Степенные группы. Группы, точные при тензорном пополнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 35-46.

УДК 519

М.Г. Амаглобели

Тбилисский государственный университет им. Иванэ Джавахишвили

Т.З. Бокелавадзе

Кутаисский государственный университет им. А. Церетели

СТЕПЕННЫЕ ГРУППЫ. ГРУППЫ, ТОЧНЫЕ ПРИ ТЕНЗОРНОМ ПОПОЛНЕНИИ

Статья посвящена изучению частичных А -степенных групп, которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом А.

Ключевые слова: А-степенная группа, свободные конструкции, тензорные

пополнения.

Понятие степенной группы над производным ассоциативным кольцом А с единицей введено Р. Линдоном в [1]. В [2] А.Г. Мясников уточнил понятие степенной группы, введя дополнительную аксиому. В частности, новое понятие степенной группы является непосредственным обобщением понятия модуля на случай некоммутативных групп. Систематическое изучение категории степенных групп в смысле А.Г. Мясникова начато в [2; 3; 4]. Настоящая статья является продолжением серии статей по степенным группам и посвящена изучению частичных А-степенных групп, которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом А. Ключом к ее пониманию служит понятие тензорного пополнения, введенное в [2]. Как следствие, получено описание свободных А-групп и свободных А-произведений на языке групповых конструкций.

§ 1. Группы, точные при тензорном пополнении

Приведем некоторые определения из [2]. Зафиксируем произвольное ассоциативное кольцо А с единицей, а также группу О. Пусть задано действие А на О, т. е. отображение G х А ^ G . Результат действия ае А на g е G будем записывать в виде gа . Рассмотрим аксиомы:

Совокупность всех А-степенных групп, так же как и в [2], будем обозначать через т А .

(1)

(2)

(3)

(4)

£а+в = Еа- Ев, £“" = ( (И- ЕИ)а= И- ЕаИ;

а+в а в ггав

© М.Г. Амаглобели, Т.З. Бокелавадзе, 2009

Построение тензорного пополнения данной группы удобно вести по шагам, постепенно «доопределяя степени». Это приводим к понятию частичной А-группы. Также к частичным А-группам приводят и некоторые групповые операции над А-группами. Пусть А - кольцо, О

- группа.

Определение. Группу О назовем частичной А-группой, если возведение в степень определено для некоторых пар (g, а), но не обязательно для всех пар; причем если определена одна часть равенства в аксиомах (1)-(4), то определена и другая часть, и для них выполняются аксиомы (1)-(4) в определении степенной группы.

Класс частичных А-степенных групп

будем обозначать через у А . Например,

если А - подкольцо кольца В, тогда любая А-группа является частичной В-группой.

На протяжении всей статьи будем предполагать, что кольцо А в качестве подкольца содержит кольцо целых чисел Ъ.

Пусть О - частичная А-группа, т. е. О а .

Определение. Будем говорить, что группа О является точной относительно кольца А, если каноническое отображение

Я: О ^ ОА является вложением.

Определение. Будем говорить, что группа О является точной, если она является точной относительно любого кольца, содержащего Ъ.

Докажем некоторые полезные факты о точных группах.

Предложение 1.1. Пусть О = П о -

ге1

прямое произведение групп Ог. Тогда группа О точна относительно кольца А тогда и только тогда, когда все Ог являются точными группами относительно кольца А.

Доказательство. Пусть все группы

Ог, г е I являются точными относительно кольца А, т. е. канонические отображения Я : О{ ^ ОА являются вложениями. Так

как функтор тензорного пополнения перестановочен с операцией прямого произведения [5], то О' А =П ОА и канониче-

ге1

ское отображение Я : О ^ ОА есть прямое произведение Я(Я = ПЯ). Отсюда следует, что Я - вложение. Верно и обратное: если Я - вложение, то все Я тоже вложения, и, следовательно, группы Ог -

точные относительно кольца А.

Предложение 1.2. Пусть О частичная А-группа. Тогда О является точной относительно кольца А тогда и только тогда, когда все ее конечно порожденные в категории частичных А-групп подгруппы являются точными относительно кольца А.

Доказательство. Пусть Ог, г е I есть множество всех конечно порожденных подгрупп группы О и Я : О{ ^ ОА канонические отображения. Тогда группа

0 = 1цп Ог и по теореме 2 из [5]

ге1

ОА = Нгп ОА . Каноническое отображение

ге

Я : О ^ ОА будет Я = Нгп Я- . Ясно, что Я

е

будет вложением тогда и только тогда, когда каждое Яг является вложением. Отсюда следует доказательство предложения.

