Вычисление стационарного распределения числа обслуженных требований Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, N9 3 (2), с. 47-54

УДК 519.21

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ОБСЛУЖЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ

© 2011 г. А.В. Зорин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 16.03.2011

Изучаются выходные потоки в системе обслуживания по циклическому алгоритму. При нелокальном описании выходного потока возникает марковская цепь с переходной матрицей специальной структуры. Для получения стационарного распределения этой цепи используется известный метод [1-3]. Приводятся рекуррентные соотношения для совместного_стационарного распределения вероятностей длины очереди и числа обслуженных требований и численные примеры при входных потоках разных типов.

Ключевые слова: поток Бартлетта, поток Гнеденко-Коваленко, конфликтные потоки, циклическое обслуживание, выходной поток, нелокальное описание, стационарное распределение вероятностей, кибернетический подход.

Общая постановка задачи

Рассмотрим управляемую систему обслуживания т < да конфликтных независимых потоков Щ, П2, ..., Пт неоднородных требований по циклическому алгоритму с фиксированным ритмом. Конфликтность потоков означает, что запрещено обслуживать в один отрезок времени требования различных потоков. Требования по потоку П;, у = 1, 2, ..., т, поступают группами в накопитель О; неограниченного объема, причем поток групп пуассоновский с параметром X , а

размер группы - случайная величина, принимающая значение Ь с вероятностью р Ь^ , Ь = 1, 2,.. В частности, имеем ординарный пуассоновский поток при ) = 1, поток Гнеденко-

Коваленко [4] при 0 < р^ < 1, + р^ = 1,

поток Бартлетта [5] при 0 < гу- < 1, 0 < д< 1,

Р\ ] =1 -0 , Рь ] = г](1 -Ч], Ь = 2, 3, •■•. Обслуживающее устройство имеет т состояний Г(1), Г(2), ..., Г(т). В состоянии Гобслуживаются только требования потока П ^. При циклическом алгоритме после состояния Г(^ прибор переходит в состояние Г^+1),у = 1, 2, ..., т - 1, а после состояния Г(т) - в состояние Г(1). Длительность пребывания прибора в состоянии Г(у'^ неслучайна и равна Tj. Промежуток дли-

тельностью Т + Т2 + к + Тт, в течении которого

последовательно обслуживаются все потоки, назовем циклом обслуживания. Поступающие в систему требования неоднородны, поэтому длительности обслуживания разных требований вообще есть зависимые случайные величины с различными неизвестными законами распределения. В этом случае удобно задавать свойства потоков насыщения Пнас,у = 1, 2, ..., т. Поток

насыщения Пнас есть гипотетический выходной поток требований из очереди О. при максимальной загруженности накопителей и максимальном использовании ресурсов обслуживающего устройства. При состоянии прибора Г'> поток насыщения для очереди О. содержит 1 .

требований за время Tj, а при состоянии Г(г^ Ф Гза время Тг не содержит требований.

Обозначим Г(?) е(Г(1), Г(2), к, Г(т)} состояние обслуживающего устройства в момент времени ? > 0, к() - число требований в

накопителе О. в момент времени t > 0, ^^(?) -

число требований очереди О., обслуженных и

покинувших систему за промежуток времени [0, ^. Положим к(/) = (к (/), К2 (/), к , кт (/)) ,

1(1) = (^ (?), ^2 (/), К , 1т (/)) . Поскольку заданы вероятностные законы, формирующие входные

потоки требований, потоки насыщения, и известен порядок обслуживания требований, но неизвестны распределения длительностей обслуживания отдельных требований, процесс {(Г(г), к(г), £ (г)); г > 0}, описывающий эволюцию рассматриваемой системы, не вполне определен как вероятностный процесс, и найти его конечномерные распределения на практике не представляется возможным. Поэтому на этапе построения математической модели мы вынуждены рассматривать функционирование системы обслуживания в специально выбранные дискретные моменты времени.

