Оптимальный алгоритм обслуживания с разделением времени и переналадками для дважды стохастических входных и ветвящихся вторичных потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование и оптимальное управление Вестник Нижегородского университетса им. Н.И. Лобачевского, 2008, № 1, с. 100-107

ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ И ПЕРЕНАЛАДКАМИ ДЛЯ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВХОДНЫХ И ВЕТВЯЩИХСЯ ВТОРИЧНЫХ ПОТОКОВ

А.В. Зорин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского zoavl @uic. nnov. ru

Поступила в редакцию 24.01.2008

Рассматривается система обслуживания формируемых в случайной среде с конечным числом состояний конфликтных потоков алгоритмом с разделением времени и переналадками. Обслуженные требования порождают ветвящиеся потоки вторичных требований, вероятностные свойства которых также зависят от состояния случайной среды. Критерием оптимальности является средняя стоимость пребывания всех требований в системе за один такт работы. Получены явные формулы для некоторых стационарных вероятностей. Показано, что оптимальным является обслуживание с относительными приоритетами.

Ключевые слова: критерий оптимальности, конфликтные потоки, случайная среда.

УДК 519.21

© 2008 г.

1. Постановка задачи

Рассматривается система обслуживания т < да конфликтных потоков. Входные потоки системы формируются в случайной среде с й <да состояниями: е(1>, в('Т>, ... е(а>. При состоянии среды е(к>, к = 1, 2, й, требования по j-му потоку, ] = 1, 2, ., т поступают группами так, что поток групп есть пуассонов-ский с параметром а.<; > > 0 . Размеры групп

суть независимые случайные величины, чьё распределение задано производящей функцией

1? >( - К I 11< 1 + 8 для некоторого 8 > 0 . Требования этих потоков называют первичными. Длительность обслуживания требования из --го

потока задана функцией распределения В- (^>, В- (+0) = 0, а длительность переналадки после обслуживания этого требования имеет функцию распределения В- (^>, В- (+0) = 0. Длительности обслуживаний и переналадок независимы между собой и от входных потоков. Обслуженное требование покидает систему, порождая при этом требования в каждый входной поток в случайном числе. Поток этих требований образует ветвящийся поток вторичных требований. Совместное

распределение {р->(у > : у е X = {0,1,.. ,}т }

числа порождённых требований по каждому потоку определяется состоянием случайной сре-

ды ек> . Здесь У = (У^ У2, ., Ут > и Р(>(У >

есть вероятность порождения одним требованием после пребывания в --ой очереди и при со-

(к >

стоянии среды е ровно У1 вторичного требования в первую очередь, У2 вторичного требования во вторую очередь и т. д. Пусть к : X ^ {1,2, ..., т +1} — заданное отображение такое, что прообразом точки п = т +1 является нулевой вектор 0 е X и равенство j = к(X> влечёт X- > 0. Если по окончании

переналадки очереди пусты, то начинается обслуживание первого пришедшего требования. Если же длины очередей описываются ненулевым вектором X = (х1, х2, ., Хт > е X, то на обслуживание выбирается требование из очереди с номером - = к(X> . Смена состояний среды может происходить только в моменты окончаний обслуживаний или переналадок. Состоя-

(1 > (к >

ние е сменяется на состояние е с вероятностью а1 к. По отношению к матрице

(а1к >1к=— состояния внешней среды образуют

неразложимый апериодический класс.

