Системы с последействием и конечномерным пространством существенных решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.917 © Т. С. Быкова

СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ И КОНЕЧНОМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ СУЩЕСТВЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Рассматриваются системы линейных дифференциальных уравнений с последействием и конечномерным пространством существенных решений. Приводятся условия их устойчивости.

Ключевые слова: линейная система с последействием, пространство существенных решений.

М(п, М) удовлетворяет условиям, которые обеспечивают существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши для системы (1) (см., например, [1, 2]). В качестве пространства начальных функций рассматриваеся стан-

в ^ жг(в) = ж(Ь + в) переменного в € [—г, 0] со значениями в Мп, то есть элемент пространства 6. Далее, ¿2-показателем Ляпунова решения Ь ^ ж*(-,и) системы (1) с начальным условием жо(-,м) = и(-) будем называть число

В силу условий, накладываемых на систему А, ¿2-показатели этой системы ограничены сверху. Если А(и) > —то, то решение Ь ^ жг(^,и) будем называть существенным.

Введём следующие обозначения: 6- = {и € 6 : А(и) = —то}, 6+ — прямое дополнение подпространства 6- до пространства 6, т. е. 6 = 6+ ф 6.

Зафиксируем в пространстве 6+ линейное подпространство §Р размерности р и построим движение Ь ^ жг(§р) = §р пространства §0- Будем говорить, что это движение порождено сужением системы А на подпространство §Р- Такое сужение обозначим (А, §Р).

Наряду с системой (А, §0) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

с непрерывной на полуоси М+ функцией Ь ^ В(Ь). Будем далее отождествлять систему (2) с задающей ее матрицей В и называть системой В. По аналогии с подпространством §р, введем в рассмотрение линейное пространство Мр размерности р с базисом у1(Ь),..., ур(Ь), образующем столбцы матрицы Коши У(Ь, т) системы В при т = 0.

Пусть £(§р, Мр) — пространство линейных операторов, действующих из §р в Мр с нормой

Определение 1. Функцию Ь ^ £(£) Є £(§Р, Мр) будем называть обобщенным ляпуновским преобразованием систем (А, §Р) и В, если:

1)функция Ь ^ ¿(¿) непрерывна на М+;

2) при Ь ^ 0 оператор ¿(Ь) является гомеоморфизмом пространств 8р и Мр и

г^о

Будем говорить также, что система (А, §Р) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием Ь к системе В, или что системы (А, §Р) и В асимптотически подобны.

§ 1. Теорема о приводимости

Линейную систему с последействием

(1)

будем отождествлять с функцией А, ее задающей. Здесь г > 0 и функция А : М х [—г, 0] ^

дартное пространство Є = С ([—г, 0], Мп). Запись ж*(-) (или просто ж*) означает функцию

где

у = В(Ь)у, Ь ^ 0, у Є Мр

(2)

3) выполнено неравенство 8ир(||Ь(Ь)||ь2+ 11^ 1(Ь)У«р^ь2) < го.

Теорема 1 (см. [3,4]). Пусть 8^ С Є+. Тогда:

а) найдется ортогональное (Ь*(і)Ь(і) = 1р) обобщенное ляпуновское преобразование, приводящее систему (А, §Р) к системе В с непрерывной на М+ верхней треугольной матрицей В(і);

б) если, кроме того, всякое решение системы (А, 8р) «продолжаемо влево», то есть найдется константа а > 0 такая, что для каждого и Є 8р, любого т Є [—г, 0] и всех і Є М+ выполнено неравенство ||ж*+г (-,и)||2 ^ а||ж*(-, и)||2, то в множестве {В} всех систем, асимптотически подобных системе (А, 8^), найдется система В с ограниченной на полуоси М+ верхней треугольной матрицей В (і).