Кибернетический подход при нелокальном описании выходных потоков

Построение математической модели выходного потока естественно проводить в соответствии с методикой изучения управляющих кибернетических систем [6-8]. Кибернетический подход базируется на трёх постулатах: 1)

управляющая система функционирует в дискретной временной шкале, 2) описание блоков системы следует выполнять нелокальным образом; 3) необходимо совместное рассмотрение поблочного строения управляемой системы обслуживания и её функционирования во времени. Схема системы содержит следующие блоки:

1) внешняя среда; 2) входные полюса - входные потоки и потоки насыщения; 3) внешняя память

- очереди; 4) устройства переработки информации во внешней памяти - устройства организации дисциплины очереди; 5) внутренняя память

- состояние обслуживающего устройства; 6) устройство переработки информации внутренней памяти - циклический граф смены состояний обслуживающего устройства; 7) выходные полюса - выходные потоки.

В качестве дискретной временной шкалы выберем последовательность т ], ; моментов окончания г-го промежутка обслуживания требований очереди О]. Тогда состояние ячейки О] внешней памяти описывается случайной величиной к ]>г- - числом требований в очереди О ] в момент т ]_;, состояние внешнего полюса задается величиной п ],г - числом требований, поступивших по потоку П] за промежуток (т] 1, т]г-+1], и величиной - числом обслуженных требований за промежуток (т^ г, т^ !+1]; состояние выходного полюса задается величиной ^ .. - числом требований потока Пнас за промежуток (т], I, т], ш]. Рассматривая поблочное строение

управляемой системы обслуживания и её функционирование во времени, приходим к рекуррентному соотношению

(к+1 , ) = (тах{0, ки1 + п и - £,^},

, Км + Пл})- (1)

Определим величины ф .(х), х = 0, 1, ..., из разложения

Xу (7! + Т2 + к + Тт £ рЛ2ъ -Ц =

да

= (хК > 121^1

х=0

Здесь ф^ (х) есть вероятность поступления ровно х требований по потоку П ^ за один цикл

обслуживания. Нелокальное описание входных потоков и потоков насыщения задается в виде свойств условных распределений точечных пр°цессов {(ти, пи); I = 0,1, к}, {(т},, ^у><);

I = 0,1, ...}, а именно: Р({п ^ = х}) = ф ] (х),

Р(й= 1 у }) = 1.

Под нелокальным описанием выходного потока [9] будем понимать маркированный точечный процесс {(ти, ки, 1и); г = 0,1, ...}, где ки

- метка требований выходного потока на промежутке (т. ., т!+1 ]. Для его задания рассмотрим вспомогательный случайный процесс {(к],1, 1^-1); 1 = 0,1, к}, где X,- = 0. Последовательность

{(кЬ1, \Ь1_Х); 1 = 0,1, к} (2)

является однородной марковской цепью. Пользуясь соотношением (1), найдем:

Р({кЛ;+1 = !Л;+1 = I {кЛ; = ^ = У'}) =

да

= X Р({1Ъ = с) 1 {КЛ< = ^ < = -У'}) х

с=0

х Р({^ = тах{0, х + с -1), у = тт{1у., х + с))). (3)

Правая часть равна ф . (у - х) при ш = 0, х < < 1 ., у > х; равна у. ^ - х +1 .) при w > х -1 ^, w > 0, у = I .; в остальных случаях равна нулю.

Таким образом, любое состояние цепи Маркова (2) принадлежит либо множеству {(щ, у): щ > 0, у < 1 .} несущественных состояний, либо множеству {(0, у): 0 < у < 1 у} и 1 у): w > 1} со-

общающихся апериодических состояний. Используя итеративно-мажорантный метод [9, 10], нетрудно доказать, что для существования стационарного распределения цепи Маркова (2) необходимо и достаточно выполнения неравенства

^ У (2Г=1 ЪРь ) Ь + Т + к + Тт ) -17 < 0.

Рекуррентные соотношения для распределения числа обслуженных требований в стационарном режиме

Цель настоящей работы - получить представление для стационарного распределения числа требований одной очереди, обслуженных за один цикл работы прибора.