Предложение 1.3. Пусть

1 ^ О ——> О / N ^ 1 - короткая точная последовательность частичных А-групп. Тогда группа является точной тогда и только тогда, когда каноническое

отображение Я1я О : N ^ ОА является вложением и О / N является точной группой. Доказательство. Диаграмма

1 ^ N —— О ——> О / N ^ 1

ЯО ЯО / N

+ 1 г 1 Г У

является коммутативной, что следует из

АА

определений р и / свойств тензорного пополнения. Пусть g е О, и предположим, что ЯО (g) = 1. Так как диаграмма коммутативна и ЯО/N - вложение, то

) = 1, т. е. g е N . Так как Я1я О является вложением по условию, то д = 1 и, следовательно, ЯО - вложение.

Примеры. В последующих параграфах мы докажем теоремы о точности достаточно широких классов групп. Здесь же приведем примеры неточных групп.

1) Пусть О - простая группа, содержащая неединичный элемент второго порядка. Так как любая группа является подгруппой некоторой простой группы (см. [6], теорема (3.4)), то запас таких групп достаточно велик. Пусть кольцо А есть поле рациональных чисел Q. Тогда

тензорное пополнение ОА равно единичной группе. Это следует из конструкции тензорного пополнения, изложенной в [2]. В самом деле, тензорное умножение на О «убивает» элементы конечного порядка и потому, в силу простоты, группу О.

2) О - группа без кручения с неоднозначным извлечением корней. Кольцо А -

снова поле Q. В этом случае группа ОА есть группа с однозначным извлечением корней. Доказательство этого предложения легко следует из предложения 3 из [2]. Ясно, что такая группа О не может изоморфно вкладываться в ОА и, следовательно, она не точная.

§ 2. Определение и свойства групп класса у А

Пусть А - кольцо, содержащее кольцо Z в качестве подкольца.

Пусть А - кольцо, у А - категория частичных А-групп (определения в [2]). По определению группа О из у А принадлежит о

у А , если выполнены следующие условия:

(1) для любой максимальной абелевой подгруппы М из О и любого X £ М

пересечение М п Мх = 1;

(2) канонический гомоморфизм / : М ^ М ® А является вложением.

А

Определение тензорного произведения частичных А-модулей будет приведено в конце этого параграфа.

Докажем некоторые свойства групп

о

из класса у А и приведем примеры.

Предложение 2.1. Пусть О е у А Тогда

(a) если М1 и М2 различные максимальные абелевы подгруппы из О, то М1 п М2 = 1;

(b) если О без кручения, то в О однозначна операция извлечения корня;

(c) отношение коммутирования на неединичных элельентах является отношением эквивалентности;

(д) централизатор любого неединичного элем.ента является м.аксимальной абелевой нормальной подгруппой;

(е) пусть О без кручения и хг = у*. Отсюда следует, что [ X, у ] = 1;

(/) если х и у - элем,енты из м.аксималь-ной абелевой подгруппы М и х и у сопряжены в О, то х = у.

Доказательство, (а) В самом деле, пусть х е М1 п М2. Допустим, что х Ф 1 и

выберем элемент у е М2 \ М1. Так как

х, у е М2 и М2 - абелева группа, то

х е М1 пМ1у , что противоречит опреде-

о

лению класса у А .

(b) Пусть хт = ут. Если элемент х коммутирует с элементом у, тогда (ху~')т = хту-т = 1. Так как в О нет кручения, то отсюда следует, что х = у. Если х не коммутирует с у, то обозначим через М какую-нибудь максимальную абелеву подгруппу, содержащую элемент у. Тогда

х е М . Но М пМх э ут Ф 1. Противоречие.

(c) Допустим, что даны три неединичных элемента х, у, г, и пусть коммутатор

[ х, у ] = [ х, г ] = 1. Докажем, что отсюда

[ у, г ] = 1. Если это не так, то рассмотрим

максимальные абелевы подгруппы

М1 э х, у и М2 э х, г . Тогда М1 п М2 э х,

что противоречит пункту (а).

Доказательство (ф непосредственно следует из (с).

(е) Пусть хг = у*, х Ф 1, у Ф 1, и предположим, что коммутатор [ х, у ] Ф 1. Пусть М - максимальная абелева подгруппа,

содержащая элемент х; тогда у £ М . По определению группы из класса у А

М п Му = 1. С другой стороны,

у- хгу = у^у*у = у* = хг, поэтому

1 Ф хг е М п Му .

(!) Пусть х = у1 . Тогда М п М1 Ф 1. Отсюда следует, что I е М , а поэтому х = =у.

Укажем примеры групп из класса у А .

(I) Для любого кольца А 3 Z свободные группы являются частичными А-группами.

Ясно, что эти группы принадлежат

классу у оА .

(II) Обобщим предыдущий пример и рассмотрим класс групп со следующими свойствами:

(1) группа О без кручения;

(2) централизатор любого неединичного элемента является бесконечной циклической подгруппой.

