Случайные колебания длины приоритетной очереди при обслуживании конфликтных потоков по алгоритму с продлением в случайной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 1, с. 112-118

УДК 519.21

СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДЛИНЫ ПРИОРИТЕТНОЙ ОЧЕРЕДИ ПРИ ОБСЛУЖИВАНИИ КОНФЛИКТНЫХ ПОТОКОВ ПО АЛГОРИТМУ С ПРОДЛЕНИЕМ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

© 2009 г. А.В. Зорин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского zoav1 @шc.nnov.m

Поступила в редакцию 22.11.2008

Изучается система обслуживания формируемых в случайной среде конфликтных транспортных потоков автоматом-светофором с обратной связью. Требования одного из потоков имеют приоритет над остальными. Алгоритм обслуживания циклический, допускает продление обслуживания неприоритетного потока при отсутствии требований по приоритетному потоку. Устанавливаются условия существования стационарных колебаний длины приоритетной очереди.

Ключевые слова: случайная среда, обслуживание конфликтных потоков, стационарный режим, итеративно-мажорантный метод.

Математическая модель системы обслуживания конфликтных транспортных потоков по алгоритму с продлением

Пусть на перекрёсток поступают два конфликтных транспортных потока П1, П 2. Изменение во времени вероятностной структуры входных потоков определяется внешней случайной средой. Моделью случайной среды будет служить неразложимая марковская цепь с состояниями е(1), е('Т>, ..., е(йй < да. Вероятность смены состояния среды с е'', I = 1, 2, ..., й , на состояние е(к), к = 1, 2, ..., й , равна а{к . Смена состояния

среды может происходить только в моменты времени, совпадающие с моментами смены состояния обслуживающего устройства (автомата-светофора). Если среда находится в состоянии

е(к), то требования по потоку Пу, у = 1, 2,

поступают группами так, что поток групп есть

пуассоновский с параметром А,(к), размеры

групп суть независимые случайные величины и произвольная группа содержит с требований,

с = 1, 2, ., с вероятностью р(с ук). Такое предположение о структуре согласуется с наблюдениями: при хорошей погоде потоки машин на магистрали, как правило, являются пуассонов-скими, а при плохой погоде превращаются в потоки пачек Бартлетта [1]. Требования потока П у поступают в накопитель О у неограничен-

ного объема. Обслуживающее устройство имеет 2 состояния: Г(1) и Г(2). В состоянии Г(у) обслуживается максимально возможное число требований из очереди О у, а требования другой очереди не обслуживаются. Время пребывания светофора-автомата в состоянии Г( 1) неслучайно и равно Ту. Требования первого потока имеют приоритет над требованиями второго потока в следующем смысле. Если по окончании времени, отведённого для обслуживания требований из очереди О2, очередь О1 пуста, то снова включается режим обслуживания требований из очереди О2, в противном случае включается режим обслуживания требований из очереди О1. После окончания времени, отведённого для обслуживания очереди О1, всегда начинается обслуживание очереди О2. Таким образом, обслуживающее устройство выполняет не только традиционные функции по обслуживанию неоднородных требований, но и функции по управлению входными потоками для разрешения их конфликтности, по формированию очередей в накопителях, а также функцию изменения режимов своей работы. Процесс обслуживания удобно характеризовать не длительностями обслуживания произвольного требования, как принято в теории массового обслуживания, а потоками насыщения П1, П2 -выходными потоками системы обслуживания при максимально возможной загруженности её накопителей и эксплуатации. Если обслуживающее

( у )

устройство находится в состоянии Г , то поток насыщения пу содержит I ■ требований.

