О ляпуновской приводимости системы с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

© Т. С. Быкова, Е. JI. Тонкое

[email protected], [email protected]

О ЛЯПУНОВСКОЙ ПРИВОДИМОСТИ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ1

Ключевые слова: линейные системы с последействием, показатели Ляпунова, ляпуновская приводимость, асимптотическая эквивалентность, теория Флоке.

Abstract. The conditions reducabïlïty of linear system restriction with time lag on finite-dimansional subspaces of initial functions by means of Lyapunov reduction to the system of ordinary differentional equations with bounded and continuous on semiaxis matrix of coefficients are found.

Пусть Ж” — стандартное евклидово пространство размерности п, |ж| = у/х*х — норма в Ж” (звезда означает операцию транспонирования). Пространство M(n, т, Ж) линейных операторов из Ж™ в Ж” будем отождествлять с пространством вещественных (п х т)-матриц (если п = т, то пишем М(п, Ж) ) с евклидовой нормой |А| = max{|Aæ| : |æ| = 1}.

Для краткости записи пространство С ([—г, 0], Ж”) непрерывных функций с sup-нормой будем обозначать 6. Рассмотрим систему уравнений с последействием

которую далее будем отождествлять с функцией А, ее задающей. Здесь х{Ь) = Нте^+о £-1 {х{Ь + е) — ж(£)) —правая производная функции х(1), интеграл Стилтьеса рассматривается по переменной 5 при каждом фиксированном Будем предполагать,

1 Работа поддержана Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант Е 00-1.0-5).

■0

dA(t, s)x(t + s), i €Е Ж = (—00,00), (1)

—т

что г > 0 и функция А : Ж х [—г, 0] —> М(п, Ж) удовлетворяет естественным условиям: функция ограничена

в полосе Ж х [—г, 0], функция £ —> А(1,0) равномерно непрерывна на Ж и А(1, — г) =0, вариация Уаг5е[_г 0] «) функции

5 —> А(1,«) ограничена на [—г, 0] равномерно относительно и для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для всех \т\ ^ 8 и всех I €Е Ж выполнено неравенство

Эти условия с запасом обеспечивают (см., например, [1]) существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши.

Для произвольной непрерывной функции I —> ж(£), определенной на некотором интервале «/ С Ж, и любой точки I такой, что [/ — /'. /] С </, запись ж*(-) (или просто х%) означает функцию 5 —> ж*(«) = х(1 + .з) переменного 5 €Е [—г,0] со значениями в Ж”.

Пусть £ —> х,1 = ж*(-,и) — решение системы А, удовлетворяющее начальному условию хо(-,и) = и(-) 6 ©. Тогда для всех (¿,«) е А = {(¿,«) €Е Ж2 : 0 ^ 5 ^ Ц имеет место равенство XI = Х(£, «)ж5, где Х(£,«) : © —> © — оператор Коши системы А. Напомним, что [1] оператор Коши линеен; при

I > в ^ г компактен в © и обладает свойством полугруппы: X(¿, «) = X(¿, т)Х(т, «), 0 ^ 5 ^ г ^ £ .

Для каждого а£б определим показатель Ляпунова

Легко проверить, что: 1) если с ф 0, то А(ш) = А(и); 2) имеет место неравенство \(и + у) ^ тах{А(и), А(г;)}, причем если А (и) > А(р), то А (и + у) = А (и). Из 1) и 2) следует, что множество ©- = {и 6 © : Х(и) = —оо} образует линейное подпространство в ©. Пусть ©+ — прямое дополнение пространства ©- д0 Пр0странства © ; т. е. © = ©+ Ф ©- . Тогда для всех ненулевых и 6 ©+ выполнено неравенство \(и) > —оо.

■о

Х(и) = \irnt 11п ||ж*(-, и)||, А(0) = —оо.

Зафиксируем в ©+ линейное подпространство размерности р . Для каждого £ ^ О подпространство = Х(£, 0)§д также имеет размерность р, причем если и1,...,ир — произвольный фиксированный базис в §^, то функции х\ = Х(1,0)иг образуют базис в §!*. Будем рассматривать сужение системы А на подпространство §о- Это означает, что всякое решение системы (Д §^) есть функция £ —> ж* (•,«), непрерывно продолжающая начальную функцию и €Е §о и принимающая значения в Наряду с системой (Д §д) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

У = в(*)у, * ^ 0, у е кр

(отождествляемую далее с матрицей В, ее задающей) с непрерывной на функцией I —> В{Ь) €Е М(р,Ж). По аналогии с подпространством введем в рассмотрение линейное пространство размерности р с базисом у1 (¿),..., ур(£), образующим столбцы матрицы Коши 0) системы В. Следовательно, запись у(1) 6 будет означать, что у(1) — значение решения системы В в точке £ и поэтому у{Ь) = У(£, 0)у° при некотором у0 = Жр (напомним, что — стандартное евклидово пространство и поэтому в Кд фиксирован ортонормированный базис е1 = со1(1,0,..., 0),..., еп = со1(0,..., 0,1) ).

Пусть Ь(§|), К^) —пространство линейных операторов из в с нормой || • Не-ШР-

Определение 1. Функцию í —г> Ь(Ь) €Е Ь(§|), Щ) будем называть ляпуновским преобразованием систем (Д §ц) и В, если при каждом 1^0 оператор Ь(1) является гомеоморфизмом пространств §!* и и выполнено неравенство

51!|>(|Щ/)||е + ||/, '(/)||~;< >б) < ОО.

*?г0

Будем говорить также, что система (А, §д) приводима ляпуновским преобразованием Ь к системе В, или что системы (Д §^) и В асимптотически эквивалентны.

Теорема 1. Пусть §д с @+- Тогда:

а) найдутся система В с непрерывной на М4. = [0, сю) матрицей В(1) и ляпуновское преобразование Ь, приводящее систему (Д §д) к системе В;

б) в множестве {В} всех систем, асимптотически эквивалентных системе (А, §ц), найдется система с непрерывной на М4. верхней треугольной матрицей В(1);

в) если в дополнение к сказанному всякое решение системы (Д §д) /продолжаем,о влевоб, т. е. найдется константа а > О, что для каждого и 6 §ц, любого т €Е [—г, 0] и всех I 6 М4. выполнено неравенство ||ж*+т(-,и)\\ ^ а||ж*(-,и)||, то в множестве {В} всех систем, асимптотически эквивалентных системе (Д§ц), найдется система В с ограниченной на полуоси М4. матрицей В(1) ( и, следовательно, с ограниченной на М4. верхней треугольной матрицей В(1) );

г) если А(1 + Т,.з) = А(1,з) для всех (1,з) 6 Ж х [—г, 0], то найдутся система В с вещественнозначной непрерывной Т-периодической матрицей В(1) и Т-периодическое по I ляпуновское преобразование Ь, приводящее (Д§ц) к В.

Замечание 1. Теорема о ляпуновской приводимости системы (А, §ц) к системе В при более жестких предположениях доказана в [2]. В частности, в [2] дополнительно предполагалось, что множество показателей Ляпунова системы А не более чем счетно, каждый конечный показатель имеет конечную кратность и пространство равномерно регулярно.

Полное доказательство этой теоремы планируется опубликовать в журнале I"Дифференциальные уравнения©.

* * *

1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

2. Тонков Е. Л. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость

линейной системы с последействием // Вести. Удм. ун-та. Ижевск,

2001. I" 3. С. 13-30.