CC BY
34
УДК 519. 2: 528.1
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СОСТАВЛЕННЫХ РЯДОВ РАЗНОСТЕЙ ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Владимир Евгеньевич Мизин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, старший преподаватель кафедры геоматики и инфраструктуры недвижимости, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
Невязки, поправки, разности повторных измерений и разности уравненных высот в нивелирной сети рассматриваются как объекты статистического анализа.
Ключевые слова: анализ, разность, критерий, статистика, поправка, сеть.
THE STATISTICAL ANALYSIS COMPOSITES ROWS OF THE DIFFERENCES REPEATED MEASUREMENTS
Vladimir E. Mizin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo, senior lecturer, Department of Geomatics and Property Infrastructure, tel. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
The statistical analysis of the differences repeated measurements is executed for the composites of traverse sides in process of linear objects monitoring.
Key words: analysis, difference, criterion, statistics, amendment, network.
Любые статистические исследования предполагают наличие большого объема исходной информации. В статистических исследованиях, выполняемых для целей мониторинга линейных объектов, в качестве информации могут быть использованы разности повторных наблюдений углов или сторон полигономет-рического хода [1] - [4]. Число элементов такой статистической совокупности невелико. Увеличить ее объем можно путем объединения результатов наблюдений смежных ходов одинаковой заданной точности.
Выясним, всегда ли использование составленной совокупности приводит к повышению эффективности статистического анализа.
Выполнено четыре цикла наблюдений полигонометрического хода с числом сторон n = 17 и точностью линейных измерений, характеризуемой средней квадратической ошибкой mS = 3,6 мм. Пункты хода третьего и четвертого циклов получили смещения, которые привели к появлению систематических ошибок в результатах линейных измерений, 5 < 2 mS.
В первом варианте количество смещенных сторон n(5) = 13:
третий ряд измерений 8(l) =— 6 мм (i = 5, 6, ..., 16) , 8(17) = 6 мм; четвертый ряд измерений 84 ^ =— 7 мм (j = 5, 6, 16), 8(17) = 7 мм.
Во втором варианте п(5) = 16:
третий ряд измерений 8(l) =— 6 мм (i = 2, 3, ..., 16) , 8(17) = 6 мм;
четвертый ряд измерений 84 ^ =— 7 мм (j = 2, 3, ..., 16), 8(17) = 7 мм.
Добавим к разностям сторон первого (реального) хода случайные разности сторон двух моделей полигонометрического хода той же точности угловых и линейных измерений и выполним статистический анализ одиночных и составленных рядов разностей двойных измерений сторон:
d(i - j) = Ai - Aj. (1)
Статистический анализ закона распределения с использованием критерия
согласия Пирсона %2, оценки значимости асимметрии и эксцесса кривой распределения, проверки свойств случайных ошибок [3] подтверждает, что составленные разности, вычисленные по случайным ошибкам измерений, распределены нормально.
Наличие систематических ошибок искажает свойства случайных ошибок измерений, обусловленных нормальным законом их распределения:
1) случайные ошибки A по абсолютной величине с заданной вероятностью р не превосходят определенного предела:
р (\Л\ < ст ) = 0,683; р (\Л\ < 2 ст ) = 0,954; р (\Л\ < 3 ст ) = 0,997; (2)
2) положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, равновозможны:
р (Л > 0) = р (Л < 0) = 0,5; (3)
3) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие:
р ( ст < Л\ < 2 ст j = 0,271; р (2 ст < \Л\ < 3 ст ) = 0,043; (4)
4) среднее арифметическое случайных ошибок при возрастании числа наблюдений по вероятности стремится к нулю:
Вер. lim [Л]/п = 0 при n^<x>. (5)
Первые три свойства проверяем критерием равенства вероятностей [5] -[7] по формуле:
Р(\ к - np \ < ta) = ß, (6)
где к - число ошибок в заданном интервале, п - число всех ошибок, подлежащих исследованию, р - теоретическая вероятность попадания ошибки в заданный интервал, ст=д/npq , q = 1 -p; ß = Ф(t) - доверительная вероятность.
Если неравенство (6) выполняется, можно считать, что данное свойство имеет место, гипотеза не противоречит результатам измерений.
Если |к - пр| > *а, гипотеза о наличии данного свойства отвергается.
Четвертое свойство проверяем критерием равенства средних [6] - [8]. Статистика критерия
Д-Дг
* э =_
а/л/п
(7)
где Д=[Д]/п - среднее арифметическое случайных ошибок,
До = Мд=0 - теоретическое среднее, равное математическому ожиданию случайной ошибки измерения.
Если вероятность достигаемого уровня значимости Р^ > ^ мала, гипотеза о равенстве среднего нулю отвергается [9] - [13].
Некоторые результаты статистического анализа закона распределения приведены в табл. 1.