Все рассматриваемые далее объекты задаются либо конструируются на некотором вероятностном пространстве (О, F, Р), где О — множество описаний ю элементарных исходов, F - а -алгебра событий А с О, Р — вероятность на F. Обозначим Г = {Г(1), Г(2)}, X = {0,1, к} х {0,1, к} . Введём отображения V : Г х X ^ {Т1; Т2}, и: Г х X ^ Г следующим образом. Для Г( 1) еГ и х = (х1, х2) е X пусть v(Г( 1), х) принимает значение Т1, если Г( 1) = Г(2) и х1 > 0, в противном случае принимает значение Т2; и(Г( 1), х) принимает значение Г(1), если Г( у) = Г(2) и х1 > 0, в противном случае принимает значение Г(2). Пусть т0 = 0, Г0 е Г - состояние обслуживающего устройства в момент т0, к у 0 - число требований в накопителе О у в момент т0, к0 = (к10, к20), х-1 - состояние случайной среды в момент т0. Определим рекуррентные по *, * = 0, 1, ... соотношения: хг+1 =

= Т + v(Гг,кг), Г+1 = и(Гг, кг) — состояние обслуживающего устройства на промежутке (т*, хг+1 ], к у + — число требований в очереди

в момент Т*+1, кг+1 = (к1 г+1, к2 г+1). Промежуток (тг-1, т* ] будем называть * -м тактом. Чтобы формализовать функциональные связи между состояниями случайной среды, длинами очередей и состоянием обслуживающего устройства в смежные моменты наблюдения, введём следующие величины и отображения. Пусть а0, а1, ... - независимые случайные величины с равномерным распределением на интервале (0,1), отображение Н :

{е(1), е(2), к, е(й)} х х (0,1) ^ {е(1), е(2), к, е(й)} принимает в точке (е('1), а) значение е(1) при

0 < а < а{ 1, значение е(к) при ап + а12 + к + + а1к-1 < а < ап + а12 + к + а1к, к > 2. Тогда последовательность х-1, Х0, ••• Х* , •••, образованная рекуррентн^1м соотношением Хг+1 = = Н(хг-, аj), будет марковской цепью, отображающей смену состояний случайной среды.

Именно Хг задаёт состояние среды на промежутке (т*, т*+1]. Обозначим %у* максимально возможное число требований очереди О у , обслуженных на промежутке (т*, т*+1], %уi число фактически обслуженных требований очереди

О у на промежутке (т*, т*+1], п у* число требований потока П у, поступивших на промежутке (т*, тг+1 ]. Легко видеть справедливость соотношений \уг = тт{к у г + п у*, % у* }, к у, ^ =

= тах{0, к у - + п} . Положим % =

= (%1,г, %2,г ) , %г = (%1,г , %2,г ) • Итак, получено рекуррентное соотношение

(Гг +1, кг+1, Хг +1) = (и(Гг, кг X

тах{0, к +Пг - % } Н(Хг, аг )) , позволяющее изучить управляемую случайную последовательность

{(Гг, к, Хг); г = 0,1, к}.

Отметим, что аналогично дальнейшему можно изучить более громоздкий процесс {(Г-, к- , Хг, % X * = 0,1, к}.

Для задания нелокального описания [1] входных потоков и потоков насыщения перечислим свойства условных распределений маркированных точечных процессов {(т*, п*, V*); г = 0,1, к} с меткой vi = (Г*, к*) требований на промежутке (т*, т*+1 ] и {(т*, %, V '); г = 0,1, ...} с меткой V г = Г* требований на промежутке

(тг, Тг+1]. Положим ^к)(г) = ХГ=1 2<СРС1,к) и

определим величины ф(Ь; Т, у, к), Т > 0, Ь = 0 , 1, из разложения

ад

ехр{А.(к)Т(/(к)(г) -1)} = XгЬф(Ь; Т, у, к).

Ь=0

Так определённая величина ф(Ь; Т, у, к) есть вероятность поступления Ь вызовов потока П у

за время Т при состоянии среды е(к). Например, для потока Пуассона ф(Ь; Т, у, к) =

= (А,(к )Т )ь (Ь!)-1 ехр{-А,(к )Т}, для потока Бартлетта выражение приведено в [2]. Заметим, что в перечисленных частных случаях ряд у)(г)

сходится как минимум в некотором круге | х |< 1 + в, в > 0. В дальнейшем будем предполагать именно такой вид области сходимости. Тогда для Ь = Ь Ь2) е X , у = (У1, У2) е {(0,0),

(А,0),(0, ^2)>, г є {1, 2}, 0 < ~ < і, Г1 є Г, 4 ^ 42,

' (к) (1) (2) (й) а+і(^і,0;2, к) = І аи ІІ а (*1, х2;11):