Тогда О принадлежит классу у оА . В

самом деле, максимальная абелева подгруппа М в такой группе является бесконечной циклической. Пусть элемент

х £ М . Тогда, если М пМх Ф 1 и М = (у),

для подходящих целых г и э х—у*х = уг.

Доказательство такое же, как и во второй

части пункта (Ь). Обозначим х- ух = г,

тогда г'* = уг, отсюда по пункту (е) предложения 2.1 следует, что г коммутирует с у и, следовательно, х~1 ух = ур. Если |р| > 1, то подгруппа (х, у) содержит подгруппу р-ичных рациональных чисел. Последняя группа не является циклической подгруппой, что противоречит условию

(2). Если р = 1, то х коммутирует с у -противоречие. И, наконец, если

-1 -1 -2 2

х ух = у , то х ух = у - снова противоречие с пунктом (е) из предложения 2.1. Предложение 2.2. Свободное произ-

о

ведение групп из класса у А также принадлежит классу у А .

Доказательство. Свободные произведения О = * О■ групп Ог, г е I из класса

ге1

о

у А сами являются группами из этого

класса. По теореме Куроша о подгруппах свободного произведения групп (см. 4.9.1

[7]) существуют две возможности:

(1) максимальная абелева подгруппа М содержится в подгруппе, сопряженной с одним из множителей, т.е. в подгруппе

вида Оу, у е О;

(2) М - максимальная циклическая подгруппа, порожденная элементом, редуцированная длина которого > 2.

В первом случае если х £ М, но х е Оу , то М пМх = 1 следует из того,

что группа Ог е у А . Если х £ Оу, то Мх п Оу = 1, а потому М пМх = 1.

Во втором случае если х £ М, то

М п Мх = 1, так как разные степени одного и того же элемента, редуцированная длина которого > 2, не сопряжены между собой (см. [7], теорема 4.6).

Абелевы частичные А-группы из категории у А являются частичными А-

модулями.

Многие понятия общего характера для А-модулей переносятся и на категорию частичных А-модулей. Например, понятие частичного А-подмодуля, частичного А-гомоморфизма и т. д.

Для наших целей важно, что понятие тензорного произведения А-модулей обобщается до понятия тензорного произведения частичных А-модулей. В определении этого понятия мы будем следовать работе [8].

Предложение 2.3. Пусть М, N - некоторые частные А-модули. Тогда существует пара (Т, д), состоящая из частичного А-модуля Т и частичного А-билинейного отображения g : М х N ^ Т, со следующим свойством: для любого частичного А-модуля Р и частичного А-билинейного отображения / : М х N ^ Р существует

единственное частичное А-линейное отображение /': Т ^ Р такое, что

/ = I ° g (иными словами, любое частичное билинейное отображение М х N можно пропустить через Т).

Если (Т, g), (Т , g ) - две пары с таким свойством, то существует А-изоморфизм у : Т ^ Т , для которого j ° g = g .

Доказательство. Единственность доказывается стандартным образом.

Существование. Для доказательства предложения введем свободный А-модуль С. Элементы С - это формальные линейные комбинации элементов М х N с коэффициентами из А, т. е. выражения вида

П

Е аг (хг, у ) (аг е А хг е М, уг е Ю ■

г =1

Пусть D - подмодуль С, порожденный всеми элементами вида

(х + х, у) - (х, у) - (х, у),

(х у + у) - (х у) - (хy,),

(ах, у) -а( х, у),

(х,ау) -а( х, у) при условии, что ах определено в М, а а у - в N.

Положим Т = С / D . Для каждого базисного элемента (х, у) из С обозначим через х ® у его образ в Т. Модуль Т порожден элементами вида х ® у , и из определения ясно, что они удовлетворяют соотношениям

(х + х)®у = х®у + х ®у,х®(у+у) = х®у + х®у (ах) ® у = х(ау) = а(х ® у).

Иными словами, отображение g : М х N ^ Т, определенное формулой g(х, у) = х ® у , А-билинейно. Любое отображение / произведения М х N в частичный А-модуль Р продолжается по линейности до гомоморфизма А-модулей

I: С ^ Р. Если f, сверх того, частично А-

билинейно, то I обращается в нуль на образующих D и, значит, на всем D. Поэтому I индуцирует однозначно определенный частичный А-гомоморфизм I модуля Т = С / П в Р, для которого /(х ® у) = У(x, у). Поэтому пара (Т, g) обладает сформулированным свойством.

Замечание. Построенный выше модуль Т называется тензорным произведением модулей М, N и обозначается

М ® N или просто М ® N , если ясно,

А

какое кольцо А имеется в виду. Отметим,

что тензорное произведение М ® N часА

тичных А-модулей является полным А-модулем.

§ 3. Точность групп из класса у А

В этом параграфе будет доказан основной результат статьи.

