Симметрии и точные решения уравнений динамической конвекции моря Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 79-90.

УДК 517.944 + 532.5

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНВЕКЦИИ МОРЯ

С.В. ГОЛОВИН, М.Ю. КАЗАКОВА

Аннотация. Рассматривается система уравнений динамической конвекции моря, задающая движения мелкой воды с переменной плотностью под действием силы Корио-лиса. Модель применяется для описания океанических и атмосферных течений средних широт.

С теоретико-групповой точки зрения интерес представляет бесконечномерная группа, допускаемая уравнениями модели, содержащая пять произвольных функций времени. Целью работы является демонстрация физического смысла преобразований симметрии, а также построение оптимальной системы подалгебр малых размерностей и новых точных решений.

Ключевые слова: Уравнения динамической конвекции моря, оптимальная система подалгебр, частично-инвариантное решение.

1. Постановка задачи

Рассматривается система уравнений динамической конвекции моря [1,2], задающая движения мелкой воды с переменной плотностью под действием силы Кориолиса:

ut + uux + vuy + wuz — fv = —p-1 px, vt + uvx + vvy + wvz + f u = —p-1 py,

0 = —p-1 Pz — g, (1)

Pt + upx + vpy + wpz = 0,

ux + vy + wz = 0.

Целью работы является исследование симметрий системы (1), а также построение некоторых новых частично-инвариантных точных решений.

Система координат выбирается как показано на рис. 1. Через N и S обозначены северный и южный полюсы, 9 — географическая шпрота точки па сфере. Ось Ox направлена на восток, Oy — на север, сила тяжести действует в отрицательном направлении оси Oz. Соответствующим образом определяются компоненты скорости (u, v, w). Давление и плотность обозначаются буквами p и p; g — ускорение силы тяжести.

Уравнения модели выводятся при следующих предположениях [2]:

H/R < 1, (2)

(L/R)2 < 1, (3)

S.V. Golovin, М.Yu. Kazakova, Symmetries and exact solutions of the model of dynamic

CONVECTION OF THE SEA.

© Головин С.В., Казакова М.Ю. 2012.

Работа выполнена при поддержке Президентской программы поддержки ведущих научных школ (НШ-6706.2012.1) и молодых докторов наук (МД-168.2011.1), гранта РФФИ (11-01-0026-а) и программы ОЭММПУ РАН М- 2.13.4.

Поступила 31 октября 2012 г.

Рис. 1. Система координат

tg<р0(Ь/В) < 1, (4)

здесь Я — радиус Земли, Ь, Н — характерные горизонтальные и вертикальные масштабы движения, — сирота; / = 2Qеos р0 = 1 — параметр Кориолиса, Приближение (2) означает, что рассматривается тонкий слой жидкости в пренебрежении радиальным искажениям при перемещении от одного значения г к другому. Это соотношение хорошо согласуется с реальными отношениями глубины океана и радиуса Земли (численные оценки приведены в [ 21), Согласно приближению (3) горизонтальные масштабы движения существенно меньше радиуса Земли, Последнее приближение (4) является наиболее строгим. Оно выполняется для средних или низких широт, для которых tg р0 ^ 1, Это исключает применение модели к анализу течений в высоких широтах, то есть в полярных морях,

С теоретико-групповой точки зрения интерес представляет бесконечномерная группа С, допускаемая уравнениями модели [ 11, порождаемая следующими инфинитезималышми операторами:

Х1 = хдх + уду + 2гдх + иди + удь + 2тдш + 2рдр;

Х2 = —удх + хду — уди + идь;

Х3 = Рдр + Рдр;

(г)4 = 2тс\ + (т'х + ту)дх - (тх - т'у)ду - [(г' + г'")^ + 2т^]д2+

+ (—т' и + ту + т" х + т'у)ди — (ти + т' у + т' х — т "у)ду —

-[(г'" + т'){хи + уу) + 4т'ю + (г"" + т")^- + 2т"х]ди, - 2т'р‘др- И

(а)5 = адх — (а"х + а'у)дг + а'ди — (а" и + а'у + а'"х + а"у)д,ш;

(в )б = вду + (в'х — в "у)д2 + в'ду + (в 'и — в" у + в'х — в"'у)д'ш;

(7) 7 = 1дх + ^'дш;

(б)8 = 6др.

