CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 2, С. 12-18
УДК 519.45
О КАТЕГОРИИ МИ-ГРУПП НАД КОЛЬЦОМ Я
М. Г. Амаглобели
К 60-летию Владимира Амурхаповича Койбаева
В работе [1| определена категория степенных К'Ш-групп для ассоциативного кольца К с единицей. Настоящая статья посвящена изучению частичных степенных М Н-групп. которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом К. Ключом к ее пониманию служит понятие тензорного пополнения, введенное в [1|. Как следствие, получено описание свободных МН-групп и свободных М11-произведений на языке групповых конструкций.
Ключевые слова: степенная Н-грушш. линдонова Н-грушш. холлова Н-грушш. М Н-грушш. частичная М Н-грушш. тензорное пополнение.
1. Основные определения
Пусть И — произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1. В работе А. Г. Мясни-кова и В. Н. Ремесленникова [1] была введена новая категория степенных И-групп М Н-группы) как естественное обобщение на некоммутативный случай понятия И-модуля.
Напомним основные определение, следуя статьям [1, 2].
Пусть ЬёГ = (-, -1 , е) — групповой язык (сигнатура), где • — бинарная операция умножения, -1 — унарная операция обращения элементов группы, е — константный символ для единицы группы.
Обогатим группой язык ЬёГ до азыка = ЬёГ и{/а(д) : а £ И} где /а(д) — унарная алгебраическая операция.
Определение 1. Множество О будем называть линдоновой К-группой, если на нем определены операции •, -1, е , {/а(д) : а £ И} и выполнены аксиомы:
1) аксиомы группы;
2) для всех д,Н £ О и всех элементов а, в £ И выполняются равенства
д1 = д, д° = 1, еа = е; (1)
да+в = да • дв , д^ = ^ ^ ; ^
(Н-1 дН)а = Н-1 да Н. (3)
При записи аксиом мы используем следующее соглашение: для краткости /а(д) будем записывать в виде да, д £ О, а £ И.
Обозначим через Ьд категорию всех линдоновых Я-групп. Так как аксиомы выше являются универсальными аксиомами языка то Гд является многообразием алгебраических систем языка и, следовательно, из общих теорем универсальной алгебры
© 2016 Амаглобели М. Г.
следует, что можно говорить о многообразии И-групп, об И-гомоморфизмах, 11-изомор-физмах, о свободных И-группах и так далее.
Определение 2. Пусть О, И е Ьд. Тогда гомоморфизм ^ : О ^ И называется К-гомоморфизмом, если (да= (д^)а для любых д е О, а е И.
Существуют абелевы линдоновы И-группы, не являющиеся И-модулями (см. [3], где подробно исследована структура свободной абелевой И-группы). В работе [1] А. Г. Мясников и В. Н. Ремесленников добавили к аксиомам Линдона дополнительную аксиому (квазитождество):
(МИ.) (Vд,Н е О) (а е Я) [д, Н] = е (дН)а = даНа. (4)
ОО
рация да для всех д е О и при этом выполнены аксиомы (1)-(4).
Обозначим через Мд класс всех степенных И-групп с аксиомами (1)-(4). Ясно, что этот класс является квазимногообразием в языке и в нем снова есть понятие свободной МИ-группы, МИ-гомоморфизма и так далее, и, кроме того, выполнено свойство: каждая абелева МИ-группа является И-модулем и наоборот.
Большинство естественных примеров степенных И-групп лежат в классе Мд:
1) любая группа является Ъ-груипой;
2) делимая абелева группа является Q-гpyппoй;
3) группа периода п является Ъ/пЪ-группой;
4) модуль над кольцом И является абелевой МИ-группой;
5) произвольная иро-р-групиа является Ър-групиой над кольцом целых р-адических чисел Ър;
6) произвольная нильпотентная степенная И-группа над биномиальным кольцом И (холлова Л-группа), введенная Ф. Холлом в [4], является МК-группой.
Нильпотентные группы. Пусть с > 1 — натуральное число. Обозначим через категорию нильпотентных И-групи ступени нильпотентности с из класса Ьд, т. е. всех И-групп, в которых для любых Ж1,..., хс+1 выполняется тождество [х\, ...,хсц] = 1, а через N к — категорию нильпотентных И-групп ступени с, в которых выполняется аксиома (МИ). Структура И-групп без аксиомы (МИ) очень сложна, поэтому в большинстве работ изучаются только И-группы со свойством (МИ). Далее, в статье мы будем рассматривать только И-группы с этой аксиомой.
1.2. Холловы нильпотентные И-группы [4]. Для того чтобы ввести это понятие, нам необходимо ограничить класс рассматриваемых колец.
