О корреляции функций случайных ошибок измерений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Геодезия и геоинформатика

УДК 519.2:528.1

О КОРРЕЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Наталья Борисовна Лесных

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, тел. (383)343-18-53

Владимир Евгеньевич Мизин

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры геодезии, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

Исследована корреляция повторных определений координат пунктов полигонометрического хода как функций случайных ошибок измерений.

Ключевые слова: корреляция, координаты, анализ, разности, ошибки, функции.

CORRELATION OF ACCIDENTAL MEASUREMENT ERRORS FUNCTIONS

Natalya B. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., leading researcher, tel. (383)343-18-53

Vladimir E. Mizin

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., senior lecturer, Department of Geodesy, tel. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

The authors investigate correlation of repeated determinations of polygon traverse points coordinates as functions of random measurement errors.

Key words: correlation, coordinates, analysis, differences, errors, functions.

Корреляционная (вероятностная) связь между случайными величинами возникает тогда, когда имеются общие факторы, влияющие на значения этих величин. Показателем тесноты линейной связи между случайными величинами системы X!, Х2, ..., Хп служит коэффициент корреляции

Г, j =

д j

a ja j

(1)

где k j =M {[X j -M (Xj )]•[Xj -M (Xj)]} - корреляционный момент пары X, Xj; a j, a j - средние квадратические отклонения Xj и X j. Для независимых (некоррелированных) случайных величин kt , = rz , = 0 .

21

Геодезия и геоинформатика

Случайные, нормально распределенные ошибки измерений А, и А' некор-релированы (независимы), имеют математическое ожидание M (А)=0 и дисперсию ст2 =М {А-M (А)}2 =М (А2), M (А-А') = M (А) • M (А') = 0.

Проверим наличие корреляционной связи для некоторых функций случайных ошибок измерений, содержащих одинаковые коэффициенты при соответствующих ошибках. Рассмотрим систему двух случайных величин, заданную

вектором F -

f 'j

Ковариационная матрица системы определяется формулой:

KF =M {[ F-M (F)] • [ F-M (F )]т} =M

\\f" М (f)_

If' _ М (f ')_ (

'(. fт f ,m)-( M (f )m m (. f r)

О > J О J> J

Для функций f = < а2 А 2 >={а/ Ai} и f = а2 А2 >

ая А я ая Ая

■{aA,}, где

Qi -

постоянные коэффициенты, M {аг Аг } = {аг М (Аг )} = 0; М(f) = М(f') = 0

является дисперсионной матрицей.

и KF = М

К f) (fm f' m\ Гст2 0 ^ CT f 0

fl. f 'J ■yj J ) 0 ст f' l f J

Здесь ст2 = М(f • f m), ст2> = М(f' • f'm), kff' = M(f • f 'm)=0 - корреляционный момент пары случайных величин f и f.

Для функций:

f={аА(а) +^А6)} и f={^А^’ + Ь,А'ъ }, (i = 1 2> •••, я); (2)

M(f)={ а1М(А(а))+Ь,М(А{Ь ))}=0, М( f)=0;

( а,А«> + Ь^

kf = М

а„Ая) + Ья АЬЯ) J

(а1Аа(1) +Ь1АЬ(1) ... аяА'а(я) + ЬяАЬ(я))

}=0

функции f и f' некоррелированы.

22

Геодезия и геоинформатика

Для функций накопленных случайных ошибок измерений

A! A',

V II A1 + A2 V” S II Л. A1+A2 >

A1 + A2 + ... + An A1+A2 +...+An

' Ai "

M < A1 +A2 • (a1 a1+a2 . .. A1 + A2 + ... + An )

KA1 + A2 + An у

(3)

функции f и f' также некоррелированы, M(f) = 0, M(f) = 0.

