CC BY
36
УДК 519.2:528.1
ОБЪЕКТЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В НИВЕЛИРНОЙ СЕТИ
Наталья Борисовна Лесных
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник СГГА, тел.(383)343-29-21
Галина Ивановна Лесных
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
Владимир Евгеньевич Мизин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, старший преподаватель кафедры геодезии СГГА, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
Невязки, поправки, разности повторных измерений и разности уравненных высот в нивелирной сети рассматриваются как объекты статистического анализа.
Ключевые слова: анализ, разность, критерий, статистика, поправка, сеть.
THE OBJECTS OF STATISTICAL ANALYSIS ARE IN LEVELING NETWORK
Natalya B. Lesnykh
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Prof., leading Researcher SSGA, tel. (383)343-29-21
Galina I. Lesnykh
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate Prof., department of applied geodesy and information systems SSGA, tel. (383)343-29-55, e-mail: [email protected]
Vladimir E. Mizin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo, senior lecturer, department of geodesy SSGA, tel. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]
The divergences, amendments, differences of repetitive measurements and differences equalizing heights of leveling network are presented as objects of statistical analysis.
Key words: analysis, difference, criterion, statistics, amendment, network.
Установить закон распределения ошибок геодезических измерений позволяет статистический анализ простых линейных функций результатов измерений. Отдельные, независимые исследования закона распределения невязок, поправок, разностей превышений и отметок ранее выполнялись [1-10]. Повторим подобные исследования для варианта общей принадлежности этих объектов модели обширной нивелирной сети с числом измерений n = 60 и числом избыточных измерений r = 28. Оценим и сравним возможности различных объек-
тов анализа в отношении правильного определения закона распределения и статистических свойств ошибок измерений.
Вероятностно - статистический анализ распределения выполнен в соответствии с алгоритмом, изложенном в работе [2]. Оценки параметров: М х - математического ожидания (среднее арифметическое), а - среднего квадратического отклонения и оценки числовых характеристик: Б - асимметрии кривой
распределения и Е - эксцесса вычислены без группирования данных. Проверяются свойства случайных ошибок для нормального закона распределения по вероятностям их попадания в заданные интервалы:
где к - число ошибок в заданном интервале, п - число измерений, р - теоре-
q = 1 - p; в = Ф(;) - доверительная вероятность. Если неравенство (1) выполняется, можно считать, что данное свойство имеет место.
Четвертое свойство: «среднее арифметическое случайных ошибок при возрастании числа наблюдений по вероятности стремится к нулю» проверяется критерием равенства средних. Статистика критерия
ретическое среднее, равное математическому ожиданию случайной ошибки измерения.
Для проверки соответствия эмпирического и нормального законов распре-
ным, определяются эмпирические и и теоретические и частоты, вычисляется статистика критерия:
1) р (|А| < а ) = 0,683; р (|А| < 2 а ) = 0,954; р (|А| < 3 а ) = 0,997.
2) р (А > 0) = р (А < 0) = 0,5 .
3) р ( а < |А| < 2 а ) = 0,271; р (2 а < |А| < 3 а ) = 0,043.
Для проверки согласия используется критерий равенства вероятностей:
Р(| к - ^ | < Ш) = в,
(1)
тическая вероятность попадания ошибки в заданный интервал,
(2)
где Л = [д]/п - среднее арифметическое случайных ошибок, Ад = Мд = 0 - тео-
2
деления используется также критерий Пирсона х . По группированным дан-
(3)
2 2
Если вероятность достигнутого уровня значимости Р(1 > 1 э) или Р(х > х2) мала, гипотезу о нормальном распределении следует отклонить.
Исследование по каждому объекту включает три варианта:
1. Случайные, нормально распределенные ошибки измерений с математическим ожиданием МХ = 0 и средним квадратическим отклонением о = 1,0 см.
2.Систематическая ошибка 5 = 2,0 см внесена в половину измерений.
3. Грубые ошибки внесены в три измерения: §28 =$34 = §42 = 6 см. Результаты статистического анализа невязок представлены в табл. 1.