Определение 4. Кольцо И называется биномиальным кольцом, если И — область целостности, содержащая Ъ в качестве подкольца, и с каждым элементом а е К включает все биномиальные коэффициенты С™ = а("~1),^(а~"-+1) ; ^ £ N.
Примерами биномиальных колец являются: любое поле нулевой характеристики, кольцо многочленов над таким полем и кольцо целых чисел.
Ос а е х е О
образом определен элемент ха е О и для всех элементов группы О и кольца И выполнены следующие аксиомы (х, у, х1,... ,хп е О, а, в е II):
*| ^ гу* 1 — гу* гу^а, | в — гу*оо в г^О-в — (ао \ в •
х I х — х 1 х — х х 1 х — (х ) 1
2) (у-1ху)а = у-1хау;
3) ж" • • • хО, = (х1 • • • хп)ат2(Х)Са • • • тс(Х)са, где X = {ж;1,..., хп}, тк(X) — к-е слово Петреску.
Напомним, что для любого натурального к рекурсивно определяется к-е слово Петреску формулой
жк • • • хП = Т1 (X)с1 Т2(Х)с2 • • • Тк-1 (X)сГ тк(X)сИ
в свободной группе Е с порождающими Х1,..., Хп• В частности^
Пп
... [Хг,Хз] шоё 7з(Е), 1>3, 1,3=1
где 73 (Е) — третий член нижнего центрального ряда группы Е. Обозначим категорию холловых И-групп через
Покажем, что структура групп из очень сильно отличается от структуры холловых И-групп из класса Для этого приведем структуру свободной И-группы в многообразии следуя работе [5]. Мы ограничимся рассмотрением двух биномиальных колец И = И = Обозначим через Оо свободную 2-ступенно нильпо-тентную И-группу с порождающими ж и у. Хорошо известно, что мальцевская база этой группы состоит из трех элементов ж, У [у,ж]. Общий вид элемента д £ Оо следующий: д = ж7у5[у,х]£, £ И. В частности, в этой группе коммутант О'00 является свободным И-модулем ранга 1 с порождающим [у, ж]. Если теп ерь О — свободная И-группа в многообразии то в работе [5] показано, что О1 является свободным И-модулем бесконечного ранга и найдена база этого модуля.
Систематическое изучение МИ-групи начато в работах [5]-[11]. Отметим, кстати, что результаты этих работ оказались весьма полезны при решении известных проблем Тар-ского. Настоящая статья посвящена изучению частичных степенных МИ-групп, которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом И. Ключом к ее пониманию служит понятие тензорного пополнения, введенное в [1]. Как следствие, получено описание свободных МИ-групп и свободных МК-ироизведений на языке групповых конструкций.
2. Тензорное пополнение
Здесь, следуя [1], вводится основная операция в классе степенных МИ-групп. Она естественно обобщает на некоммутативный случай понятие расширения кольца скаляров для модулей.
Определение 6. Пусть О — МП-группа, ^ : И ^ Б — гомоморфизм колец. Тогда МЭ-группа называется тензорным МБ-пополнением МК-группы О, если О"5 удовлетворяет следующему универсальному свойству:
1) существует И-гомоморфизм А : О ^ О^ такой, что А(О) МЭ-порождает О^, т. е. (\(О))я = Оя-,
2) для любой МЭ-группы И и любого 11-гомоморфизма р : О ^ И, согласованного с ^ (т. е. такого, что (да= (д^), существует Б-гомоморфизм ф : Ов ^ И, делающий коммутативной следующую диаграмму:
/
/*
И
(Аф = р).
В [1] доказано, что для любой MR-группы G и любого гомоморфизма ß : R ^ S
тензорное пополнение GS всегда существует и оно единственно с точностью до изоморфизма. Там же показано, что если G — абелева MR-группа, то GS = G ® S — тензорное
R
GS
Операция тензорного пополнения перестановочна с операциями прямого произведения и взятия прямого предела и, вообще говоря, не перестановочна с операциями декартова произведения и взятия обратного предела [7]. Перестановочность тензорного пополнения с прямыми пределами позволяет многие вопросы о пополнениях сводить к случаю конечно порожденной группы. Действительно, пусть {Gi (i £ I); nj} — прямой
спектр группы G, составленный из конечно порожденных групп Gi. Тогда G = lim Gi
—
и GS = lim Gf.
t^i i
Построение тензорного пополнения данной группы удобно вести по шагам, постепенно «доопределяя степени». Это приводит к понятию частичной MR-группы. Также к частичным MR-группам приводят некоторые групповые операции над MR-группами. G
G
в степень определено для некоторых пар (g, а), но не обязательно для всех пар; причем, если определена одна часть равенства в аксиомах (1)-(4), то определена и другая часть, и для них выполняются аксиомы (1)-(4) в определении MR-группы.