Теорема 3.1. Пусть Ъ - подкольцо

кольца А и группа О е у А , причем в О и

А+ нет элементов порядка 2. Тогда группа О точна, т. е. каноническое отображение Л : О ^ ОА является вложением.

Прежде чем приступить к доказательству, изложим некоторые известные факты о свободных произведениях с объединенной подгруппой.

Пусть Hi < О{ - группы, г = 1,2 . Пусть, кроме того, зафиксирован эпиморфизм р: Н1 ^ Н2. Назовем О свободным произведением групп О1 и О2 с подгруппами Н1 и Н2, объединенными относительно р,

и обозначим О через * (О1, О2, Н1, Н2, р) ,

если для О выполнено следующее универсальное свойство:

(1) существуют гомоморфизмы Л : О1 ^ О, Л2 : О2 ^ О такие, что О порождается Л (О1) и Л (О2) ;

(2) для любой группы Н и гомоморфизмов / : О1 ^ Н, /2 : О2 ^ Н, согласованных с р, существует гомоморфизм д : О ^ Н , что диаграмма

О

(Лд = /, Лд = /2)

за-

коммутативна.

Если О1 =(X |^), О2 = (X2|^) -

дание О1 и О2 через порождающие элементы и определяющие соотношения, то не трудно доказать, что

О = (Х1 и Х2 \Я1 и Я2 и ^,

где £ = [Ирр = И2 для всех И1 е Н'} - задание О с помощью порождающих элементов и определяющих соотношений. Рассмотрим частную форму этой конструкции, когда р является изоморфизмом

между Н1 и Н2.

Теорема 3.2 ([7]). Пусть

О = * (( О2-: H1, Н 2, р) и р - изоморфизм. Тогда

(1) отображения Л1 и Л2 являются вложениями, что позволяет отождествить Л (О1) с О1, Л2 (О2) с О2 и Н1 с Н2;

(2) выберем систему представителей правых смежных классов группы О1 по подгруппе Н1 и аналогично О2 по подгруппе Н2. Тогда каждый элемент д из О имеет единственную нормальную форму записи в виде g = Ие1е2 • • • сг, где И е Н1 = Н, с -представитель смежного класса, ^ = 1, • • •, г, сг и с+1 не леж,ат одноврем,енно в О1 и О2.

Параметр г в нормальной записи элемента д будем называть длиной элемента д. Свободное произведение с объединением является обобщением свободного произведения. Многие утверждения, справедливые для свободных произведений, имеют аналоги и для свободных произведений с объединенной подгруппой, хотя картина в последнем случае является более сложной. Приведем необходимые нам примеры таких утверждений.

Теорема 3.3 ([7]). Пусть

О = * (, О2, Н1, Н 2 , р ) и р - изо-

морфизм, х, у е О и ху = ух. Тогда

(г) х или у лежит в подгруппе, сопряженной с Н = Н1 = Н2;

(гг) если ни х, ни у не лежат в подгруппе, сопряженной с Н, но х принадлежит некоторой подгруппе, сопряженной с О1 или О2, то у принадлежит той ж,е подгруппе;

(ггг) если ни х, ни у не лежат в подгруппе, сопряженной с О1 или О2, то

х = gИg- г], у = gИg-1 гк, где g, г е О,

И, И е Н и элементы gИg , gИ g и г по-

парно перестановочны.

Приведем еще один пример, связанный с проблемой сопряженности. Элемент

д группы

О = *(О1,О2,Нх,Н2,р) , р -

изоморфизм, называется циклически несократимым, если в нормальной форме g = Ис1с2 • • • сг при г > 1 представители С1 и

сг не лежат одновременно в О1 или в О2. Теорема 3.4 ([7]). Пусть

0 = *(О1,О2,Н1,Н2,р) ,р - изоморфизм.

Тогда каждый элемент группы О сопряжен с некоторым циклически несократимым элементом. Далее, пусть g -циклически несократимый элемент О. Тогда

(г) если д сопряжен с элементом

И е Н, то д лежит в О1 или в О2 и существует последовательность элементов И, И1, И2, • • •, И, g , где И е Н , соседние члены которой сопряжены в О1 или в О2;

(п) если д сопряжен с элем,ентом g , причем g е О1 или g е О2, но д не лежит

в подгруппе, сопряженной с Н, то д и g лежат в одном и том же сомножителе (в

01 или О2) и сопряжены в нем;

(ггг) если д сопряжен с элементом А,"',Рг , где г > 2 и рI, р1+1 так ж:е, как

и р1, рг не леж,ат в одном сомножителе, то д м.ожно получить, циклически переставляя р1,---,рг , а затем сопрягая полученный элемент подходящим элем,е-том из Н.

Следствие 3.1 ([7]). Произвольный

элемент конечного порядка группы

О = *о О2, Н1, Н 2, р) лежит в подгруппе, сопряженной с О1 или с О2 .