Таблица 1
Статистический анализ невязок
Характеристики и критерии Ошибки измерений Допуски 3 Сд ; 3 ; 3о
Случайные Систематич. Грубые
Мх; а - 0,20; 1,69 0,58; 2,69 - 0,42; 3,43 -
Б ; Е - 0,61; - 0,18 1,33; 3,80 - 0,67; 1,79 1,27; 2,30
1) к - пр| 0,12; 0,29; 0,08 3,88; 0,29; 0,92 3,88; 1,71; 0,92 7,4; 3,3; 0,87
2) Я - Р 1,00 4,00 1,00 7,95
3) Я - р 0,41; 0,20 3,59; 1,20 5,59; 0,80 7,05; 3,21
4) Ь 0,64 1,14 0,64 -
V э 0,52 0,26 0,52 а = 0,02
X? (г = 1) 0,41 5,03 4,42 -
Р(х2 V X?) 0,52 0,025 0,036 а = 0,02
1. Результаты статистического анализа подтверждают случайный характер невязок, вычисленных по случайным ошибкам измерений.
2. При наличии систематических ошибок оценка эксцесса превысила установленный допуск: Е > 3 (3,80 > 2,30), не выполняется первое свойство слу-
чайных ошибок: |к- пр| > 3о (0,92 > 0,87). Одна ошибка превысила 3 а .
3. При наличии грубых ошибок также не выполняется первое свойство случайных ошибок: |к- пр| > 3о (0,92 > 0,87) и одна ошибка превышает 3 а .
Результаты статистического анализа разностей повторных, отстоящих по времени измерений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Статистический анализ разностей повторных измерений
Характеристики
Ошибки измерений
Допуски
и критерии Случайные Систематич. Грубые 3 Стд ; 3 ОЕ ; 3о
мх; ст - 0,147; 1,26 - 1,143; 1,58 - 0,442; 1,91 -
5; Е 0,54; - 0,21 0,145; - 0,49 - 1,37; 3,35 0,91; 1,73
1) к - пр| 0,02; 1,24; 0,18 7,98; 2,24; 0,18 9,02; 0,24; 2,82 10,8; 4,9; 1,3
2) я 1 р 7 17 7 11,6
3) я 1 р 1,26; 1,42 5,74; 2,42 9,26; 2,58 10,3; 4,7
4) Ь 0,88 5,60 1,79 -
Р(1 > 1 э ) 0,38 5,9-10-7 0,079 а = 0,02
X2 (г = 3) 2,70 2,20 26,59 -
Р(х2 > X2) 0,44 0,53 7,2 -10-6 а = 0,02
1. Разности, вычисленные по случайным ошибкам измерений, распределены нормально.
2. При наличии систематических ошибок не выполняется второе и четвертое свойства случайных ошибок измерений: 17 > 11,6, вероятность
Р(1 > 1 э) = 5,9 -10-7 - мала.
3. При наличии грубых ошибок не допустимо значение оценки эксцесса:
3,35 > 1,73, мала вероятность Р(х2 > х2) =7,2-10 6 критерия Пирсона %2. Результаты статистического анализа поправок представлены в табл. 3.
Таблица 3
Статистический анализ поправок
Характеристики и критерии Ошибки измерений Допуски 3 стд; 3 ОЕ ; 3о
Случайные Систематич. Грубые
Мх; ст - 0,018; 0,57 - 0,69; 0,93 - 0,155; 1,22 -
5; Е 0,072; - 0,44 - 0,35; - 0,22 - 0,67; 0,85 0,91; 1,73
1) Я 1 Р 4,98; 0,76; 0,18 7,98; 3,24; 0,82 3,02; 1,24; 0,82 10,8; 4,9; 1,26
2) Я 1 р 2,0 15 0 11,6
3) я 1 р 5,74; 0,58 4,74; 2,42 4,26; 0,42 10,3; 4,7
4) Ь 0,251 5,77 0,98 -
Р(1> 1э) 0,803 3,1 -10-7 0,33 а = 0,02
X2 (г = 3) 8,40 2,61 6,18 -
Р(х2 > X2) 0,038 0,456 0,103 а = 0,02
1. При случайном характере ошибок поправки распределены нормально.