X 1 є X , 6 і ) є{е(), Є' к, е( -1} имеем 1=1 VХ1=0х2 =0

^2 - Х2

Р({П = Ь, Е)і = _у} | {Г~ =Г(1\ хф(- х1; ^і1,1) Іф(Ь; Т2’ 21) +

Ь=0

к~ = X(іх~ = е(к~),0 < і < і}) = І2 ^2^2 ^

' ’ + І а(0, Х2;2,1)ф^;Т2,1,1) Еф(Ь;7^,2,1)

Ь=0

= Р({пи = ^} | {Г = Г10, к = х^, Хі = ^}) х Х2=0

х Р({п2>г = ь2} | {Г = Г( 1\ к,. = X(і}, х = е(к‘}}) х йі+1(^; 2к) =

й ^2 +і 2

х Р(&. = у2}|{Гг = Г( 1 к = х(і}, Хі = е(к-}}) х = І а,к І ф(^2 +і2 - х2; Г2,2,1) х

х Р({^ = У2} | {Г = Г( 11), К = х(і), хг- = е(к)}),

= г( 1 К = V х = »(кН'* =

1=1 Х2=0

х (й-(0, х2; 2,1)ф(w1; Г2,1,1) +

Р({Пг,і = Ь}|{Г = ГиКі = х, Хі = ^;}) =

= ф(Ьг; у(Г( 1), х), и(Г( 1), х), к), х1=0

Р({2 . = і г}|{Г =Г( 1), к = х, Хі = е(к)}) = 1

(1) ^ ^Г(1) ^ + Ій(х1, х2;1, 1)ф(^-х1; 72,1,1))

для w1 = 0, 1, ... и w2 = 1, 2, .... и и(Г( 1) х) = Г(г) Введём производящие функции

ад ад

Р({^гі = 0} | {Гг = Г( 1), кг = х, Хі = е(к)}) = 1 ^0^ v2, 3,к) = І ІV1Ъх2&(х1, х2; 3,к),

хі =0 х2=0

“г,г

при и(Г( 1), х) Ф Г(г).

Для управляемой случайной последовательности {(Г*, к*, х*); * = 0,1, к} справедливы сле-

Фі 0^ v2, і-,к) = 11 Vі ^Х2 &(xl, х2;2, к)

х1 =1х2=0

соответствующих распределении, сходящиеся, дующие утверждения. по краИнеИ мере, в области

{(^, V2):max{| Vl |,| V2 |} < 1} .

Теорема 1. Последовательности {(Гг-, к1г-Хі); і = 0,1, к}, {(Г, кі, Хі); і =0,1, к} при заданном распределении вектора (Г0, к0, Х0) являются марковскими цепями. Теорема 3. Имеют место рекуррентные по

Учитывая рекуррентные соотношения из теоремы 2, получим следующее утверждение.

Обозначим і = 0, 1, ... соотношения

Йг(х1, х2; 1 к) = Р({Г = Г( 1), ^і+1(^, V2,1,к) =

й

к,і = х1, к2,і = х2, Хі = е(к)}), = Іа1Л(Vl-іl ехр{А(1 \()(Vl) -1) +

Й1,(х1; 1, к) = Р({Г. =Г( 1), к1,і = xl, Хі =е( к)}).

1=1

+ Я(2 )Tl(f21 ^ (V 2 ) - 1)}Фі (Vl, V2, I) +

І1 -1 ад

Теорема 2. Имеют место рекуррентные по

+ ехр{Я(2'\(ІЇ-1)}11V2х2йі(х1, х2; 2,1) х

х1 =1х2 =0

х1 —1х2 —

і = 0, 1, ... соотношения: і1-х1

х Іф(Ь;71,1,1)(1 -Vlb-іl+Xl));

й і1 w2 Ь=0

й+1(0, W2; 1, к) = Іа1,к І І & (х1, х2;2, 1) х щ . ... , -і2 ,.(г)т , (г), . 1) +