В дальнейшем будем считать номер у очереди фиксированным. Поскольку из любого своего несущественного состояния марковская цепь (2) выходит за один шаг, несущественные состояния можно исключить. Перенумеруем существенные состояния следующим образом: состоянию (0, у), 0 < у < 1 ., присвоим номер у,

а состоянию 1 j•), ш > 1, - номер w +1 ^ . Тогда сужением матрицы переходных вероятностей марковской цепи (2) на множество существенных состояний будет

Л

P =

Ф j(0) Ф j(1) Фj(2) L Ф j (1j- -1)

Ф j (О) Ф j(1) Ф j(2) Ф j (1j- -1)

Ф j (О) Ф j (1) Ф j(2) Ф j (1j- -1)

О Ф j(0) Ф j(1) L Ф j (1j- - 2)

О О Фj(0) L Ф j (1j- - 3)

Ф(1)

Ф j (l j ) Ф j (l j + 1)

Ф j (1 j - 1) Ф j (1 j )

Ф j (1 j - 2) Ф j (1 j - 1)

Элементы матрицы Р суть вероятности перехода вида (3) только между существенными состояниями цепи (2). В матрице Р первые (1 . +1) строки совпадают, а каждая последую-

щая получается сдвигом на одну позицию вправо. Отметим также, что матрица P имеет 1 .

ненулевых диагоналей ниже главной. Пусть p(wx, w2) принимает значение ф . (w2) при

0 < wj < 1 j -1, значение фj(w2 +1 j - wx) при Wj > l., а в остальных случаях 0. Тогда P = (p(wj, w2): Wj, w2 > 0). Для вычисления стационарного распределения вероятностей, соответствующего переходной матрице P, возьмем вспомогательную марковскую цепь {X(i);

1 = 0, 1, ...}, X(i)e{0, 1, ...}, с матрицей переходных вероятностей P. Зафиксируем x e{l J -1, l J, к}, положим E = {0,1, к, х} и

определим последовательность случайных величин

а0 = min {i > 0: X(i) е E},

аи+1 = mi>®n ■X(i)eE}, n = 0, 1 ..

В [11] показано, что последовательность {хE (i); i = 0,1,...} с Xе (i) = X (g; ) есть марковская цепь. Ее переходная вероятность имеет вид

Р({{^ (i + 1) = W2 } (X^ (i) = W1 }) = P(w1 > W2 ) +

+ X ^(W1> W')P({X(Px ) = W2} I (0) = W'})> (4)

w'=x+1

где pw = min{n > 0: X(n) < w}. Введем вспомогательные величины и события 0О = 0,

6k = min{п > ©k-x:X(n) < X(0*ч)},

Ak,х = (ю: X(0k) < x < X(0^-)} и обозначим

a(k, l) = P({X(px) = x - k} \{X(0) = x + /}),

P(k, l) = P({X(0j) = x - k} |{X(0) = x +1}). Величины 00, 0j, . разбивают траекторию движения цепи {X(i); i = 0,1, к} на примыкающие части, такие, что состояние цепи в конце части впервые оказывается «левее» ее состояния в начале этой части. Можно называть 0k

моментом k-го спуска (в область меньших значений). Событие Акх заключается в том, что

вход в множество E совершится на k-м спуске. Далее, в(к, l), к = 0, 1, ..., 1 j -1, I = 1, 2, ...,

задает распределение состояния в конце первого спуска, а a(k,l), к = 0 , 1, ..., 1 j -1, - распределение состояния в момент входа в множество E. Мы увидим, что вероятности р (k, l) зависят только от величины k +1, P(k, l) = p(k +1).

Теорема 1. Имеют место равенства:

ГО

Р(/) = фу (1 у -1) + X фУ (1У -1 + г)а(1 -1, г) (5)

г=1

для I = 1, 2, ... 1 у;

Р(/) = 0 для / > 1 . +1;

шт{1 ] -к, 1-1}

а(к, I) = р(к +I) + £ р(к + г)а(0,1 - г) (6)

Г =1

для к = 0, 1, ..., 1 у -1, I = 1, 2, ...

Доказательство. В силу счетной аддитивности вероятности

Р({Х(рх) = х - к} | {X(0) = х + /}) =

да

= ЕР(п {X(рх) = х - к} | {X(0) = х + /}).

