Инвариантные решения одного неклассического уравнения математической физики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО НЕКЛАССИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Проведен симметрийный анализ одного уравнения математической физики. Для него найдена основная алгебра Ли, оптимальная система ее одномерных подалгебр.

Это позволило вычислить инвариантные решения уравнения.

Ключевые слова: групповой анализ, допускаемая группа, основная алгебра Ли, оптимальная система подалгебр, инвариантное решение.

1. Симметрии уравнения

Данная работа посвящена групповому анализу уравнения

\щ(Ь, х) - Щх(Ь,х) = пхх(Ь,х), (1)

где и = и(х,Ь), А — вещественное число, не равное нулю. Методом Ли - Овсянникова [1] найдена основная алгебры Ли уравнения (1), ее оптимальная система одномерных подалгебр. Вычислены инвариантные решения уравнения.

Для уравнения (1) найдём допускаемые группы преобразований. Генератор группы и его второе продолжение имеют вид соответственно

д д д

X = т (Ь,х,и) — + £ (Ь,х,и)-—+ п(£, х, и)——, дЬ дх ди

д д д д д V V I д I /0х д I ,лг д , ,Лх д I /0хх д

X = X + (р —------+ р ----+ р -----+ р —------+ р

<= dut dux dutt dutx duxx

По формулам продолжения имеем

pt = Dtn - utDtT - uxDtC, px = Dxn - utDxт - uxDxC,

P ^ DxP — uttDxT — utxDxС, p ^ DxP — utxDxT — uxxDxC, где используются операторы дифференцирования

^ д д д д д д д д

Dt = тт: + utт;—+ uttт.-+ utxт;-+ • • • > Dx = т;—+ uxт.—+ utxт.-----+ uxxт;-+ •

дс cm дщ Cux дх ди дut Cux

Используя критерий инвариантности, получим

-\рЬ + ptx + pxxlM = -^Vt + Aut{Tt - Пи) + ^-ux^t + AutTu + AutuxC'u + Vtx +

+ut (Vxu - Ttx - A^t) + ux(Vtu - C,tx) - utiTxu + A^u) + utux (Пии - Ttu - £xu)--ux&u - u£ ux Tuu - utux^uu - uttTx + utx(Vu - Tt - Сx + Сt) - ututx(2Tu--£u) - uxuttTu - 2uxutxCu + Vxx + ut(-Txx + AVu - 2ACx) + ux(2Vxu - Cxx) +

+utux(-2Txu - 3ACu) - ux(-Vuu + 2Cxu) - utu2xTuu - uxCuu + utx(-2Tx - Vu+

+ 2Cx) + uxutx(-2Tu + 3Cu) - Aut Tu + ututxTu = 0.

Здесь M — многообразие в продолженном пространстве, соответствующее уравнению (1). В полученном многочлене относительно свободных переменных ut, ux, utt, utx приравняем все коэффициенты к нулю и получим линейную однородную систему дифференциальных уравнений в частных производных

ntx - AVt + Vxx =

Vxu - Ttx - AC,t + ATt - Txx - 2AC,x = 0, ntu - Ctx + AC,t + 2Vxu - Cxx = 0,

-Txu - AC,u = 0,

Vuu - Ttu - Cxu - 2txu - 2ACu = 0>

-C,tu + Vuu - 2Cxu = 0> -Tuu = 0>

Cuu Tuu 0) Tx

Cx - Tt + Ct - 2tx = 0,

C'u - Tu = 0> Tu = 0> C'u - 2tu = 0> C'uu = 0.

Отсюда следует, что т зависит только от t, а поэтому С не зависит от u. Оставшиеся после этих замечаний нетривиальными уравнения примут вид

Vtx - AVt + Vxx = 0> (2)

Vxu - AC,t + ATt - 2AC,x = (3)

ntu - Ctx + AC,t + 2Vxu - Cxx = (4)

nuu = о, (5)

Cx - Tt + Ct = 0. (6)

Из уравнения (6) видно, что Tt = Ct + Cx , Ctx + Cxx = 0 и уравнение (3)

принимает вид

Vxu - AC,x = 0. (7)

Тогда в силу уравнения (5) n(t,x,u) = A(t,x)u + B(t,x) и из уравнений (2), (4), (7) получим

Atx - AAt + Axx = 0> (8)

Btx - ABt + Bxx = 0,

At + 2Ax + AC,t = ° (9)

Ax = ACx. (10)

Из уравнения (10) следует, что A(t, х) = AC(t, x) + C(t), поэтому Atx + Axx =

0. А из уравнения (9) получим

2ACt + 2ACx + C(t) = 2At (t) + C(t) = 0.

Покольку А = 0, то т = — + Б, А = А(х) в силу уравнения (8). Сле-

довательно, Ахх = 0, А = Ех + Е. Тогда £(Ь,х) = А-1(Ех + Е — С(Ь)). Отсюда уравнение (6) примет вид 2Е = С'(Ь), и поэтому С(Ь) = 2ЕЬ + С,

, 2ЕЬ + С Ех — 2ЕЬ + Е — С

т (Ь) =---^ + Б, ф,х) =------------------а---------’

П = Ехи + Ей + В(Ь, х),

где В — любое решение исходного уравнения.

