Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Charalambous M. G. A new covering dimension function for uniform spaces //J. London Math. Soc. (2) 11, 1975, pp.137-143.

4. Charalambous M. G. Further theory and applications of covering dimension of uniform spaces //Czech. Math. J. 41 (116), 1991, pp. 378-394.

5. Charalambous M. G. The dimension of metrizable subspaces of Eberlein compacta and Eberlein compactifications of metrizable spaces //Fundamenta Mathematicae 182, 2004, pp. 41-52.

6. Chekeev A. A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications//Topol. Appl. 201 (2016), pp. 145-156.

7. Chekeev A. A., Rakhmankulov B. Z. On ft —like compactifications of the uniform spaces//Vestnik KRSU, V.16, No 5, (2016), pp.85-87 (in Russian).

8. Cech E. On bicompact spaces//Ann. of Math. 38, 1937, pp. 823-844.

9. Chigogidze A. Ch. Relative dimensions, General Topology. Spaces of functions and dimension //Moscow: MSU, 1985, pp. 67-117 (in Russian).

10. EngelkingR. General Topology - Berlin: Heldermann, 1989. 515 p.

11. Frink O. Compactifications and seminormal spaces //Amer. J. Math., 86, 1964, pp. 602-607.

12. Frolik Z. A note on metric-fine spaces //Proceeding of the American Mathematical Society, V. 46, n. 1, 1974, pp. 111-119.

13. Frolik Z. Four functors into paved spaces //In seminar uniform spaces 1973-4. Matematicky ustav CSAV, Praha, 1975, pp. 27-72.

14. Gelfand J. On rings of continuous function on topological spaces //Dokl. Akad. Nauk SSSR 22, 1939, pp. 11-15. (in Russian).

15. Georgiou D. N., IliadisS D., Kozlov K. L.The inductive dimension of a space by a normal base //Vestnik Moskov.Univ., Ser. I, Mat. Mekh., N 3, 2009, pp. 7-14. (English translation: Moscow Univ. Math. Bull., 64 (3), 2009, pp. 95-101).

16. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions //The Univ. Series in Higher Math., Van Nostrand, Princeton, N. J., 1960. 303 p.

17. Hager A. W., Johnson D.J. A note on certain subalgebras of C(X) //Canad. J. Math. 20, 1968, pp. 389-393.

18. Hager A. W. On inverse-closed subalgebra of C(X) //Proc. Lond. Math. Soc. 19 (3), 1969, pp. 233-257.

19. Hager A. W. Some nearly fine uniform spaces //Proc. London Math. Soc. (3) 28, 1974, pp. 517-546.

20. Isbell J. R. Algebras of uniformly continuous functions//Ann. of Math., 68, 1958, pp. 96-125.

21. Isbell J. R. Uniform spaces- Providence, 1964. 175 p.

22. Mrowka S. ¡3 - like compactifications //Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae, 24 (3-4), 1973, pp. 279-287.

23. Steiner A. K., Steiner E. F. Nest generated intersection rings in Tychonoff spaces //Trans. Amer. Math. Soc. 148(1970), pp. 589-601.

24. Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology //Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), P. 375-481.

25. WalkerR. The Stone-Cech compactification.- Springer-Verlag, New York, Berlin, 1974. 333p.

Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода

Каракеев Т. Т.1, Мустафаева Н. Т.2

'Каракеев Таалайбек Тултемирович /Karakeev Taalaibek Tultemirovich — доктор физико-математических

наук, профессор;

2Мустафаева Нагима Таировна /Mustafaeva Nagima Tairovna — аспирант, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Получен регуляризирующий оператор, доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению рассматриваемых уравнений в шаре. Abstract: in work questions of regularization of the nonlinear integrated equations of Volterra of the first kind. The regularizing operator is received, uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the considered equations in a sphere is proved.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость. Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.

Пусть N0 (x,t,u(t)) = К(x,t)и (t) + N(x,t,u (t) ) и известные функции f (x) , К(x, t), N (x,t,u(t)) , подчиняются условиям:

а) f (x) e С 1 [0,b] , К (x, t) e С (D), К (x,x) >0, D ={ (x, t) / 0 <t<x<b};

б) G (x) > d ь G (x) = C1f (x) + К (x,x), f ( 0 ) =0, 0< d1 , С1 = со ns t;

в) N(x,t,u) e С(D x R*■), N(x,x,u)=0,

|N(x,s,u) - N(x,s,w) - N(t,s,w) + N(t,s,u)| < LN(x - t)\u - w\, 0 < LN = const.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода

J N0(x,t,u(t))dt =f(x),

(1)

в предположении, что решение существует и принадлежит пространству С [ 0 , Ь ] .