Описанная система обслуживания получается из [1, 2] в случае числа периодических подклассов й = 1. Поэтому естественно заимствовать необходимые сведения из указанных работ. Сделаем следующие предположения. Все рассматри-

ваемые случайные объекты определяются или задаются конструктивно на некотором вероятностном пространстве (О, ¥, Р(-)), где О - пространство описаний элементарных исходов, ¥ -о-алгебра событий А ^ О, Р() - вероятностная мера на ¥, Е - символ математического ожидания по вероятностной мере Р. Средние

ад

длительности обслуживаний Р ;1 =| їііБ^ (ґ)

0

и средние длительности переналадок Р ■ 1 =

ад

= | ґйВ^ (ґ) конечны. Обозначим р(к =

0

= ХуехУгРук)(У) - среднее число вторичных требований, порождённых требованием і-й оче-

(к)

реди при состоянии среды е и направленных в г-ю очередь. Будем считать, что эти величины не зависят от к (поэтому верхний значок к впредь писать не будем), обозначим

Р = (Рі,г )иг=1т , 1т — единичная матрица размера т х т. Будем предполагать, что собственные числа матрицы Р по абсолютной величине меньше 1, следовательно, матрица (Іт - Р) обратима.

Пусть т0 = 0, Т, - момент окончания обслуживания или переналадки, Т, < Т,+1, Х0 є є { е(1), е(2),..., е('ё)} - состояние среды в момент Т0, Х, є {е(1), е(2), . .., е('ё)} - состояние среды на промежутке (т,, Т,+1], к^ - число требований в і-й очереди в момент Т,, к, =

= (к,,,, к,,...Ктг), Г„ єГ = {Г1", Г™,..., Г«}

- состояние обслуживающего устройства в момент Т0, Г, є Г - состояние обслуживающего

устройства на промежутке (тг-1, Т, ]. Равенство Г = Г( і) имеет место, если на промежутке (тг-1, Т, ] осуществлялось обслуживание требования из і-й очереди, а Гг = Г(”), если на промежутке (тг-1, Т, ] осуществлялась переналадка прибора. В [1] доказано, что случайная последовательность {(Гг, к,, х, );, = 0,1, .} при заданном распределении случайного элемента (Г0, к0, Х0) образует неразложимую марковскую цепь с двумя циклическими подклассами. Если существует с необходимостью единственное стационарное распределение вероятностей

{0‘*)(н): э = 1,2, ..., п; w е X; к = 1, 2, ..., ё} этой цепи (здесь Q(5,к^н) — стационарная вероятность состояния (Г(5), н, е^к))), то, выбрав это распределение для элемента (Г0, К0, х0) , получим стационарную случайную последовательность и будем говорить в этом случае, что система обслуживания функционирует в стационарном режиме.

Обозначим С ]1 - суммарное время пребывания заявок в ]-й очереди на интервале (тг-, Т1+1] в стационарном режиме. Пусть стоимость пребывания одной заявки в единицу времени в ]-й очереди составляет с ^ . Тогда средняя стоимость пребывания заявок на интервале

т

(тг, тг+1] есть Jl (И) = £ Е(с; С и ) . функцио-

1=1

нал Ji (И) примем за экономический критерий качества работы системы на промежутке времени (т1, Т1+1 ]. Целью настоящей работы является

отыскание такой функции И (•) переключения фаз, при которой средняя стоимость Ji (И ) минимальна.

2. Получение явных формул для некоторых стационарных вероятностей

Будем говорить, что состояние системы обслуживания не зависит от состояния случайной среды в стационарном режиме, если для всех к = 1, 2, ё, н е X и 5 = 1, 2, п выполнено равенство Q(5 ,к )(н) = akQ(5 )(н), где ак - стационарная вероятность состояния среды е(к), Q(5 )(н) = Xd=lQ(^1 )(н) - стационарная вероятность того, что в момент окончания обслуживания или переналадки обслуживаю-

~ -р( 5 )

щее устройства находится в состоянии Г , а

длины очередей описываются вектором н. Непосредственно из рекуррентных соотношений теоремы 3.1 работы [1] устанавливается следующая теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы состояние системы обслуживания не зависело от состояния случайной среды в стационарном режиме достаточно, чтобы для всех целых к, ! от 1 до m имели место равенства а1к = ак.

