О b-подобной компактификации и инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О ¡-подобной компактификации и инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств Чекеев А. А.1, Рахманкулов Б. З.2

1 Чекеев Асылбек Асакеевич / Chekeev Asylbek Asakeevich — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических наук, профессор; 2Рахманкулов Бахтияр Зулпукарович / Rakhmankulov Bahtiyar Zulpukarovich — старший преподаватель, кафедра алгебры, геометрии и топологии, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье получена характеристика базы coz-тонких равномерных пространств и для ¡-подобной компактификации доказан равномерный аналог теоремы Э. Чеха. Получены равномерные аналоги теорем Стоуна и Гельфанда-Колмогорова о характеризации тихоновских пространств посредством колец всех (ограниченных) непрерывных функций.

Ключевые слова: u-открытые, u-замкнутые множества, coz-отображение, нормальная база, coz-тонкое равномерное пространство, кольцо, идеал, максимальный идеал, компактификация.

1. Введение

Данная статья является расширенным вариантом работы [7]. Обозначения и основные свойства равномерных пространств взяты из книг [21], [2], [10]. Обозначим через U(uX) (U* (uX)) -множество всех (ограниченных) равномерно непрерывных функций на равномерном пространстве uX . Естественная равномерность на uX , порожденная U(uX) (U (uX)), Uc (up) - это слабейшая равномерность на X , относительно которой все равномерно непрерывные функции из U(uX) (U* (uX)). Очевидно, что u ^ uc ^ um ^ u , где базу равномерности W^ образуют все счетные покрытия из u . Самюэлевская компактификация \X является пополнением X относительно равномерности up . Zu - кольцо нуль-множеств функций из U ( uX ) или U * (uX) и CZU - кольцо конуль-множеств функций из U(uX) или U (uX) . CZU состоит из дополнений множеств из Z и, наоборот. Отметим, что все множества CZU (Zu ) совпадают со множеством всех u — открытых (u — замкнутых) множеств на равномерном пространстве uX в смысле M. Хараламбуса [3], [4]. На равномерном пространстве uX Z является базой в смысле [23], и, она, тем более, является нормальной базой [11], [23], [15].

N - множество натуральных чисел, М - вещественная прямая, UR - равномерность на R ,

порожденная естественной метрикой; для X ^ Y обозначим через [ X] - замыкание X в Y ; для компактов используется u - единственная равномерность.

Для тонкой (fine) равномерности u^ на тихоновском пространстве X [10], [21] каждая

непрерывная функция является равномерно непрерывной, следовательно U (ufX) = C( X) (U (ufX) = C (X)) и Z = Z(X) - множество всех нуль-множеств, CZU = CZ(X) -множество всех конуль-множеств на X [10], [16]. Каждый максимальный Za — фильтр на Zu называется Za — ультрафильтром и Z — ультрафильтр на Z (X) называется z — ультрафильтром [15].

Покрытие из u — открытых множеств называется u — открытым и покрытие из конуль-множеств называется функционально открытым.

Определение 1.1. Отображение f : uX —> vY называется COZ — отображением, если f l(CZv) с CZU (или f *(ZV ) с Z ) [3], [13]. Отображение f : uX — Y равномерного пространства uX в тихоновское пространство Y называется z — непрерывным, если

f-\CZ(X)) с CZu (или(Y)) с Zu) [9].

Очевидно, что каждая равномерно непрерывная функция является COZ — отображением, обратное вообще говоря, неверно [3], [4]. Также каждое z — непрерывное отображение f : uX —> Y является COZ — отображением f : uX —> vY для каждой равномерности V на Y . Если Y линделёфово или (Y, р) - метрическое пространство, то их COZ — отображение является z —

непрерывным (см.[3], [4]). Если Y = М -вещественная прямая, или F = / = [0, lj - единичный интервал, то COZ — отображение f : uX —> М назьшается U — непрерывной функцией и COZ — отображение f : uX —> I наз^1вается u — функцией [3], [4].

Обозначим через Cu (X) (Cu (X)) - множество всех (ограниченных) u — непрерывных функций на равномерном пространстве uX и Z(uX) - кольцо нуль-множеств из Cu (X) или cu ( X ) и CZ (uX ) состоит из дополнений множеств из Z (uX ) и, наоборот.

