Совершенные отображения в подкатегории Текст научной статьи по специальности «Математика»

+

L А

J f [N(v,s,ue(s)) ~ W(v,s,u(s))] u(y)dv ds

+

dt +

J J [n(v,s,u£(s)) - n(v,s,u(s))] u(v)dv ds + s[u(t) - u(x)]

t s

(1 X \ í X

--J G(s) ds I J[M(x,t,ue(t)) -M(x,t,u(t))]dt +

XX XX

/4e(t)dt/^t)Ue(S)ds + /U(t)dt/^t)4e(s)ds +

O t o t

л л xx

- j j N(s,t,u(t)) r¡e(s) dsdt + J J[N(s,t,ue(t)) - N(s,t,u(t))] u£(s)ds

+ E(u(X) - u(0))

(8)

Используя оценку (6) из (8) имеем

Н»?ЕМ11с[о,ь] ^ Ч\\Ле(х)\\с[о,ь] + 11(Я£и)(х)||с[0,й]. В силу леммы, подстановки (7) и условия ц < 1 приходим к оценке теоремы. При этом иЕ(х) ^ и(х) равномерно, если £ ^ 0. Теорема доказана.

Следствие. При выполнении условий теоремы решение уравнения (1) единственно в А [0, Ь].

Литература

1. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода // ЖВМ и МФ, 1975. Т. 15, № 4. С. 1053-1056.

2. Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21. С. 3-38.

3. Каракеев Т. Т., Мустафаева Н. Регуляризация интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник КНУ им. Ж.Баласагына, 2014. Выпуск 5. С. 19-22.

4. Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

Совершенные отображения в подкатегории Чекеев А. А.1, Чанбаева А. И.2

1 Чекеев Асылбек Асакеевич / Chekeev Asylbek Asakeevich — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических наук, профессор; 2Чанбаева Айгуль Издибаевна / Chanbaeva AigulIzdibaevna — соискатель, кафедра алгебры, геометрии и топологии, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье получены внутренняя и категорная характеристики r — coz — совершенных отображений в терминах декартовых квадратов категории ZUnif ■

Ключевые слова: coz — отображение, r — coz — совершенное отображение, категория, zu — ультрафильтр.

Основные свойства равномерной топологии взяты из книг [1], [5], [13]. Каждое равномерное пространство обозначается uX , где X -тихоновское пространство и u - равномерность в терминах равномерных покрытий [1], [5]. Обозначим через U(uX)(U (uX)) - множество всех

(ограниченных) равномерно непрерывных функций на uX и Z = {f (0): f gU(uX)}, т.к. min {| f | ,l}eU * (uX) для любой f g U (uX), то Z„ = Z \ = {g_1 (0) : g gU * (uX) }.

Максимальные центрированные системы элементов Zu называются Zu — ультрафильтрами. В [9] отображение f : uX —> vY называются coz — отображением, если f *(Zu ) С Zu , Г—(С^ ) С C^ , где CZU ={X \ Z : Z G Z„ } и CZV ={Y / Z : Z G } . В работе [6] доказано, что для таких равномерно непрерывных функций h : uX — I = [0,1], i = 1,2, что h 1 (0) ^ hz1 (0) = 0 функция f : uX —> I, заданная по правилу

f (x) = h (x) / (h (x) + h (x)) , x g x , является coz — отображением, не являющимся, вообще говоря, равномерно непрерывным. Такие coz — отображения f : uX —> I называются u — функциями [6]. В работах [4], [7] определены и установлены важные свойства coz — замкнутых отображений, а в [2], [3] определены coz — совершенные отображения.

Известно, Franklin [9] и Herrlich [12] установили характеристику совершенных отображений с помощью Стоун-Чеховской компактификации в категории TyCh - тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Борубаев А. А. [1] установил характеристику равномерно совершенных отображений с помощью Самюэлевской компактификации в категории Unif - равномерных пространств и их равномерно непрерывных отображений.

Обозначим, через ZUnif - категорию, в которой объекты - равномерные пространства, а морфизмы - coz — отображения. В этой категории в терминах декартовых квадратов с помощью компактификации ßuX [3], [8] равномерного пространства uX охарактеризованы coz — совершенные отображения равномерных пространств [2].

В категории ZUnif класс компактов K образует эпирефлективную подкатегорию и

Волмэновская ß -подобная компактификация ß X [8] равномерного пространства uX служит эпирефлексией ßu : uX —> ßuX, а класс R - реалкомпактных пространств образует эпирефлективную подкатегорию и Волмэновская реалкомпактификация ии X [8] равномерного

пространства uX служит эпирефлексией v : uX —> v X .

Исходя из [11] дадим следующее определение.

Определение 1. Отображение f : uX —> vY называется K - coz — совершенным, если выполняется ßu f (ßuX \ X) С ßvY \ Y .

В работе [2] показано, что k — coz — совершенность совпадают с coz — совершенностью.

Определение 2. Отображение f : uX —> vY называется R — coz — совершенным, если

выполняется Vu f (vuX \ X) С VvY \ Y .