Для произвольного вектора V = (у1, У2, ., Ут) и ' = ('2, ., 'т ) є X под символом V™

' '2 ™т

будем понимать произведение V! ^2 ■" vmm (полагая при этом 00 = 1). Пусть Xі = = {х є X : И(х) = і} . Полагая, что V !< 1 при і = 1, 2, ..., т, введём производящие функции

т *, к) = Ъ«,х'-’<2(‘,кЧ').

«(V, і, к) = 1„.х/'0(",к ’('),

й‘к Ч'О = V-1 Х„«х "'р'})(')

и преобразования Лапласа - Стильтьеса

9$к )(v) =

ад

= | ехр{-ґ хт=: —? )(1 - /( к )(Vг))} ¿В}. (ґ),

^) =

ад

=І ехр{-^т=дк )(1 - /(к )^г))} ¿в] (ґ).

0

Пусть Т — символ транспонирования. Обозначим Р = СР^ Р2,1, ., Рт,1) , Р= (Р1,1, p2,1, ., Рт,1) ,

I = (1,1, .,1) є X, Ті(к) = Т(І, і, к), фк = Ф(Т, і, к),

¥к) = (ч1к), ч*к),., ^тк))Т, ^=(% %.., ЮТ=

=^® +^2) + ф(к) = (ф(к) ф(к) ф(к ))Т

С5^(У Л к)

хі,е,к = дф(Л Л к)

v=1

і = х^,^1 + хі8,2 +...+х^,

х^ = х^1 +

С і,8,2 о. С і,8А ■ ■ (к) - )(7)

+ + ... + х^’ , ці 1 =-

—(к) =

Q(п )(0) = 2 [1 -Е »/ (р(/) + р (' ))|х

1 + р—) р—(/) Е /=1 V —Г г ¿1

Е а І л(

(І) /Iі *+

Е акЛ(к) | +

+ Е а^ ((р(/) + Р(') )Л(+к) - Л(+) (р(к) + р(к))) х

1</<к <А

1+р—) 1+р—(к)

Т=|Еа,Л(/)||2Еа/Л(+) І + Q(")(0)І Еа/Л(

(/)

Л(п ),

/=1 А /=1

х Еа,ак(Л(/)Л(+к) -Л(+)Л(к))

1</<к <А

ч(/)

/=1

1 +р—(/) 1 +р—(к)

Доказательство. Пусть ^^, 5) =

= ІІ1 ^, 5, к), ф(^ і) = 2=1 ф (V, і, к). Из равенств (4.1), (4.2) работы [1] получаем

Т(У, і) = ф(V,і)| Еа/9')(У)Д(')(У)| +

' =1

+Q(п)(0)

а —(/)

Е а/ -/у /()(v})(v)RС' )(v)

/=1

(1)

^(у, п) = £ ¥(у, г)£ а,^г(г) (V) . (2)

Г=1 1=1

Подставляя V = 1 в (1), получим

- ё Х1)

^.=ф;+ Q(п)(0)£ аг ^(1) . (3)

Продифференцируем равенства (1) и (2) по Vg

и положим V = 1 . Учитывая соотношение (3), имеем

х^ = х-« + (Р - 5 )^. + ф;Е а/ —«р ,1 +

/=1

+ Q(” }(0)

= —(кСk’l), 5г і - символ Кроменера, £, і, г = 1, 2, ..., т, -(к) = (-к), -2к), ., —т))Т ,

—(к)=(—1), —(2к),., —(,т))Т, Л(к)=(іт -рт)-1 —(к)= =(л1 ), Л),., Л(т ))Т, Л(+к) = Л(к)+Л(2к) +

+Л(2к) + .+дт), —(+к) = —(к) + —(2к) +... + —т),

к = 1, 2, ., А.