Предложение 1.2.[6] На равномерном пространстве uX множество B* ($*>) всех конечных

(счетных) и — открытых покрытий образует базу равномерности и (ит ) . Более того, ир ^ и ,

u с u с u с uZ.

p - C - Ю - w

Предложение 1.3.[6] C (X) образует полное подкольцо C(X) с инверсией. Оно содержит постоянные функции, отделяет точки и замкнутые множества, является равномерно замкнутым и замкнуто относительно инверсии, т.е. если f Е C (X) и f (X) Ф 0 для всех X Е X, то

1/ f Е C (X) (является алгеброй в смысле [17], [18], [20]). Лемма 1.4.[6]

(1) COZ — отображение f : uX — vY в компакт vY является равномерно непрерывным отображением f : UpX —> vY ;

(1') COZ — отображение f : uX —> vY в —ограниченное равномерное пространство vY является равномерно непрерывным отображением f : U^X —> vY .

(2) U (uX) = U (uX) = U (uX) с U U X) = Cu (X);

(2 >)U(upX) = U\uX)^U(ulX) = U\u:X) = Cu(X)^Cu(X).

ib)Zu = ZUp = ZUc = ZUm = zul = Z,a = Z(uX).

(4) С (X) является полным кольцом функций с инверсией на X .

Z

Следствие 1.5.[6] (1) U - слабейшая равномерность на X, относительно которой COZ — отображение в компакт vY равномерно непрерывно.

(2) Ua - слабейшая равномерность на X относительно которой каждое COZ — отображение

f : uX — vY в — ограниченное равномерное пространство vY равномерно непрерывно.

Пусть б)(X, Zu ) - Волмэновская компактификация по нормальной базе Zu [11]. Отметим, что

0)(X, Zu) является ß — подобной компактификацией на X [22], положимßuX = 0)(X, Zu) .

Теорема 1.6.[6]. Для равномерного пространства uX следующие компактификации X совпадают:

(1) Пополнение X относительно равномерности U р .

(2) Волмэновская компактификация б)(X, Zu ) пространства X по нормальной базе Zu .

(3) Компактификация, которая является пространством максимальных идеалов Cu (X), снабжённая Стоуновской топологией [24].

Следствие 1.7.[6]. Каждое COZ — отображение f : uX — vY можно продолжить до

непрерывного отображения ß f : ßu X —> ßvY . Ни в одной точке нароста X G ß X \ X первая аксиома счётности не выполняется. Для равномерных пространств uX и uX имеем: ßu X = ßu,X, если и только, если Zu = Z ,.

Теорема 1.8.[6] Для равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) Самюэлевская компактификация SUX пространства является uX ß — подобной

компактификацией X ;

(2) up = up ;

(3) каждое COZ — отображение f : uX —> K в компакт K можно продолжить SUX;

(4) каждую u — функцию f : uX —> I в I можно продолжить до SUX ;

(5) если Zx, Z2 G Zu и Zx Z2 = 0 , то [ Z1 ] x <^[Z2 ] x = 0 ''

(6) [Z1 ]sX ^[Z2 ]sX =[Z1 n Z2 ]sX для любого Zi, Z2 G Zu ;

(7) каждая точка SuX есть предел единственного Zu — ультрафильтра uX ;

(8) каждый Zu — ультрафильтр является фильтром Коши относительно Up .

2. О компактификации coz-тонких равномерных пространств.

Определение 2.1. [13] Равномерное пространство uX называется Александровским, если каждое конечное U — открытое покрытие равномерно.

Теорема 2.2. Для равномерного пространства uX, SUX = /3UX, если и только если, uX

является Александровским пространством.

Доказательство. Пусть SuX = /ЗиX для равномерного пространства uX . Тогда U = Up , т.е.

конечное U — открытое покрытие равномерно, следовательно, uX является Александровским пространством.

Обратно, если равномерное пространство uX является Александровским, то up и,

следовательно, suX = /ЗиХ (см. Теорему 1.8). □

Определение 2.3 [13] Отображение f : uX —> vY называется COZ — гомеоморфизмом, если f COZ — отображение X на Y взаимно однозначно и обратное отображение f 1 : vY —> uX

является COZ — отображением. Два равномерных пространства uX и vY называется COz

гомеоморфными, если существует COz гомеоморфизмом uX на vY . Следующая теорема является равномерным аналогом теоремы Э.Чеха [6].