Пусть Т - оператор Вольтерра вида ( Ту) ( х) = /* и ( Ь) V( Ь) йЬ, I - единичный оператор. Действуя оператором I + С{Т из (1) получим уравнение

X X Г- X X

I = I М(х, г, и(Ь))сИ + С1 | и(Ь)сИ | К(б, £) и(+

Л Л

■ J J N(s, t, u(t))u(s)ds dt

(2)

где М(х.Ь.и(Ь)) = [К((х, Ь) ] и(Ь) -Ы(х.Ь.и(Ь)) .

Для уравнения (2) рассмотрим уравнение с малым параметром е Е (0 , 1 ) следующего вида [1]

eu

:(х) + l Git) ueWt = f М(х, t,ue(t))dt + Cl f uemt f K(s, t)

+ su(0) + f(x).

Воспользуемся резольвентой ядра (—g(t)/e) и преобразуем уравнение (3) к виду

х щШз + 11 N(s,t,ue(t))ue(s)ds dt

0 £

резольвентой ядра (—G(t)/e) и пре

Ue(x) = J exp J G(s) ds^j G(t) x |j M(t,s,ue(s))ds

X Г £ £

- f M(x,s,us(s))ds + Cl f us(s)ds f K(v,s) us(v)dv -

0 [o s

XX t t

- f u£(s)ds f K(v,s) u£(v)dv + f f N(v.*.«,(*)) u£(v)dvds

0 s 0 s

xx / -

- J J N(v,s,ue(s)) ue(v)dvds

(3)

1 / 1 Г , 4

dt + —exp — G(s)

V о

ds x

J M(x,t,ue(t)) dt + J ue(t)dt J K(s,t) ue(s)ds

+

+Ci

Л л

ffN(s,t,uM)uE(s)dsdt + su(0)+f(x)

= (Aue)(x).

(4)

Пусть

разность операторов (Aue) (x) — (Айе) (x). Тогда

£

Оценим

x,s,uE(s)) — JV(x,s,uE(s))] ds —

t X j X \

- J[w(t,s,uE(s)) - N(t,s,ne(s))]ds dt < J exp I --J G(s) ds

С X

х С (О (ж - I) J|йe(s) - Йе(5)| Л < ^ ||яе(0 - Йе(0| Л;

о 1 о

х / х \ л:

ехр! --J G(s)ds )с(0 J[N(x,s,йe(s)) - Ы(х,5,йе(5))]йБ сИ

О \ £

Ь

- р2

|ехр| 6(5)^ 16(0 ||ЯЕ(5) -йЕ(5)|сг5 Л <

О \ £ / £

<^^Уй£(х)-й£(х)Ус[о,ь]. У-Ус[0,Й] = тах|-|;

х / х \ £ л:

^ J ехр I — — J 6(5) (¿5 I J J Ы(у,5,йЕ(Б)) [ие(у) — йЕ(у)]йуйБ (И

О \ £ / 0 £

1 ^ I ехр | — — I б) (1б | (7(С) J|iie(v) — йЕ(у)|сЬ/ <И < 1 ^ >

О \ £ / £

х ||йЕ(х) - йе(х)Ус[о,й]. = тах|м(х,£,иЕЮ)|;

х / х \ л: л:

^ J ехр I — — J 6(5) £¿5 I б(£) J J Л?(у,5,ЙЕ(5))[йЕ(у) — йЕ(у)] йуйБ (И

<

<

сА

X / X \ X

^ е хр I — — j С(б) с1б I б(^)(х — £) J^Ue(v) — йЕ(у)\йу сИ

<

V/ Г

У,5,ие(5)) — Л^(у,5,Йе(5))] X

XIX 1/ехр \-\\

х йе(у)йу с1б + J J[N(v,s,uí::(s)) — Ы(у,5,йе(Б))]йе(у)йу йБ

сИ

<

<

<

о о

2С1гЬм I _

< ■

¿1

о

г =г0 + и0;

^ехр I ~~I йБ I J[N(x,t,йí,(t)) - Ы(х,Ь,йе(Ь))]сИ

<

-^■ехр | ~~I 6(5) ^

+

5, £, иЕ (£)) [иЕ (5) — йЕ (5)] £¿5 <И +

О £

мм I\Ueis) -

о

<

<-—-I |uE(t) - uE(t)|dt.

1 0

Таким образом, из уравнения (4) получим следующее неравенство:

| (ЛЯЕ) (х) - (ЛйЕ) (х) | < (q0 Ы- qr2) 11йЕ (х) - йЕ (х) 11с [0,й] +

X

+(<?i + <7з) ||йЕ(0 - fiE(t)|dt, (5)

о

где q 2 = (Ljv ( 1 + е" + С- Mwb) d" q3 = (Lw + С- (2 Mw + 3 Lwr) ) d" 1 ,

q0 = 2 qMr d"1; q1 = (Lfe (2 + е" 1) + 2 ^Mr ( 1 + е" 1)) d" 1, M = max | К(x,t)| . Вычисление

значений q0,q 1 приводится в [3].

