CC BY
21
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.917
© С. Ф. Николаев, Е. Л. Тонков, И. В. Феклистов
СТАБИЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК,
СОЕДИНЁННЫХ ЖЁСТКОЙ ТЯГОЙ НУЛЕВОЙ МАССЫ1
Эта работа продолжает исследование динамики управляемой механической системы (см. рис. 1), начатое в [1]. Здесь — масса г -ой материальной точки, д — ускорение свободного падения, п = (ХгтУ^) — координаты точки mi в инерциальной системе координат, и> = (и>1,и12) — вектор управляющих сил, / (Ь) = (/\(Ь), /2^)) — возмущающая сила, приложенная к точке т,2 Выберем управление и> = (и>1,и12) в виде и>1 = VI — /\(Ь), ^2 = У2 — /2^), где V = (и\, и2) — новое управление. Предполагается, что точки mi жестко связаны тягой нулевой массы длины I и колебания системы происходят в плоскости ХОУ.
X
т2 д
Рис 1. Материальные точки, соединенные жесткой тягой.
Поскольку механическая системы имеет жесткую связь, то число степеней свободы равно трём. Это позволяет нам записать уравнения Лагранжа [2, Глава 3, § 1] в виде
йЗТ дТ
(Ид® % * ’ ’ ’
(1)
где дх = XI, д2 = Ух, дз
а
обобщенные силы, д = (сц,д2,дз) — обобщенные скорости,
ГГ ^ Г Г ггл гл гпЛхг+Уг) , т2(х22 + у22)
1 — кинетическая энергия, Ф^ — обобщенные силы. 1ак как 1 =--------------Ь
2
2
^ т(Х1 + У2) т2 ,2 2 , , .ч . .
то 1 = --------------Ь — [га + 21а{Х1 сова + у\вша)], где т = гп\ + т2 и уравнения (1)
притмут вид
тХх + (т21 ссе а) а — т21а2 8ш а = Фх, тух + (т218ш а)а + т21а2 ссв а = Ф2, (т21 ссв а)Хх + (т218ш а)у\ + т212а = Ф3.
хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00258).
Здесь Ф1 = Vi + Ф2 = V2 — mg + f2(t), Ф3 = -m2gl sin a + l(fi(t) cos a + /2(t) sin a).
Выберем Vi = ui — fi(t), V2 = U2 + mg — f2(t), где ui и U2 — новые управления. Тогда
!mx1 + (m2l cos a)a — m2la2 sin a = ui,
myi + (m2l sin a)a + m2la2 cos a = u2, (3)
(m2l cos a)xci + (m2l sin a)yi + m2l2a — lfi(t) cos a — l(f2(t) — m2g) sin a = 0.
Перейдём в (3) к безразмерным координатам, выбрав в качестве характерных масштабов массу, длину и ускорение д, а для t в качестве масштаба примем величину £* = л/l/д. После стандартных преобразований получим следующую систему
!(1 + m)X + (m cos a)a — ma2 sin a = ui}
(1 + m)y + (m sin a)a + ma2 cos a = u2,
m(X cos a + ysin a + a) — fi (t) cos a — h(t) sin a = 0,
где m = m2/mi, h(t) = f2(t) — m.
Предположим, что задана траектория (t,p(t)) движения точки (x,y). Тогда система уравнений в отклонениях x ^ x — t, y ^ y — p(t), a ^ a запишется в виде
!(1 + m)x + (m cos a)a — ma2 sin a = vi,
(1 + m)y + (m sin a)a + ma2 cos a = v2, (4)
m(xcos a + ysin a + a) = fi(t) cos a + (h(t) — mp(t)) sin a,
где V2 = u2 — (1 + m)p(t).
Движение системы (4) назовем идеальным, если найдется такое управление (vi,V2), что система имеет тривиальное решение. Идеальное движение существует в том и только в том случае, если fi(t) = 0. Таким образом, при идеальном движении точка mi осуществляет заданное движение и при этом отсутствует «раскачивание» точки m2 относительно mi. Если возмущение fi(t) отлично от нуля, то идеальное решение отсутствует. В предположении, что fi(t) мало отличается от нуля и обладает свойством возвращаемости (например, fi(t) рекуррентно), в системе возникают малые колебания, которые могут быть неустойчивыми.
Доклад посвящён построению допустимого позиционного управления, минимизирующего отклонение колебательного движения от нуля и превращающего его в устойчивое движение.
Список литературы
1. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Колебания двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск. 2006. Вып. 2(36). С. 201-204.
2. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.:Физматлит, 2001. 320 с.
Николаев Сергей Федорович Удмуртский государственный ун-т, США, Калифорния e-mail: [email protected]
Феклистов Игорь Вячеславович Удмуртский государственный ун-т, Россия, Москва e-mail: [email protected]
Тонков Евгений Леонидович Удмуртский государственный ун-т Россия, Ижевск e-mail: [email protected]