Таблица 1
Проверка свойств случайных ошибок измерений
Формулы ¿(1-3) ¿(1-4) ¿(2-3) ¿(2- 4) ¿(1-3) ¿(1-4) ¿(2-3) ¿(2-4)
п = 17 и(5) = 13 и(5) = 16
3 4,41 3,76 5,24 4,59 5,47 5,00 6,29 5,82
а 8,06 6,75 7,44 7,71 7,88 6,30 7,06 7,12
1э 2,26 2,30 2,90 2,45 2,86 3,27 3,68 3,37
Р(1 > о 0,038 0,035 0,010 0,026 0,010 0,005 0,002 0,004
Др. свойства + + + + + - + +
п = 34 и(5) = 13 и(5) = 16
3 2,97 2,15 3,24 2,50 3,50 2,76 3,76 3,12
а 6,90 5,91 6,56 6,28 6,93 5,89 6,55 6,19
1э 2,51 2,12 2,87 2,32 2,94 2,74 3,35 2,94
Р(1 > 1э) 0,017 0,042 0,007 0,027 0,006 0,0098 0,0020 0,006
Др. св-ва + + + + + + + +
п = 51 и(5) = 13 и(5) = 16
3 2,20 1,18 2,51 1,53 2,55 1,59 2,86 - 1,94
а 6,48 6,21 6,43 6,30 6,55 6,26 6,47 6,31
1э 2,42 1,35 2,79 1,73 2,78 1,81 3,16 2,20
Р(1 > 1э) 0,019 0,182 0,008 0,089 0,008 0,076 0,003 0,033
Др. св-ва + + + + + + + +
Здесь ё и а - оценки параметров нормального закона распределения, математического ожидания (среднее арифметическое разностей двойных измерений сторон) и среднего квадратического отклонения, соответственно.
В одиночном ходе (п = 17) вероятности критерия равенства средних Р(1 > 1э) не велики, менее 5% - го уровня значимости, не всегда выполняется второе свойство случайных ошибок измерений, что позволяет сделать вывод о наличии в разностях систематических влияний.
В составленных совокупностях из двух ходов (п = 31) практически сохраняются те же результаты. В совокупностях из трех ходов ( п = 51) имеет место некоторое повышение достигаемого уровня значимости критерия равенства средних, в меньшей степени систематические ошибки сказываются на свойствах случайных ошибок измерений. Тем не менее, по результатам анализа ряда d(2 - 3) можно утверждать, что систематические ошибки есть.
Таким образом, присоединение к смещенному ходу ряда случайных разностей еще одного - двух ходов хотя и не изменило основные результаты анализа, но увеличение случайной составляющей в общей совокупности исходных данных привело к снижению эффективности поиска систематических смещений.
Эта же тенденция проявляется при сравнении результатов статистического анализа по двум вариантам распространения систематических ошибок смещения в ходе (табл. 1).
Статистический анализ закона распределения разностей двойных измерений сторон только одного полигонометрического хода (п = 17) обнаружил смещения по результатам проверки свойств случайных ошибок. При этом в алгоритме программы использованы:
- критерии согласия, учитывающие количество результатов наблюдений исследуемой совокупности;
- оценки параметров, вычисленные по не группированным данным, что повысило точность их определения.
- допуски с коэффициентом t = 2 - аргумента интеграла вероятности в = Ф(1) = 0.95.
Результаты корреляционного анализа пар разностей сторон приведены в табл. 2.
Таблица 2
Корреляционный анализ d(1 - 4), d(2 - 3)
Формулы п(8)=13, п = 17 п(8)=13, п = 34 п(8)=16, п = 17 п(8)=16, п = 34
г 0,719 0,492 0,684 0,489
Г2 - Г1 (1 = 2) 0,594 0,538 0,586 0,541
Корреляция + - + -
Случайные величины не коррелированны [1]. Присоединение к смещенному ряду разностей ряда случайных значений привело к усилению случайной составляющей составленной совокупности и нарушению корреляционной связи рассматриваемых пар разностей двойных измерений.
Таким образом, очевидно, что использование в целях увеличения объема исследуемой совокупности составленных рядов, не исключает необходимости анализа разностей двойных измерений по каждому отдельному ходу. Анализ одиночных ходов позволяет локализовать очаги смещения и не «потерять» их среди случайных разностей добавленных ходов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мизин, В.И. Корреляционный анализ разностей повторных наблюдений геодезической основы при мониторинге линейных объектов [Текст] / В.Е. Мизин // Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2011. - №3 - С. 26 - 28.
2. Мизин, В.Е. Проектирование полигонометрического хода методом моделирования // ГЕ0-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 123-126.
3. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 1 (17). - С. 41-46.
4. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Разности повторных измерений как объекты статистического анализа // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 1 (21). - С. 27-30.
5. Смирнов, Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в приложении к геодезии [Текст] / Н.В. Смирнов, Д.А. Белугин. - М.: Недра, 1969, - 382 с.
6. Лесных Н. Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография. -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.
7. Лесных Н. Б. Объекты статистического анализа в геодезии: монография. - Новосибирск: СГГА. - 2010. - 128 с.
8. Митропольский, А.К. Техника статистических вычислений [Текст] / А.К. Митро-польский. - М.: Наука, 1971. - 576 с.
9. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ Н.Ш. Кре-мер. - М.: Юнити, 2007. - 550 с.
10. Лесных Н. Б. Две ошибки проверки гипотезы об отсутствии систематических влияний // ГЕ0-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 85-90.
11. Лесных, Н.Б. Некоторые аспекты алгоритма статистического анализа геодезических данных // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. - С. 16-19.
12. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Дисперсионный анализ разностей повторных измерений // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. : сб. материалов (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 4. -С.174-178.
13. Лесных Н. Б., Лесных Г. И., Мизин В. Е. Объекты статистического анализа в нивелирной сети // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. : сб. материалов (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 116-120.
© В. Е. Мизин, 2015