Следствие 3.2 ([7]). Пусть О является свободным произведением групп А, В и С с объединениями из множителя А, т. е. каждое определяющее соотношение либо состоит из однотипных образующих, либо имеет вид и (ау ) = V (рм ) или

и(ау) = Ж(с?) . Тогда произвольная подгруппа Н группы О, тривиально пересекающаяся с каждой подгруппой, сопряженной с А, В или С, является свободной группой.

Мы воспользуемся этим следствием в том случае, когда группа С = 1.

Теперь дадим информацию о группе

01, которая получается из Ос помощью первого элементарного шага конструкции тензорного пополнения. Группа О1 строится следующим образом: в О выбираем максимальную абелеву подгруппу

М, МА = М ® Л, У : М ^ М ® Л - канони-

Л Л

ческое отображение. Затем строим группу

о1 = *(в, мл , м , у (м ), у),

т. е. есть свободное произведение

групп О и МА с объединением М и 7(М относительно гомоморфизма 7. И, наконец, О1 = / Н, где Н = id(1) - наимень-

ший т-идеал, содержащий 1 (более подробно об этой конструкции см. § 4 в [2]). Базовыми для доказательства теоремы являются две леммы 3.1 и 3.2.

Лемма 3.1. Канонический гомоморфизм I1 : О ^ О1 является вложением.

Лемма 3.2. Группа О1 принадлежит

о

классу у Л .

Приступим к доказательству леммы

3.1. Так как по определению класса у°Л гомоморфизм у : М ^ М ® Л является

вложением, то группа О является подгруппой О0 по теореме 3.2 [7]. Для завершения доказательства леммы 3.1 достаточно проверить, что т-идеал N равен 1. С этой целью детально исследуем вопрос о том, когда элементы х, у коммутируют в

О1.

Лемма 3.3. Пусть х и у - элементы из группы О1 и ху = ух Тогда

(1) х и у лежат в подгруппе, сопряженной либо с О, либо с МЛ;

(2) х и у являются степенями некоторого элемента г.

Доказательство. Пусть пара элементов х, у удовлетворяет пункту (1) в заключении теоремы 3.3 ([7]) и пусть, для определенности, х е Мг. Сопрягая, если нуж-

-1

но, х и у элементом г , не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что 1 Ф X = т е М . Пусть у = е1ё1 • • • екёкш1

- каноническая запись элемента у, где с{ -

представители классов смежности группы

О по М, а di - представители классов

смежности. Тогда у = c1d1 — ckdkm1m -

каноническая запись элемента ух. В обратном порядке произведение х и у имеет вид

ху = тс^йх — с^кт1. (3.1)

Предположим, что с1 Ф 1. Для нахождения записи элемента ху начнем перетаскивать т в конец записи (3.1). Так как

М П1М0 = 1 по определению класса у Л , то

тс1 Ф с1т2. Отсюда следует, что

тс1 = с1т2 и с1 Ф с1. Поэтому ху Ф ух . Это же рассуждение годится и в случае, когда один из с{ Ф 1(/ = 1, • • •, к) . Следовательно,

если ху = ух, то у = dm, а потому у е МА .

Если пара х, у удовлетворяет условию (и) теоремы 3.3 ([7]), то они принадлежат подгруппе, сопряженной либо с О, либо с

М Л , что согласуется с формулировкой леммы.

Наконец, пусть пара х, у удовлетворяет условию (ш) теоремы 3.3 ([7]). Тогда ни х, ни у не лежат в подгруппе, сопряженной с О, либо М Л и

х = т-1 г1, у = $т %-1 гк, где %, г е О^ , и

элементы %т% 1, %т % 1 и г попарно перестановочны.

Переходя к паре х = %- х%, у = %- у% ,

1 ' к

мы можем считать, что х = тг , у = т г ,

причем элементы т, т и г попарно перестановочны. Если хотя бы один из элементов т или т не равен 1, то по первой части доказательства леммы г е МА . Но тогда х = тг1 е МА и у = тгк е МА, что

противоречит выбору х и у. Следователь' 1 1 к но, т = т = 1, а потому х = г и у = г .

Лемма 3.4. Максимальная абелева

подгруппа в группе О0 может быть только

одной из следующих трех типов:

(1) , где N - максимальная абелева подгруппа в О, % е О0;

(2) (мЛ )%, где % е О1;

(3) бесконечная циклическая. Доказательство. Пусть М - максимальная абелева подгруппа О01 , не являющаяся бесконечной циклической. Если М - локально циклическая группа, то она типа (1) или (2), так как если ху = ух и пара х, у удовлетворяет условию (ш) теоремы 3.3 ([7]), то по доказательству леммы

3.3 х = г1,у = гк и |х| >/|г|,|у| > к|г| и |г| > 2, где |х| длина элемента х. Поэтому в

случае (Ш) теоремы 3.3 ([7]) М не может быть локально циклической, но не циклической группой.