Разности повторных определений координат полигонометрического хода содержат информацию о стабильности пунктов геодезической основы при мониторинге инженерного сооружения. Если координаты, вычисленные по результатам независимых повторных измерений, некоррелированы, предельно допустимое значение их разностей можно определить по формуле [1]:

Кред. = * • mx -&■ (4)

На моделях ходов полигонометрии 4-го класса исследована корреляционная связь между координатами пунктов, полученными по результатам повторных, независимых измерений углов и сторон.

Представим разности координат d(x), d(y) как функции их истинных случайных ошибок Ax, Ay, A'x, Ay:

d(x)=x-Х=X + Ax-X-AX = Ax-AX; d(y)=y-y'=Ay-Ay.

Истинные ошибки координат можно получить через истинные ошибки приращений:

A dx =A S)cos a i

(5)

Случайные ошибки дирекционных углов и координат являются функциями накопленных аргументов - случайных ошибок измеренных углов и приращений координат соответственно:

j=1

A x° =IA dx)

j=1

j=1

(6)

23

Геодезия и геоинформатика

Функции (5), (6) аналогичны (2), (3) и теоретически не коррелированны с результатами их повторных определений. Проверим это утверждение экспериментально. Оценка коэффициента корреляции вычисляется по формуле:

[5.x -5.x']

rx, x' — — ,

ax ’ax' (n - 1)

(7)

где 5xt = xi - x, Mx = x = [x]/ n - оценка математического ожидания,

ax=yJ[5x2]/n -1 - оценка среднего квадратического отклонения.

Значимость 7xx>, Ту у устанавливалась с использованием функции z Фишера для доверительной вероятности 0(t) = 0,997, t = 3 [2].

Характеристики ходов полигонометрии и оценки коэффициентов корреляции истинных ошибок координат первого и второго циклов наблюдений представлены в табл. 1.

Таблица 1

Корреляция повторных определений координат

Варианты 1 2 3 4 5

Характери- стики a =170°- 195° s = 300 м, n = 20, op = 2” os = 2 см a = 170-195° s = 500 м, n = 20, op = 2” os = 3 см a = 85-96° s = 300 м, n = 20, op = 2” os = 2 см a = 85-96° s = 300 м, n = 20, op = 2” os = 2 см a = 10-180° s = 300 м, n = 20, op = 2” os = 2см

rx, x' -0,237 -0,583 -0,379 -0,984 0,963

r 2 - Г1 1,199 0,944 1,127 0,064 0,141

Корреляция - - - + +

ry, у' -0,993 -0,980 -0,229 -0,288 0,230

r 2 - ri 0,029 0,077 1,203 1,178 1,202

Корреляция + + - - -

В четырех случаях из десяти между координатами первого и второго циклов установлено наличие корреляционной связи. Почему некоторые функции (5) оказались коррелированы? Вероятностно-статистический анализ закона распределения [3-5] ошибок приращений координат Л^, Adx>, Л^у, Л^', выполненный по каждому из пяти вариантов хода, выявил несоответствие распределения коррелированных рядов ошибок нормальному закону.

24

Геодезия и геоинформатика

В частности, критерием равенства средних, статистика которого

|Д-м (Д)|

3 а / 4п ’

(8)

установлено существенное отклонение оценки математического ожидания случайных ошибок приращений координат от нуля, что противоречит теоретическим предпосылкам некоррелированности координат (табл. 2).

Закон распределения

Таблица 2

№ 1 2 4 5

Критерии Д dy Д dy' Д dy Ady' Д dx Д dx' Д dx Д dx'

Д (см) -0,80 0,68 -2,82 2,07 -0,98 0,72 -0,53 -1,27

а (см) 0,70 0,43 1,48 1,50 0,47 0,30 1,40 1,46

t э 5,1 7,1 8,5 6,2 9,3 10,8 1,67 3,89

Рб > tэ) 6 ■ 10-5 9 ■ 10-7 7 ■ 10-8 6 ■ 10-6 2 ■ 10-6 2 ■ 10-9 0,08 9 ■ 10-4

Три свойства ± - - - - - + ±

Знак «-» в табл. 2 означает, что свойства случайных ошибок не выполняются.