Теорема 2. Пусть а1 к = а к. Тогда независимо от выбранного отображения И() имеют место соотношения:

\

(4)

Е а/ —і а" рм +^Ї18(„)

I-1 —+ ,

т

т

Е х,8 = ЕІ х],г + ^гЕ а/рг,11. (5)

/=1

1,8 = £1 V .,^

1=1 Г=1

Просуммируем равенство (4) по . = 1, 2, ., т и прибавим к (5). После приведения подобных и

переноса £т=1(Р.8 ~ ^ 18) налево получим (в матричном виде):

(1т - РТ )¥ =

т

А

= Еа/ —(/) рф + р^ + Q(и)(0)

X

X

-1

-1

X

v= 1

Умножим полученное равенство слева на Доказательство. В условиях леммы

Q(n)(0) = (1 - Р(1) - Р(1))(2Л« £1=1 а, (^))-1 )-1.

(1т - Р )- . Тогда

¥ = (рф + р^)Еа/Л(/) + Q (0)Еа/Л(

\(/)

/=1

/ =1

1+р—(/)

. (6)

Поскольку ¥ + ¥2 + . + ¥т = 2 1, складывая элементы векторов-столбцов в (6), имеем

2-1 = (рф +р¥)]Т а/Л(+) +

/=1

+ Q(")(0)Е а/Л )

й

Е

/=1

1+р—(

(/)

—(

(/)

+

откуда

рф+р¥ =

1

^-Q(п )(0)Е а/Л(

(/)

хі е а/д( ,/=1

(/)

/=1

1+р—(/) ~И/Г

Подставим (7) в правую часть (6). Получим

¥ = | Еа/Л(/) || 2Еа/Л(+) | + Q(n)(0)| ¿а/Л

/=1

/ =1

(/) І П(п)/

(/)

/=1

( Е яіяк (Л)д(+к) -Л(+)л(к))

1</<к<А

(

1+р—(1) 1+р—(к)

—(/) —(к)

Поскольку ф = ¥- Q (и)(0)ЕА=1 а/ —(/)(—(+)) 1 то наряду с (7) рф + р¥ =

= (р+р )¥-Q(n )(0)]Е а/р—(/}(—(+})-1 =

/=1

= 1 Еа/(Р(/) +Р(/))^](2Еа/Л? І -Q(n)(0)х

хЕа/р—«>(—<+>)-1 + Q(п)(0)| Еа,Л(+)| х

/ = 1

V/=1

(8)

х Е а/а,.((рв) + р(>® -

1</<к <й

^(/к к )\\11 + р—(/) 1 + р—(к)

Поскольку Q(п)(0) ^ 0 , с нео бходимостью

р(1) +р(1) < 1.

Теорема 3. Пусть А,(1) = Л,(2) = ... = А,(ё). Тогда независимо от выбранного отображения И(),

Л(1)

¥ =

2Л«

(7)

ЕО!М=1 -р(1) -р(1) (9)

/¿1 —+ 2Л(+)

Доказательство. Из равенств (4.1), (4.2) работы [1] получаем

й п Ат

ЕЕ^^, 5, к) =22 (9(/ г, /) +

к=1 5=1 /=1 г=1

-,(/)^\Т?(/)/

+ 9(/ > ЖГ)(v)Ф (V, г, /) +

- >(/)

+ Q(п,/)(0) —у )(Vг )9(/)(v) яг/)(v)),

¥=ф+^Ео(п^—(/).

(10)

(11)

/=1 —+)

Дифференцируя (10) по V8 в точке V = 1 , приводя подобные и учитывая (11), приходим к матричному равенству:

(іт - РТ )¥ = —®

( _ й Q(п,/)(0)І

(р + р )¥+е Q (0)

/=1 —(+

т\-1

Отсюда, умножая слева на (Іт - Р ) , имеем

¥ = Л(1)

- а Q(п,/) (0) ^

(р+р ^е^^

(12)

Складывая строки матричного равенства (12), последовательно получаем:

1 = Л(1

2 +

( _ й Q(п,/)(0) І

(р+р ^е^^

Приравнивая (7) к (8), найдём выражение для Q(п)(0).

