преобразований, запишется в виде
/
1 + m cos2 a m sin 2a
u2 — rl (t) cos2 a — r2 (t) sin a cos a,
---------------Ul + —;----------------г-
1 + m і 2(1 + m)
m sin 2a 1 + m cos2 a
(2)
где m = m2/mi, ri(t) = fi(t) - mpi(t), r2(t) = f2(t) - m( 1 + p2(t)).
Из (2) следует, что если ui(t) = U2(t) = 0, то при ri(t) = 0 (и только в этом случае) система (2) имеет тривиальное решение (идеальное движение). Таким образом, при идеальном движении точка mi осуществляет заданное движение и при этом отсутствует «раскачивание» точки m2 относительно mi. Если pi(t) = pi + vt, P2(t) = P2 (горизонтальное движение с постоянной скоростью), f2(t) = 0, fi(t) = const, то задача стабилизации упрощается. Доклад посвящён построению неупреждающего позиционного управления, решающего задачу стабилизации в описанном случае.
1. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Колебания двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2(36).
2. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л., Феклистов И. В. Стабилизация механической системы, состоящей из двух материальных точек, соединённых жёсткой тягой нулевой массы // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 3(37). С. 113-114.
3. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физ-матлит, 2001. 320 с.
Феклистов Игорь Вячеславович Удмуртский государственный ун-т,
Россия, Москва
e-mail: [email protected]
О ПРОИЗВОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРНОГО АРГУМЕНТА
Пусть Е — банахово пространство; Ь(Е) — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из Е в Е. Рассмотрим действительную операторную функцию / : В(/) С Ь(Е) ^ Ъ(Е) действительного операторного аргумента Л (действительные
ЛИТЕРАТУРА
С.201-204.
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
© В. И. Фомин
операторы — это, по определению, операторы из L(E); такое название связано с тем, что при решении некоторых задач приходится рассматривать комплексные операторы Z = A + 9В, где A,B Е L(E), 9 = \—1 — мнимая операторная единица (см. [1]). Пусть D(f) является открытым множеством, Ло е D(f). Рассмотрим класс коммутирующих с Ло операторов: KAo = {B Е L(E) | ЛоВ = ВЛо}. Известно ([2, с. 49]), что Кл0 является подпространством пространства L(E).
Определение! Функция Y = f (Л) называется дифференцируемой в точке Ло, если 3 A Е L(E), 3 Os (Ло) С D(f) | для V H Е Os (0) П Кл0 справедливо соотношение
f (Ло + H) — f (Ло) = AH + и (Ло,Н), где ||и (Ло,Н)|| = о (||H||) при H ^ 0; при этом,
оператор A называется производной функции f (Л) в точке Ло : f,(Ло) = A (здесь 0 — нулевой оператор).
Заметим, что определение 1 корректно, так как
а) Os(0) П Кл0 = 0, ибо {а1 : |а| < ¿} С Os(0) П Кл0 а в случае Ло = 0
{аЛо : а < С Os(0) П Кло;
б) Ло + Н Е 05(Ло) при любом Н Е 05(0), в частности, при любом Н Е 05(0) П Кл0;
в) если функция /(Л) дифференцируема в точке Ло, то ее производная /'(Ло) определяется единственным образом.
Пусть функция У = /(Л) дифференцируема на открытом множестве О С 0(/), т.е. дифференцируема в каждой точке этого множества. Тогда ее производная У' = /'(Л) представляет собой действительную операторную функцию действительного операторного аргумента.
Если /(Л) = С, где С — некоторый оператор из Ь(Е), то /'(Л) = 0.
Если /(Л) = Л, то /'(Л) = I.
Если /(Л) = Лп, п Е N, п ^ 2, то /'(Л) = нЛи-1 (при выводе этой формулы существенным является условие Н Е Кл0 из определения 1).
п
Если функции /¿(Л), 1 ^ г ^ п, дифференцируемы на открытом множестве С С Р| 0(/г)
г=1
п
и Сг Е Ь(Е), 1 ^ г ^ п, то функция 52 С г/¿(Л) дифференцируема на С и справедлива
г=1
формула
i=i
£ Cf (Л) (1)
=i
(в частности, формула (1) сохраняет силу, если в ней вместо операторов С записать числа аг, 1 ^ г ^ п).
Для функции вида Рп(Л) = Лп + Л1Лп-1 + ... + Ап-1Л + Ап, где Аг Е Ь(Е), 1 ^ г ^ п, справедлива формула
п-т
рПт)(Л) = m! Ё C— AkKn-m-k, 1 < m < n; к=о
Рт)(Л) = 0 при m > n.
n 2n + 1 2n
Для функций ел = n, sin Л = £ ( —1)n (^n+i)!, cos Л = £ ( —1)n справедливы
п=о п=о п=о
формулы
(ел)' = ел, (sinЛ)/ = cosЛ, (cosЛ)/ = — sin Л.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомин В.И. О случае комплексных характеристических операторов линейного однородного дифференциального уравнения те-го порядка в банаховом пространстве // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф. Воронеж, 2007. С. 231-232.
2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2002.
Фомин Василий Ильич Тамбовский государственный технический ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.
ЛОМАНЫЕ ЭЙЛЕРА В СИСТЕМАХ КАРАТЕОДОРИ 1
© Д. В. Хлопин
Известно [1], что в динамических системах с непрерывной правой частью некоторые решения могут получены как пределы ломаных Эйлера, мелкость разбиений которых стремится к нулю. В случае единственности ломаные Эйлера сходятся к единственному решению, получены при достаточно общем признаке единственности и соответствующие оценки сходимости [2]. Для измеримой правой части исследовались [3] всевозможные пределы последовательностей ломаных Эйлера, вмещающее их дифференциальное включение можно получить также из [4, Теорема 1.1.3].
В данной работе описываются условия, при которых ломаные Эйлера сходятся к пучку решений системы. Использующаяся для этого в непрерывном случае мелкость разбиений не применима для измеримой правой части. Действительно, можно показать (см. [5]), что в случае измеримой правой части существует такой класс эквивалентных (по Борелю) измеримых функций, для которого, при любой правой части из этого класса эквивалентности, малая мелкость разбиения не гарантирует близость соответствующей ломаной Эйлера к пучку решений системы, даже если все моменты разбиений взяты среди точек Лебега (или моментов непрерывности) правой части.
Вместо мелкости по заданной правой части и компакту содержащему все траектории системы, на множестве всевозможных разбиений отрезка времени строится метрика (множество разбиений оснащалось достаточно сложной топологией, например, в [6]).
Пусть дана удовлетворяющая условиям Каратеодори [7] система
ж = / (£,ж),ж(£о)= жо, (1)
хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №06-01-00414, №07-01-96088).