Операторы алгебры Ь содержат пять произвольных гладких функции времени т (£), а(1), в(£), 7(£), 6(1). Штрихами обозначены производные от этих функций по

Конечные преобразования для операторов (а)5, (в)6, (7)7 имеют вид:

(а)5 : х = х + а(Ь), и = и + а'(Ь),

5 = с + (а"(1)х — а'{Ь)у) + \а{Ь)а" {Ь),

гЪ = го + (а"{Ь)и — а'{Ь)у + а'"{Ь)х — а"{Ь)у) +

(в)а : У = У + в(t), v = V +

z = z + (j3'(t)x + /3"(t)y) + \a{t)a"{t), w = w + (f3'(t)u + (3"(t)v + f3'(t)x + (3"'(t)y) +

(Y)7 : £ = z + Y(t), w = w + Y;(t).

Указаны только нетривиальные преобразования, остальные величины преобразуются тождественно, Эти преобразования представляют собой обобщённые галилеевы переносы в направлении осей Ox Oy, Oz соответственно. Применение данных преобразований к решениям, содержащим особенности (источник, сток, вихрь), позволяет получить решение с теми же особенностями, двигающимся по заданной траектории.

Непосредственное вычисление конечного преобразования, соответствующего оператору (т)4, приводит к неявной форме, неудобной для его дальнейшего применения. Для нахождения явного вида, преобразование использовалась симметрия инфинитезимальных операторов алгебры L относительно преобразований допускаемой группы G. Действительно, поскольку преобразования группы G сохраняют систему уравнений (1), их действие на

L

этим соображением, а также информацией о виде допускаемого преобразования, следующим из неявного представления, можно получить искомое преобразование симметрии явно. Для удобства восприятия это преобразование записано в цилиндрических координатах (r, 9,z), x = r cos 6, y = r sin 6; U и V — радиальная и окружная компоненты скорости в плоскости Oxy, W — компонента скорости вдоль оси Oz (рис, 1),

i = p(t),

Г = ry/(p(t),

0 = 0-- - t),

_ _ 1 - 3v"(t)2 + 2<p'(t) r2

tp'{t) 4tp'(t)3 2 ’

_ = ur rf ip"(t) \

u V/^T2 Ww/V’

1 , rl-ip^t)

v V9VW) 2 ’

™ = ~^WW + 8{2rUrV'(tf + “ V'(*)2)+

+rV(t)(^(t)2 + v'(t)4 + V'(t)2)+

+2r(2ur^>'"(t) + r<£(IV\t)) — 10r2^/ (t)^// (t)^/// (t)) ,

P

p <S(ty

Здесь if>(t) — произвольная функция. Данное преобразование позволяет генерировать нестационарные решении из решений, описывающих стационарные течения жидкости,

2. Оптимальная система подалгебр

Для систематического описания инвариантных и частично инвариантных решений си-

L

L

(6)

построения оптимальной системы подалгебр является вычисление группы внутренних автоморфизмов Aut L [3], Применение стандартного алгоритма [4] даёт следующий результат:

А\ : т = т,а = e~fla, (3 = e~fl(3, 7 = e_2fl7, 8 = e~2tl8;

A2 : a = a cost2 — /3 sin t2, /3 = a sin t2 + /3 cos £2, т = t, j = j,8 = 8;

A3 :t = r, a = a, (3 = (3, 7 = 7, £ = e—<5;

Л . =■ _ r(t4+x(t)) rjip /jA _ T(x(t))

’ 2x'(t) ’ ВДЄ _ 2x'(t) >

j = 2x/(t)D(t4 + x(t)), где j(t) = 2x/(t)D(x(t)),

y = 2x/(t)Г(t4 + x(t)) Y(t) = ^OTx^W;