Следствие 1. Пусть а1к = ак и А.(1) = А.(2) =

= ... = Х( ё), тогда для существования стационарного распределения цепи {(Г, К1, х1);

I = 0,1,...} необходимо выполнение неравенства р(1) + р(1) < 1.

(13)

Подставив (13) в правую часть равенства (12), получим выражение для ¥ из (9), тогда использование этого выражения для ¥ в (13) приводит ко второму равенству в (9).

Следствие 2. Пусть А.(1) = А.(2) = ... = А.(ё) и для каждого к = 1, 2, ., ё существует хотя бы оин номер .0 = .0(к) е {1, 2, ., т} такой,

что Р.)(0) > 0. Для существования стационарного распределения цепи {(Г1, к , Х1);

х

х

-1

I = 0,1,...} необходимо и достаточно выполнения неравенства р(1) + р(1) < 1.

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 2 работы [2]. Необходимость условия получаем из теоремы 3 настоящей работы, учитывая, что все Q(п,{)(0) > 0 .

Замечание. Утверждения теоремы 3 и следствия 2 останутся в силе и в случае любого нечётного числа ё периодических подклассов [1]. Доказательства без изменений повторяют приведённые здесь.

3. Вычисление экономического критерия качества и оптимальное управление

Имея конкретные выражения для некоторых стационарных вероятностей, переходим к решению задачи о функции И (•) переключения фаз, минимизирущей величину Ji (И) .

ад

Теорема 4. Пусть Рг 2 = |(2 ёБг() < ад,

0

ад

Рг 2 = |12 йБг^) < ад, г = 1, 2, ..., т. В условиях

0

теоремы 2 или теоремы 3 Jl (И) = J (И) =

что Ся = А,кіі и имеют место соотношения: Е(к/,1-! А(п,{0},к)) = 0, Р(А(п,X,к))х

х Е(к],1 ! А, (п, Xг, к)) = хг*ік, Р(А, (г, X, к)) х х Е(к іі ! А, (г, X, к)) = хг, 1 ’к . Поэтому

й т

ЕС"’ =22 (Р(А(г, X, к)) х

к=1 г=1

х Е(А,к і,.! 4 (г’х, к» + Р(4 хг, к» х

х Е(А,к і,! 4 (n’ хг, к))) =

г=1

= Е| р.ГЕхг,],к +рг,12х

/.г,ік І _

к=1

к=1

= 2Сі 2(рг,1 + рг,1)хг, 1 + СОМ* ,

і=1 г=1

(14)

= £Рг .1* Г,] +Рг ,1^' .

г=1

Далее, если имело место событие {ш : Д1. (ш) = ^, то среднее время ожидания каждого поступившего на промежутке (т^ - Д1., ] требования

есть 2-1 / . При состоянии среды е('к) за время ? по .-му потоку поступает в среднем Щ V групп

требований по требований в группе в

среднем. Таким образом, для . = 1, 2, ..., т имеем

й т

е 1 = ££ (Р(4(г, X, к))Е(с(/2) 14(г, X, к)) +

+ Р( А (п, X,,, к ))Е(С(;2/!4 (п, Xг, к)) +

и константа в правой части не зависит от к(-). + р(^ (п {0} к))Е(С(-2) ! А (п {0} к)) =

Доказательство. Пусть СЦ обозначает

время пребывания в і-ой очереди заявок, посту-

(2)

пивших не позднее момента Т,; Сі / — время пребывания в і-ой очереди заявок, поступивших за такт работы системы на интервале (т, , Т,+1 ];