8 =1

При © е Л будет рх (ю) = 0^ (©), поэтому

Р(Лх,х п {X(рх) = х - к} | {X(0) = X + /}) =

= Р({X(01) < х < X(0),

X(01) = х - к} | {X(0) = х + /}) =

= Р({х - к < х < X(0),

X(01) = х - к} | {X(0) = х + /}) =

= Р(^(01) = х - к} | {X(0) = х + /}), (7)

поскольку х - к < х и х +1 > х . Для g > 1 рассмотрим состояние в момент предпоследнего спуска. Заметим, что события X (01) > X (0О) и

X (0 ^) > X (0О) невозможны. Применяя строгое

марковское свойство и упрощения, аналогичные случаю g = 1, получим:

р( А, хп {х (р х) = х - к} I(о) = х+1}) =

да

= XР({Х(0*) = г} | {X(0) = х + /}) х

г =0

х Р({ X (0*) < х < X (0 * ), X (0 *) =

= х - к} | {X(0*-) = г}) =

1 -1

= X№(0*-1) = х + г} | {X(0о) =

г =1

= х + /})Р(^(01) = х - к} | {X(0) = х + г}). (8) Поскольку для g > 2 {X(9е) = х + г} = {X(0г) < х + г < X(0г_,),

X(0Я ) = х + г} = Ав х+г п {х(рх+г) = х + г},

то

да

XР({Х(0г_1) = х + г} | {X(0О) = х + /}) =

8=2

= Р({Х(Рх+г ) = х + г} 1 {х(0О) = х + /})- (9)

Просуммируем равенство (8) по g > 2 и сложим с равенством (4), и вместе с соотношением (9) получим

Р({Х(рх) = х - к} | {X(0) = х + /}) = = Р({Х(01) = х - к} | {X(0) = х + г}) +

1-1

+ X Р({Х(01) = х - к} | {X(0) =

г =1

= х + г})Р({Х(рх+г ) = х + г}|{Х(0О) = х + /})-

Легко видеть справедливость равенства Р({Х(01) = х - к} | {X(0) = х + /}) = 0 при к+1 > 1у

и равенства

Р({Х(01) = х - к} | {X(0) = х + /}) = р(х +/, х - к) +

да

+ Е Р(Х + /> Х + 1 + Г)Р({Х(Рх+1 -1) =

г=0

= х - к}| {X(0) = х + / + г})

при 1 < к +1 < 1 j . Заменяя вероятности их обозначениями и подставляя вид переходных вероятностей р(-, •), получим утверждение теоремы.

Обозначим Еу (х) = 0 фу (х)хх произво-

дящую функцию числа требований, поступивших по потоку Пj за время Т + Т2 + к. + Тт,

Xj = ^ (1) - математическое ожидание числа

таких требований.

Следствие 1. Пусть р - решение уравнения

р2 = (р), удовлетворяющее условию 0 < в < 1.

При 1 у = 2 справедливы равенства

Р(1) = 1 -в, в(2) = в, а(0,1) = (1 - (-в)1+1)(1 + Р)-1, а(1,1) = Р(1 - (-в)1 )(1 + Р)-1.

Доказательство. Поскольку все состояния цепи Маркова {X (/): I = 0,1, к} возвратны,

Р(1) + Р(2) = 1. Положим р(1) = 1 -р, р(2) = в. В силу равенства (6) имеем рекуррентные линейные уравнения

а(0,1) = (1 - р)а(0,1 -1) + ра(0,1 - 2), а(1,1) = ра (0,1 -1)

с начальными условиями а(0,1) = 1 -р, а(0,2) = р + (1 -р)2, а(1,1) = р. Отсюда

а(0,1) = (1 - (-Р)1+1 )(1 + в)-1, а(1,1) = в(1 - (-Р)1 )(1 + в)-1. Подстановка в уравнение (5) при I = 2 после некоторых упрощений дает р2 = р (р).

Теорема 2. Стационарное распределение вероятностей (л(^): w = 0,1, к} цепи Маркова {X (г): г = 0,1, к} удовлетворяет рекуррентному по X > 1 у соотношению

п( х) = [ 1- ф у(1 у)- £ ф у(1 у + г )а(0,г) 1 х

п Е и=£п Е )

=0

+ £ ФУ У -1 + г)а(1 У -1 - г)|

^ е Е. (15)

Переходя от стационарных вероятностей

фу (х) + £ фу (х + г)а(0, г) | £п(^) + пЕ И, ^ е Е, к ПИ, ^ е Е, получаем систе-

му (11). Пользуясь равенством (10) и меняя порядок суммирования, имеем:

г =1

™=0

х-1 Ґ го ^

+ £ п(н) ф7- (х+1 у - н')+£фу (х+г +1 j - н)а(0, г)

4=1,

V

Г=1

/

(10)

Величины п(0) , п(1), ..., п(1 • -1) имеют вид

п(^) =

ф і (™) +

+Е ф у(1 і -1+г)а(1 і -1 - г)

г =1

0 < w < I ■ -1,

(11)

где

А I+г -1 Л

X^=£ ф](х) - £ а(0>г) 1 - £ ф](х)

х=0

г =1

х=0

. (12)

Доказательство. Докажем сначала соотношение (10). Известно [11], что стационарное

й {пЕ ('И'): w є Е} це-

распределение вероятностей {п

пи {XЕ (г); г = 0,1, к} св распределением вероятностей (л(^): w = 0,1, к} цепи {Х(г); г = 0, 1, ...} соотношением

ПЕ ^) = п(^)(п(0) + п(1) + к + п(х))-1,

е Е. (13)

Учитывая (4), получим:

X

п и = Ё п +

и,1=0

ад

+ £Р(м>1’ х + г)а(х - w’ г))■ (14)

Г=1

Здесь необходимо доопределить а(х - w, г) нулем при х - w < 0. В частности, при w = х

вместе с (13) получаем рекуррентное по х > 1 у

соотношение (10) для стационарного распределения цепи {X(/): I = 0,1, ...}. Для вычисления

п(0), п(1), ..., п(1 у -1) положим Е={0,1,к, 1у-1}.

Тогда система уравнений (14) примет вид:

£ п(х) = ^- ф . (I .) - £ фу. + г)а(0, г)І X

» / » Лі і -і

£ I фу(х) + £ Фу(х + г)а(0, г) І £ +

х=1 і V г=і ) ^=0

ад

+ £ ПИх

™=і і

ад ( ад

х £ I Фу (х +1У - + £фу (х + г +1 у - ^)а(0, г)

х=^+1 V

(16)

Последовательно преобразуем второе слагаемое в квадратных скобках:

ад ад ,

£ £ (фу+1 у- +

^=1 у Х=^ + 1

+ ^ фу (х + г +1 у - ^)а(0, г)^ =

ад ад Ґ ад

= £ п(^) £ [ф у (х)+£ фу (х+г)а(°>г) 1 =

ад ад

=£ п(w) £ I фі (х)+£ фі (х+г)а(°>г) \ -

w= 0 Х=1 : +14 г =1

- £ п(^) £ I фу(х)+£ фу(х+г)а(°>г) |-

^=0 Х=1+1V Г=1

Из условия V*1 п(м?) = 1 с учетом равенства (16) имеем:

ч -1 ( » л-1

1 = £ п(х) + 1 1 -фу (£ у) - £ фу (£ у + г)а(0, г) I х

х=0 V г =1 /

"(1 ^ -1 Л( ^ л

£ п(х) I фу (1 у ) + £ фу (1 у + г)а(0, г) I +

V х=0

г =1

го го ^

+ £ ф] (+£ ф ] (х+гм°>г)

х=1+1

V

Г=1

У

После умножения на

ад

X

ад

ад

ад

го

0

ад

І: -1

1 -Ф і і )- £”=1ф і і +г )а(0> г))

и приведения подобных членов получим соотношение

1 у -1 да Ґ да ^

£ п(м>) = 1- £ Фу (х) + £ Фу (х + г)а(0, г) •

™=0 х=1у V г=1 )

Теперь следует снова воспользоваться условием нормировки ^°° о п^) = 1, а также сменить порядок суммирования, чтобы получить уравнение (12). Доказательство завершено.

Следствие 2. При 1 . = 2 имеют место равенства

п(0) = Р(2-^. )(1 + Р)-1,

п(1) = (1 -Р)(2 -Ху )(1 + Р)-1,

п(2) = (ре1'(Г‘+Т+К+Г”} -1)(2 -^ )(1 + р)-1,

п(3) = (Ф у (0)(1 -Р) - Ф у (1)Р) х

х (2-I ] )(1 + Р)-1(ф ] (0))-2 •

Доказательство состоит в подстановке формул из следствия 1 в соотношения теоремы 2 и последующих алгебраических упрощениях.