Теорема 2.4.Пусть uX и vY - равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX COz гомеоморфно vY , если только, если /ЗиX гомеоморфно f3vY.

Доказательство. Если uX COz гомеоморфно vY , то, очевидно, что f3uX гомеоморфно

/3 Y (Следствие 1.7).

Обратно, если /X гомеоморфно /Y, то равномерные пространства UpX и vpY равномерно гомеоморфны между собой (пункты 1, 2 Теоремы 1.8) и все точки с первой аксиомой счетности / X переходят во все точки с первой аксиомой счетности ¿3vy, т.е. jf coz — гомеоморфно у

(Следствие 1.7, [l,Ch.IV, Ex.34]). □

Определение 2.5 [12],[13]. Равномерное пространство uX называется COz тонким, если каждое COz отображение f : uX — vY равномерно непрерывно.

Теорема 2.6.[12], [13]. Для равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) uX является COz тонким пространством;

(2) uX является M — тонким и близостно-тонким пространством;

(3) для каждого отображения f uX в равномерное пространство vY , если f: uX — vpY равномерно непрерывно, то f : uX —> v^Y является равномерно непрерывным, где v^ - тонкая равномерность на Y ;

(4) для каждого отображения f из uX в метризуемое пространство vY, если f : UX — vpY равномерно непрерывно, то f : uX — vfY является равномерно непрерывным, где vj - тонкая равномерность на Y ;

(5) uX - близостно тонкое Александровское пространство.

Замечание2.7. Информацию о MM — тонких и близостно-тонких равномерных пространствах (см., например,[12], [13], [19]).

Теорема 2.8. Пусть uX и vY - COz тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеоморфно vY , если только если /'и X гомеоморфно /Y. Доказательство. Следует из Теоремы 2.4 и Определения 2.5.

Замечание 2.9. Напомним, что U — открытое покрытие (X равномерного пространства uX называется COZ — аддитивным, еслиЕ CZU для каждого (с([12], [13].

Теорема 2.10. Для равномерного пространства uX следующие условия равносильны:

(1) UX COZ — тонко;

*

(2) семейство Bf всех (Г — локально конечных вполне COZ — аддитивных U — открытых

покрытий база равномерности u ;

(3) все локально конечные COZ — аддитивные U — открытые покрытия образуют базу равномерности u .

*

Доказательство (1) ^ (2) . Для любых / Е Bf покрытие ( Л / является Г — локально

о т*

конечным вполне COZ — аддитивным U — открытым. Следовательно ОС Л / Е Br .

Для продолжения доказательство Теоремы 2.10 докажем следующую полезную техническую лемму.

Лемма 2.11. Пусть |US = f 1 ((0,1]) : S £ S} - точечно-конечное U — открытое семейство, где f : uX —> I - U — функция, I = I для всех S £ S. Тогда оно порождает COZ — отображение f = А { ! .V £ Л | ! ItX —> IF(iS'), где F(iS') является подмножеством I = | Ц / : S £ S}, состоящее из всех точек X = (Xs : S £ S), которые имеют только конечное число ненулевых координат Xs .

Доказательство. Очевидно, что F (S) - сепарабельное метризуемое пространство. Тогда для каждого открытого множества имеем / 1(U) = fs 1(ps(U)) , где ps \ F(jS') —> Is

- естественная проекция. Тогда f 1 (U) £ CZU , что и требовалось доказать.

Пусть С = {W : S £ S} - произвольное Г — локально конечное U — открытое покрытие. Для каждого / 6 N семейства CCi = {Ws '. S £ St } локально конечная U — открытая система. Тогда по Лемме 2.11 существует COZ — отображение fi '. uX —>F(jS'!.) , где Ff^.) снабжено метрикой й?, определённой по правилу di (X, y) = sup j|Xs — ys |, S £ S}. Каждое f - COZ — отображение и

таково / = A [ft : i £ N} : uX —» ) : i £ N} [4]. Следовательно, по (1) / равномерно

непрерывно относительно метрической равномерности V на J^jF^.) : i е N} и её предкомпактной рефлексии Vр . Из пункта (4) Теоремы 2.6 отображение f равномерно непрерывно относительно тонкой равномерности на J^JjF^.) : / G N} . Тонкая равномерность на

X имеет базу,

состоящую из всех открытых покрытий [21]. Для каждого S £ S. множество видаf 1(W) где W открыто в I , является при отображении f прообразом открытого множества pt 1 (р 1 (JVJ) из где /; : {F(A'(): /' е N} —>F(A'() и->/, - естественные проекции. Покрытие ¡3 = {p—1 (pS—1 (W)) : S £ S, i £

N} равномерно относительно тонкой

равномерности Vf . Пусть у - открытое Г — локально конечное покрытие, звездно вписанное в 3 . Тогда У £ Vf и f 1 (у) - открытое Г — локально конечное покрытие, звездно вписанное в С .

