Численное исследование задачи переориентации орбиты космического аппарата с использованием орбитальной системы координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

2, Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Абитова И. Ф. О влиянии граничных условий на динамику чувствительного элемента пьезогироскопа // Изв. Сарат, унта, Нов, сер, 2011, Сер, Физика, Т. 11, вып. 2, С, 51-54,

3, Панкратов В. Л/.. Ольшанский В. Ю., Нагар Ю. Н., Серебряков А. В. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение, 2010, № 8, С, 3-8,

УДК 517.51

И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В настоящей статье исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :

итах — и — итах < ОС^ и ±|и|

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

(А т.о.

2— = А о , = и-+—¡т г3, (Н ог2

dp c p

= ^, r = -, c = const,

dt r2 1 + e cos p

из заданного начального состояния

t = to = 0, p(0) = po, A(0) = A(0) = Л0 о (cos + is sin t

\ 2 2

в конечное состояние

t = ti =?, tp(ti) = ti, vect A(ti) о Л* о (cos P + is sin

22

При этом необходимо минимизировать функционал

= 0.

("ti í-ti Ji = (ai + a2u2) dt или J2 = (ai + a2|u|) dt, ai , a2 = const > 0. Jo Jo

При ai = 1, a2 = 0 имеем задачу быстродействия.

Здесь Л — кватернион ориентации орбитальной системы координат, Л — кватернион ориентации орб иты КА, г — модуль радиуса-вектора г центра масс КА, с — постоянная площадей, рие параметр и эксцентриситет орбиты, р — истинная аномалия. Верхняя волна — символ сопряжения. Величины с, р, е, ро, Л0, Л* — заданы; подлежат определению ¿1, ( и оптимальный закон управления и = и(£).

Поставленная задача решалась с помощью принципа максимума Понтрягина. Были построены система дифференциальных уравнений для сопряженных переменых, законы оптимального управления. Исходная задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории 10-го порядка. Авторами предложен оригинальный алгоритм численного решения указанных дифференциальных краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА, являющийся комбинацией методов Рунге — Кутта 4-го порядка точности, Ньютона, градиентного спуска. Приводятся примеры расчетов. Построены графики оптимальных траекторий и управлений, функции переключения управления.

Начальные и конечные значения угловых элементов орбиты задавались равными:

О = 40.00°, 1о = -70.57°, ипо = 84.98°; О = 72.00°, 11 = 47.00°, шП1 = 45.02°.

Здесь О — долгота восходягцего узла, I — наклонение орбиты, — угловое расстояние до перицентра.

Начальное и конечное положения орбиты КА рассчитаны по значениям декартовых координат и проекций скорости КА, приведенным в [1, стр. 95].

Начальное и конечное значения кватерниона ориентации орбиты, соответствующие этим значениям угловых элементов, равны:

Л0 = ( 0.678275, -0.245862, -0.593909, -0.353860); Л* = ( -0.440542, -0.522476, -0.125336, -0.719189).

При этом начальное значение кватерниона ориентации орбитальной системы координат равно (р0 = 3.940323 рад.):

Л(0) = (0.061834, -0.451574, 0.457446, 0.763545).

На рис. 1 приведены результаты решения в безразмерных переменных краевой задачи для функционала /(0)1 (1 + 4.2и2)^ ^ гшп (е = 0.25),

на рис. 2 — для /0)1 |и|^£ ^ пи п (е = 0.5), на рис. 3 — для случая быстродействия (е = 0.0). ц,j, , ] = 0,3, — компоненты кватерниона сопряженного по отношению к фазовому кватерниону Л, и V = Л о ^ соответственно. Отметим, что при переходе к безразмерным переменным в уравнениях появляется характерный безразмерный параметр N = итахр3/с2. При численном решении полагалось, что N = 0.35.

МесЬ/Рапкга"Ьо¥/Епе^у_1атЬс1а_1: ._Ма£]1|$й£11кга"Ьо¥/Епег gy _ти_ "Ь _ 111

МесЬ/Рапкга-Ьо¥/Епе^у_пи_-Ь_Н1: , рё£h/PankratO¥/Energy_U_t. рс1£

Рис. 1

МесЬ/РапкгаЪо¥/Мос1и1е_1атЬс1а_1:

Рис. 2 134

МесЬ/РапкгаЪо¥/Мос1и1е_1т_"Ь_Н1:

рё£Ь/Рапкга1ю¥/Мо<1и1е_и_г лрд£

Продолжение рис, 2

МесЬ/РапкгаЪо¥/Т1те_1атЬс1а_"Ь_] :1Мерй^РапкгаЪо¥/Т1те_ти_"Ь_НЪ. I

МесЬ/Рапкга"Ьо¥/Т1те_1ш_"Ь_НЪ. р <ШесЬ/Рапкга"Ьо¥/Т1те_и_Ъ .рс1£

Рис, 3

Отметим, что длительности процесса переориентации орбиты К А и значения минимизируемых функционалов совпадают с результатами, полученными в [2]. При этом отличаются начальные значения и законы изменения сопряженных переменных.

В работе [3] приведены различные варианты условий трансверсальности для рассматриваемой задачи. Наилучшая сходимость наблюдалась при выборе условий трансверсальности

р р

при £ = 2х + ^з = 0, щ соъ— + 2х й1п — = 0,

2 2

где х _ переменная, сопряженная то отношению к истинной аномалии р.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1201-00 165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Бордовицына Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики, М, : Наука, 1983, 136 с,

2, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю.Н. Численное исследование задачи управления ориентацией орбиты космического аппарата // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 170-173,

3, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,

УДК 539.3

Ю. О. Растегаев

ВЛИЯНИЕ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РАСШИРЕНИЯ ПЪЕЗОЭЛЕМЕНТОВ НА ВЕЛИЧИНУ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ПЪЕЗОГИРОСКОПА

В настоящей статье изучается влияние температурного поля на характеристики пьезогироскопа. Учитывается температурное расширение пьезоэлектрических пластинок и несимметричность их расположения по отношению к источнику тепла. Рассматривается модель пьезогироскопа, предложенная в работе [1].

Решение поставленной задачи проводилось в несколько этапов. В первую очередь необходимо было решить подзадачу нахождения температурного поля пьезогироскопа в любой момент времени при различных вариациях конфигурации прибора.

Считаем, что рассматриваемый прибор состоит из n обособленных частей, далее называемых элементами конструкции (ЭК), каждая из которых представляет собой прямоугольный параллелепипед. При построении температурной модели прибора использовался метод теплового баланса [2]. Для применения метода использовалась трехмерная сетка и все элементы конструкции разбивались на равные кубы. Для каждого элемента разбиения (ЭР) составлялось уравнение теплового баланса. Благодаря данному способу разбиения, каждый ЭР имеет контакт максимум с шестью другими элементами и соприкасается с ними по всей поверхности грани.

Формула для расчета температуры ЭР имеет вид