CC BY
23
УДК 512.54
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2
О ПОГРУЖЕНИИ
УНИВЕРСАЛЬНО СОГЛАСНОГО 2-РАСШИРЕНИЯ В УНИВЕРСАЛЬНО СОГЛАСНОЕ
А. В. Яковлев
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Расширение Галуа называется универсально согласным периода q если для любой задачи погружения этого расширения с абелевым ядром периода q выполняется условие согласности. Пусть К — такое универсально согласное периода 2П+1 расширение поля алгебраических чисел к, что 2 полностью раскладывается в К, и пусть (К/к, — некоторая задача погружения с абелевым ядром порядка 2. Доказывается, что (при некоторых теоретико-групповых ограничениях) существует универсально согласное периода 2П решение этой задачи погружения. Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: группа Галуа, задача погружения, условие согласности.
1. Введение. Понятие универсально согласного расширения Галуа было введено в [1]. Там же было показано, что при помощи универсально согласных расширений можно легко строить расширения Галуа числовых полей с предписанной группой Галуа нечетного порядка. Ключевым моментом, обеспечивающим возможность такого построения, является следующий результат, доказанный в [1]: если р — нечетное простое число, и универсально согласное р-расширение числовых полей не содержит первообразный корень степени р из 1, то это расширение может быть погружено в строго большее универсально согласное р-расширение. Целью настоящей работы является доказательство того, что при некоторых ограничениях аналогичный результат верен и для 2-расширений.
В этом параграфе мы напомним некоторые определения и факты, относящиеся к задаче погружения полей и содержащиеся в книге [2]. Пусть К/к — конечное расширение Галуа или алгебра Галуа с группой Галуа Г, и пусть у — эпиморфизм конечной группы О на группу Г. Мы обозначаем через (К/к, О, у) или, короче, через (К/к, у) следующую задачу, называемую задачей погружения: построить алгебру Галуа Ь/к с группой Галуа О, такую что К С Ь и что ограничение любого автоморфизма д € О = Са1(Ь/к) на К совпадает с автоморфизмом у(д) € Г алгебры Галуа К. Ядро эпиморфизма у называется ядром задачи погружения (К/к, у).
Одно необходимое, но не достаточное условие разрешимости задачи погружения — условие согласности — было найдено Д. К. Фаддеевым в работе [3]. Мы не формулируем его здесь; одна из формулировок этого условия для случая полей алгебраических чисел (который только и интересует нас в этой статье) будет приведена ниже.
Приведем три конструкции, позволяющие, исходя из задачи погружения и дополнительной информации, строить другие задачи погружения. Прежде чем сделать это, напомним, что расширение группы — это пара (О, в), состоящая из группы О и эпиморфизма в : О ^ Г. Если А = Кегв — абелева группа, то на А естественным образом определена структура Г-модуля, и расширение групп (О, в) вполне определяется классом когомологий х € Н2(Г, А).
Первая из этих конструкций — перенесение задачи погружения. Пусть (К/к) — расширение Галуа с группой Галуа Г, Го — подгруппа Г, уо : О о ^ Го — эпиморфизм
групп с конечным абелевым ядром Ao. Пусть x G H2(Fo, Ao) —класс когомологий, отвечающий расширению (Go, yo). Группа A = Z[F] ®po Ao является левым F-модулем, и хорошо известно (см., например, [4]), что существует канонический изоморфизм
tF0 : H2(Fo, Ao) ^ H2(F, Z[F] «p Ao) = H2(F,A).
Пусть
1 —> A —> G Л F 1
— расширение групп, отвечающее классу когомологий tp (x) G H2(F, A). Оно называется перенесением исходного расширения с подгруппы Fo на всю группу F, а задача погружения (K/k, y) называется перенесением задачи (K/KFo, yo) на расширение K/k. Ещё раз отметим, что ядром перенесения является группа Z[F] ®po Ao.
Предложение 1. Задача погружения (K/KFo, yo) и её перенесение (K/k, y) эквивалентны: первая задача разрешима тогда и только тогда, когда разрешима вторая задача, а условие согласности для первой задачи выполняется тогда и только тогда, когда оно выполняется для второй задачи.