Класс частичных MR-групп будем обозначать через Pr. Например, если R — под-S
На протяжении всей статьи будем предполагать, что кольцо R в качестве подкольца содержит кольцо целых чисел Z. Пусть G — частичная MR-группа, т. е. G £ Pr.
G
кольца R, если гомоморфизм А : G ^ GR является вложением.
G
точной относительно любого кольца, содержащего Z.
Пусть R — кольцо, P0 — категория частичных MR-групп. По определению группа G из Pr принадлежит P0, если выполнены следующие условия:
1) для любой максимальной абелевой подгруппы M из G и любого x £ M пересечение M П Mx = e;
2) канонический гомоморфизм j : M ^ M ® R является вложением.
R
Сформулируем основную теорему.
Теорема 1 [9]. Пусть Z — подкольцо кольца R и группа G £ Pпричем в G и R+ (аддитивная группа кольца R) нет элементов порядка 2. Тогда группа G точна, т. е. гомоморфизм А : G ^ GR является вложением.
При доказательстве этой теоремы используется способ построения тензорного пополнения, основанный на конструкции свободного произведения групп с объединенной подгруппой и техника комбинаторной теории групп. Данная теорема дает достаточное условие для точности тензорного пополнения. Заметим, что условие 1) из определения класса P0 является также необходимым. В классе P0 содержатся свободные группы. Он замкнут относительно прямых пределов, свободных произведений и расширений специального вида. Важным следствием из этой теоремы является точность тензорного пополнения для кольца R, содержащего кольцо целых чисел Z. Для конкретных колец,
например, для тел нулевой характеристики и кольца многочленов И = Ъ[х\,..., хп] с целыми коэффициентами, эта теорема доказана в работах [11-13].
Замечание. Определим класс групп РД, более широкий, чем класс Р0. Будем говорить, что группа О £ РД, если для любой ее максимальной подгруппы М выполнено условие: М либо И-модуль, либо М удовлетворяет условиям 1) и 2) в определении класса Р°. Тогда основная теорема справедлива и для групп класса РД.
Сформулируем понятие свободной МИ-группы. Пусть И — ассоциативное кольцо с единицей 1, X — произвольное множество.
Определение 10. МИ-группа Гд(X) с множеством И-порождающих X называется свободной МИ-группой с базой X, если выполнено следующее условие: для каждой МП-группы О произвольное отображение ро : X ^ О продолжается до И-гомоморфизма р : Гя(X) ^ О. Множество X называется множеством свободных ЫК-порождающих Гя^). Мощноеть IX| называется рангом группы Гя^).
Теорема 2. Для любых X и Л свободная МЛ-группа существует и единственна с точностью до К-изоморфизма.
< Пусть Г(X) — свободная группа в классе всех групп. Тогда ее тензорное МИ-пополнение является свободной МИ-группой с базой X. Действительно, пусть ро : X ^ О — произвольное отображение из X в МИ-группу О:
Тогда ро продолжается до гомоморфизма р\ : Г(X) ^ О по свойству свободной группы, а последнее отображение продолжается до 11-гомоморфизма р : (Г(X))к ^ О. Следовательно, (Г(X))я-свободная МП-группа с базой X.
Единственность следует из единственности тензорного пополнения. > Сформулируем следствие из основной теоремы 1 и теоремы 2.
Следствие. Пусть Л — кольцо, содержащее Ж в качестве подкольца. Тогда свободная группа Г(X) точна относительно кольца Ж. Другими словами, Г(X) является подгруппой Гя^).
< По теореме 2 Гп (X) = (Г(X))Е. Так как Г(X) £ Р° и не содержит инволюций, то но теореме 1 гомоморфизм А 1 Р^) ^ (Г(X))* являет^ вложением. > Введем конструкцию свободного произведения в категории МИ-групп.
Определение 11. Пусть Ог, I £ I, — МЕ-группы. МИ-группа *Ог называется свобод-
я
ным произведением в категории если 11-гомоморф измы рг : О г ^ * О г таковы, что
я
для любых И-гомоморфизмов фг : Ог ^ Н, где Н — произвольная МИ-группа, существует И-гомоморфизм ф : *Ог ^ Н, делающий коммутативными следующие диаграммы:
3. Свободные произведения МЫ-групп
X-^(Х)-(^(Х))Е
О
я
Ог —^ *Ог
я
/' (Фг = Ч>гФ, г £ I)
а 3 ф
а
Н
и *С» МИ-порождается множеством {(»(д»), д» £ С», % £ I}. к
Из категорных соображений следует, что группа *С» определена однозначно с точ-
н
ностью до И-гомоморфизма.