— _ «0(U+x(t)) cos f-ffo(*4+x(*)) sin I r^e _ ao(xOT) COS f-ffo(xft)) sin §

— _ «0р4+хОТ) sin |+/3o(t4+xft)) cos I _ ao(x(t)) sin f+/3o(xOT) cos |

А 5 : Т = Т, О! = О! + ^5^5, /3 = /3 + -£>5^5,

7 = 7 + + Г52, <5 = <5,

А5 = [(ж1 + т')о — 2то'], В5 = (т — х2)о,

Г51 = аа" — ао'' — о'в — о в', Г52 = оА!'5 — о" А5 — о' В5 — оВ'5;

А6 : Т = Т, 01 = 01 А6Ь6, (3 = (З -ВдІд,

7 = 7 + Геї^б + Гб2^, 8 = 8,

А6 = (ж2 — т)о, В6 = [(ж1 + т')о — 2то'],

Г61 = ов'5 — о"в + ао' + оа', Г62 = оВ^5 — о''В6 + о'А6 + оА'6;

А7 : т = т, а = ск, /3 = /3, 7 = 7 + Г71і7, £ = 8,

Г 71 = 2ж1о — (то)';

А% : т = т,а = а, (3 = (З,7} = ґу, 8 = 8 + Аві^в,

Д81 = 2х1о + х3 о — 2(то' + от').

В приведённых формулах указаны преобразованные координаты инфинитезимального оператора

X = <1X1 + ЬХ2 + сХз + (т )4 + (а)5 + (в )б + (7)7 + (^) 8 (7)

под действием каждого из автоморфизмов. Вместо неявного представления внутреннего автоморфизма А4 удобно использовать его явную запись, получаемую действием преобразования (6) на каждый из операторов алгебры Ь, записанный в координатном виде (5), Рассматриваемую алгебру Ь можно разложить в полупрямую сумму Ь = Ь4®Ьте, где Ь4 = {Х1,Х2,Х3, (т)4}, Будем строить оптимальную систему подалгебр с помощью двухшагового алгоритма [3], Сначала построим оптимальную систему для подалгебры

Ь4

бесконечномерной частей. Для Ь3 = {Х15Х2,Х3} оптимальная система строится просто, в силу абелевости подалгебры. Она состоит из одного трехмерного представителя

{Х1; Х2, Х3}, трех двумерных {аХ1 + Х2,ЬХ2 + Х3}, {Х1, сХ2 + Х3}, {Х1;Х2}, трех одномерных {аХ1 + ЬХ2 + Х3}, {аХ1 + Х2}, {Х1} и нулевой подалгебры,

Ь4 (т) 4

морфизма А4 можно привести к виду с т = 1, Действительно, под действием замены (6)

(т)4

(т) 4 = т (і)ді + ... ^ (г )4 = т (і)р' (г)д + ....

Выбор р = / 1/т (і) ^і приводит оператор (т) 4 к оператору переноса д^ Таким образом, в оптимальную систему войдет одномерная подалгебра {аХ1 + ЬХ2 + сХ3 + (1)4}-

Перейдем к построению одномерных представителей оптимальной системы для алгебры Ь. В общем виде оператор записывается в виде (7), Вначале рассмотрим случай т =

0. Как и выше, при помощи действия автоморфизма А4 всегда можно добиться т = 1, Использование автоморфизмов А5, А6 позволяет еделать а = 0 в = 0, Автоморфизмы А7, А8 позволяют занулить координаты 7 и 6. Таким образом, в оптимальную систему включается подалгебра {аХ1 + ЬХ2 + сХ3 + (1)4}.

Если же т = 0 в случае а = 0, то по-прежнему с помощью А5, А6 делается а = 0 в = 0. С помощью А7, А8 зануляются координаты 7 = 0 6 = 0, и в оптимальную систему войдет подалгебра {Х1 + ЬХ2 + сХ3}, Если же а = 0 и Ь = 0, то с помощью А7 нельзя занулить 7, В этом случае получается ещё один одномерный представитель {ЬХ2 + Х3 + (7)7},

В случае а = 0 Ь = 0 автоморфизм А4 позволяет сделать а = 1, в = 0. Координата 7 остаётся общего вида. Действуя оператором А8, получаем 6 = 0. Тогда в оптимальную систему записывается {Х3 + (1)5 + (7)7}.