2. При наличии систематических ошибок не выполняется второе и четвер-
тое свойства случайных ошибок измерений: 15 > 11,6, мала вероятность дости-
_п
гаемого уровня значимости критерия равенства средних: Р(1 > 1 э) = 3,1 -10 .
3. При наличии грубых ошибок поправки распределены нормально. В значениях поправок МНК грубые ошибки измерений компенсировались. Установлена корреляционная связь ошибок и поправок: оценка коэффициента корреляции г = - 0,68, длина доверительного интервала Г2 - г = 0,43, (в = 0,997), |г| > |г2 - Г[|. Корреляция ошибок и поправок не привела к совпадению их статистических свойств.
Т.о., невязки и разности повторных измерений могут быть использованы как объекты статистического анализа, характеризующие закон распределения ошибок измерений.
Поправки менее эффективны. Подтверждается вывод о том, что если поправки обладают случайными свойствами, в измерениях могут иметь место единичные, грубые ошибки, а обнаруженные при анализе поправок систематические влияния свидетельствуют о их наличии в результатах измерений [2].
Результаты статистического анализа разностей уравненных высот представлены в табл. 4.
Таблица 4
Статистический анализ разностей уравненных отметок
Характеристики и критерии Ошибки измерений Допуски 3 0"5; 3 ; 3о
Случайные Систематич. Грубые
Мх; а 0,65; 0,73 - 0,50; 1,43 0,47; 1,38 -
5 ; Е 0,31; - 0,55 0,48; - 0,61 - 0,36; - 0,96 1,20; 2,20
1) Я 1 Р 3,9; 2,5; 0,9 2,86; 0,53; 0,10 0,86; 1,47; 0,10 7,9; 3,6; 0,93
2) Я 1 Р 8 5 4 8,49
3) я 1 Р 1,3; 1,6 2,33; 0,62 2,33; 1,38 7,5; 3,4
4) Ь 5,05 1,97 1,91 —
Л 2-10“5 0,058 0,065 а = 0,02
X? (г = 1) 2,04 1,66 2,28 —
Р(Х? > X?) 0,153 0,197 0,131 а = 0,02
Г ипотеза о нормальном распределении разностей уравненных высот определяемых пунктов нивелирной сети отвергается на основании критерия равенства средних, вероятность Р(1 > 1 э) = 2 -10-5 - мала. Влияние систематических и грубых ошибок статистическим анализом не обнаружено.
Разности уравненных высот не обладают статистическими свойствами ошибок измерений и для проверки этих свойств не могут быть использованы.
Распределение самих разностей высот может быть идентифицировано смесью двух распределений [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лесных Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография. -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.
2. Лесных Н.Б. Объекты статистического анализа в геодезии: монография. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 128 с.
3. Лесных Н.Б., Лесных Г.И. Законы распределения экстремальных значений // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 30-34.
4. Лесных Н.Б., Мизин В.Е. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 41-46.
5. Лесных Н.Б. Две ошибки проверки гипотезы об отсутствии систематических влияний // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. -С. 85-90.
6. Лесных Н.Б., Егорова С.А. Свойства ошибок и поправок нивелирных и линейно-угловых сетей // ГЕ0-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 79-84.
7. Лесных Н.Б. Нормальный закон в оценке качества измерений // Вестник СГГА. -2003. - Вып. 8. - С. 135-138.
8. Лесных Н.Б., Лесных Г.И. О законе распределения линейных функций случайного аргумента // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 4 (20). - С. 27-31.
9. Лесных Н.Б., Лесных Г.И. Иллюстрация к теореме Гаусса - Маркова // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 116-120.
10. Лесных Н.Б., Мизин В.Е. Разности повторных измерений как объекты статистического анализа // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 1 (21). - С. 27-30.
© Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, В.Е. Мизин, 2013