(2) ^ (3) . Очевидно.

(3) ^ (1) . Пусть f : uX —> vY - равномерно непрерывное отображение в метризуемое равномерное пространство

vY . Тогда отображение f : uX — V Y - также равномерно непрерывно.

Из пункта (3) Леммы 1.3 и метризуемости vY имеем: Zv = Zv = Z(Y) . Тонкая равномерность Vf

метризуемого равномерного пространства vY имеет базу, состоящую из всех открытых локально конечных покрытий, следовательно f : liX —> VyY также равномерно непрерывно. □

Следствие 2.12. Для равномерного пространства

uX существует такая COZ тонкая

Z

равномерность u^, что u ^ u^ и ^ u^-.

Доказательство. Равномерность U имеет базу из некоторого семейства С — равномерно дискретных вполне COZ — аддитивных U — открытых покрытий [13], следовательно U d .

Каждое счетное U — открытое покрытие <Т — локально конечно, следовательно, имеем И* CZ U^ . □

Следствие 2.13. Каждый Zu — ультрафильтр Коши относительно равномерности U^ является счетноцентрированным.

Доказательство. Следует из uw С ucf . □

Следствие 2.14. Пополнение fiuX равномерного пространства UX относительно равномерности Ucj содержится в Волмэновской геа1компактификации vX, т.е.

fuX с VuX cPuX.

Доказательство. Непосредственно следует из Следствия 2.13.

Следствие 2.15. Пусть W - равномерность пополнения f X . Тогда Ру (fu X) = Ри X . Доказательство. Следует непосредственно из Следствия 2.14.

Теорема 2.16. Пусть uX и vY - COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда f X равномерно гомеоморфно fvY, если и только, если Р X гомеоморфно

PvY.

Доказательство. Пусть W и w' - равномерности пополнений f X и f Y, соответственно. Тогда Pw (fuX) = Ри X и Pwf (fvY) = PVY . Следовательно, Ри X гомеоморфно PvY , если flu X равномерно гомеоморфно f Y.

Обратно, из гомеоморфности РиХ и PvY следует равномерный гомеоморфизм иХ и vY (см. Теорему 2.8). Тогда пополнения /ЛиХ и jUyY равномерно гомеоморфны. □

Следствие 2.17. Пусть uX и vY - полные COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеоморфно vY ,если и только, если РиX

гомеоморфно P Y .

Доказательство. Следует из Теоремы 2.16.

3. Об инверсно-замкнутых кольцах равномерных пространств.

Пусть M(Cu (Р X)) (M(Cu (X)) , M(C (X))) - множество всех максимальных идеалов коммутативного кольца с единицей Си (Ри X) (Cu (X) , C (X)) со Стоуновской топологией [24]. Для компактификации Ри X теорема Стоуна формулируется следующим образом: Теорема 3.1. [24]. Для компактификации РиX максимальные идеалы C (Р X) находятся во взаимно однозначном соответствии с точками Ри X по правилу Ip={ f G C* (Ри X) : f (p) = 0}, где p есть точка Ри X .

Будем обозначать M(C" (Ри X)) как M* (Ри X) , M(C¡ (Ри X)) как M* (uX) и M(Cu (X)) как M(uX) .

Теорема 3.2. [24]. Компакт РиX гомеоморфен пространству максимальных идеалов

Mu РUX).

Ниже следствие непосредственно вытекает из предположения, что кольцо CM (X) изоморфно кольцу C u ( ßuX) .

Следствие 3.3. Компактификация ßX гомеоморфна пространству максимальных идеалов

Mu (uX ).

Если C (X) и CV (Y) изоморфны для равномерных пространств uX и vY , то MU (uX) и

M (vY) гомеоморфны.