Напомним [8], что Z — ультрафильтр наз^1вается счетноцентрированным, если в нем каждое счетное подсемейство имеет непустое пересечение.

Теорема 3. Пусть uX и vY - равномерные пространства. Тогда для coz — отображения f : uX —> vY следующие условия равносильны:

(1) f является r — coz — совершенным.

(2) Если счетноцентрированный ^ — ультрафильтр p на uX и предфильтр

f (p) = {f (2) : Z £ p} сходятся к точке у £ У , то p сходится к точке X £ f 1(у).

(3) Квадрат

uX ——— и X

f

vY ———и У

¡у V

является декартовым в категории ZUnif .

(1) ^ (2). Пусть x £ ииx \ x - произвольная точка. Тогда существует единственный счетноцентрированный ^ — ультрафильтр р на uX такой, что {х} = П>{[2]и X : Z £ р} . Для отображения расширения ии f : ииx —> иуу равенство ии f ([2]иХ) = [ f (2)]и7 выполняется для любого 2 £ р . Тогда и f (х) = ^{[ f (2)]иХ: 2 £ р} = {у} для некоторой точки у £ иуУ . Предположим, что у £ У . Тогда предфильтр f (р) = {f (2) : 2 £ р} сходится к у и по условию теоремы счетноцентированный 1и — ультрафильтр р сходится к некоторой точке х' £ f *(у) . Очевидно, что {х'} = ^{[2: 2 £ р}, т.е. x = х' противоречие. Следовательно у = f (х) £ иУ \ У.

(2) ^ (1) . Пусть р - произвольный счетноцентированный ^ — ультрафильтр на uX и предфильтр f (р) = {f (2) : 2 £ р} сходится к точке у £ У . Из свойства (4) теоремы 2.4.[2] имеем {х} = ^{[2]иХ: 2 £ р} £ ииX и точка х единственная, тогда

^([2 ]и X)=[(2 )]ЧУ для любого 2 £ р и

Uuf (х) = иuf(^{[Z]иX : 2 £ р}) =п{[^(Г)]иУ : 2 £ р} = у, т.е. х £ (ии/)-\у). Так как имеет место иuf (и^ \ X) ^ ихУ \ У . Итак, х £ X.

(2) => (3). Мы предполагаем, что для некоторого объекта ЛмТ. категории ZUnif, Н : М>Х —> ииХ и ^ : —> уу - такие сог — отображения, что ии/ °Н=Ц ° g ■ Так как (/7о£)(7) содержится в и у и ии/(рих\х}<^иу¥\¥,зшчт /г(^) а x . Определим отображение ъъ: wz —> ux по правилу h'(z) = Ъ(£) для любого I £ 2 . Таким образом, квадрат

декартов.

(3) ^ (2) Пусть х £ и X и предполагаем, что и X(х) = у £ У. Положим 2 = {х} и определим отображения Ъ : —> / X по правилу Ъ(х) = х и g : —> хУ по правилу g(х) = у = и f (х) £ у , где - тривиальная равномерность на 2 = {х} . Тогда ииУ ^ = 'г ° &■ Существует такое с()7 — отображение и' \ \\'7. —> их, что и = /, //'. Таким образом, X £ X, т.е. ии/(ииХ \ X) С! оу¥ \ 7 . □

Литература

1. БорубаевА. А. Равномерная топология. Бишкек, Илим, 2013. 336 с.

2. Чанбаева А. И. Об u-совершенных отображениях // Проблемы современной науки и образования, 10(52), 2016, (Москва, РФ). С. 16-20 .

3. Чекеев A. A. Бикомпактификация Волмэновского типа равномерных пространств и ее приложения // Вестник КНУ, т. 2, 2015. С. 1-22.

4. Чекеев A. A., Чанбаева А. И. О замкнутых и совершенных отображениях равномерных пространств // Наука и новые технологии, т. 4, 2014. С. 3-6.

5. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

6. Charalambous M. G. A new covering dimension functions for uniform spaces // J. London Math. Soc, 11, 1975, pp. 137-143.

7. Chekeev A. A., Kasymova T. J., Chanbaeva A. I. On closed mappings of uniform spaces // TWMS J. PAM, vol. 6, No. 1, 2015, pp. 78-83.

8. Chekeev A. A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications // Topol. Appl., 2016, V.201, pp. 145-156.

9. Franklin S. P. Topics in categorical topology // Class Notes, Carnegie-Mellon University. 1970. P. 38.

10. FrolikZ. A note on metric-fine spaces // Proc. Amer. Math. Soc V. 46, n. 1, 1974, pp. 111-119.

11. HagerA. W. Perfect maps and epi-reflective hulls // Can.J.Math.V.XXVII, No.1, 1975, pp. 11-24.

12. Herrlich H. Categorical topology // General Topology and Applications, vol. 1, 1971, pp. 1-15.

13. Isbell J. R. Uniform spaces. Providence, 1964. 175 p.