Вторая конструкция — подъем задачи погружения. Пусть K/k — расширение Га-луа с группой Галуа F, H — нормальная подгруппа F, K = KH, F = F/H = Gal(K/k), n : F ^ F — канонический эпиморфизм на факторгруппу. Далее, пусть y — эпиморфизм конечной группы G на F, G = F х p (5 — прямое произведение с объединенной факторгруппой F (то есть подгруппа прямого произведения F х G, состоящая из таких пар (/, g), что п(/) = y(?)), y : G ^ F — эпиморфизм групп, сопоставляющий паре (/, g) G G её первую компоненту /.
Предложение 2. Задачи погружения (K/k, y?) и (K/k, y) эквивалентны: первая задача разрешима тогда и только тогда, когда разрешима вторая задача, а условие согласности для первой задачи выполняется тогда и только тогда, когда оно выполняется для второй задачи.
Наконец, определим произведение задач погружения. Пусть K/k — расширение Галуа с группой Галуа F, и пусть yj : Gj ^ F — эпиморфизмы конечных групп на группу F (i = 1, 2,..., n). Далее, пусть G = Gi х p .. .p х Gn — прямое произведения групп Gj с объединенной факторгруппой F (то есть подгруппа прямого произведения Gi х ... х Gn, состоящая из таких элементов (gi,..., gn), что yi(gi) = ... = yn(gn)), и y : G ^ F — эпиморфизм, сопоставляющий элементу (gi,...,gn) G G элемент yi (gi) = ... = yn(gn) G F. Расширение (G, y) называется произведением расширений (Gj, yj), а задача погружения (K/k, y) называется произведением задач (K/k, yj); её ядро — прямое произведение ядер перемножаемых задач.
Предложение 3. Задача погружения (K/k, y) разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы все задачи погружения (K/k, yj).
2. Достаточное условие цикличности групп ветвления. Пусть U — группа с двумя образующими u,v, связанными соотношениями u2 = v4 = 1, u-ivu = v3, а Ui —абелева группа с двумя образующими ui, vi, связанными соотношениями м2 = v4 = 1. Далее, пусть K/k — нециклическое расширение Галуа степени 4, а hi, h-2 — порождающие элементы его группы Галуа. Обозначим через S : U ^ Gal(K/k), Si, ¿2 : Ui ^ Gal(K/k) эпиморфизмы, задаваемые формулами
So(u) = Si(ui) = S2 (vi ) = hi, So(v) = Si (vi) = S2 (ui) = h-2.
Лемма 1. Если разрешимы все три задачи погружения (K/k, ¿о), (K/k, ¿i), (K/k, ¿2), то группы разложения всех простых дивизоров поля K, не делящих 2, являются циклическими группами.
Доказательство. Пусть L0, Li, L2 — какие-то решения этих трёх задач. Их композит L = L0L1L2 —расширение Галуа поля k, причем группа G' = Gal(L/K) является подгруппой Фраттини группы G = Gal(L/k) и представляет собой прямое произведение трёх циклических групп порядка 2.
Пусть теперь P — простой дивизор поля K, не делящий 2, p —делящийся на него простой дивизор поля k, Kp и kp — P-адическое пополнение поля K и p-адическое пополнение поля k. Если группа разложения дивизора P не циклическая, то Gal(Kp/kp) = Gal(K/k) —нециклическая группа порядка 4. Тензорное произведение L = Ligifc Kp является алгеброй Галуа с группой Галуа G над полем kp. Поскольку Kp —поле, а группа Галуа H расширения L/Kp является подгруппой Фраттини группы G = Gal(L/kp), алгебра L тоже является полем. Таким образом, мы построили расширение Галуа L локального поля Kp с нечетной характеристикой поля вычетов, группа Галуа которого является прямым произведением трёх циклических групп порядка 2. Но это невозможно, так как любое 2-расширение локального поля с нечетной характеристикой поля вычетов не имеет высшего ветвления, а группа Галуа любого расширения без высшего ветвления порождается не более чем двумя элементами. □
Предложение 4. Пусть K'/k —расширение числовых полей, группа Галуа F' которого — 2-группа, A — её нормальная подгруппа порядка 2, K = K'A — подполе K, принадлежащее A. Предположим, что выполняются следующие условия:
(1) группы разложения всех простых дивизоров поля K, не делящих 2, циклические;
(2) расширение K'/k погружается в такое расширение Галуа L2/k, что Gal(L2/K) —циклическая группа порядка 4, содержащаяся в центре группы Gal(L2/k);
(3) для любой циклической подгруппы C группы F = Gal(K/k) расширение K/KC погружается в строго большее циклическое 2-расширение;
(4) для любой подгруппы H группы F = Gal(K/k), такой что a-i(H) нециклическая группа порядка 4, расширение K'/KH погружается в расширение Галуа L с группой Галуа U, причем канонический эпиморфизм U = Gal(L/Ko) ^ Gal(K '/Ko) отображает элемент v в единственный неединичный элемент группы A.
