
педагогические науки
6 4
рис. 4
Например: В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона равна 10 см, высота -6 см, а меньшее основание - 8 см. Найдите большее основание.
При решении задач выполнять чертеж, данные и искомые величины отмечать разными цветами, соблюдать символику (равные углы отмечать равными дугами, равные отрезки - равными штрихами).
7. Найти ошибку на чертеже (рис. 4а).
8. Составить условие по чертежу (рис. 4б).
9. Изобразить чертеж к данной задаче, изменив расположение точек (если возможно).
Формирующий эксперимент доказывает, что использование компонентной системы задач в рамках методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи в полной мере способствует формированию у учащихся соответствующего умения.
Список литературы
1. Гольдберг Я.Е. С чего начинать решение стереометрической задачи: пособие для учителя. Киев: Радянськая школа, 1990.
2. Дюмина Т.Ю. Содержательный компонент методической системы обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: дис. ... канд. пед. наук. Волгоград, 2006.
3. Занков Л.В. О предмете и методах дидактических исследований. М.: АПН РСФСР, 1962.
4. Ковалева Г.И. Теория и практика обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: моногр. Волгоград: Изд-во ВГПУ «Перемена», 2012.
5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977. Ч. II.
6. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002.
7. Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. М.: Дрофа, 2005.
8. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: пособие для учителя. 2-е изд. перераб. и доп. М., 1984.
* * *
1. Gol'dberg Ja.E. S chego nachinat' reshenie ste-reometricheskoj zadachi: posobie dlja uchitelja. Kiev: Radjans'kaja shkola, 1990.
2. Djumina T.Ju. Soderzhatel'nyj komponent me-todicheskoj sistemy obuchenija budushhih uchitelej matematiki konstruirovaniju sistem zadach: dis. ... kand. ped. nauk. Volgograd, 2006.
3. Zankov L.V. O predmete i metodah didak-ticheskih issledovanij. M.: APN RSFSR, 1962.
4. Kovaleva G.I. Teorija i praktika obuchenija budushhih uchitelej matematiki konstruirovaniju sis-tem zadach: monogr. Volgograd: Izd-vo VGPU «Pe-remena», 2012.
5. Koljagin Ju.M. Zadachi v obuchenii matemati-kе. M.: Prosveshhenie, 1977. Ch. II.
6. Sarancev G.I. Metodika obuchenija matemati-ke v srednej shkole: ucheb. posobie dlja studentov mat. spec. ped. vuzov i un-tov. M.: Prosveshhenie, 2002.
7. Stefanova N.L., Podhodova N.S. Metodika i tehnologija obuchenija matematike. Kurs lekcij: poso-bie dlja vuzov. M.: Drofa, 2005.
8. Fridman L.M. Kak nauchit'sja reshat' zadachi: posobie dlja uchitelja. 2-e izd. pererab. i dop. M., 1984.
Contents of teaching the analysis of planimetric tasks in secondary school
The article deals with planimetric tasks and their structure, which consists of three components: static, transforming and graphic. The following stages of skill development are under consideration: adaptation, orientation, stabilization. The article presents the substantial component of teaching students to analyze a planimetric task. The contents are a system of tasks designed in accordance with the structure of the skill.
Key words: planimetric task, condition analysis, ability to analyze the condition, teaching methods.
(Статья поступила в редакцию 26.03.2018)