Пусть теперь х, у - любая пара элементов из М , не принадлежащая одной циклической группе. Тогда по лемме 3.3

следует, что М принадлежит либо ОЛ, либо (Мл )Л. Если выполняется условие М 3 ОЛ , то группа М первого типа. Если же М = (Мл )Л , то она является группой второго типа.

Вернемся теперь к доказательству леммы 3.1. По определению структуры А-

частичной группы О01 и по лемме 3.4 все

т-коммутаторы в О01 равны 1, а потому

Н = id(1) равен 1, т. е. О1 = О0. Так как О

изоморфно вкладывается в О01 , то это

верно и для группы О1 .

Лемма доказана.

Приступим к доказательству леммы

3.2. Докажем, что группа О1 е у Л . Доказательство будем вести с помощью теоремы 3.4 ([7]). Пусть N - максимальная абелева подгруппа в О1 первого типа (см. лемму 3.4 с учетом того, что доказано

О1 = О0 ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что N 3 О . Предположим, что для N не выполняется

условие (1) из определения класса у 0Л . Тогда существует элемент

Л е О1, / £ N, N П NЛ Ф 1. В этом случае существует пара неединичных элементов

Л

х, у из N таких, что х = у . Так как N П М = 1 по предложению 2.1 (а), то па-

ра х, у удовлетворяет свойству (и) теоремы 3.4 ([7]). По этому свойству элементы х и у сопряжены в О с помощью элемента

Л . Тогда N П NЛl Ф 1 в О. Так как О е

у Л , то отсюда следует, что /1 е N , а потому х = у. Следовательно, исходный элемент / перестановочен с х. По теореме 3.3 ([7]) / е О и по предложению 2.1 (с) / е N. Это доказывает, что свойство (1) в определении класса у Л выполнено для N. Ясно также, что второе свойство определения класса у Л также выполнено для N.

Далее, пусть N - максимальная абелева подгруппа второго типа, т. е.

N = (МЛ)% , % е О1.

Проверим выполнение первого свой-

0

ства в определении уЛ для N в этом случае. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что N = МЛ . Пусть Л £ МА, Л е О1, и предположим, что

МА П (МЛ )Л Ф 1. Тогда существует пара

л у л Л

элементов х, у из М таких, что х = у . Если, по крайней мере, один из элементов х или у не принадлежит исходной подгруппе М, то выполнено условие (и) теоремы 3.4 ([7]) и дальнейшее доказательство в этом случае такое же, как и для подгруппы первого типа. Если х, у е М , то по пункту (1) теоремы 3.4 ([7]) х сопряжен с у в О, а тогда по предложению 2.1 Лх = у . Дальнейшее доказательство такое же, как и для групп первого типа.

Наконец, пусть N - бесконечная циклическая группа и N не содержится ни в какой подгруппе, сопряженной с О либо с Л

М . Пусть N порождается элементом г. Тогда, в силу наших предположений, редуцированная длина ||г|| > 2 . Далее предположим, что для N не выполнено условие

(1) в определении класса у А , т. е. существует Л е 01 такой, что N NЛ Ф 1. Пусть х, у - пара элементов из N такая, что хЛ = у и пусть х = г', у = г1. Так как редуцированная длина||х|| = Ц|Н| > 2 , то выполнены условия (ш) теоремы 3.4 ([7]). По

теореме 4.6 ([9]) ||х|| =|у||, а потомуi = + j .

Если i = j, то х = у и элемент f перестановочен с х.

Для продолжения доказательства леммы 3.2 сформулируем и докажем леммы 3.5 и 3.6.

Лемма 3.5. Отношение коммутирования на неединичных элементах группы

G1 является отношением эквивалентности.

Доказательство. Пусть задана тройка неединичных элементов x, у, z е G1 таких, что [ x, у ] = [ x, z ] = 1. Докажем, что

[ у, z ] = 1. По лемме 3.2 для пары коммутирующих элементов существуют две возможности: (1) и (2). Из леммы 3.3 также следует, что для двух пар x, y и x, z одновременно выполняется либо возможность (1), либо возможность (2). В первом случае все три элемента дежат либо в G,

либо в ЫА . Так как группа G е y А , а группа ЫА абелева, то [у, z] = 1. Во втором случае пара x, y лежит в бесконечной циклической, порожденной элементом

u, 1|u|| > 2. Аналогично элементы x, z содержатся в бесконечной циклической, порожденной элементом V, |VI > 2. Отсюда следует, что существуют целые числа r и s такие, что ur = Vs. Если [u, V] = 1,

то [у, z] = 1; если же [u, v] Ф 1, то рассмотрим подгруппу H = (u, v^ . Элемент

t = ur = Vs централен в группе H. Предположим H пересекается с подгруппой, сопряженной с G или с ЫА , не по единице. Это противоречит лемме 3.3, ибо

||t|| > |r ||u||| > 2 и элемент t коммутирует с

элементом, циклически редуцированная длина которого равна единице. Следовательно, для подгруппы H выполнены условия следствия 3.2 ([7]), а потому H свободная группа ранга 2. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 3.6. Если xf = x 1 в G1, то

x = 1.