Тогда группы разложения всех простых дивизоров поля K', не делящих 2, циклические.
Доказательство. Обозначим через а канонический эпиморфизм группы Gal(K '/k) на группу Gal(K/k). Предположим, что группа разложения D некоторого простого дивизора Pi поля K ', не делящего 2, не является циклической. Группа C = a(D) является группой разложения простого дивизора P поля K, делящегося на Pi; поэтому по предположению предложения группа C циклическая, и следовательно, нециклическая группа D раскладывается в прямое произведение группы, изоморфной C, и группы Gal(K '/k) порядка 2. Следовательно, в группе D есть нециклическая подгруппа V порядка 4, содержащая Gal(K '/K). Пусть Ko = K'V = Ka(V). Для расширения K'/Ko группа V будет группой разложения простого дивизора Pi поля K'. Но это невозможно, потому что расширение K /K0 удовлетворяет всем условиям леммы
1. Действительно, указанные в пунктах (2), (4) поля ¿2, Ь решают задачи погружения (К'/Ко, ¿2) и (К'/Ко, ¿), а по условию (3) расширение К/Ко погружается в циклическое расширение степени Ь1 степени 4, так что Ьх = Ь^К' — решение задачи (К'/Ко, ¿1). Полученное противоречие доказывает, что группы разложения всех простых дивизоров поля К', не делящих 2, циклические. □
3. Условие согласности для числовых полей. Пусть k — поле алгебраических чисел, K — его конечное расширение Галуа, F = Gal(K/k), у : G ^ F — эпиморфизм конечной группы G на F с абелевым ядром A. Для простого дивизора P поля K мы используем следующие обозначения:
Fp < F — группа разложения дивизора P; Gp =
: Gp ^ Fp — эпиморфизм, индуцированный гомоморфизмом у;
p —простой дивизор поля k, делящийся на P;
Kp и kp — P-адическое пополнение поля K и p-адическое пополнение поля k.
Расширение Kp/kp является расширением Галуа с группой Галуа Fp. Одна из форм условия согласности для задачи погружения (K/k, G, у) с абелевым ядром состоит в следующем: для каждого простого дивизора P поля K задача погружения (Kp/kp, Gp,yp) разрешима. Но для разрешимости этой задачи достаточно (но не необходимо), чтобы была разрешима задача погружения (K/KFp, Gp, yp). Таким образом, мы получаем следующее достаточное условие согласности для задачи (K/k, у):
Предложение 5. Если для каждого простого дивизора P поля K задача погружения (K/KFp, Gp, yp) разрешима, то для задачи погружения (K/k, G, у) выполнено условие согласности.
Следствие. Если группы разложения всех простых дивизоров поля K циклические, то для выполнения условия согласности для задачи (K/k, у) достаточно (но, вообще говоря, не необходимо), чтобы для любой циклической подгруппы C группы F циклическое расширение K/Kс погружалось в циклическое расширение степени m|C|, где m — период группы Кегу, а |C| — порядок циклической группы C.
Доказательство. Пусть выполнено условие следствия и пусть Fp = C — циклическая группа разложения простого дивизора P поля K. Выберем элемент f, порождающий циклическую группу C; пусть g — какой-то элемент из G, такой что у (g) = f, и пусть D — циклическая подгруппа G, порожденная g. Ограничение уд гомоморфизма у на D является эпиморфизмом D на C. Поскольку, очевидно, порядок D делит m|C|, задача погружения (K/KC, D, уд) разрешима по условию следствия. Но тогда разрешима и задача
(K/KC, у-^C), у^-1 (с)) = (K/KFp, Gp, yp).