В формулах (5), в зависимости от значения дирекционного угла, преобладают слагаемые Дs cos а, Дs sin а или (-s • sin а / р) • Да, (s • cos а / р) • Да. Закон распределения первого слагаемого соответствует закону случайных, нормально распределенных ошибок Дs с математическим ожиданием M (Дs)=0 и оценкой математического ожидания, несущественно отличающейся от нуля. Ошибки дирекционных углов второго слагаемого являются функциями накопленных аргументов - случайных ошибок угловых измерений (6). Подобные функции могут на значительном протяжении сохранять один и тот же знак и вследствие этого, по своим статистическим свойствам не совпадать со свойствами случайных, нормально распределенных ошибок измерений.

Представим эту ситуацию в табл. 3 примерами из варианта 1.

Закон распределения преобладающего слагаемого в формулах ошибок приращений координат определил закон распределения суммы слагаемых. В формулах Дdx преобладает первое слагаемое. Ошибки Adx распределены нормально, как и случайные ошибки Дs, оценка математического ожидания Дdx пренебрегаемо мало отличается от нуля, между результатами повторных определений координат корреляционной связи не установлено.

25

Геодезия и геоинформатика

Таблица 3

Слагаемые формул ошибок приращений координат

а А* Аdx (см) Аdy (см)

Ascosа -(dy / Р")Аа Д5 sin а (dx / р")Да

170 0 0,93 -0,256 -0,023 0,045 -0,133

195 1,05 4,878 0,040 1,308 -0,146

170 4,02 0,699 -0,102 -0,123 -0,576

175 6,06 0,936 -0,077 -0,082 -0,878

190 8,85 1,093 0,224 0,193 -1,268

В формулах Ady преобладает, в основном, второе слагаемое. Закон распределения ошибок A dy, как и Да, не является нормальным, среднее арифметическое Ady существенно отличается от нуля, что и привело к значительному увеличению оценки коэффициента корреляции Гу у'.

Появление в полигонометрическом ходе невязок, близких к предельным значениям, свидетельствует о накоплении ошибок одного знака и возможном искажении случайных свойств в рядах истинных ошибок дирекционных углов и координат.

Очевидно, исследование устойчивости пунктов геодезической основы требует комплексного подхода и не может быть ограничено единственно расчетом допустимого значения разности повторных определений координат [2, 6-10].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мизин В. Е. Допустимые значения разностей повторных определений координат полигонометрического хода // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 3, ч. 2. - С. 42-45.

2. Мизин В. Е. Корреляционный анализ разностей повторных наблюдений геодезической основы при мониторинге линейных объектов // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2011. - № 3. - С. 26-28.

3. Лесных Н. Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография. -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.

4. Лесных Н. Б. Объекты статистического анализа в геодезии: монография. - Новосибирск: СГГА, - 2010. - 128 с.

5. Лесных Н. Б., Мизин В. Е. Сравнительная характеристика результатов двух статистических методов анализа разностей повторных измерений // Вестник СГГА. - Новосибирск: СГГА, 2012. - Вып. 1 (17). - С. 41-46.

6. Мизин В. Е. Оценка точности геодезических измерений при мониторинге линейных объектов // ГЕО-Сибирь-2006. Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 24-28 апреля 2006 г.). - Новосибирск: СГГА, 2006. Т. 2, ч. 1. - С. 91-94.

26

Геодезия и геоинформатика

7. Мизин В. Е. Проектирование полигонометрического хода методом моделирования // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 123-126.

8. Мизин В. Е. Предрасчет точности координат полигонометрического хода для целей мониторинга земель линейных объектов // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 2, ч. 1. - С. 127-130.

9. Мизин В. Е. О систематических ошибках повторных // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 3, ч. 2. - С. 38-41.

10. Лесных Н. Б. Две ошибки проверки гипотезы об отсутствии систематических влияний // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 85-90.

Получено 15.06.2013

© Н. Б. Лесных, В. Е. Мизин, 2013

27