Доказательство. Так как х = х и по следствию 3.1 ([7]) элементы конечного порядка лежат в подгруппах, сопряженных с множителями, то в группе О1 нет инволюций. Следовательно, Л 2 Ф 1 . Тогда

[ x, Л ] = 1 [Л, Л ] = 1. Отсюда по лемме

3.5 [х, Л] = 1, а потому хЛ = х = х '. Следовательно, х = 1.

Продолжим доказательство леммы

3.2. По лемме 3.5 подгруппа, порожденная элементами / и г, является абелевой, что противоречит тому, что N -максимальная абелева подгруппа.

По лемме 3.6 случай ' = —] невозможен. Лемма 3.2 доказана.

Приступим к доказательству основной теоремы 3.1. Доказательство проведем транс-финитной индукцией по числу элементарных шагов, необходимых для построения группы ОА .

Если а не пределный ординал, то ка-

г* г^а—1

ноническое отображение из О в О является вложением по лемме 3.1, а группа Оа е у А . Осталось разобрать случай, когда а - предельный ординал. В силу леммы 3.1 Оа = ^ Ов и подгруппа с

в<а

меньшим ординалом изоморфно вкладывается в группу с большим ординалом и, по предположению индукции, все группы

Ов е у А . Ясно, что каноническое отображение О ^ Оа является вложением, так как О изоморфно вкладывается в Ов для всех в < а по индукционному предположению. Осталось для завершения до-

а а

е

е у Л .

Лемма 3.7. Пусть М - максимальная абелева подгруппа группы Оа и Мв = М П| Ов . Тогда Мв либо равно 1, либо Мв- максимальная абелева подгруппа в Ов.

Доказательство. Предположим, что Мв Ф 1, г е Мв, г Ф 1; предположим

еще, что Мв не максимальная абелева подгруппа. Тогда существует элемент х,

который коммутирует со всеми элементами из Мв, но не принадлежит Мв. Пусть у - произвольный неединичный элемент из подгруппы М. Тогда существует такой

ординал в <у < а, что у е О7 . Так как х коммутирует с г и у коммутирует с г, а группа Ов е у Л , то х коммутирует с произвольным элементом у е М . Следовательно, х е М , а потому

х е Мв = М П| Ов. Полученное противоречие доказывает лемму.

Докажем, что Оа е у Л . Пусть М -максимальная абелева подгруппа Оа и Л £ М . Если М П| Мл Ф 1, то существует пара неединичных элементов х и у таких, что х = у . Рассмотрим такой ординал у < а , что все три элемента принадлежат

О7 и пусть М7= М П| О7 М7 Ф 1 и по лемме 3.7 М7- максимальная абелева подгруппа в О7 и Л £ М7 . По построению М7 П| (Мг)л Ф 1, что противоречит тому,

что Ог е у Л .

Проверим, наконец, что каноническое отображение ]М : М ^ М ® Л является

Л

вложением. В силу предложения 1.2 достаточно проверить это только для конечно порожденных подгрупп группы М . Любая конечно порожденная подгруппа М

содержится в некотором О7 , где у < а .

Так как по лемме 3.7 М П| Ог = М7 есть

максимальная абелева подгруппа в О7 и

О7 е у Л , то каноническое отображение

/ г : М 7 ^ М 7 ® Л

Л

является вложением. Отсюда следует, что каноническое отображение 1М является

вложением. Теорема доказана.

Сделаем два замечания.

Замечание 1. Лемма 3.2 и лемма 3.6 не верны для групп с инволюциями.

В самом деле, пусть г - элемент второго порядка, у е МА \ М и х = у— гуг, Л = у 1 гу , тогда ||х|| = 4 и

ЛхЛх = у— гуу— гугу — гуу — гуг = 1

Следовательно, хЛ = х 'и О 1 £ у А . Замечание 2. Определим класс групп у Л , более широкий, чем класс у Л . Будем

а*

е уЛ , если для

любой ее максимальной подгруппы М выполнено условие: М либо А-модуль, либо М удовлетворяет условиям (1) и (2) в

определении класса у 0Л .

Тогда основная теорема справедлива

*

и для групп класса у Л .

§ 4. Приложения к свободным конструкциям

Сформулируем понятие свободной А-группы. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей 1. X - произвольное множество.

Определение. А-группа ^а(Х) с множеством А-порождающих X называется свободной А-группой с базой X, если выполнено следующее условие: для каждой А-группы О - произвольное отображение (р0 : X ^ О продолжается до А-гомомор-

физма р : ЕЛ (X) ^ О. X называется множеством свободных А-порождающих РА(Х). Мощность |Х| называется рангом

группы РА(Х).