Это верно для всех простых дивизоров поля K, поэтому по предложению 5 для задачи (К/к, у) выполнено условие согласности. □
4. Универсально согласные расширения. Расширение Галуа K/k называется универсально согласным периода N, если условие согласности выполняется для всех задач погружения (K/k, у) с абелевым ядром Кегу периода N.
Замечание 1. Наше определение немного отличается от определения из работы [1]. Там определение было дано для случая, когда поле К содержит первообразный корень £ степени N из 1. Заметим, что если расширение К/к универсально согласно в смысле определения, которое мы используем здесь, то совсем не обязательно, чтобы расширение К(£)/к было универсально согласным, так как далеко не всякая задача погружения для расширения К(£)/к происходит из задачи погружения для расширения К/к.
Предложение 6. Пусть К/к — универсально согласное расширение Галуа периода N, кх, К — подполя К, содержащие к, причем К/к — расширение Галуа. Тогда К/кх, К/к — универсально согласные расширения Галуа периода N.
Доказательство. Пусть (К/кх, у>1), (К/к, у) — задачи погружения с абелевыми ядрами периода N. Тогда перенесение первой и подъем второй задач до задач погружения для расширения К/к тоже являются задачами погружения на расширение К/к с абелевыми ядрами периода N; поскольку расширение К/к универсально согласно периода N, для обеих этих задач выполнено условие согласности. Тогда по предложению 1 условие согласности выполнено для задачи (К/кх,ух), а по предложению 2 —для задачи (К/к,ф). □
В дальнейшем мы будем интересоваться только универсально согласными расширениями числовых полей.
Лемма 2. Пусть к — поле алгебраических чисел, и пусть К/к — расширение Галуа, группа Галуа Р которого является 2-группой. Если расширение К/к универсально согласно периода 2т, т > 1, то группы разложения всех простых дивизоров поля К, не делящих 2, являются циклическими группами.
Доказательство. Пусть Н < Р — нециклическая группа разложения некоторого простого дивизора Р поля К, не делящего 2, и пусть Ф = Н2 [Н, Н] — подгруппа Фраттини группы Н. Тогда группа Галуа Н/Ф расширения КФ/Кн — нециклическая группа порядка 4, и она является группой разложения простого дивизора р поля Кф, делящегося на р. По предложению 6 расширение К/Кн универсально согласно периода 2т; тогда по тому же утверждению универсально согласно периода 2т и расширение КФ/Кн. Но оно не является даже универсально согласным периода 2. Действительно, пусть условие согласности выполняется для всех трех задач погружения расширения КФ/Кн с циклическим ядром порядка 2, указанных в формулировке леммы 1. Тогда эти задачи были бы разрешимы, как и любые задачи погружения с ядром простого порядка, и по лемме 1 группы разложения всех простых дивизоров поля Кф, не делящих 2, были бы циклическими. □
5. Погружение универсально согласного расширения в универсально согласное. Пусть Р — 2-группа, и пусть (Р', а) —расширение группы Р с ядром порядка 2. Пусть ..., —все циклические подгруппы группы Р, полные прообразы а-1р которых — тоже циклические группы. Далее, пусть X — группа всех гомоморфизмов из Р в двухэлементную группу {±1}, ядра которых содержат все подгруппы Мы будем говорить, что для расширения групп (Р, а) выполнено условие £„, если для любого гомоморфизма х € X существует расширение (Рх,7х) группы Р', такое что
(1) ядро 7Х содержится в центре группы Рх;
(2) элемент / € Р действует тривиально на (автоматически абелевом) ядре Сх расширения (Рх, «7х) группы Р тогда и только тогда, когда х(/) = 1;
(3) период группы Кег7х делит 2п;
(4) для гомоморфизма хо, отображающего всю группу Р в 1, группа Рхо —циклическая группа порядка 4.
Теорема 1. Пусть к —поле алгебраических чисел, а К/к — 2-расширение Галуа с группой Галуа Р, универсально согласное периода 2"+1. Далее, пусть а : Р ' ^ Р — эпиморфизм групп с ядром Б порядка 2. Если 2 полностью раскладывается в К, и если для расширения групп (Р, а) выполнено условие £п, то существует такое решение К' задачи погружения (К/к, а), что 'расширение К '/к универсально согласно периода 2п.