Теорема 3. Пусть R — кольцо, содержащее кольцо целых чисел ^ в качестве иод-кольца, С», % £ I, — некоторое множество КШ-групп. Тогда
1) *С» ^ (*С»)я;
к
2) гомоморфизм А : *С» — (*С»является вложением.
< Пусть р0 : С» — *С» — канонические вложения. Так как класс Рц замкнут относительно свободных произведений [9], то к нему можно применить конструкцию тензорного пополнения. Пусть А : *С» — (*С»— гомоморфизм из определения тензорного пополнения. Обозначим через р» = А о р0, % £ I. Тогда р» : С» — (*С»есть совокупность И-гомоморфизмов. Пусть ф» : С» — Н, % £ I) — произвольные И-гомоморфизмы. Для того чтобы доказать, что группа (*С»является свободным произведением в категории (т. е. доказать, что *С» = (*С»)Е), мы должны замкнуть диаграмму
Gi
*Gi —
I
13 у
H
(*Gi)
R
3 ф
0
у
Л
до коммутативной.
По определению свободного произведения * С» существует частичный 11-гомомор-
н
физм р : *С» — Н. В силу универсального свойства тензорного пополнения существует н
И-гомоморфизм ф, продолжающий р. Он и будет искомым. Свойство порождаемое™ (*С»)н образами (»(С») также выполнено, а потому (*С)н является свободным произведением в т. е. *С» = (*С»)н. н
А
*С» £ Рц (см. замечание). Последнее легко следует из теоремы Куроша о подгруппах свободного произведения. >
Теорема 4. Класс Рц замкнут относительно свободных произведений.
< Пусть С^ % £ I, — семейство групп из Рц и А» : С» —у Сн — гомоморфизмы
из определения тензорного пополнения. По условию они являются вложениями. Отсюда
следует, что гомоморфизм А : С» — *Сн также является вложением. По пункту 2)
теоремы 3 гомоморфизм р : Сн — *Сн есть вложение, а по пункту 1) этой теоремы
н
*Сн = (*Сн)н. Отсюда и следует утверждение теоремы. >
Литература
1. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Степенные группы. I. Основы теории и тензорные пополнения // Сиб. мат. журн.—1994.—Т. 35, № 5.—С. 1106-1118.
2. Lyndon R. С. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc.—1960.—Vol. 96.—P. 518533.
3. Baurnslag G. Free abelian X-groups // Illinois J. Math.-1986.-Vol. 30, № 2.-P. 235-245.
4. Hall Ph. The Edmonton Notes on Nilpotent Groups. Queen Mary College Math. Notes. Mathematics Department.—London: Queen Mary College, 1969.—iii+76 p.
5. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups. II. Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Internat. J. Algebra Comput.—1996.—Vol. 6, № 6.—P. 687-711.
6. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating completions of hyperbolic groups. Dedicated to John Stallings on the occasion of his 65th birthday // Geom. Dedicata.—2002,—Vol. 92,— P. 115-143.
7. Amaglobeli M. G. On the permutability of a functor of tensor completion with principal group operations // Appl. Math. Inform. Mech.-2010.-Vol. 15, № l.-P. 3-10.
8. Amaglobeli M., Bokelavadze T. Abelian and nilpotent varieties of power groups // Georgian Math. J.-2011.-Vol. 18, № 3.-P. 425-439.
9. Amaglobeli M. Power groups // J. Math. Sci.-2012.-Vol. 186, № 6.-P. 811-865.
10. Амаглобели M. Г., Ремесленников В. H. Свободные 2-ступенно нильпотентные R-группы // Докл. АН.—2012.—Т. 443, № 4.-С. 410-413.
11. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Расширения централизаторов в нильпотентных группах // Сиб. мат. журн.—2013.—Т. 54, № 1.-С. 8-20.
12. Baumslag G. On free D-groups // Comm. Pure Appl. Math.—1965.—Vol. 18.—P. 25-30.
13. Полин С. В. Свободные разложения в многообразиях А-групп // Мат. сб.—1972.—Т. 87, № 129.— С. 377-395.
Статья поступила 29 октября 2015 г.
Амаглобели Михаил Георгиевич Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили профессор кафедры алгебры и геометрии ГРУЗИЯ, 0186, Тбилиси, ул. Университетская, 2 E-mail: mikheil. amaglobeliOtsu. ge
CATEGORY OF MR-GROUPS OVER A RING R Amaglobeli M.
The category of exponential MR-groups for an associative ring R with unity is defined in [lj. The present paper is devoted to the study of partial exponential MR-groups which are isomorphically embedded in their tensor completion over the ring R. The key to its understanding is the notion of tensor completion introduced in [lj. As a consequence, the description of free MR-groups in the language of group constructions is obtained.
Key words: exponential R-group, Lyndon R-group, Hall R-group, MR-group, partial MR-group, tensor completion.