Следствие 3.4. Для равномерных пространств uX и vY их компактификации ßuX и ßvY

гомеоморфны, если и только, если CM (X) и Cv (Y) изоморфны.

Теоремы 2.4, 2.8, 2.16 предыдущего раздела влекут следующие результаты.

Следствие 3.5. Пусть uX и vY - равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX COZ — гомеоморфно vX , если и только, если CM (X) изоморфно Cv (Y) .

Следствие 3.6. Пусть uX и vY - COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеоморфно vY, если и только, если Cu (X) изоморфно

CU (Y ).

Следствие3.7. Пусть uX и vY - COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда пополнение /Ии X равномерно гомеоморфно пополнению / Y, если и только, если

Cu (X) изоморфно Cv (Y) .

Для COZ — тонких равномерных пространств uX и vY C* ( X ) = U * (uX ) и

Cl (Y ) = U * (vY ) [12], [13].

Следствие3.8. Пусть uX и vY - COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда пополнение / X равномерно гомеоморфно пополнению / Y, если и только, если

UU (uX) изоморфно UU (vY).

Следствие 3.9. Пусть uX и vY - полные COZ — тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеморфно vY если и только, если U * (uX ) изоморфно U (vY).

Для характеризации максимальных идеалов CM (X ) в терминах ßu X применим кольцевой изоморфизм f I—> ßuf кольца Си (X) на кольцо С (ß Х~) .

Теорема 3.10. Максимальные идеалы CM (X) взаимно однозначно соответствует точкам ß X по правилу I* = I f G C* (X) : ßu f (p) = 0} для каждой точки p компактификации ßu X .

Для отношений Zu — фильтров и Zu — ультрафильтров с кольцом C ( X ) рассмотрим функцию £ : Си (X) —> Z,u ) = f 1 (0) G Zu для f G Cu (ХУ) . Следующий результат является

аналогом [16, 2.3] и показывает, что образ идеала (максимального идеала) при является zu —

фильтром ( Z — ультрафильтром) и прообраз Z — фильтра ( Z — ультрафильтра) является идеалом (максимальным идеалом).

Предложение 3.11.

(a) Если I - собственный (максимальный) идеал в Си то -2(1) = ■ ./ " Za — фильтр (Zu —ультрафильтр) на uX.

(b) Если J7- zu—фильтр ( Zu —ультрафильтр) на uX, то £ 1 = {f G Си (^Q ! ^"(У) G - (максимальный) идеал в Си (-AQ •

Теорема 3.12. Максимальные идеалы Си (X) взаимно однозначно соответствуют точкам

компактификации ßuX по правилу 1р = | / G (.^(Х) '. /) G [^^С/ )]^- v j для любой точки р

компактификации ßu X .

Доказательство. Аналогично доказательству Теоремы 1.30 [25].

Следствие 3.13. Компактификация ß X гомеоморфна пространству максимальных идеалов

M (uX ).

Доказательство. Аналогично доказательству Следствия 1.31 [25]. Если CM(JQ и С (У) изоморфны для равномерных пространств uX и vY , то !М(иХ) и [M(vY) гомеоморфны. □

Следствие 3.14. Для равномерных пространств uX и vY и их компактификации ßu X и ßvY гомеоморфны, если и только, если M(uX) и M(vY) гомеоморфны.

Следствие 3.15. Пусть uX и vY - равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX COZ — гомеоморфно vX, если и только, если Си (X) изоморфно Cv (Y).

Следствие 3.16. Пусть uX и vY - COZ тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеоморфно vY если и только, если Cu (X) изоморфно

C (Y ).

Следствие 3.17. Пусть uX и vY - COZ тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда пополнение / X равномерно гомеоморфно /Y если и только, если Cu (X)

изоморфно Cv (Y) .

Для COZ — тонких равномерных пространств uX и vY Cu ( X ) = U (uX ) и

Cv (Y ) = U (vY) [10], [11].

Следствие 3.18. Пусть uX и vY - COZ тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда пополнение /Ии X равномерно гомеоморфно /Y, если и только, если U ( uX ) изоморфно U (vY ).

Следствие 3.19. Пусть uX и vY - COZ тонкие равномерные пространства с первой аксиомой счетности. Тогда uX равномерно гомеоморфно vY , если и только, если U ( uX ) изоморфно

U (vY )..