Доказательство. Мы построим некоторую задачу погружения, в любом решении которой содержится поле К', удовлетворяющее требованиям теоремы. Сначала построим несколько вспомогательных расширений группы Р '. Пусть Р[,...,РГ —все подгруппы группы Р, такие что для любого г полный прообраз а-1Р; —циклическая группа, а Й1,...,Н; —все подгруппы порядка 2 группы Р, не содержащиеся ни в одной из групп
(1) Для каждого г, 1 < г < г, пусть —эпиморфизм циклической группы порядка 2п+1р| на циклическую группу а-1 (Р;). Пусть Gi ^ Р' — перенесение расширения (Р;, е;) на всю группу Р '. Обозначим через А ядро произведения аа;.
(2) Пусть, как и в § 2, и — группа порядка 8 с образующими и, V, связанными соотношениями = V3, и2 = V4 = 1. Для каждого ], 1 < ] < 1, обозначим через 5j : и ^ а-1(Н) эпиморфизм, такой что 5j («) —единственный неединичный элемент
ядра Кега, а 5^-(и) € Кега. Пусть Uj р ' — перенесение расширения (и, 5j) на всю группу Р'. Обозначим через ядро произведения а^.
(3) Поскольку выполняется условие £п, для каждого характера х : Р ^ {±1}, ядро которого содержит все группы существует расширение (Рх,7х), удовлетворяющее описанным выше условиям; выше мы уже ввели для ядра гомоморфизма а7х обозначение Сх.
Пусть теперь (G, у') —произведение всех расширений (Uj, ^), (Рх,7х)
группы Р', и пусть у = ау'. Обозначим через М ',М ядра гомоморфизмов у', у. Теорема сразу вытекает из следующих утверждений.
Предложение 7. Задача погружения (К/к, G, у) разрешима.
Предложение 8. Если Ь —решение .задачи погружения (К/к, G, у), то Ьм /к — универсально согласное периода 2п решение задачи (К/к, а).
□
6. Доказательство предложения 8. Обозначим поле Ьм через К '; поле Ь является решением задачи погружения (К /к, у ), которая является произведением задач (К '/к, а;), (К'/к,в), (К'/к,7х). По предложению 3 тогда разрешимы все задачи-«сомножители». В частности, для любого разрешима задача (К'/к, и, в), которая является перенесением задачи (К '/Кн, V, 5j); по предложению 1 задача (К'/К н , V, 5j) тоже разрешима. Поскольку #!,...,#; — все подгруппы группы Р,
полные прообразы которых в Р ' — нециклические группы порядка 4, для расширения К '/к выполнено условие (4) предложения 4. Задача (К '/к, 7Х0) тоже разрешима, а это означает выполнение условия (2) предложения 4. Условия (1) и (3) этого предложения выполняются для расширения К /к, потому что К/к — универсально согласное расширение. Таким образом, расширение К /к удовлетворяет всем требованиям предложения 4, и по этому предложению группы разложения всех дивизоров поля К , не делящих 2, циклические. Группы разложения делителей 2 являются подгруппами циклической группы второго порядка Са1(К'/К) и потому тоже циклические.
Пусть С — циклическая подгруппа группы Р '. Если С Э Кега, то С = а-1(Р^) для некоторого г, 1 < i < г. Задача погружения расширения К '/К'с в циклическое расширение порядка 2П|С| разрешима, потому что разрешима являющаяся её перенесением на расширение (К '/к) задача (К'/к, а^). Если же С не содержит Кега, то группа а(С) изоморфна С. Для задачи погружения расширения К/Ка(с) в циклическое расширение степени 2п|а(С)| = 2П|С| выполнено условие согласности, потому что К/к — универсально согласное расширение периода 2"+1. В [5] доказано, что если 2 полностью раскладывается в погружаемом поле К, то согласность достаточна для разрешимости задачи с циклическим ядром. Поэтому существует такое поле Ь Э К, что Ь/Ка(с) —циклическое расширение степени 2П|С|. Но тогда ЬК '/К'с — тоже циклическое расширение степени 2П|С|. Итак, для любой циклической подгруппы С группы Р' расширение К'/К'с погружается в циклическое расширение степени 2П|С|. По следствию предложения 5 условие согласности выполняется для любой задачи погружения (К '/к, —) с абелевым ядром периода 2П, то есть расширение К '/к универсально согласно периода 2П.