Остается рассмотреть случай, когда с = 0 т0 есть Х3 не входит в базисный оператор подалгебры. Если при этом а = 0 и Ь = 0, то получаем подалгебру {(1)5 + (7)7 + (6)8}. Если а = 0 Ь = 0

{ЬХ2 + (гу) 7 + (6)8}-

Таким образом, оптимальная система содержит следующие одномерные подалгебры: {аХ1 + ЬХ2 + СХ3 + (1)4}, {Х1 + ЬХ2 + СХ3},

{ЬХ2 + Х3 + (7)7}) {(1)5 + (7) 7 + (6)8},

{ЬХ2 + (7)7 + (6)8}, {Х3 + (1)5 + (7)7}, {аХ1 — 2аХ3 + (6)8}.

Аналогичным образом строится оптимальная система двумерных подалгебр. Условие подалгебры (коммутатор базисных операторов подалгебры является их линейной комбинацией) позволяет дополнительно уточнить вид произвольных функций, входящих в базисные операторы. Как и для одномерных подалгебр, наиболее сложный для дальней-

( т) 4

оператору переноса по времени (1)4 = д±. Окончательно, оптимальная система подалгебр выглядит следующим образом (функции а1;2(і), в1)2(і)> 1і,2(і) 61)2(і) произвольны, если не указано иное):

{X! + (1)4, Х2 + (С)4 + (С^2 С08(§) - С2е^2 8іп(§))5+

+ (С2е*/2 соз(|) + С\е1!2 8Іп(|))6 + (С3є2і)7 + (С4е*)8},

{хі + (1)4) сХ2 + Х3 + (С)4 + (С\ё12 соз(|) — С2ег!2 зіп(|))5+

+ (С2е^2 С08(§) + С^/2 8іп(§))6 + (С3е2і)7 +

{сіХі + Х2 + (1)4, /Х2 + Х3 + (С')4 + (С'іЄ2*)5 + (С2е2*)6 + (С3е2<іі)7 + (С±ем)&\,

{аХ1 + ЬХ2 + сХ3 + (1)4, (С)4 + (а2)5 + (в^6 + (С1Є2аІ)7 + (С2Є(2а+С')І)8}, а2, в2

( а'2\ = ( —а Ь + 1 \ ( а2 \

\в^) V Ь — 1 —а)\в*) ’

{(1)4, (С)4 + (^2)5 + (в2) 6 + (72)7 + (^2

{Х1 + (С1)5 + (С2)6 + (С3)7 + (С4)8) Х2 + (1)4},

{Х1 + (С*1 соэ (|(с - 1)^) + С2 ЭШ (^^))б +

+ (С2 С08 (^) - С*! 8Ш (^))б + (Съ)7 + (С'4е*/2)8, сХ2 + Х3 + (1)4},

^йХ\ -\- Х2 + (С\ соэ (^(с — 1)£) + С*2 (^2^^) )б+

+ (^2 СОЭ (^у^) — С\ ЭШ (£2^^))б + (£3)7 + /Х2 + Х3 + (1)4},

{0X1 + ЪХ2 + сХ3 + (С1 соэ (|) — С*2 зт (|))б + (С2 соэ (|) + С1 эт (|))б + (£3)7 + (£4)8) (1)4}, {XI, Х2},

{Х1,сХ2 + Хз},

{<1X1 + Х2,/Х2 + Хз},

{ЬХ2 + Хз + (71)7, (72)7}5

{(1)5 + (71)7 + (^1)8, (а2)5 + (С + а2)6 + (72)7 + (^2)8},

{ЬХ2 + (71)7 + (^1)8) (72)7 + (^2)8})

{Х3 + (1)5 + (7)7, (а2)5 + (С + а2)6 + (72)7}-

3. Частично инвариантное решение системы

Для удобства дальнейшего исследования запишем уравнения динамической конвекции моря в цилиндрических координатах:

иг + ииг + г-1Уив + Ши* - V + р-1рг = г-1 V2,

V + иК + г-1 VV0 + + и + {гр)-1рв = -г-^,

Рг + и рг + г 1Кр^ + Шр* = 0, (8)

иг + г-1и + г-1^ + Ш* = 0,

Р = -Р*.