Теорема 4.1. Для любых X и А свободная А-группа Ра(Х) существует и единственна с точностью до А-изоморфизма.

Доказательство. Пусть Я(Х) -

свободная группа в обычном смысле. Тогда ее тензорное А-пополнение является свободной А-группой с базой X. Действительно, пусть р0 : X ^ О - произвольное отображение из X в А-группу О.

Тогда р0 продолжается до гомоморфизма р1 : Е (X) ^ О по свойству свободной группы. А последнее отображение продолжается до А-гомоморфизма р : (Е (X))Л ^ О .

Следовательно, р : (Е(X))Л - свободная А-группа с базой X.

Единственность следует из единственности тензорного пополнения.

Сформулируем следствие из основной теоремы 3.1 и теоремы 4.1.

Следствие 4.1. Пусть А кольцо, содержащее X в качестве подкольца. Тогда свободная группа Р(Х) точна относительно кольца Ъ. Другими словами, Р(Х) является подгруппой Ра(Х).

Доказательство. По теореме 4.1

ЕЛ (X) = (Е (X))Л . Так как Е (X) е РЬ и не

содержит инволюций, то по теореме 3.1 каноническое отображение

Я : Е(X) ^ (Е(X))Л является вложением.

Введем конструкцию свободного произведения в категории А-групп.

Определение. Пусть О',' е I А-

группы. А-группа * О■ называется сво-

Л'

бодным произведением в категории т Л , если А-гомоморфизмы р : О1 ^ * О■ такие,

Л

что для любых А-гомоморфизмов / : О■ ^ Н , где Н - произвольная А-группа, существует А-гомоморфизм / : * О■ ^ Н , делающий коммутативной

Л

следующую диаграмму:

о.

¥

(і є І)

¥

Н

и

* О■ А-порождается множеством

Л

[Р(Ег )1 Ег е О', ' е 1} . Из категорных соображений следует, что группа * О опреЛ '

делена однозначно с точностью до А-изоморфизма.

Теорема 4.2. Пусть А - кольцо, содержащее Ъ в качестве подкольца, О',' е I - некоторое множество А-групп. Тогда

(1) *ОЛ = (*О)Л;

(2) каноническое отображение Я: *О1 ^ *ОЛ является вложением.

Доказательство. (1) Пусть

р° : О ^ *О■ и Я : *О' ^ *ОЛ - каноническое отображение из определения тензорного пополнения. Обозначим Я°р° = р .

Тогда р : О Л ^ (*О')Л есть совокупность А-гомоморфизмов. Пусть / : О' ^ Н -произвольные А-гомоморфизмы. Для того чтобы доказать, что группа *О Л является свободным произведением в категории

до коммутативной. По определению свободного произведения * О. существует

А

частичный А-гомоморфизм р : * О. ^ Н .

А

В силу универсального свойства тензорного пополнения существует А-

гомоморфизм ¥, продолжающий р . Он и будет искомым. Свойство порождаемости (* О■)А образами р(О.) также выполне-

А

но, а потому (* О■)А является свободным

А

произведением в т А .

(2) Для доказательства того, что Я есть вложение, достаточно по замечанию

2 из § 3 доказать, что группа *О. є УА .

Последнее легко следует из теоремы Ку-роша о подгруппах свободного произведения.

Теорема 4.3. Класс у°А замкнут относительно свободных произведений.

Доказательство. Пусть О., і є I семейство групп из у А Пусть Я - канонические отображения О. в ОА . По условию они являются вложениями. Отсюда следует, что отображение Я : *О. ^ *ОА также является вложением. По пункту (2) теоре-

мы 4.2 отображение р : G f ^ также

А

является вложением. По пункту (1) этой теоремы = (%Gf )А .

А А

Отсюда и следует доказательство теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Lyndon R.C. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc. 96(1960), 518-533.

[2] Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Степенные

группы. I. Основы теории и тензорные пополнения // Сиб. матем. журнал. 35. (1994). № 5. С. 1106-1118.

[3] Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Exponential

groups. II. Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Internat. J. Algebra Comput. 6 (1996). № 6. 687-711.

[4] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating completions of hyperbolic groups. Dedicated to John Stallings on the occasion if his 65th birthday // Geom. Dedicata 92 (2002). 115143.

[5] Амаглобели М.Г. О перестановочности функто-

ра тензорного пополнения с основными групповыми операциями // ИИТПМ. 1993. № 7.

[6] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

[7] Магнус В., Каррас В., Солитер Д. Комбинатор-

ная теория групп. М.: Наука, 1974.

[8] Атья М., Макдональд И. Введение в коммута-

тивную алгебру. М.: Мир, 1972.