CC BY
23
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.917 © Т. С. Быкова
О ПРИВОДИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ РЕКУРРЕНТНОЙ СИСТЕМЫ С НАСЛЕДСТВЕННОСТЬЮ
В 1967 году В. М. Миллионщиков доказал [1], что всякая линейная система х = А(£)х с рекуррентной матрицей А(£) приводима рекуррентным перроновским (ортогональным ляпунов-ским) преобразованием х = Р(£)у к системе у = В(£)у с рекуррентной верхней треугольной матрицей В (£).
В данной работе рассматривается система с последействием
аЬ(^) ^ /* с^А(^, в)х*(в), £ € М = (-то, то) (1)
и —Г
с рекуррентной по £ матричной функцией А(£,в) и исследуются условия, при которых сужение системы (1) на любое конечномерное подпространство существенных (то есть имеющих конечные показатели Ляпунова) решений асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченной матрицей коэффициентов. Здесь запись Xt означает функцию в ^ х*(в) = х(£ + в) переменного в € [—г, 0] со значениями в Мп. Доказанная в этой работе теорема дополняет исследования работ [2], [3].
§ 1. Основные определения и обозначения [2]
В системе (1) интеграл Стилтьеса рассматривается по переменной в при каждом фиксированном г > 0 и функция А : М х [—г, 0] ^ М(п, М) удовлетворяет естественным условиям: функция (£, в) ^ А(£, в) ограничена в полосе М х [—г, 0], имеет ограниченную вариацию по в, функция £ ^ А(£, 0) равномерно непрерывна на М, А(£, —г) = 0 и для любого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что для всех |т | ^ 5 и всех £ € М выполнено неравенство
I |А(£ + т, в) — А(£, в)| йв ^ в.
</ —Г
Далее систему (1) будем отождествлять с задающей ее функцией А, а пространство всех систем А, удовлетворяющих естественным условиям, обозначать А.
В качестве пространства начальных функций рассматривается пространство 6 всех непре-
/ I0 \ 1/2
рывных функций и : [—г, 0] ^ Мп с £2 -нормой ||и(-)||2 = ( / |и(в) |2йв ) .
Всякое решение £ ^ х(£, £о,и) системы (1), удовлетворяющее при £ € [£о — г, £о] начальному условию х(£) = и(£ — £о), порождает движение £ ^ х*(-,£о,и) = х*(£о,и) в пространстве 6, £ ^ £о (при £о = 0 вместо х*(-, 0,и) пишем х*(и)). Таким образом, при всех £о ^ т ^ £ имеет место равенство х* = X(£,т)хт, где X(£, т): 6 ^ 6 — оператор Коши системы (1).
Для и € 6 определим 1,2 -показатель Ляпунова
■ 1п ||ж*(«)||
к(и) = Нт ------------, х(0) = —то.
Тогда множество 6— = {и € 6 : к(и) = —то} образует линейное подпространство в 6. Пусть 6+ — прямое дополнение подпространства 6— до пространства 6, то есть 6 = 6+ ф 6 —. Тогда если и € 6+ и и = 0, то к(и) > —то.
Зафиксируем в 6+ линейное подпространство размерности р и построим движение £ ^ х*(§Р) = 8р пространства 8ц. Будем говорить, что это движение порождено сужением системы А на подпространство 8р|. Такое сужение обозначим (А, ).
Наряду с системой (А, ) будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений
у = В(£)у, £ ^ 0, у € Мр (2)
с непрерывной на полуоси М+ матричной функцией і ^ В (і). Будем далее отождествлять систему (2) с задающей ее матрицей В и называть системой В. По аналогии с подпространством §р, введем в рассмотрение линейное пространство Мр размерности р с базисом у1 (і),..., ур(і), образующем столбцы матрицы Коши У (і, т) системы В при т = 0.
Пусть £(§р, Мр) — пространство линейных операторов из §р в Мр с нормой || ■ ||^2•
Определение 1. Функцию і ^ Ь(і) Є £(§Р, Мр) будем называть обобщенным ляпуновским преобразованием систем (А, §Р) и В, если:
1) функция і ^ Ь(і) непрерывна на М+;
2) при і ^ 0 оператор Ь(і) является гомеоморфизмом пространств §р и Мр;
3) выполнено неравенство 8ир(||Ь(і)|І£2+ І|Ь-1(і)||кр^ь2) < то.
*^0
Будем говорить также, что система (А, §Р) приводима обобщенным ляпуновским преобразованием Ь к системе В, или что системы (А, §р) и В асимптотически подобны.
§2. Приводимость рекуррентной системы с последействием [3]
Определение 2. Функцию (і, в) ^ А(і, в) (или, что эквивалентно, систему А Є А) , будем называть рекуррентной (по переменной і), если для любых є > 0 и Т > 0 множество
в а (є, Т ) = {$ Є М : шах^ | А(і + $, 0) — А(і, 0)| + J | А(і + $,в) — А(і,в)| dвj ^ є}
относительно плотно на прямой М.
При каждом в Є [—г, 0] сдвиг функции і ^ А(і, в) на константу т обозначим Ат(і, в). Пусть далее, ^(А) — замыкание множества {Ат (і, в) : т Є М} сдвигов функции А, понимаемое в следующем смысле: А Є ^-(А) в том и только в том случае, если для некоторой последовательности {ті}?=і и любых є > 0 и Т > 0 найдется такой номер іо, что для всех і ^ іо выполнено неравенство
jiiax^|ATi(t, О) — A(t, О)| + J |Ari(t, s) — A(t, s)| dsj
Для каждой системы А Є ^-(А) полный набор І2 -показателей Ляпунова системы (А, §Р) обозначим Лі(А),..., АР(А). Будем считать, что Аі(А) ^ ... ^ Ар(А).
Теорема 1. Пусть §0 , система А Є А рекуррентна и для всех А Є ^-(А) и
некоторой константы к > —то выполнено неравенство Аі(А) ^ к. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на М верхней треугольной матрицей В (і) и рекуррентное обобщенное ляпуновское преобразование Ь, приводящее систему (А, §0) к системе В.
Список литературы
1. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических показателей и почти приводимостью систем с почти периодическими коэффициентами. // Дифференциальные уравнения.1967. Т. 3, № 12. С. 2127-2134.
2. Быкова Т. С., Тонков Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 6. С. 731-737.
3. Быкова Т. С., Тонков Е.Л. Приводимость линейной системы с последействием // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2005. Т. 11, № 1. С. 53-64.
Быкова Татьяна Сергеевна Ижевский государственный технический ун-т,
Россия, Ижевск e-mail: [email protected]