Рассмотрим следующую пятимерную подалгебру алгебры Ли симметрии системы:

Ь5 = (д*, гд* + д^, д0, рдр + рдр, др). (9)

Базисные операторы алгебры (9) соответствуют, в порядке следования, таким операторам алгебры Ли: (1)7, (г)7, Х2,Х3, (1)8,

Алгебра (9) порождает частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 3, имеющее представление:

и = и (г, г), V = V (г, г), ш = ш (г, г, в, г), ( т

р = р(г,г,в,г), р = р(г,г,в,г), ' '

причем р > 0 р > 0 в силу неотрицательности плотности и давления.

Подставим представление (10) в исходную систему, получим следующую подмодель:

иг + ииг - V + р-1рг = г-1 V2,

V* + UVr + и + (гр)-1 ре = -г-^

рг + ирг + г ^Vре + Шр* = 0 (11)

иг + г-1и + Ш* = 0, р = -р*. р

рг = г-1р (^ + V2 - г (ииг + иг)) ,

ре = -р (и (гУ) + гУ), (12)

р* = -р.

Оставшиеся уравнения системы примут следующий вид:

}У2 = -~{ги), (13)

г дг

рг + и' рг + г 1^е + Ш р* = (14)

Уравнение (13) определяет функцию Ш(г, г, в, г):

г д

Ш*, г, 9, г) = —— Ш) + Ш0и, г, 9). (15)

г дг

Из условий совместности уравнений (12) получим выражения для производных функ-

() рг = -г-1(^ + V2 - г (ииг + иг)) р*, (16)

ре = (и (г + V + ^г) + гЩ) р*. (17)

Интегрирование соответствующего условия совместности системы (12) с учетом полученных представлений (16), (17) позволяет определить V:

V = -гу и - UV - ги - й(г),

где Н(г) — произвольная функция времени, появившаяся после интегрирования. Подстановка полученного выражения во второе уравнение системы (11) дает следующее:

ре = к(г)р. V2

Обозначим /и, г) = — ииг + V Н----, тогда первое уравнение системы (12) примет

г

вид:

рг = /(г, г)р.

В итоге, система (12) переписывается в следующем виде:

ре = к(г)р,

рг = / (t,г)р, (18)

р* = -р. р

р(г,г,в,г) = я (г, X), X = н(г)в - г + д(г,г), (19)

,де я > 0 - „вторая произвольная функция. д(, г) = / /(, г)Лг. Подсхав.,яя полнен-

р

р = я (г,х) ё,х + р0(г). (20)

В соотношении (19) зависимость переменной Л от полярного угла 9 линейна, поэтому для непрерывности плотности во всем пространстве течения функция R должна быть периодической, По той же причине давление должно быть периодической функцией. Но в силу неотрицательности р из формулы (20) следует, что давление является строго возрас-

Л

только для h(t) = 0,

Подстановка представления (19) в уравнение (14) даёт следующее:

Rt + R\ (gt(t, г) + U gr(t, г) + (rll) + W0(t, г, 9)] = 0.

\ r dr )

Сомножитель при R\ должен зависеть только от Л, Этого можно добиться за счёт выбора функций Wo и U:

1 д ад

-тг- (rU) = f(t), W0(t, г, 9) = gt(t, г) + Ugr(t, г) + (rU),

r dr r dr

,,.r a(t)

где f (t), a(t) — некоторые произвольные функции времени,

В результате имеем уравнение для функции R(t, Л):

Rt - f (t)^x = 0. (21)

Его решение записывается так:

R(t, Л) = R ^Л exp(^ f (t)dt)

Теперь можем найти функцию V из второго уравнения системы (11):

V(t,r) = -r-+(^-, (22)

где £ — лагранжева координата, заданная следующим образом:

dr

M=U(t'r)' (23)

r(0) = с.