Возвращаясь к последовательности (2), отметим, что вычисленные на основании теоремы

2 вероятности дают нам 1) стационарное распределение числа требований в очереди О. и

2) стационарное распределение числа обслуженных требований. Именно, стационарная вероятность отсутствия требований в очереди О.

равна п(0) + п(1) +... + п(£ ), а вероятность пребывания в очереди О. числа w > 0 требований равна п(1 у + м>). Вероятность того, что за такт

обслуживания систему покинут ш требований, 0 < w < 1 у -1, равна п(м?), а для максимально

возможного числа 1 . требований — 1 -п(0) -

- п(1) - к - п(1 j -1).

Отметим одну интересную особенность рассматриваемой задачи: здесь компонента Е ■ ■

имеет конкретный физический смысл. Поэтому из эвристических соображений должно иметь место условие

п(1) + 2п(2) +... + (1 . — 1 )п(1 . — 1) +

+1. (1 — п(0) — п(1) — к — п(1 . — 1)) =

= Х. (Т + Т2 + ... + Тт),

выражающее свойство выходного потока: в стационарном режиме среднее число поступивших требований должно быть равно среднему числу обслуженных требований. Покажем, что это так в случаях 1 у = 1 и 1 у = 2. При 1 у = 1 из определения величины а(0,1) следует а(0,1) = 1. С учетом этого преобразуем правую часть формулы (12):

да { г \ да

ф ](0) - Е11 - Е ф ](х) \ = Е ф }(х) -

г=1 V х=0 ) х=0

- Е Е ф 1 = 1 - ^ 1 (Т1 + Т2 + ••• + тт).

Значит, п(0) = 1 - X Т, и среднее число обслуженных за один такт требований очереди О. равно 1 • (1 -п(0)) или X](Т1 + Т2 + ...Тт). При

1. = 2 из следствия 2 сразу находим п(1) + 2(1 - п(0) - п(1)) = X .

Численное исследование выходного потока

Применим полученные формулы к следующему числовому примеру. Выберем масштаб времени таким образом, что Т1 + Т2 +... + Тт = 1.

Пусть максимальное число обслуженных требований 1 = 10. Допустим входной поток одного из трех типов: пуассоновский с параметром X, принимающим последовательно значения 1, 2, ..., 9, поток Гнеденко-Коваленко с параметрами рх = 0.5 и Х = 0.6667 , 1.3334, ..., 6, или поток Бартлетта с параметрами г = 0.25 , q = 0.5 и Х = 0.6667 , 1.3333, ..., 6. При таком выборе параметров интенсивности входных потоков равны 1, 2, ., 9, средние размеры групп при потоке Гнеденко-Коваленко и потоке Бартлетта равны 1.5, дисперсия Ц4 - 3рг) числа поступивших требований по закону Гнеденко-Коваленко равна соответственно 1.6667, 3.3333,

5, 6.6667, 8.3333, 10, 11.6667, 13.3333, 15, а дисперсия А,(1 + г(1 - д)-1 + 2д(1 - д)-2) числа поступивших требований по закону Бартлетта равна 2.3333, 4.6667, 7, 9.3333, 11.6667, 14, 16.3333, 18.6667, 21 соответственно.

Для расчетов использовались соотношения из теорем 1, 2. Вычисления производились с двойной точностью. Уравнения относительно Р(/), I = 1, 2, ., 1, решались методом последовательных приближений с нулевыми начальны-

Таблица

Числовые характеристики выходного потока при различных входных потоках

Поток Пуассона Поток Гнеденко-Коваленко Поток Бартлетта

Среднее Дисперсия нт и еи иц тр ф им эи ос Ка Среднее Дисперсия нт и еи иц тр ф им эи ос Ка е е н ч е р С Дисперсия Коэффициент асимметрии