наконец, Ся — время пребывания в і-ой очереди заявок, поступивших на интервале (т, , Т,+1] до начала обслуживания. Имеем очевидное равенство С і і = Ся + Ся + Ся . Вычислим непосредственно интересующие нас математические ожидания. Для X ’ ^ X положим А(5, X',к) = {ш : Г = Г(5), к, є X', х, = е(к)}. Пусть А і означает время активной работы некоторой фазы на промежутке (т, , Т,+1], при этом А, < т,+1 - т, . Для нахождения ЕС^ заметим,

й т I ад _ ґ ________

= 22 ¥(к)|ґ—(к) 1-йвг(ґ) +

гі

к=1 г=1 V 0

2

ад _ ґ I _ —к)

+1ґ—і)- йВг(ґ) фгк) + Q(п,к)(0)

—(к)

Л+ у;

Наконец,

ЕС(3) = 2 Р(А,(п, {0}, к)Е(С(3,) ! А(п, {0}, к)>

к =1

й

2

к=1

(к)

= 2 Q(п,к )(0) Еф .

г=1

Полученные выражения для средних не зависят от номера I.

Пусть сначала а1к = ак. Тогда, в силу тео-

ремы 2 вероятности Q (0) = а^ п)(0), ¥(к) = ак¥. и ф« = ак(¥.-Q'”)(0) х

х (£= а,А(*'1(А+)) 1)) не зависят от выбора функции И( ). Кроме того, справедливо равенство (4), позволяющее в выражении для ЕС(1)

избавиться от Х г’1 в пользу хг’1. Поэтому функционал качества работы системы в стационарном режиме имеет вид (14).

Пусть, вместо того, А(1) = А(2) = . = А(й). Тогда величины

т _

ЕС,? = £ Рг ,1 +Ф гРг ,1),

г=1 т (

ЕС(;3/ = 22

dQ ( п,к )(0) І

г=1 к=1 —(к)

—(Ж ,1

., і

удовлетворять величины х

Теорема 5. Пусть Рг 2 < ад, Рг,2 <^ г = 1,

2, ..., т а,к = ak, £хеххг*8Р,)(х)<ад. Тогда величины X8,1, 8, ] = 1, 2, ..., т, удовлетворяют системе уравнений:

х8, і + х] ,8

-2 (йг, іхг,8 + йг ,8хг,і) = С8,і,

г=1

где

йг! = (Эг,1 +рг ,1)2.1 а.. —к) + р,8.

йг,‘ = (рг ,1 + р. .l>Ей.l ак -<í) + Р,

констан-

С8, і = С] ,8

Доказательство. Суммируя (1) по г = 1. 2, ., т и прибавляя (2), имеем

2 (¥(^ г) + ф^, г)) + Q(п )(0) =

г=1

т

= Е| ф(у,г)2а„4,к)(v)Кк)(v) +

г=1

к=1

+ ¥(^г) 2 ак9г(к )(v)+і}(п )(0) х

к=1

й —(к) ^

х 2 ак Т(ку /г(к )(УГ )9(к Ч^Гі )(v)

к=1 — ,

Продифференцируем это равенство по Vg и V1, положим V = 1 . Тогда производные второ-

го порядка

дvg дv1

_ дvg дvг.

v= 1 & J

слева и

справа уничтожатся, и мы получим

также не зависят от выбора И( ) по теореме 3, и снова функционал качества работы системы в стационарном режиме имеет вид (14).

Заметим, что хг’1 > 0 для всех г, / Чтобы полностью поставить задачу оптимизации, найдём ограничения, которым необходимо должны

т й _ _

2(фг'2 ак(К)-(‘К, + 8g,l-(g^г,. +

г=1 =1

+ 25г,85г,і -5г,ірг,8 -5г,8рг,і +

+ 2 х8хір(гС)(х) + —к)рг,1(рг,і -5г,і ) +

+ -(k )рг,1 ( Р,.а -5г,8 )) + ¥ Е ак (—»^ )рг,2 +

к=1

_ _ й —к)