Переходя к норме в обеих частях неравенства (5) получим | | (ЛЯе)(х) - (4 Йе) W | | с [о,й] < qI I Йе ( х) - й е W || с [о,й] , (6) где

Если q < 1, то можно доказать [4,c.392] существование единственного непрерывного решения уравнения (3) в шаре ii [ 0 , Ь] .

Для оператора (ЯЕи) (х) , заданного в виде

(ЯЕм)(х) = - J exp^-lj G(s) ds^j G(t) [u(t) -u(x)]dt +

/if \

+ exp --I G(s)ds [u(x)-u(0)],

имеет место [2] следующая лемма.

Лемма. При выполнении условий а) - г) и и( х) е С [ 0 , Ь] имеет место оценка ||£(ЯЕи)(х)||С[о,ь] < 3\\u(x)\\c[0ib]exp (-prj) + d3iou(V), где o»u ( = sup | и (х) — и ( £) | ,0 < // < 1.

|аг-£|<Е"

Теорема. Пусть выполняются условия а) - в), q < 1 и уравнение (1) имеет решение и ( х) е Тогда при решение уравнения (3) равномерно сходится к решению уравнения (1), при

этом справедлива оценка

||мЕ(х) - и(х)||с[о,ь] < (1 - <?)-1 ^3||и(х)||с[оЛехр (.—^j) +

где .

\x-t\<sP

Доказательство. Введем подстановку: Ле (х) = Ue (х) - u ( х:> . (7)

Тогда из (4) получим уравнение

1 Х ( 1 Х \ ( Х

т/е(х) = - — J expl --J G(s) ds |G(t) J[M(x,s,u(s)) - M(x,s,ue(s))]ds

о \ t J U

t

+ J [M(t,s,ue(s))-M(t,s,u(s))

+ M(x,s,uE(s)) — M(x,s,u(s))] ds +

о

t x xx

■ f iMds f K(v.s) uE(v)dv - f jje(s)ds f K(v,s) us(v)dv +

0 £ t s

t X XX

+ / U(s)ds f K(v,s) J]s(v)dv - f u(s)ds f K(v,s),E(v)dv +

0 £ t s

■ X XX

■ f f JV(v,s,uE(s)) ,E(v)dv ds + ff N(v,s,uM) X 4e(v)dv ds +

+

0 £

+

L А

J f [N(v,s,ue(s)) ~ W(v,s,u(s))] u(y)dv ds

+

dt +

J J [n(v,s,u£(s)) - n(v,s,u(s))] u(v)dv ds + s[u(t) - u(x)]

t s

(1 X \ í X

--J G(s) ds I J[M(x,t,ue(t)) -M(x,t,u(t))]dt +

XX XX

/4e(t)dt/^t)Ue(S)ds + /U(t)dt/^t)4e(s)ds +

O t o t

л л xx

- j j N(s,t,u(t)) r¡e(s) dsdt + J J[N(s,t,ue(t)) - N(s,t,u(t))] u£(s)ds

+ E(u(X) - u(0))

(8)

Используя оценку (6) из (8) имеем

Н»?ЕМ11с[о,ь] ^ Ч\\Ле(х)\\с[о,ь] + 11(Я£и)(х)||с[0,й]. В силу леммы, подстановки (7) и условия ц < 1 приходим к оценке теоремы. При этом иЕ(х) ^ и(х) равномерно, если £ ^ 0. Теорема доказана.

Следствие. При выполнении условий теоремы решение уравнения (1) единственно в А [0, Ь].

Литература

1. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода // ЖВМ и МФ, 1975. Т. 15, № 4. С. 1053-1056.

2. Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21. С. 3-38.

3. Каракеев Т. Т., Мустафаева Н. Регуляризация интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник КНУ им. Ж.Баласагына, 2014. Выпуск 5. С. 19-22.

4. Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

Совершенные отображения в подкатегории Чекеев А. А.1, Чанбаева А. И.2

1 Чекеев Асылбек Асакеевич / Chekeev Asylbek Asakeevich — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических наук, профессор; 2Чанбаева Айгуль Издибаевна / Chanbaeva AigulIzdibaevna — соискатель, кафедра алгебры, геометрии и топологии, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье получены внутренняя и категорная характеристики R — coz — совершенных отображений в терминах декартовых квадратов категории ZUnif ■

Ключевые слова: coz — отображение, R — coz — совершенное отображение, категория, zu — ультрафильтр.

Основные свойства равномерной топологии взяты из книг [1], [5], [13]. Каждое равномерное пространство обозначается uX , где X -тихоновское пространство и U - равномерность в терминах равномерных покрытий [1], [5]. Обозначим через U(uX)(U (uX)) - множество всех