7. Доказательство предложения 7. Присоединим к полю К первообразный корень £ степени 2"+1 из 1. Поскольку 2 полностью раскладывается в К, группа Га-луа Р расширения К(£)/к является прямым произведением группы Р = Са1(К/к) и группы 5 = Са1(к(£)/к). Последняя группа порождается двумя автоморфизмами отображающими £ соответственно в £-1 и £5. Обозначим через (5 прямое произведение 5 х 5, а через у — эпиморфизм
1 х у : (5 = 5 х 5 ^ 5 х Р = Р.
Хорошо известно (см. [2]), что задачи погружения (К/к, у) и (К(£)/к, у) равносильны, поэтому достаточно доказать разрешимость второй задачи. Ядро обеих задач М — абелева группа периода 2"+1; расширение К/к универсально согласно периода 2"+1, поэтому для первой, а значит, и для второй задач погружения выполнено условие согласности. Дополнительное условие, гарантирующее существование решения для согласной задачи, было найдено в [6]; нам достаточно будет воспользоваться лишь следствием этого условия, которое в нашей ситуации принимает такой вид.
Предложение 9. Пусть М — группа характеров ядра М задачи погружения (К(С)/к, у), рассматриваемая как модуль над группой Галуа Р расширения К(£)/к. Пусть П —множество всех простых дивизоров поля К(£); для любого дивизора Р € П обозначим через Рр С Р его группу разложения. Если условие согласности выполняется для задачи погружения (К(£)/к, у) и если пересечение ядер всех гомоморфизмов ограничения
гр : Н^Р,М) ^ Н^Рр,М) (Р € П)
является нулевой подгруппой группы когомологий Н 1(Р, М), то .задача погружения (К1/к, у1) разрешима.
Всякая циклическая подгруппа группы Галуа является группой разложения некоторого простого дивизора. При наших предположениях группой разложения любого дивизора поля К(£), делящего 2, является группа Б = Са1(к(£)/к). Поэтому для доказательства предложения 7 достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма 3 (основная лемма). Если х € Н 1(Р, М) — такой класс одномерных когомологий, что расщепляются его ограничения на Б и на все циклические подгруппы группы Р, то и сам класс х расщепляется.
Доказательство этой леммы будет дано в следующем параграфе. А этот параграф мы завершим описанием Р -модуля М. Сначала выясним, как устроен Р-модуль М. Расширение у) является прямым произведением расширений , а;), (и, в/), (Рх,7х) группы Р', то есть прямым произведением групп Gi, и?, Рх с объединенной факторгруппой Р '. Поэтому М = Кегау — прямое произведение модулей А; = Кегаа;, Bj = Кегав/, Сх = Кега7х с объединенным фактормодулем Кега = Са1(К 'к). Группа Б действует на М тривиально. Модуль А; содержит подмодуль Кега;, изоморфный ^/2"^)[Р/Р;], фактормодуль по которому является группой порядка 2, и содержит элемент порядка 2п+1, на который группа действует тривиально. Модуль Bj содержит подмодуль Кегв/, изоморфный (Z/2Z)[F/Hj], фактормодуль по которому является группой порядка 2, и содержит Н/-инвариантную циклическую подгруппу порядка 4, на которой единственный неединичный элемент ^ группы Н/ действует как возведение в третью степень. На модуле Сх ядро х действует тривиально, но при х = Хо вся группа Р действует на нем нетривиально; при этом Сх содержит подмодуль Кег7х индекса 2, состоящий из Р-инвариантных элементов.
Из этого описания модулей М, А;, В/ , Сх получается следующее описание их аддитивно записанных групп характеров М, А;, В/, Сх.
Лемма 4. Модули А;, В/ — циклические ^[Р] -модули с образующими 6/ и определяющими соотношениями
2п+1а; = 0, 2п(/ - 1)а; = 0, / Ч = для всех / € Р, / ' € , 46/ = 0, 2(/ - 1)6/ = 0, ^6/ = -6/ для всех / € Р.
Модуль Схо представляет собой циклическую группу порядка 4 с образующей схо, действие Р на которую тривиально. При х = хо элемент / € Р действует на Сх тривиально тогда и только тогда, когда х(/) = 1; при этом существует элемент сх € Сх, такой что группа Р действует тривиально на сх и на фактормодуле Сх = Сх/(сх). Модуль М как Р-модуль является прямой суммой всех модулей В/, Сх с объединенным подмодулем
Б = (2па;) = (26/) = (2схо) = (сх) (х = хо).