Тогда первое уравнение системы (11) определяет введенную нами функцию g(t,r):

»(«.’■) = -J (/'W + i/W2 + 5) -^-a'(t)lnr + J (^)dr. (24)

Таким образом, получаем следующее точное решение:

гг = rf(t) g(i)

2 2тг г’

к = -Г + £М

2 2тгг ’

W = zf (t) + Wo(t, r),

R = R^\ exp(^ f (t)dt)j,

P = J R ^Л exp(^ f (t)dt)j dЛ + po(t)

9 = ~7 (/,(4) + \m2 + 5) “ - 11Г lnr+ / (^) dr■

Введены обозначения

«<*) = #, C(Q = V(0

2п 2п

Для произвольных функций, входящих в решение, имеется ясная физическая трактовка. Функция q(t) задаёт расход распределённого на оси Oz источника, Функция f (t) определяет скорость радиального разлёта частиц. Функция Г(£) позволяет задать произвольно циркуляцию вектора скорости по окружности r = const в некотором цилиндрическом слое. Характерными для решения являются поверхности постоянства плотности р = р0\

z = g(t,r) + C f(t)dt^ .

(25)

Зададим функцию q(t) в виде:

q(t) = 2п(1 — cos t) при 0 ^ t ^ 2п,

q(t) = 0 при t > 2п, t < 0. ^ ^

Оставшиеся произвольные функции положим равными нулю: f (t) = Г(£) = 0, На рис, 2,а показаны образующие поверхностей постоянной плотности в данном случае, В началь-

t > 0

q(t) r = 0

занная с включением источника на оси. Поверхности равной плотности при этом отходят r=0 параболоидами.

► r

,2

'4

■5

'3

Рис. 2. Поверхности постоянной плотности (25) для равных промежутков времени £ € (0, 2п) пронумерованы в порядке возрастания £ при а — Г(С) = 0,

б~ г(С) = о

z

z

1

Рассмотрим случай, когда помимо источника на оси имеется конечная закрутка течения в некотором цилиндрическом слое. Для этого зададим функцию Г(С) следующим образом:

Г(С) = 0 при С < 1, С > 2,

Г(С) = 8п при 1 < С < 2.

Функцию д(£) оставим той же, что и раньше, определенной (26), а /(£) тождественно равной нулю, В этом случае получим поверхности постоянной плотности, изображенные на рис, 2, б. В области, в которой Г(С) принимает ненулевое значение, происходит «выпучивание» поверхностей постоянной плотности, которое со временем сохраняется, но удаляется от оси Oz.

4. Автомодельное решение

В этой части работы рассмотрим построение инвариантного решения относительно следующей четырехмерной подалгебры алгебры Ли симметрии системы:

L4 = (dz, tdz + dw,pdp + рдр, rdr + 2zdz + Udu + Vdy + 2Wdw + pdp), (27)

где базисные операторы соответствуют следующим операторам алгебры (1)7, (t)7, X3, X\.

Подалгебра (27) имеет инварианты t,9,U/r,V/r и порождает частично-инвариантное решение ранга 2 и дефекта 3, имеющее представление:

U = ru(t, 9), V = rv(t, 9), W = w(t, r, 9, z), , ,

р = p(t,r,9,z), p = p(t,r,9,z). ^ '

Попытка исследования подобного решения при р = raR(t,9), a = const была сделана в [5].