1=1 х1 =1х2=0 ^і+1^1, v2,2, к) = І Щ,к (v2 2 ехр{Х(1)Т2( /1{>(^) - 1) +

1 =1

І1

-х1

х ф(W2 - х2; Т1,2,1) Іф(Ь; Т1,1,1), + Х(27(}(v2) -1)} х

Ь=0 х (^.(Vl, V2,1, I) + ^.(0, V2,2, I)) +

й w1+і1 w2

Qi+l(wl, w2;1, к) = Іа1,к І ІЙ (xl, х2;2,0х + лютілі), л т 4^ .л

1=1 х1=1 х2=0 + ехр{А,(1)Т2^./1( >1) -1)} І Іф(Ь; Т2, 2,1) х

хл =0 Ь=0

х ф(w1 + і1 - х1; Т1,1,1 )ф(w2 - х2; Т1, 2,1)

ад

для w1 = 1, 2, ... и w2 = 0, 1, ... и х(1 -^-і2+х2)(й(0,х2;2,1) +Іа(х1,х2; 1,l)vlXl)■

12’’ х =0

Можно получить рекуррентные соотношения от начального распределения имеет место соот-для вероятностей й1 і (х1; 1, к) и их производя- ношение

щих функций Нш й1 і+1 (х1; 1, к) = 0. (5)

ад ад і^ад

І(х1; j, к), І(х1;2 к)

из теорем 2, 3. Для этого достаточно заметить, что в силу счётной аддитивности вероятности

Предположим, что изменение состояния случайной среды описывается неразложимой непериодической марковской цепью. Случай периодической цепи изучается аналогично. То-Qu(х1;у,к) = Хйг(х1, х2; у, к) гда существует единственное стационарное

х2=1 распределение вероятностей этой цепи. Обои, следовательно, значим ak стационарную вероятность состоя-

Xv1XlQ1,i (х1; у, к) = ^ (v1,1, у, к), ния е( ). Обозначим ц(у ) = ХГ=1 срс 1 средний

размер группы по потоку П у при состоянии

X^й,г- (х1 ;2, к) = фг (vl Д к). среды е(к) .

х1=0

ад

Условия существования стационарного режима случайных колебаний приоритетной очереди

Теорема 4. Для существования стационарного распределения марковской цепи (1) достаточно выполнения неравенства

(alA,(l1V(1) + + к +

+ ad А(1й ^ ))(Т1 + Т2) - А < 0.

В оставшейся части работы мы будем изучать свойства последовательности

{(Г*, к1 *, х* ); * = 0,1, к} , (1) Доказательство. Допустим, что выполнены

описывающей динамику изменения состояния неравенства из формулировки теоремы, а ста-обслуживающего устройства, флуктуацию дли- ционарного распределения цепи (1) не сущест-ны приоритетной очереди и изменение состоя- вУет- Тогда для всякого состояния должно

ния внешней случайной среды. Суммируя соот- иметь место соотношение (5). Из соотноше-

т ,,, п 1 ния (5) легко вывести, что последовательность

ношения теоремы 2 ^2 = 0, 1, находим: 4 ^

2

Й1,і+1 (0; 1, к) =

{Е к1 *; г = 0,1, к} неограниченно возрастает. Покажем, что на самом деле эта последователь-

й '1 '1 -х1 (2)

= Іа1к ІЙ1і 0ч;2,1) Іф(Ь; Т1,1,1), () нос!ь огРан™

1=1 х1=1 ь=0 Положим v2 = 1в рекуррентных соотноше-

Й1 (Wl; 1, к) = ниях теоремы 3. Получим:

й І1+"ї (3) ^Л^1,1, к) =

= Іа1 к І&1,і(х1;2,1 )ф(wl + '1- х1; тl,1,1 ^ й

1=1 х1 =1 = Іа1Л(V ехр{А(1 Т/ 1 )(Vl) - 1)}Фі(V!, 1,1) +

й 1=1

Ql,г+l(wl;2 к) = Іаі,кх '1-1 '1 -х . ' + х

1=1 +ІЙ1,і(х1;2,1) І ф(Ь;Т1,1,1)(1 -у/^1)), (6)

( w1 х1=1 Ь=0

х

ІЙ1,і(х1;1,1 )ф(Wl - х1; Т2,1,1) + (4)

х1 =1

+ а, (0; 2,1 )ф( Wl; Т2,1,1)

^+1(^,1,2, к) =

= Іа1 к ЄХР{^(11 )Т2(/(‘- 1)} х

й

І

1 = 1

В соотношениях (2)-(4) фактически вычис- х (^ (v1, 1,1, I) + ^ (0,1,2, I)). (7)