Группа Б действует на модуле М нетривиально: элемент в действует как умножение на —1, а элемент £ — как умножение на 5.
8. Доказательство основной леммы. Как мы знаем из леммы 4, модуль M — прямая сумма модулей Aj, Bj, CX с объединенным подмодулем. Пусть v — канонический эпиморфизм на M прямой суммы
r l
(J) A j Ф (J) B j © (J) •
i=i j=i xex
Модуль M содержит подмодуль
D = 2nv (Ai) = 2v (Bj) = 2vCX0 = v((cx)) (x = xo),
являющийся циклической группой порядка 2 с тривиальным действием операторов из F, а фактормодуль M/C раскладывается в прямую сумму модулей Aj = v(Aj), Bj = v(Bj), CX = v(CX). Обозначим через
£ : H 1(fF, D) ^ H 1(FF, M), p : H^F, M) ^ H^F, M/D)
гомоморфизмы групп когомологий, индуцированные вложением D ^ M и проекцией M ^ M/D.
Лемма 5. Пусть lg (д £ F) — 1-коцикл группы F со значениями в F-модуле M/D, ограничения которого на группу S и на все циклические подгруппы группы F расщепляются. Тогда и коцикл lg расщепляется.
Доказательство. Модуль M/D прямая сумма модулей Aj, Bj, Cx ; поэтому достаточно доказать утверждение для каждого из этих слагаемых. Оно очевидно для модулей CX. Действительно, если f £ F и расщепляется ограничение коцикла f на циклическую группу, порожденную f, то существует элемент z £ CX, такой что = (f — 1)z. Но группа F действует на CX тривиально, так что f = (f — 1)z = 0. Далее, ограничение lg на S расщепляется, так что существует элемент и £ CX, такой что (s — 1)и = ls, (t — 1)и = Остается заметить, что и (f — 1)и = 0 = f для всех f £ F. _ _
Докажем теперь утверждение для модулей Aj и Bj. Как F-модуль каждый из этих модулей изоморфен модулю вида R(F/H), где H — некоторая циклическая подгруппа F, а R — кольцо вычетов по модулю 2n в случае модуля Aj и по модулю 2 в случае модуля Bj. Пусть
r : H 1(F, R(F/H)) ^ H 1(H, R(F/H))
— гомоморфизм ограничения. Как H-модуль R выделяется прямым слагаемым в R(F/H); пусть в : H 1(H, R(F/H)) ^ H 1(H, R) —гомоморфизм групп когомологий, индуцированный проекцией R(F/H) на это прямое слагаемое. Пусть у £ H 1(F, R(F/H)) —класс ограничения коцикла lg на F. Поскольку H — циклическая группа, ry = 0; тогда вгу = 0. Но хорошо известно (см., например, [4]), что композиция вг является изоморфизмом; поэтому у = 0. Таким образом, ограничение коцикла lg на F расщепляется, то есть найдется элемент и £ R(F/H), такой что f = fu — и для всех f £ F. Заменим коцикл lg на гомологичный ему коцикл ig = lg — ди + и; тогда = 0 для всех f £ F. Поскольку s 'f = f s' для всех s' £ S, f £ F, мы находим, что
flS' = + flS' = fv = lS'f = + s'lf = •
Таким образом, все элементы /^ принадлежат группе (Д(Р/НР-инвариантных элементов модуля Д(Р/Н). Группа (Д(Р/Н—прямое слагаемое группы, а потому и Б-модуля Д(Р/Н). Ограничение /^ коцикла /^ на Б расщепляется в Д(Р/Н); поэтому /^ расщепляется уже в Б-прямом слагаемом (Д(Р/Нмодуля Д(Р/Н), то есть существует элемент V € (Д(Р/Н, такой что /^ = в'« — V для всех в' € Б. Следовательно, для любого элемента в'/ € БР = Р
/я' ^ = /^ + в'/и — и = + в '/^ + в '/и — и = в'V — V + в '/и — и = = в '/V — V + в'/и — и = в '/(и + V) — (и + V).
□
Лемма 6. Если / — элемент одной из групп Р^ то Р П (/ — 1)М = 0. Доказательство. Более того,
П (/ — 1) (0 А © 0 в © 0 сх] =0.
