CC BY
38
В Ы В О Д
Представленные для анализа результаты наглядно демонстрируют возможности системы программирования СоВе8у8 для динамической разработки ПО сложных технических систем, которые впоследствии необходимо использовать в программируемых логических контроллерах с различными микропроцессорными платформами. СоБе8у8 предоставляет разработчику ПО все доступные языки программирования стандарта МЭК 61131 - СБС, БББ, ЬБ, 8Т и 1Ь. Кроме того, в данной системе имеется встроенный графический редактор, с помощью которого можно изобразить и наблюдать в действии будущую систему. Настройка программного обеспечения на конкретную микропроцессорную платформу выполняется в конфигураторе СоБе8у8, при этом также настраивается система ввода-вывода информации через порты конкретного программируемого контроллера, использующего в качестве операционной системы систему программирования СоБе8у8.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. http://www.3s-software.com
2. П е т р о в, Р. П. Оптимальное управление электроприводом с учетом ограничения по нагреву / Р. П. Петров. - Л.: Энергия, 1971. - С. 6-8.
3. С п р а в о ч н и к по автоматизированному электроприводу / под ред. В. А. Елисеева и А. В. Шинявского. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 616 с.
4. А л е к с е н к о, А. Г. Проектирование радиоэлектронной аппаратуры на микропроцессорах / А. Г. Алексенко, А. А. Галицин, А. Д. Иванников. - М.: Радио и связь, 1984. -259 с.
Представлена кафедрой ПОВТ и АС Поступила 12.12.2008
УДК 62-83
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДВУХМАССОВЫМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ
Канд. техн. наук, доц. ОПЕЙКО О. Ф.
Белорусский национальный технический университет
Электромеханические объекты с упругими свойствами механической части обычно изучаются на основании двухмассовой модели [1-8]. Синтезу систем управления двухмассовым электромеханическим объектом посвящены многочисленные работы, в том числе [4-8]. Проблема синтеза таких систем остается актуальной, поскольку предложенные структуры и методы синтеза обычно имеют ограниченные области применения. В [6-8] используется метод синтеза, основанный на оценке качества по коэффициентам характеристического полинома [6, 7].
Целью данной работы является синтез управления двухмассовым электромеханическим объектом на основании данного метода в сочетании с методом малого параметра [11-13] для упрощения модели. Синтез предполагает определение быстродействия электропривода, необходимое для управления заданной механической частью. За малый параметр принято отношение требуемой характеристической частоты синтезируемой системы к характеристической частоте контура управления скоростью электропривода. Синтезируемая система должна обладать свойством параметрической грубости (робастности, инвариантности к внутренним возмущениям объекта).
Желаемая линейная модель замкнутой системы задана нормальным характеристическим полиномом [9, 10, 13, 14].
Характеристическая частота Vo и показатель к. затухания синтезируемой системы принимаются в зависимости от требуемого быстродействия и допустимого в системе перерегулирования и должны удовлетворять условиям (4) из [14]: кг. е ^к, к^; v0 е[у0, у0]. Для системы управления двух-
массовым электромеханическим объектом [14] рассмотрим задачу синтеза при условии, что измеряемая датчиком скорость рабочего органа ю2 рассматривается в качестве выходной величины системы. Динамика системы (6)-(9) зависит от обобщенных параметров [14]: Тм = J1R / (ккм ); X = ^Д;
X = Ь2 J2 / Jl +1, собственных частот v1 = 1^Л/ТТМ; V2 = 1/^4.
Введем обозначения: х1 = ю2; х2 = Х1; ¿1 = Ью1; ¿2 = ¿1. Система уравнений объекта принимает вид:
х2 =v 2( ¿1- х1); ¿1 = (1)
¿2 = bXV2 х1 -
( Ь >
V J1TТ У
х2 + (ХЬ V2 + v1)¿1 - + Ь2и.
В качестве быстрой составляющей движения рассматривается подсистема переменных ¿, описываемая двумя последними уравнениями (1). Тогда медленное движение определяется первыми двумя уравнениями системы (1) и переменной х. В соответствии с [11, 12] при изучении быстрого движения медленные переменные приближенно принимаются за постоянные величины, а при анализе медленной составляющей инерционностью быстрого звена пренебрегают.
Представим сигнал управления в виде суммы двух составляющих: и = и + и2. Здесь и1 - сигнал управления внешнего контура, которому соответствует выходная величина х1, и в то же время задающим сигналом для внутреннего контура. Сигнал и 2 формирует внутренний замкнутый контур
управления скоростью ¿1 электропривода. Если потребовать, чтобы синтезируемые подсистемы принадлежали заданному множеству моделей, то можно получить выражения для коэффициентов ki (. = 0,..., 4) сигнала
управления. Для пропорционально-интегрирующего ПИ-регулятора скорости х1 рабочего органа справедливы выражения:
и1 — -к0х0 - к1 (ю* - х1) - к2х2; х0 = - / (ю* - х1 ; (2)
^2 — ^3 к4 ^2 .
Здесь ю* - заданное значение скорости. Управление и! синтезируется в предположении, что подсистема переменных г является безынерционной.