лены одношаговые переходные вероятности Выберем начальное распределение цепи (1)

марковской цепи (1). Из их вида можно заклю- Л , >т, ( Л . , ч

^ 4 ' так, чтобы производящие функции т0(^ ,1, у, к),

чить, что все состояния этой цепи являются су- 0 1

щественными и сообщающимися. Следователь- ф0(^>1>к), у = 1, 2, к = 1, 2, •••, й, сходино (см. [3]), либо существует единственное ста- лись в области | ^ |< 1 + в1, 0 < в1 < в . Сумми-ционарное распределение цепи (1), либо для руя соотношение (7) по к = 1, 2, ..., й , и при-всякого состояния (Г( 1), х1, е('к)) и независимо меняя затем соотношение (6), получим:

Х^+2* (Vl,1,2, к) = Х^+2Я ^'Л2, к) <

к=1 к=1

= Х exP{А(lel)T2^^^(el)(vl) - 1)} х <Х X - X X .9^1 "а^Г^ х

0! =1 92 g =1 92 g-1=1 9!=1

х (^г+2я-1^1,01) + ^г+2*-1(0,1, 2, 01)) = х ехр{А(е1)Т2(/1(el)(v1) -1) + А'2^/1(e2)(v1) -1)} х

2

= X Xae2,el(Vl-Llexp{А(lel)T2^^/1(el)(Vl)-1) + х^МА'03^/'/03^;)-1) +

e2=1 el=1 + А(104)Т1 (/1(б4)^) -1)} хк х

+ А^e■)т1t/|(e2)(v-1) - ЩО),.,,-2^',1,e2) + х ехрй'-' - 1) +

-1)} X +а(|0„, /<,а)(V|)_ (V, 1,2,02,) + С,

«1 -1 ^ Л

1 -1 ОТ

XX:-..-..

х1=1х2 =0 где С > 0 . Обозначим а^к вероятность пере-

Ь-«'+хода за п шагов случайной среды из состояния

2 А1 У1 )) + (I) (к) (1) (0) с

ь=0 еу в состояние е , а] к = а1к, а]к =о1к,

х X X+2„_(х|? х2; 2, 0т) х

_'х =0 где С > 0 Обозначим а ( п )

«1- х|

х X ф(Ь; Т1,1, 0т)(1 -Vlb-г^+X|)) +

й

+ X^{А'')^/(e|)(Vl)-1)}¥- 2 '(0 1т el) ^ к - символ Кронекера. Производная в точке

0|_' V' = 1 от выражения, стоящего сомножителем

Заметим, что при 1 < V' < 1 + В' правая часть при ^(^ ’1 2 02я ), равна

не больше, чем й й й й «

! (e ) га ) ~Л~ X X X <Л0^ш ’0^ш-I <Л0^ш-'^г-2 "’^А У1 Я ' х

XXae2,el^^{А'01^//01^)-1) + ^1 0тя-I='0^=1 e|=' Я Я Я Я

^'^ х exp{А|e|)T2^^^(e|)(Vl) -1) +

+ А(102 )Т' ^ь/^(б2) (V') - 1)}^.+2я-2^Д2, 0т) + С', + А(102)Т1(/1(02)^) -1)} х

где х exp{А(leз)T2(fl(eз)(Vl) -1) +

_ _ ae2.e]

х exp{А|e2 _l)(Vl) -1) +

С' = X Xae2,e|exp{А(le|)T2^^(e|)(Vl) -1)} х + А^Т/4^) -')} х... х

^ 1 '' I х'

х X X ф(Ь;Т',1,02)(1 -v™^+X|) +

х| _1 Ь_0

й

Ь-£' + х|

+ А|02 Я Т|(/1(е2 Я )(Vl) -1)}

+ e^^exp{А(le|)T2^^^(e|)(vl) -1)} > 0. = Т2^=|А(|e)ц(0)(а02Я,01) + а02^ + к + а0^,0) +

0 _1

й

Снова применяя соотношения (6), (7), най- + у XА(leV1(e )(а028 02) + а02■г04) + к + а00 0) - я«' . дём: 0=1 2 Я ’ 2 Я ’ 2 Я ’