1.0000 1.0000 1.7358 1.0000 1.6664 1.8701 1.0000 2.2712 2.6319

2.0000 1.9998 1.6635 2.0000 3.3214 1.7173 2.0000 4.4147 1.9874

3.0000 2.9946 1.6323 3.0000 4.9010 1.6180 3.0000 6.2761 1.6854

4.0000 3.9495 1.5886 4.0000 6.2679 1.5176 4.0000 7.7248 1.4918

5.0000 4.7629 1.5184 5.0000 7.2397 1.4240 5.0000 8.6160 1.3634

6.0000 5.2631 1.4401 6.0000 7.6255 1.3632 6.0000 8.8073 1.2993

7.0000 5.2414 1.3995 7.0000 7.2462 1.3760 7.0000 8.1635 1.3266

8.0000 4.4855 1.4893 8.0000 5.9409 1.5519 8.0000 6.5577 1.5282

9.0000 2.7975 2.0168 9.0000 3.5674 2.2140 9.0000 3.8726 2.2262

ми значениями. По найденному распределению вероятностей вычислялись числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, коэффициент асимметрии и эксцесс. Результаты приведены в таблице.

На основании анализа таблицы отметим следующие свойства выходного потока.

1. Среднее число требований, обслуженных за цикл обслуживания, равно среднему числу требований, поступивших за это же время. Таким образом, мы имеем контроль точности вычислений.

2. Дисперсия выходного потока с ростом интенсивности входного потока растет почти по линейному закону, а затем быстро убывает. Таким образом, в функционировании системы обслуживания естественно выделяются два режима: ненасыщенный и насыщенный. Первый режим имеет место при малой интенсивности входных потоков, когда дисперсии входного и выходного потока близки. Второй режим имеет место, когда интенсивность входного потока настолько велика, что прибор почти полностью загружен, и выходной поток чаще всего состоит из пачек практически фиксированного размера I.

3. Форма распределения выходного потока слабо варьируется при изменении структуры входного потока.

Работа выполнена в рамках госбюджетной НИР ННГУ им. Н.И. Лобачевского - национального исследовательского университета по теме № 0120.0602598 «Анализ дискретных управляющих систем обслуживания и систем вычисления булевых функций».

Список литературы

1. Ramaswami V. A stable recursion for the steady-state vector in Markov chains of M/G/l type // Comm. Statist. Stochastic Models. 1988. Vol. 4. P. 183-263.

2. Grassmann W.K., Heyman D.P. Equilibrium distribution of block-structured Markov chains with repeated rows // J. Appl. Prob. 1990. Vol. 2. P. 557-576.

3. Klimenok V.I., Dudin A.N. Multi-dimensional asymptotically quasi-Toeplitz Markov chains and their applications in queueing theory // Queueing systems. 2006. Vol. 54. № 4. P. 245-259.

4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 400 с.

5. Fedotkin A.M., Fedotkin M.A. Model for refusals of elements of controlling system // Transactions of the first French-Russian Conference on «Longevity, Aging and Degradation Models in Reliability, Public Health, Medicine and Biology, LAD'2004». Saint-Petersburg: St. Petersburg SPU, 2004. V. 2. P. 136-151.

6. Ляпунов А.А., Яблонский С.В. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. М.: Физматгиз, 1963. С. 5-22.

7. Федоткин М.А. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1996. С. 51-70.

8. Федоткин М.А. Нелокальный способ задания управляемый процессов // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1998. С. 334-344.

9. Федоткин М.А. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой. I // Литовский математический сборник. 1988. Т. 28. № 4. С. 783-794.

10. Федоткин М.А. Оптимальное управление конфликтными потока и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой. II // Литовский математический сборник. 1989. Т. 29. № 1. С. 148-159.

11. Кемени Дж.Дж., Снелл Дж.Л., Кнепп А.У. Счетные цепи Маркова. М.: Наука, 1987. 416 с.

COMPUTATION OF THE STATIONARY DISTRIBUTION FOR THE NUMBER OF DEMANDS

SERVICED

A.V. Zorine

Output flows of a cyclic-service queueing system are investigated. Nonlocal description of the output flow gives rise to a Markov chain with a special structure transition matrix. The known method [1-3] is used to obtain the stationary distribution for this chain. Recurrence relations to calculate the stationary joint probability distribution of the queue length and the number of demands serviced are presented together with some numerical examples for different types of input flows.

Keywords: Bartlett flow, Gnedenko-Kovalenko flow, conflict flows, cyclic service, output flow, nonlocal description, stationary probability distribution, cybernetic approach.