Чтобы характеристический полином подсистемы переменных г с управлением и2 имел вид Ы2 (р) — р2 + ку01 р + ку21, параметры к3, к4 должны удовлетворять условиям:
— 2 2 :KV 01
Ь2к4 = KV01 - VТ.
Ь2к3 = кУ 21 -V1; (3)
Для подсистемы переменных х с управлением и1 в случае ПИ-регулятора характеристический полином должен иметь вид Ы3 (р) — р3 +
2 2 3 2 3 3
+ к v0р + к V2р + ку0. Подсистема с ПИ-регулятором будет иметь третий
порядок, если в процессе синтеза управления и1 применить редуцированную модель системы. С учетом (3) подсистема переменных г примет вид:
' Ь >
г2 = ЬХу 2Х1 - — Х2 - (ХЬ V2 + кУ01 )г1 - KV01г2 + Ь2и1. (4) и л!
V 1х /
Введем обозначения: ц — v0/ v01; ц2 — V 2/ v01. Умножая на обе части последнего уравнения системы (4), получим
ц2¿2 — ц2ЬХу2х1 -ц2(Ь/Т)х2 -(ц2ХЬ2V2 + ку2)г1 -цку0г2 + ц2Ь2и1.
Значению ц — 0 соответствует медленная составляющая движения, приближенная модель для которого примет вид:
Х2 = V2(Ьг1 - х1);
(5)
0 — - (ку2 ) г1 + ц2Ь2 и1.
Из последнего уравнения получается (ку°) — ц2Ь2их, что позволяет
медленное движение описать только переменными х. С учетом (2) получим:
:(ЬЬ2 ц 2й1/ (Kv 2)- х1),
Параметры регулятора (2) с учетом заданного полинома Ш3(р) должны удовлетворять условиям:
Ь2к 0 =кк 3 V 3 V 21/ V 2; Ь2к, = ™021 (к3V0/V2 -1); (7)
Ь2 к 2 =кк 2 V 0 V 21 / V 2 .
Сигнал управления и, полученный для модели (6), будет действовать в системе (1), которая принимает вид:
*2 2 (- х1); (8)
21 = 2 2 ;
7 *
¿2 = _а50Х0 _ а51 Х1 _ а52Х2 _ а53¿1 _ а54¿2 + Ь2Ю .
Здесь приняты обозначения:
^ 0/ ц 2; а53 = ™ 21 +Ь 2; ^¡°/ ц 221- Ь 2Xv 2; а 54 = ™. (9)
М ц 2 + ь2.
— 3 3
= кк - ■
— 3 2
а51 = кк
— 2 2 2 а„ = кк vn
Характеристический полином данной системы в случае ПИ-регулятора скорости имеет вид
^5 (Р) = Р5 + а54Р4 + (а53 + У2 ) Р3 + У2 (а52 + а54 ) Р' +
(а51 + а53) р+^а50. (10)
Для данного полинома условия обеспечения заданных показателей качества принимают вид:
а°4 >к( а53 + ^ ); (а52 +а54 )2 ^ >к( а53 + ^ )(а51 + ^ ); (11)
(а53 + ) (а51 +а53); (а51 +а53 )2 >ка50 (аЪ1 +аЪА).
После преобразований с учетом выражений (9), обозначая 5 = = X Ь2/^01Т), получим:
30
к2 >к(к + Ац2);
_ 2 (12) (к + АЦ) >кК(Кк2 ц/Ц + К + 5ц);
Существуют малые значения ц, ц2, при которых можно приближенно
принять: (к + Ац2 )~К; (Кк2 ц/ц2 +К + 5ц)«к(1 + к2 ц/ц2). Тогда для выполнения системы неравенств (12) достаточно, чтобы:
Ац2 <min(к(К/к-1),вк); (13)
КЦ 2 <Ц<Л. (14)
2 / \ _ 1 2 ' к (к - К ) кк
;(к-к)
Условие (13) непосредственно следует из первого неравенства (12), а также из условия (Ац2 < вк) малости составляющей Ац2. Здесь в - малая величина, определяемая необходимой точностью расчетов, например можно принять в = 0,05 . Условие (13) можно также записать в виде
Ац2 <шт(к(к/к-1),А(к-к)/к2,вк). (15)
Заданными являются величины: А, к, к, в, v2, v0, а определить требуется значения: ц2, ц, к. Как правило, в (15) правая часть равна вк, а из (14) с учетом к>к следует ц<1/8. Сначала из (15) определяется |2 = вк/А. Затем с помощью полученного значения ц2 находим
к>к + вк2 к/А. (16)
После этого можно определить ц из (14). Затем, учитывая обозначения | = у0/у01; ц2 =v2jv01, можно рассчитать характеристическую частоту v01, определяющую быстродействие электропривода, а затем и параметры регуляторов на основании выражений (3), (7).
В случае П-регулятора скорости условия примут вид:
Ац2 <min(к(к/к-1),вк); ц<-^—.
4 7 кк2
При к = к, К = 2, К = 4, в = 0,05 получим:
- 2 1 А| <4в = 0,2; ц<-.