й й _р 0 ^ 0) Поскольку состояния среды образуют, по

X X

2 =1 1 =1

X Xа02,0|^ eXP{А(le|)T2^./1(e|)(vl) - !) +

-«| -

02,0 |V ^^1 Т 2(/1 (К1) !)^ предположению, единственный непериодиче-

ский класс, имеют место предельные соотноше-

+ А(le2)Tl^^^(e2)(Vl) - 1)}^+2я-2^1, 1, 2, 0 2) < ния

й й й й -2« 11п1 (а02+ а^53) + к + а£,0 )я-1 = ^ ,

\\\\/-» уч уч и I х а^ад

х exp{ А'1 Т2(/^'(V') -1) + А(1б2)Т'(/1<д2)^1) -1)} х х exp{А(leз)T2(fl(eз)(Vl) -1) +

+ А('04)Т'(/|(04) (V') -1)}^.+2Я-4 (V', 1, 2, 0 4) + С2 / со знаком выражения

04_'03_102_'01 _' 1ЙП (а02аа,02) + а02Я;04) + к + а00^я-1 = ae .

'2)г ( /(e2)(V') -')} х Я^ад 2Я 2Я 2Я

(0) (0) Поэтому, выбирая я достаточно большим,

х exp{Аl Т2(/1 (vl) -') + добьёмся того, чтобы знак производной совпал

^ ^ (Т|+ Т2)X АСм!0^ -«' < 0.

где С2 > 0 . Повторяя эту процедуру достаточ- 0=|

ное число раз, установим неравенство: Обозначим

V _1

ґ й й й

R+ = шах { І І І

*•+ — лим^*. ■ / / / а а а х

!<02 Є <й 02 ?_1 =102 *_2 =1 01 =1 2 ^ ’ 2 ^-1

х а.

02е-1,0 2е-2

-еі 1

а02,01 V х

х ехр^ТИ//01^) -1) + + Х(102)Т1(/1(02)^1) -1)} х х ЄХР{А(103)Т2(/1(03)(^) - 1) + + A,(l04)Tl^^/1(04)(Vl) -1)} х... х :ехр{А(102 е ^(/^е _l)(Vl) -1)-+ Х0, )Т1 (/і"1 е )(v1) -1)}}.

І й й

| —1 (^ (VI, 1, 1, к) +

[ йv1 к=1

+ Ч> (V!, 1, 2, к))

= Е к1 і; і = 0,1, .

Тогда последовательность = 0,1,.} ограничена.

{Е к 2,і;і =

Теорема 5 доказывается аналогично теореме 4.

Теорема 6. Для существования стационарного распределения марковской цепи (!) необходимо выполнение хотя бы одного из неравенств

Х(/V?)Т1 + аи Х(/^ )Т. - і і < 0,

й.

Заметим, что ^+ < 1 в некоторой правой окрестности точки V' = 1. Числовая последовательность

й

М0 =X^о(Vl,1,2, к),

к _1

й

М' =X^l(Vl,1,2, к), ...,

к _1

й

М2я-' = ^^^2я-'(^,1,2, к), к _1

М+2Я = КМг + с , , = 0, 1, ...

сходится, следовательно, она ограничена. В то же время в той же окрестности точки V' = 1 имеем

й

0 <XXІ,г (V', 1, 2, к) < Мг

к _1

для , = 0, 1, .... Нетрудно видеть, что и последовательность

Доказательство. Предположим, что стационарное распределение марковской цепи (1) существует. Выбрав его в качестве начального распределения, мы гарантируем существование пределов

Ііш Йі і+1 (х; 1, к) = Йі (х; 1, к),

і^ад

равных стационарным вероятностям соответствующих состояний. Функциональные соотношения для производящих функций

ад

^1,1, к) = ІVlXlQl(х{; 1, к),

Ф(^,1, к) = І VlXlQl( хі;2, к)

х1 =!