+«8>і К‘2 р.,1 )+Є"'<0)Е ак ^ +

+ 8 г,8ц(-к1)(—'і)рг,1 + рг,і - 8 г,і ) +

+ 8 г,іц(гк)(—'8)рг,1 + рг,8 - 8 г,8 ) +

+ -gkЩ)рг,2 +8^)д8^2рг,1 + 25г,85г,і -

-5прп 8 г ^Рг, і + 2 х,хрг )(х) +

ХЄX

+ -Í)Рг’l(Рг,l - «Г, і ) + -(; )рг ,1( Рг ,8 -«г,8 )) +

+ І ак (^р .,1 + Рг,і-«г,і) +

к=1

+ *Г,іІ ак (А^р. ,1 + Рг,8 -«г,8 ) +

к=1

(15)

ты с8,1 не зависят от отображения И(-) и

*+

У

+ *г8 £ ак А(к )Рг ,1 + Хг,'£ ак Ак )Рг,1 ) = 0.

к=1 к=1 у

Используя равенство (4), избавимся от хг’8

Л г 1

их , затем сгруппируем слагаемые, содержащие хг’8 и хг,;. Сумму остальных обозначим с 8. Получим соотношение

С8,і+Е |хг,^(рг,1 +рг,1)2ак —к ¡> +

г=1 V I к=1

+ хг,!{(Рг,1 +Рг,1 )£акА(к’^ I-х* > -X1,8 = 0.

Независимость величин с8^ от отображения И() следует из теоремы 2.

Теорема 6. Пусть А(1) = А(2) = ... = А( й),

Р г, 2 < ад , рг,2 < ад , £хеХ Х8Х;Рг)( х) =

= £хеХ Х8ХА2) (Х) = . = £х^Х Х8* 3Р{г") (Х) < ад ,

= А(г2)Д(г22) = . = А(гй)Д(гй2) для ¿, ^, г = 1 ,

V =1

2, ..., т. Тогда величины х8,1, 8, 1 = 1, 2, ..., т, удовлетворяют системе уравнений:

т — — _

х8,} + х1',8 -£(йг1хг,8 + йг,8хг,]) = с8,1, (16)

г=1

где йг 8 = (Рг,1 + Рг,1)А(1) + Рг,8 . йг,‘ = (Рг,1 + + Рг Ж’ + Рг,,- константы с8,1 не зависят от отображения И() и с8’1 = с1’8.

Доказательство. Продифференцируем равенство (10) по V^ и VI, положим V = 1 . Тогда

д 2¥^, г, к )

производные второго порядка

д 2Ф (V, г, к)

дv8дVj

д (V, г, 1)

_ дvgдv,

V= 1 8 J

дvgдvJ

д 2Ф(v, г, I)

_ дvgдv.

у=1 8 J

слева и справа уничтожатся, и мы получим: £ £ (¥г<-)(А8 щ )Рг,!+58„л(8 )й™Рг ,1)+

г=1 I=1

+

(А? > Щ }Рг,2 +5 8,1 А(8 )ц^г,1 +

+ 25 5 -5 р -5 р - + £ ххР :)(х) +

г,1 г8 Г, ^ 8 ]Гг V /

хеХ

+ А<8Ъ,1(рг,] - 5г,] ) + Щ(/ Ъ,1(рг,8 - 5г,8))+

+

д(п,1)(0^(1 ,,(0,2 , ,(1 ^Т"(,)г

А(:)

+5г,8Мг:1)(А(;)р г,1 +

имеем

£ ё>а;,(Рг,,+ы

112Л(+)К8 JУУг,2 УгЛ + 58,;А(')м81,)2(Рг,1 +Рг,1) + 25г,А „ -

-5г,;Рг,8 5г,8Рг, 1 + £ Х8Х]Рг )(Х) +

хеХ

+ ^г,1(Рг, 1 - 5г, 1 ) + А;1)Рг,1 (Рг, 8 - 5г,8)]+ 1 -р(1) -р(1)

