К вопросу о стабилизации механической системы, состоящей из двух материальных точек, Соединенных жесткой тягой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

2. Красовский Н. Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, №5.

С. 1260-1263.

3. Красовский Н. Н. Унификация дифференциальных игр // Игровые задачи управления: тр. Ин-та математики и механики. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. Т. 24. С. 32-45.

4. Тарасьев А. М., Ушаков В. Н. О построении стабильных мостов в минимаксной игре сближения-уклонения. М., 1983. Деп. в ВИНИТИ 05.05.1983. №2454-83.

5. Григорьева С. В., Пахотинских В. Ю., Успенский А. А. и др. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Матем. сб. 2005. Т. 196, №4. С. 51-78.

Ушаков Владимир Николаевич Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Михалев Дмитрий Константинович Уральский государственный технический ун-т Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.

К ВОПРОСУ О СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК, СОЕДИНЕННЫХ

ЖЕСТКОЙ ТЯГОЙ

© И. В. Феклистов

Эта работа продолжает исследование динамики управляемой механической системы (рис. 1), начатое в [1,2]. Здесь Шг — масса г-ой материальной точки, д — ускорение свободного падения, гг = (Хг,уг) — координаты точки Шг в инерциальной системе координат, и> = (и>\,и>2) — вектор управляющих сил, / (Ь) = (/\(Ь), /2^)) — возмущающая сила (помеха), приложенная к точке Ш2- Предполагается, что точки Шг жестко связаны тягой нулевой массы длины I, и колебания системы происходят в плоскости ХОУ.

Рис. 1. Материальные точки, соединенные жесткой тягой

Рассматривается следующая задача стабилизации. Пусть задана траектория движения t p(t) = (pi(í),p2(t)) точки ш\. Требуется с помощью выбора подходящего неупре-

ждающего позиционного управления w(t, •) осуществить локально устойчивое движение точки mi по траектории, по возможности близкой к заданной, и при этом управление должно быть таким, чтобы угол a(t) отклонения груза мало отличался от некоторой константы (зависящей от помехи f (t)), близкой к нулю. Предполагается при этом, что в каждый момент времени to нам известна величина помехи f (t) только при t ^ to и неизвестно поведение f (t) при t > to.

Поскольку механическая системы имеет жесткую связь, то число степеней свободы равно трём. Это позволяет записать уравнения Лагранжа [3, Глава 3, § 1] в виде

d дТ дТ ж п о

Jtdq¡ — Wi = г’ г = ’ ’ ’ ()

где qi = xi, q2 = yi, Q3 = a — обобщенные силы, q = (<?i, <?2, <?э) — обобщенные скорости,

_ m(X2 + y“2) m2 ,l2.2

T =-----i-----— +-----[l2a2 + 2la(xi cos a + yi sip a)) — кинетическая энергия, m = mi + m2,

Фг — обобщенные силы. Поэтому уравнения (1) примут вид

mXi + (m2l cos a)a — m2la2 sin a = Ф1, myi + (m2l sin a)a + m2la2 cos a = Ф2,

(m2l cos a)Xi + (m2l sin a)yi + m2l2a = Ф3.

Если ('Рі(і),р2(Ь)) заданное движение точки (Х\, у\), то система уравнений в отклонениях Х Х — Рі(і), у у — Р2(і), а а, после перехода к безразмерным координатам 1 и ряда

ХВ качестве характерных масштабов выберем массу, длину и ускорение свободного падения g, а для t в качестве масштаба времени примем величину t* = \/l/g.

преобразований, запишется в виде

/

1 + m cos2 a m sin 2a

u2 — ri(t) cos2 a — r2 (t) sin a cos a,

x

---------------Ul + —;----------------г-

1 + m 2(1 + m)

m sin 2a 1 + m cos2 a

(2)

a = — (cos a)ui — (sin a)u2 + 1 + m (ri (t) cos a + r2 (t) sin a),

m

где m = m2/mi, ri(t) = fi(t) - mpi(t), r2(t) = f2(t) - m( 1 + p2(t)).

Из (2) следует, что если ui(t) = U2(t) = 0, то при ri(t) = 0 (и только в этом случае) система (2) имеет тривиальное решение (идеальное движение). Таким образом, при идеальном движении точка mi осуществляет заданное движение и при этом отсутствует «раскачивание» точки m2 относительно mi. Если pi(t) = pi + vt, P2(t) = P2 (горизонтальное движение с постоянной скоростью), f2(t) = 0, fi(t) = const, то задача стабилизации упрощается. Доклад посвящён построению неупреждающего позиционного управления, решающего задачу стабилизации в описанном случае.

1. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Колебания двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2(36).

2. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Стабилизация механической системы, состоящей из двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой нулевой массы // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 3(37). С. 113-114.

3. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физ-матлит, 2001. 320 с.

Феклистов Игорь Вячеславович Удмуртский государственный ун-т,

Россия, Москва

e-mail: [email protected]

О ПРОИЗВОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРНОГО АРГУМЕНТА

Пусть Е — банахово пространство; Ь(Е) — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим действительную операторную функцию / : 0(/) С Ь(Е) ^ Ъ(Е) действительного операторного аргумента Л (действительные

ЛИТЕРАТУРА

С.201-204.

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

© В. И. Фомин