стационарных вероятностей можно получить из равенств (6), (7). Имеем:

й

^і, 1, к) = І аик (Vі 1 ехр{Х(/ )Ті (/і(1 )(Vl) -1)} х

1=і

хФ (^,1,1) +

'і-1 'і-хі Ь і +

+ Ій,(хг; 2,1) І ф(Ь; Ті, 1,1 )(1 -V!1’-'1+хі)), (8)

хі =1 Ь=0

й

¥(^, 2, к) = Іехр{Х/ )Т.(/11 )(v1) -1)} х

1=1

(9)

будет ограничена в силу интегральной формулы Коши. Итак, соотношение (5) не может иметь места, следовательно, существует единственное стационарное распределение марковской цепи (I). Теорема доказана.

Приведём здесь без доказательства условие, при выполнении которого ограниченным оказывается среднее число требований во второй очереди.

Теорема 5. Пусть

А(2)м21 )Т1 + А(2к)м(2к)Т2 - «2 < 0 для всех I, к = 1, 2, ..., й .

х (¥(^,1,1) + ¥(0, 2,1)). Подставим в равенства (8), (9) разложения

О ехр{Х!Т1(/Т0'1) - 1)} =

= і+(Хі1 ^Ті -А)^ -1)+0(0>! -1)2);

ехі

р{Х(/ Т./)(v1) -1)} =

= 1 + Х(/V? )Т.(V! -1) + 0(^ -1)2),

1 - V

Ь-і і + хі

= (Л -х' -Ь)^ -1) + O((Vl -1)2), справедливые в левой окрестности точки V' = 1, сложим полученные соотношения и приведем подобные. Суммируя результат по I = 1, 2 , ., й и устремляя V' к 1 слева, получим:

х =0

ад

й

X(Ф(1,1, I)(А(/ )м( 1 )Т' - «') + А")м(1 ^¥(1,1, I) +

I _1

+ А(/ V! )Т2^(0,2, I) + (10)

«| -1 «|-х|

+ X й'( х';2, I) Xф(b; Т',1, I)(А - х' - Ь)) = 0.

х| _1 Ь_0

Положив V' = 1 в равенстве (8), найдём, что

й

¥(1,1, к) = X аг кФ(1,1, I). Подстановка в ра-

1=1

венство (10) даёт

й

X(Ф(1,1, I)(А('1 )м(1 )Т' + а,А)М((1 Т -«') +

1_1

+ А(/ )м(1 )Т2 X а0,1Ф(1,1,0) + А('1 )м(1 )Т2¥(0,2, I) + 0_1,2,...,й 0ф1

«| -1 «|-х|

+ Xй'(х';2,I) Xф(Ь;Т',1,I)(А -х' -Ь)) = 0.

х| _1 Ь_0

Предположение, что для всех I = 1, 2 , ., й имеет место неравенство

приводит к невозможному выводу й'(0; 2, I) = = 0. Теорема доказана.

Итак, считая «типичным тактом» работы системы последовательное обслуживание первой очереди, а затем обслуживание без продле-

ния второй очереди, то есть промежуток времени длиной (Т' + Т2), можем так сформулировать условие стационарных колебаний длины первой очереди: среднее число требований, поступающих по первому потоку за «типичный такт», меньше максимально возможного числа обслуживаемых требований по этому потоку. При этом среднее число поступивших требований берётся и как среднее по возможным состояниям случайной среды, с учётом их стационарных вероятностей. Интересно, что на возможность стационарных колебаний длины приоритетной очереди не влияют характеристики другого потока. Таким образом, в системе возможно существование стационарного режима только по одному из потоков. Отметим, что неравенство из теоремы 6 фактически является необходимым для существования стационарного распределения цепи {(Г,, к,, х, );, = 0,1, к}.

Список литературы

1. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. С. 51-70.

2. Ляпунов А.А., Яблонский С.В. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. Вып. 9. М.: Физматгиз, 1963. С. 5-22.

3. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 2. М.: МЦНМО, 2004. 408 с.

STOCHASTIC OSCILLATIONS OF PRIORITY QUEUE LENGTH WHEN SERVICING CONFLICT FLOWS BY A PROLONGATION ALGORITHM IN A RANDOM ENVIRONMENT

A. V. Zorine

A queueing system of conflict traffic flows formed in a random environment by automatic traffic lights with feed-back is studied. Demands from one flow have priority over other demands. The servicing algorithm is cyclic, it allows service prolongation of non-priority traffic in the absence of priority flow demands. Existence conditions of priority queue length stationary oscillations are established.