+

2Л(1)

■5г,;5г,8 +5г,8 А(г1}( А(1)Рг ,1 +

+ Рг, 1 - 5г, 1 ]+ 5г, 1 А(1)(А8)Р г,1 + Рг,8 - 5г ,8 )}+

(

+

(1)

— Дс

(А8)Рг,1 + Рг,8 -5г,8 )2Д(^ +

+

Л(1)

( А(1)Рг ,1 + Рг ,1 -5г ,1 )^ + (18)

+ 5г,1 Аг

_ 1 -р(1) -р (1) ^

т,(1) 1 р р

2Л« ,

А? Рг ,1 +

+ х

г ,8

|щ;>(Рг,1+Рг ,1)+р,4 ]+

+ Рг, 1 -5г, 1) + 5г,А8)Рг,1 + Рг,8 5г,8 )) +

+ Хг,8,: Щ )Рг1 + Х':1 А8 )Рг ,1 + хг,8,: (Щ1 )Рг ,1 +

+ Рг, 1 - 5г,J■) + xГ,^ (А8°Рг,1 + Рг,8 - 5г,8 ^ = 0. (17)

Учитывая предположения теоремы, равенства (9), (11) и получаемое из (10) равенство

- Л(1)

Х'Л = Хг‘ + (А8>Рг,1 + Рг,8 5г,8 )2Л( Т +

+5 Щ(1)тОПМ

+ 5,8 Аг£ щ») ,

+ Х' ■' |А8 ’ (Рг,1 + Рг,1) + Рг,8 )]- Х‘ 8 - Х‘,‘ = °. Обозначая сумму членов, не содержащих хг’8,

г 1 8 1 18 —8 1

х , х , х , через с , приходим к равенству (16).

Итак, получена следующая задача линейного программирования: найти минимум функционала

т т __

J 0(И) = £ с} £ (Р г,1 + Рг ,1) xГ,J

1=1 г=1

при линейных ограничениях (15) или (16) и ограничениях хг’1 > 0. Задача линейного программирования такого класса впервые была решена Г.П. Климовым в работе [3]. Напомним, что изучаемая в данной работе система с разделением времени существенно отличается от системы Г.П. Климова наличием случайной среды, неординарных входных потоков, ветвящихся вторичных потоков и переналадок. Несмотря на это, задачи линейного программирования для этих систем отличаются только видом коэффициентов, которые входят в выражения для функционалов и в ограничения типа равенств. Несмотря на широкий класс возможных управлений, оптимальная функция переключе-*

ния И (•) принадлежит классу управлений с относительными приоритетами. Приоритетные индексы каждого потока определяются по простому алгоритму, изложенному в [3].

у=1

У=1

Список литературы

1. Зорин А.В. О стационарном режиме системы разделения времени с ветвящимися потоками вторичных требований, формируемыми в случайной среде // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. Вып. 1(4). Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2006. С. 38-48.

2. Зорин А.В. О достаточных условиях существования стационарного режима в одной системы обслуживания с разделением времени и ветвящимися вторичными потоками // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. № 2. Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007. С. 145-151.

3. Климов Г.П. Системы обслуживания с разделением времени // Теория вероятностей и её применения. 1974. Т. 19. Вып. 3. С. 558-576.

OPTIMAL ALGORITHM OF TIME-SHARING SERVICE WITH READJUSTMENTS FOR DOUBLY STOCHASTIC INPUT AND BRANCHING SECONDARY FLOWS

A. V. Zorine

A service system of conflict flows formed in a random environment with finite number of states by a timesharing algorithm with readjustments is considered. Primary customers generate branching flows of secondary customers whose probability distributions also depend on the random environment state. An average cost of waiting of all customers per system working cycle is the optimality criterion. Explicit formulae have been obtained for some stationary probabilities. Non-preemptive priority service has been shown to be the optimal one.