§2. Пример системы с последействием и конечномерным пространством существенных решений

Рассмотрим систему

Ж(і) = А(і)ж(і) + В(і)у(і) + J (Ю(і,в)у*(в), (3)

у(і) = °(%(і).

Здесь ж(і) Є Мп, у(і) Є Мт при каждом і Є М, а функции А : М ^ М(п), В : М ^ М(п, т), О : М ^ М(т) и С : Мх[—г, 0] ^ М(п, т) удовлетворяют естественным условиям, обеспечивающим существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши для системы (3).

Теорема 2. Для любой системы с последействием вида (3) размерность пространства Є+ равна п + т.

Пример 1. Рассмотрим систему вида (3) при п = т = 1

'>• (4)

Ж(і) = а(і)ж(і) + 7(і)у(і) + [ ш(«)(д(М),

^(Ь) = в(%(Ь)-

Согласно теореме 2 подпространство 6+ для системы (4) имеет размерность два.

Функции

в ^ и1 (в) = со1(1,0), в € [—1, 0],

в ^ и2(в) = со1(0,1), в € [—1, 0],

рассматриваемые как начальные для системы (4), имеют конечные показатели. Выберем в

качестве пространства начальных условий пространство 6+ = Ип(и1,и2). Пусть ¿о = 0. Тогда

при Ь ^ 0 компоненты соответствующих решений будут иметь вид

ж1 (¿) = ехр^ J а(т)^т^ , у1(Ь) = 0,

/о

ж2(Ь) = ехр^а(т)^т^(в)^в, у2(¿) = ехр^в(т)^т^,

где ^(¿) = 7(Ь)ехр(J в(т)^т) + J ехр(J в(т)^т)ф(Ь,в).

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотически подобная системе (4), имеет вид

• _ ¿п (г) гп (г) (1 {¿12 (г) \

2ц(£) ¿22^) (Й \^п(£)/ ’

где

- i'0

Zll(t) = ||ж1||2, Zi2(t) = Цж^Уз1 J ж^ж^)^, (6)

/ у Г О N 2\ 1/2

z22(t) = ^||ж?||2 + УУ2|2 -Уж1У-ДJ x1(s)x2(s)d^^ • (7)

Следствие 1. Пусть существуют пределы

Ит ¡ниш = Ль lim !^£hW = Л2_

t——+<^о t t——+<^о t

где функции t ^ zii(t) и t ^ Z22(t) определены равенствами (6) и (7), тогда:

а) система обыкновенных дифференциальных уравнений (5) правильная и ее показатели,

и, следовательно, показатели системы с последействием (4) исчерпываются значениями

Ао = —то, Ai, А2;

б) если Ai < 0, A2 < 0, то нулевое решение системы (4) экспоненциально устойчиво.

Следствие 2. Если система (5) не предполагается правильной, то:

а) нулевое решение системы с последействием (4) устойчиво тогда и только тогда, когда функции

t ^ Zii(t) и t ^ (z22(t) + z^t))

ограничены на полуоси R+;

б) нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда

lim (z2i(t) + z22(t) + z22(t)) = °-

t—+o

Список литературы

1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

3. Быкова Т.С., Тонков Е.Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 6. С. 731-737.

4. Быкова Т.С., Тонков Е.Л. Асимптотическая теория линейных систем с последействием // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2006. Вып. 2 (36). С. 21-26.

Поступила в редакцию 01.02.2012

T. S. Bykova

Systems with aftereffect and finite-dimensional space of essential solutions

Some systems of linear equations with aftereffect and finite-dimensional space of essential solutions are considered. The conditions for stability of these systems are given.

Keywords: linear system with aftereffect, space of essential solutions.

Mathematical Subject Classifications: 34K06, 34D08

Быкова Татьяна Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент, Ижевский государственный технический университет, 426039, Россия, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7. E-mail: [email protected]

Bykova Tat’yana Sergeevna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Izhevsk State Technical University, ul. Studencheskaya, 7, Izhevsk, 426069, Russia