Сравнение эффективности различных методов взвешенных невязок в задачах оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Крылова Е. К)., Папкова И. В., Крысько В. А. Нелинейная динамика параметрических колебаний двухслойных распределенных систем// Вестн, Сарат, гос. техн. ун-та. 2013. Т. 1, № 1. С. 7-11.

3. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. М, : ВИНИТИ, 1973. С. 272.

4. Krysko А. V., Awrejcewicz J., Kutepov I.E., Dobriyan V., Krysko V. A. Chaotic dynamics of flexible Euler-Bernoulli beams // Chaos. 2014. Vol. 34, № 4. P. 1-25.

УДК 519.6, 531

И. А. Панкратов

СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задачи

Пусть управляемая система описывается линейным векторным обыкновенным дифференциальным уравнением:

(х _ в

ТГ — Апхпх + Впх Iй?

аЬ

где управление и есть скалярная функция, на которую не наложены ограничения.

Требуется перевести систему из начального положения

х(0) — х0

в конечное

х(Т) — хк.

При этом необходимо минимизировать функционал

т

J — J и2 (Ь, 0

характеризующий затраты энергии на управление; время окончания управляемого процесса Т считается заданным.

Поставленная задача решается с помощью принципа максимума Понтрягина [1]. Введем вектор сопряженных переменных 'ф — т

— (ф\,... ,фп) . Известно [2], что сопряженная система имеет вид

(ф /|Т„

dt

= -A1 >ф.

При этом оптимальное управление имеет вид

иор = -

1 п

2Е В, Фз.

3=1

Таким образом, задача сведена к краевой задаче с закрепленным правым концом траектории, описываемой системой 2п линейных дифференциальных уравнений, и 2п краевыми условиями.

Метод взвешенных невязок

Ранее в работах [3-7] приближённое решение рассматриваемой задачи оптимального управления искалось в виде

м

хз - Хз = + Е азк3 (*), к= 1

м

Фз - Фз = Е ап+з,кN.п+з,к(£); 3 = 1,п. к=1

Здесь N3^(£), з = 1, 2п, к =1, М, - система линейно независимых базисных функций, удовлетворяющих определенным условиям.

Подставляя указанные разложения в фазовые и сопряжённые уравнения, получим невязки и Для получения приближённых

равенств Я^т] = 0

и т] — 0 при £ £ [0; Т] потребуем, чтобы выполнялись равенства

т _ _

} Я0тЖк ^ = 0, 5 = 1, п; к = 1, М. о ]

т

/ Т ^ + (£я_п - хк-0

= 0, п < 5 < 2п; к = 1,М.

г=т

Эти соотношения представляют собой систему 2Мп линейных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных. Решив её, мы закончим процесс построения приближённого решения фазовых и сопряжённых уравнений, удовлетворяющих заданным условиям.

В общем случае весовые функции Ws,k и Ws,k могут быть выбраны независимо, но из результатов численного решения задачи следует, что удобно взять

Ws,k = , 5 = п + 1, 2п; к = 1,М.

Отметим также, что при аппроксимации различных фазовых и сопряженных переменных можно использовать одинаковые базисные функции:

М,к = = • • • = =

Ф

N.+1^ = N.+2^ = • • • = ^п,к = Щ, к = 1, М.

В качестве примера была рассмотрена задача о прямолинейном движении материальной точки массы т кг под действием управляющей силы Г(£) и силы сопротивления движению, пропорциональной скорости точки Г = —ку.

Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета БсПаЬ [8].

В результате исследования задачи было установлено, что при фиксированном количестве базисных функций погрешность тем меньше, чем меньше время окончания управляемого процесса Т и параметр к/т.

Было рассмотрено два варианта выбора весовых функций: в первом из них весовые функции совпадали с базисными (метод Галёркина), во втором в качестве весовых функций были взяты дельта-функции Дирака (метод поточечной коллокации).

В результате численного решения задачи было установлено, что погрешность метода поточечной коллокации несколько выше, чем у метода Галёркина. В то же время в этом случае проще построить систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения решения по базисным функциям, так как не нужно искать первообразную. Следовательно, метод поточечной коллокации может с успехом применяться для грубой оценки решения краевой задачи. Стоит также отметить, что при решении задачи методом поточечной коллокации при одних и тех же параметрах задачи для достижения приемлемой точности приходилось брать больше базисных функций, чем в методе Галёркина.

В дальнейшем рассмотренный метод будет применён к решению задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата [9, 10].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М, : Наука, 1983. 393 с.

2. Ройтенберг Я. П. Автоматическое управление. М, : Наука, 1971. 396 с.

3. Панкратов И. А. Решение задач оптимального управления методом взвешенных невязок // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 117-120.

4. Панкратов И. А. Применение метода Галёркина к решению линейных задач оптимального управления // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 3. С. 340-349.

5. Панкратов И. А. Об одном методе решения задач оптимального управления // Международна научна школа «Парадигма». Лято-2015 : в 8 т. Т. 2 : Информационни технологии : сборник научни статии. Варна : ЦНИИ «Парадигма», 2015. С. 204-212.

6. Панкратов И. А. Применение метода поточечной коллокации в задачах оптимального управления // Актуальные направления научных исследований XXI века : теория и практика, 2015. Т. 3, № 8 - 3 (19 - 3). С. 365-368.

7, Панкратов И. А. Об аппроксимации оптимальных траекторий методом поточечной коллокации // Современная наука : актуальные проблемы теории и практики. Сер, : Естественные и технические науки, 2016, JVS 1, С, 49-52,

8, Алексеев Е.Р., Чеснокова О. В., Рудченко Е.А. Seilab : Решение инженерных и математических задач, М, : ALT Linux ; БИНОМ, Лаборатория знаний, 2008, 269 с,

9, Челноков Ю. П., Панкратов И. А. Переориентация орбиты космического аппарата, оптимальная в смысле минимума интегрального квадратичного функционала качества // Мехатроника, автоматизация, управление, 2010, JVS 8, С, 74-78,

10, Челноков Ю. П., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление, 2011, JVS 1, С, 70-73,

УДК 539.3

Ю. О. Растегаев

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА СИГНАЛА МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПЪЕЗОГИРОСКОПА В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

Введение. Рассматривается датчик ииерциальиой информации, использующий как прямой, так и обратный пъезоэффекты [1, 2] в условиях нестационарного температурного поля. При температурном воздействии могут изменяться линейные размеры деталей и физические свойства материалов, из которых они изготовлены, что оказывает отрицательное влияние на стабильность работы, точность прибора, выходной сигнал и алгоритмы его обработки (см. [1]). Существенным является моделирование поведения пъезогироскопа при возможном в реальных условиях случайном характере изменения внешней температуры.

Проводится анализ качества сигнала пъезогироскопа при различных температурных режимах. Особое внимание уделяется рассмотрению функционирования датчика при резких перепадах температуры в заранее не известные моменты времени. Даются оценки распределения качества сигнала для всего спектра температур.

Математическая модель. Рассматриваемый пъезогироскоп включает в себя чувствительный элемент, который состоит из двух взаимно перпендикулярных пьезопластин 3 и 4 (рис. 1) и присоединённой к ним массы 7. Каждая пластина с одной стороны закреплена, а другая сторона находится в контакте с грузом 7 массы М, причем от груза на пластинки передаются только нормальные составляющие усилий. На пластину 3