У=1 ¿=1 хех /
Действительно,
i
v-1(D) С0(2"аг)©0(2b,)© 0(c
X) ® (2cX0
i=1 j=1 X=X0
так что достаточно показать, что
2na, £ (f - 1)Ai, 2bj £ (f - 1)Bj, cx £ (f - 1)CX.
Но это так и есть. В самом деле, элемент 2па не принадлежит даже модулю IM, где I — идеал группового кольца Z[F], порожденного всеми элементами f ' — 1, f ' £ F. Далее, (f — 1)CX = 0, так как f принадлежит одной из групп Fj, а все эти группы содержатся в ядре х. Остается рассмотреть случай модуля Bj. При наших предположениях в модуле Bj, рассматриваемом как Fj-модуль и тем более как (f )-модуль, подмодуль, порожденный bj, выделяется прямым слагаемым, причем фактормодуль этого слагаемого по (2bj) — свободный Д[(f )]-модуль. Поэтому если и — ненулевой элемент из этого прямого слагаемого, который под действием f — 1 попадает в (2bj), то или и £ (2bj), или и = (1 + f + ... + fh-1)bj, где h — порядок элемента f. В обоих случаях (/ — 1)м = 0. □
Мы можем теперь завершить доказательство леммы 3. Последовательность H 1(F, D) — H 1(F, M) — H 1(F, M/D)
точна. По предположению леммы ограничения х на группу S и на все циклические подгруппы группы F расщепляются в M. Это же верно и для коцикла рх, и из леммы 5 следует, что рх = 0; поэтому х £ Im£, а это означает, что в классе когомологий х £ H 1(F, M) есть такой коцикл mg, что mg £ D для всех g £ F. Пусть f £ F; поскольку ограничение mg на циклическую группу, порожденную f, расщепляется, найдется такой элемент и £ M, что mf = (f — 1)и. Таким образом, mf £ DП (f — 1)M = 0,
и значит, mf =0 для всех f £ F. Далее, ограничение mg на S расщепляется, то есть существует элемент v £ M, такой что ms = (s — 1)v = —2v, mt = (t — 1)v = 4v. Но 2D = 0, поэтому 4v = —2(s — 1)v = —2ms = 0. Если 2v = 0, то 1s = 1t = 0 и тогда =0 для всех g £ SF = F. Если же 2v = 0, то 0 = 2v = — (s — 1)v = ms £ D, и 2v = 2cXo, поскольку 2cXo —единственный ненулевой элемент в D. В этом случае
ms = 2v = (s — 1)cXo, mt = 0 = (t — 1)cXo, mf = 0 = (t — 1)cXo для всех f £ F.
Основная лемма доказана. Вместе с ней доказаны предложение 7 и теорема.
Литература
1. Зяпков Н. П., Яковлев А. В. Универсально согласные расширения Галуа // Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 71. 1977. C. 133-152.
2. Ишханов В. В, Лурье Б. Б., Фаддеев Д. K. Задача погруюения в теории Галуа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 269 с.
3. Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Исследования по геометрии теории Галуа // Мат. сб. Т. 15(57). 1944, №2. C. 243-284.
4. Cartan H., Eilenberg S. Homological algebra. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original.
5. Яковлев А. В. О задаче погружения с циклическим ядром для числовых полей // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 400. 2012. C. 209-215.
6. Яковлев А. В. Задача погружения для числовых полей // Изв. АН СССР. Сер. мат. Т. 31. 1967, №2.
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2013 г.
С веден ия об авторах
Яковлев Анатолий Владимирович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]
ON THE EMBEDDING OF A UNIVERSALLY CONSISTENT 2-EXTENSION IN A UNIVERSALLY CONSISTENT EXTENSION
Anatoly V. Yakovlev
St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]
A Galois extension is called universally consistent of the period q, if for any problem of embedding of this extension with an abelian kernel of the period q the consistency condition holds. Let K be a universally consistent extension of the period 2n+1 of an algebraic number field k, such that 2 completely splits in K, and let (K/k, ip) be an embedding problem with the cyclic kernel of order 2. It is proved that (under some group-theoretical restrictions) there exists a solution of this embedding problem which is universally consistent of the period 2n. Refs 6.
Keywords: Galois group, Galois embedding problem, consistency condition.
