CC BY
20
5, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернионных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, вып. 1, ч, 1, С, 84-92,
УДК 532
А. С. Лебедев, И. А. Панкратов
РАСЧЁТ ЦИРКУЛЯЦИИ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРА МЕТОДОМ ЧАСТИЧНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Известно, что при расчёте течений в бассейнах, озёрах и других водоёмах может быть применена упрощённая модель циркуляции [1]. При этом в уравнениях количества движения отбрасываются инерционные члены, а уравнение неразрывности полагается стационарным. В работах [2-5] было показано, что в этом случае решение задачи сводится к уравнению Пуассона относительно функции тока ф :
W = y V2'. (1)
Здесь W = dT1|s/dx2 — дт2|s/dxi - величина, зависящая от ветрового воздействия; y _ коэффициент ветрового напряжения. Величины r1|s, т2|s обусловлены ветровыми напряжениями.
Предполагается,что составляющие напряжения трения на дне т1 |ь и т2|ь прямо пропорциональны компонентам средних значений массового расхода q1 и q2:
Tilb = Yqi; Т21ь = Yq2.
На береговых границах производная по нормали от функции тока равна нулю, а на входе в водоём функция тока известна.
Рассмотрим прямоугольное озеро ABCD : Q = {(x,y)|0 < x < 1, 0 < ^ У < 1}, ^^^^^^ подвержено воздействию ветра так, что W в уравнении (1) определяется как (x = x1, y = x2)
W/y = Ax, A = const.
Пусть граничные условия имеют вид
д'
dx
x = 0 x = 1
x, 0) = 0, ф(х, 1) = 1.
Применим метод частичной дискретизации [6]. Будем искать решение
ф ~ (р уравнения (1) в виде линейной комбинации базисных функций м
( = У + Е ат(у)^"т(ж), где Ыт(х) = соъ(птх).
т=1
Подставляя (рв (1) и выбирая весовые функции по методу Галёркина (весовые функции совпадают с базисными), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций ат(у):
1
d2am ] Г
m — am(nm)2 cos(nmx) cos(nlx) dx = / (a/y) cos(nlx) dx.
dy \
0
Вычисляя интегралы с учётом ортогональности системы базисных функций на отрезке [0, 1], имеем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений т =1, М:
^ - ат(пт)2 = — [1 + (-1)т+1] . ау2 7пт 1 J
При этом граничные условия имеют вид ат(0) = ат(1) = 0. Общее решение указанной системы есть [7]
2А
am = cmenmy + cmenmy — [1 + (—1)m+1] .
Отметим, что граничные условия на входе в водоём удовлетворяются точно за счёт первого слагаемого в р. При этом произвольные постоянные интегрирования C,^, Cm легко находятся из уеловий для am.
Для численного решения задачи была составлена программа с помощью математического пакета Scilab [8].
На рисунке приведены результаты решения задачи о циркуляции воды в озере с учётом потока от втекающей в озеро реки и ветровой нагрузки для следующих значений параметров: А/— = 3, M = 5. Показаны линии тока для ф = 0.1 ф = 0.3, ..., ф = 0.9 (снизу вверх).
Отметим, что в отличие от работ [2-4, 9] при применении метода частичной дискретизации приближённое решение задачи задаётся аналитическими формулами и не требуется численно решать систему алгебраических уравнений. Было установлено, что при увеличении количества базисных функций последнее слагаемое в общем решении, а также произвольные постоянные С, Cm быстро стремятся к пулю. При этом брать
y1
0.8 0.6 0.4 0.2
С
М > 5 нецелесообразно, так как в этом случае приближённое решение уже практически не изменяется.
В дальнейшем предполагается применить рассмотренный выше метод для случая, когда внутри озера находится остров.
1. Коннор Док., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л. : Судостроение, 1979. 264 с.
2. Маркелова О. И., Панкратов И. А. Расчет циркуляции воды в озере // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 114-117.
3. Ильясова Т. А., Панкратов И. А. Математическое моделирование циркуляции воды в озере // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 101-104.
4. Панкратов И. А. Изчиеляване на линията на тока по време на цир-кулация, предизвикана от ветрове [Электронный ресурс] // Парадигма : электрон. науч. журн, 2016. Т. 1, № 1. С. 115-119. URL: http://paradigma.science/publics/index.php/paradigma/article/view/96/99 (дата обращения: 15.03.2016).
5. Панкратов И. А. Численная аппроксимация линий тока методом Галёркина // Juvenis seientia, 2016. № 2. С. 4-6.
6. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986.
7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Физматлит, 2001. 576 с.
8. Алексеев Е. Р., Чеснокова О. В. Рудченко Е. А. Seilab : Решение инженерных и математических задач. М. : ALT Linux ; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 260 с.
9. Панкратов И. А., Рымчук Д. С. Расчёт течений мелкой воды // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 120-124.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
318 с.