Замечание 3.20. Отметим, что Теорема 2.10 является равномерным аналогом Теоремы Стоуна [24], а Теорема 3.12 является равномерным аналогом классической Теоремы Гельфанда-Колмогорова [14].

Литература

1. Arhangel'skii A. V., Ponomarev V. I. Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises.-Reidel, translated from Russian, 1984. 423 p.

2. Borubaev A. A., Chekeev A. A., PankovP. S. Spaces uniformed by coverings.-Budapest, 2003. 170 p.

3. Charalambous M. G. A new covering dimension function for uniform spaces //J. London Math. Soc. (2) 11, 1975, pp.137-143.

4. Charalambous M. G. Further theory and applications of covering dimension of uniform spaces //Czech. Math. J. 41 (116), 1991, pp. 378-394.

5. Charalambous M. G. The dimension of metrizable subspaces of Eberlein compacta and Eberlein compactifications of metrizable spaces //Fundamenta Mathematicae 182, 2004, pp. 41-52.

6. Chekeev A. A. Uniformities for Wallman compactifications and realcompactifications//Topol. Appl. 201 (2016), pp. 145-156.

7. Chekeev A. A., Rakhmankulov B. Z. On ft —like compactifications of the uniform spaces//Vestnik KRSU, V.16, No 5, (2016), pp.85-87 (in Russian).

8. Cech E. On bicompact spaces//Ann. of Math. 38, 1937, pp. 823-844.

9. Chigogidze A. Ch. Relative dimensions, General Topology. Spaces of functions and dimension //Moscow: MSU, 1985, pp. 67-117 (in Russian).

10. EngelkingR. General Topology - Berlin: Heldermann, 1989. 515 p.

11. Frink O. Compactifications and seminormal spaces //Amer. J. Math., 86, 1964, pp. 602-607.

12. Frolik Z. A note on metric-fine spaces //Proceeding of the American Mathematical Society, V. 46, n. 1, 1974, pp. 111-119.

13. Frolik Z. Four functors into paved spaces //In seminar uniform spaces 1973-4. Matematicky ustav CSAV, Praha, 1975, pp. 27-72.

14. Gelfand J. On rings of continuous function on topological spaces //Dokl. Akad. Nauk SSSR 22, 1939, pp. 11-15. (in Russian).

15. Georgiou D. N., IliadisS D., Kozlov K. L.The inductive dimension of a space by a normal base //Vestnik Moskov.Univ., Ser. I, Mat. Mekh., N 3, 2009, pp. 7-14. (English translation: Moscow Univ. Math. Bull., 64 (3), 2009, pp. 95-101).

16. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions //The Univ. Series in Higher Math., Van Nostrand, Princeton, N. J., 1960. 303 p.

17. Hager A. W., Johnson D.J. A note on certain subalgebras of C(X) //Canad. J. Math. 20, 1968, pp. 389-393.

18. Hager A. W. On inverse-closed subalgebra of C(X) //Proc. Lond. Math. Soc. 19 (3), 1969, pp. 233-257.

19. Hager A. W. Some nearly fine uniform spaces //Proc. London Math. Soc. (3) 28, 1974, pp. 517-546.

20. Isbell J. R. Algebras of uniformly continuous functions//Ann. of Math., 68, 1958, pp. 96-125.

21. Isbell J. R. Uniform spaces- Providence, 1964. 175 p.

22. Mrowka S. ¡3 - like compactifications //Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae, 24 (3-4), 1973, pp. 279-287.

23. Steiner A. K., Steiner E. F. Nest generated intersection rings in Tychonoff spaces //Trans. Amer. Math. Soc. 148(1970), pp. 589-601.

24. Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology //Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937), P. 375-481.

25. WalkerR. The Stone-Cech compactification.- Springer-Verlag, New York, Berlin, 1974. 333p.

Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода

Каракеев Т. Т.1, Мустафаева Н. Т.2

1Каракеев Таалайбек Тултемирович /Karakeev Taalaibek Tultemirovich — доктор физико-математических

наук, профессор;

2Мустафаева Нагима Таировна /Mustafaeva Nagima Tairovna — аспирант, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Получен регуляризирующий оператор, доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению рассматриваемых уравнений в шаре. Abstract: in work questions of regularization of the nonlinear integrated equations of Volterra of the first kind. The regularizing operator is received, uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the considered equations in a sphere is proved.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость. Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.