8
На рис. 1 представлена структура системы управления при наличии обратных связей по скорости и ускорению электродвигателя, с ПИД-регу-лятором Кр1 скорости ю2 рабочего органа. На рисунке приняты обозначения:
к 1
КР = Ъ, (1 + Ъ„/р) + Ка; Кт = м ; Км = —;
К (Тр +1) ¿1Р
= Ь >1 2 Р = ЬР . ^ = _-Р_. Ь = к / к . Ь = к / к
ЛМ1 _ 2 _ 2 2 ' _ ^ . , ' 04-^,4! К-02, 03-^3/ К-02 ■
J2 Р + С Р +v0
ТР +1
Рис. 7. Структура системы управления
Пример расчета для модели (1) выполнен при значениях параметров: ^ = 0,2 кг-м2, J2 = 20 кг-м2, с = 2,104 сДж/рад, Ь = 0,1, Т = 0,02 с, R = 0,4 Ом, к = 2,44, кМ = 4,5, кОС = 1. Показатель затухания к ограничен пределами: к = 2 , к = 4 . Тогда X = 2 , собственная частота упругих колебаний V2 = 10 с-1. Из (15) определяем Хц2 <вк = 0,02 - 4 = 0,08 . Если принять ц2 = 0,0025 , то из (16) получим к > к + вк2 к/х = 2,16 . Из (14) получается, что 0,01 <ц< 0,1.
На рис. 2 представлены процессы в системе с ПИД-регулятором скорости при плавном задающем воздействии.
м2
0,2 0,4 0,6 0,8 ?, с 1,0
Рис. 2. Процесс разгона электропривода
В Ы В О Д
Метод синтеза позволяет оценить быстродействие контура скорости, которое требуется для демпфирования упругих колебаний в механической части. Синтезированная система обладает свойством робастности.
Областью применения предложенного метода синтеза являются системы, в которых собственная частота упругих колебаний сравнима с характеристической частотой замкнутой системы.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. К о в ч и н, С. А. Теория электропривода: учеб. для вузов / С. А. Ковчин, Ю. А. Сабинин. - СПб.: Энергоатомиздат, 2000. - 496 с.
2. Ф и р а г о, Б. И. Теория электропривода: учеб. пособие / Б. И. Фираго, Л. Б. Павля-чик. - Минск: ЗАО «Техноперспектива», 2004. - 527 с.
3. Б а ш а р и н, А. В. Управление электроприводами / А. В. Башарин, В. А. Новиков, Г. Г. Соколовский. - Л.: Энергоиздат, 1982. - 392 с.
4. Б о р ц о в, Ю. А. Автоматизированный электропривод с упругими связями / Ю. А. Борцов, Г. Г. Соколовский. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Энергоатомиздат, 1992. - 288 с.
5. Б о р ц о в, Ю. А. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением / Ю. А. Борцов, Н. Д. Поляхов, В. В. Путов. - Л.: Энергоатомиздат, 1984. - 216 с.
6. И ш м а т о в, З. Ш. Синтез методом полиномиальных уравнений систем электропривода, инвариантных к параметрическим и внешним возмущениям / З. Ш. Ишматов, М. А. Волков, Е. А. Гурентьев // Электротехника. - 2007. - № 11. - С. 30-37.
7. В о л к о в, М. А. Синтез систем управления электроприводом с использованием коэффициентных оценок качества / М. А. Волков, З. Ш. Ишматов // Электротехника. - 2007. -№ 11. - С. 38-42.
8. A nhimiuk, V. L. Prace Naukowe Institutu Maszyn, Napçdôw I pomiarôw Elektrycznych Politechniki Wroclawskiey / V. L. Anhimiuk, O. F. Opeiko // Studia i Materialy. -2003. - № 23. - Р. 241-248.
9. N a s l i n, P. Polinômes normaux et critère algebrique d' amortissement (I) / P. Naslin // Automotisme. - 1963. - T. 8, № 6. - P. 215-223.
10. С и с т е м ы автоматического управления объектами с переменными параметрами. Инженерные методы анализа и синтеза / Б. Н. Петров [и др.]. - M.: Машиностроение, 1986. - 256 с.
11. M o i s e e v, N. N. Asymptotic Methods in the Theory of Optimal Control / N. N. Moiseev, F. L. Chernousko // IEEE Trans. on Autom. Contr. - 1981. - Vol. AC-26, № 5. - P. 993-1000.
12. C h o w, J. N. A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and Fast Modes / J. N. Chow, P. V. Kokotovic // IEEE Trans. on Autom. Contr. - 1976. - Vol. AC-21, № 5. - P. 701-705.
13. О п е й к о, О. Ф. Синтез линейной системы на основании упрощенной модели объекта / О. Ф. Опейко // АиТ.- 2005. - № 1. - С. 29-35.
14. О п е й к о, О. Ф. Синтез робастной системы управления двухмассовым электромеханическим объектом / О. Ф. Опейко // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2009. - № 1. - С. 14-21.
Представлена кафедрой электропривода и автоматизации промышленных установок
и технологических комплексов Поступила 14.04.2008