После подстановки представления решения (28) получим фактор-систему следующего вида,:

rv (щ — 1) + ru2 — rv2 Н—рг + гщ = 0, (29)

р

rvve + u(2rv + г) Н----ре + rvt = 0, (30)

rp

Pz w + rupr + vpe + pt = 0, (31)

2u + ve + wz = 0, (32)

P = —Pz. (33)

w(t, r, 9, z)

w(t, r, 9, z) = —(2u + v)z + wo(t, r, 9). (34)

p(t, r, 9, z)

p

ющиеся уравнениями для функции p(t, r, 9, z). Они интегрируются в виде

r2

p(t,r,9,z) = R(t, A), X = —f(t,9) - z. (35)

Введено обозначение

f (t, 9) = v (ue — 1) + u2 — v2 + ut. (36)

После подстановки (35) в исходные уравнения получим уравнение для функции R(t, А):

R\\ (ft + / (4и + We) + w/e) + А (—2и — Ve) — Шо) + -Ru = 0. (37)

Множитель при Rw должен зависеть только от t и А, отсюда следует

r2 hf (t)

W0 = — (ft + / (4и + Ve) + w/б») +

1 /

(38)

“_ 2 г1'"+ ед; ■

Здесь Л.(£), к(£) — произвольные функции времени.

Подстановка соотношений (38) в (37) даёт окончательное выражение для плотности. Для удобства запишем её в виде производной от некоторой функции Р:

р = Р '(к(г)Х + й(£)). (39)

Рис. 3. Траектории автомодельного решения

у

Тогда давление имеет следующий вид:

р = щР(\к(г) + Щ)). (40)

Подстановка представлений (39), (40) в исходную систему уравнений (29)-(33) приводит к следующей системе уравнений для функций /(£, в), и(Ь, в), ь(Ь, в):

' /в = -2vt + (-2и - 2у^-'\

к(і)}

Щ = -~щ + (і - - ~— + у) , (41)

V \ V V

к1 (і)

Ув = —2 и +

к(£) '

Будем искать осесимметричное решение системы (41):

и = и(г),ь = ь(£),/ = /(£).

Получим следующее решение:

к'Ш А 1

и = V =

к(£) ’ к(£) 2 ’

к"(Ь) 1 (А

1 4 \к(г)] Щ 4 \Щ

Здесь к(£) — произвольная функцпя, А — произвольная константа. Построим траектории движения частиц в плоскости Оху, для этого выберем

к(£) = 2 + вт Ь, А = 1.

Данное решение является периодическим во времени. На рис. 3 изображена характерная траектория частицы в течении жидкости, определённом полученным решением.

Заключение

Для бесконечномерной группы, допускаемой уравнениями динамической конвекции моря, построена оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр, В ходе исследования вычислено в явном виде конечное преобразование для оператора допускаемой

tt вания имел ключевое значение для построения оптимальной системы.

Также получены новые точные решения уравнений динамической конвекции моря. Решения являются частично инвариантными ранга 2 и дефекта 3, Первое описывает трехмерное вихревое течение, порожденное взаимодействием распределённого на вертикальной прямой источника произвольной мощности и произвольного вращения в цилиндрическом слое, окружающем источник. Второе решение соответствует вихревому периодическому по времени осесимметричному течению вокруг начала координат. Применяя допустимые преобразования симметрии, можно генерировать эквивалентные решения, в которых вихрь движется по произвольной траектории в горизонтальной плоскости и вращается жестко с произвольной угловой скоростью. Для первого решения приводятся физические характеристики поверхностей постоянной плотности потока, для второго решения построены траектории частиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Уравнения динамической конвекции моря. Препринт, ИгиЛ, СО РАН, 1967.

2. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981.

3. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 702-704.

4. Головин С.В., Чесноков А.А. Групповой анализ дифференциальных уравнений: учебное пособие. Изд-во Новосибирского госуниверситета, 2008.

5. Босых Н.Ю., Чупахин А.П. Об одном частично инвариантном, решении уравнений гидродинамики атмосферы, Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 2010, Т. 10, № 4, С. 26-35.

Сергей Валерьевич Головин,

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, пр-т ак. Лаврентьева, 15,

630090, г. Новосибирск, Россия E-mail: [email protected]

Мария Юрьевна Казакова,

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2,

630090, г. Новосибирск, Россия E-mail: m. u. kazakova@gmail. com