Выберем базис в полученном пространстве решений, поочередно положив равным нулю все константы в решении и функцию В, кроме одной константы: сначала Б = 1, затем С = —2А, затем Е = А, и наконец, Е = —А. После линейного преобразования базис найденной алгебры Ли генераторов допускаемых групп примет вид (11).

Теорема 1. Основная алгебра Ли уравнения (1) имеет базис X = I • Х2 = дХх. Хг = и £. X = ЬI + (2Ь — х) д — Ахи I. Х = В (Ь.х) &. (11)

где В — любое решение этого уравнения.

Таким образом, исследуемое уравнение имеет бесконечномерную группу Ли, конечномерная часть которой имеет размерность 4.

Замечание 1. Нетрудно из уравнений (2)-(6) получить, что при А = 0 основная алгебра Ли уравнения (1) имеет базис

(д д \ д д д

Х = т(Ь)( - + тр , Х2 = —• Хз = и—, Х4 = С(Ь — х) — ,

\дЬ дх ) дх ди дх

дд Х5 = Е ( — х 'ди^ Х5 = Е (Ь

где т, С, Е, Е — произвольные функции одной переменной.

2. Инвариантные решения

Рассмотрим максимальную конечномерную подалгебру алгебры Ли уравнения (1) с базисом

д д д д д д

Х1 = ТГ7 > Х2 = 7Т“; Х3 = иТГ~ ^ Х4 = Ь^ТГ + (2Ь — х)~ Ахи~. (12)

дЬ дх ди дЬ дх ди

Из ее таблицы коммутаторов следует, что ненулевыми структурными константами являются

с14 = 1^ С14 = 2 С24 = —1, С24 = — А

е1 __ _ 1 е2 _ _ 2 с2 _ 1 е3 _ А

е41 — 1 е41 — 2 е42 — 1 е42 — А-

По формуле Еа = ^1 найдем генераторы внутренних автоморфизмов ал-

гебры Ли:

Е1 = е4 -Т + 2е4 -~2,

де1 де2

Таблица коммутаторов алгебры Ли (12)

Х1 Х2 Х3 Х4

Х1 0 0 0 Х1 + 2Х2

Х2 0 0 0 —Х2 — ХХ3

Х3 0 0 0 0

Х4 —Х1 — 2Х2 Х2 + ХХ3 0 0

еа

Е — 4 д \ 4 д

Е2 — — е — Хе -7—,

де2 де 3

-е ’ — - (2е1 - е2) + Хе2—

де1 (е е) де2 + де3'

Интегрируя соответствующие системы уравнений Ли, вычислим сами внутренние автоморфизмы:

-1 1 I 4

е1 = е1 + е4а1,

е 2 — е 2 + 2 е 4а1,

е

3

24

= е — е а2, е 3 — Х е 4а2,

е1

е1 е-аз,

е 2 — е1е аз + (е2 — е1) еаз, е3 — —Хе1 е-аз + Х( е2 — е1) еаз + е3 — Х( е2 — 2е1).

(13)

(14)

(15)

Найдем оптимальную систему одномерных подалгебр, базис которых будем за-

4

давать в виде X — ^ ек X^.

к=1

Сначала рассмотрим трехмерный идеал (Х1 ,Х2 ,Х3). В нем из внутренних автоморфизмов остается только (15). Сделав замену е4 — е2 — е1, перепишем его в виде

е1 — 1 -аз,

е4 — 4 аз, е3 — Хе1 (1 — е-аз) + Хе4( еаз — 1) + е3'

Рассмотрим случай е1 — 0. Если при этом е2 — 0, то получим подалгебру (Х3). Если же е2 — 0, то получим (Х2 + сХ3).

Пусть е1 — 0. В случае е1 — е2 получим подалгебру (Х1 + Х2 + сХ3). При е1 — е2 в зависимости от знаков исходных значений е1 и е2 — е1 получим (Х1 + сХ3) или (Х1 + 2Х2 + сХ3).

Рассматривая теперь вектор е1Х1 + е2Х2 + е3Х3 + Х4, при е2 — 0, е3 — 0 с помощью автоморфизмов (13), (14) получим е2 — е3 — 0. Тогда при е1 — 0 имеем подалгебру (Х4), а при е1 — 0 с помощью растяжения е1 из автоморфизма (15) и, если надо, используя зеркальный автоморфизм е1 ^ — е1, е2 ^ — е2, е3 ^ — е3, получим подалгебру (Х1 + Х4).

В случае е 2е 3 — 0, используя автоморфизмы (13), (14), добьемся равенств е1 — е2 — е3 — 0 и получим подалгебру (Х4).

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Оптимальную систему одномерных подалгебр алгебры с базисом (12) образуют подалгебры (Х3), (Х4), (Х1 + Х4), (Х1 + сХ3), (Х2 + сХ3), (Х1 + Х2 + сХ3), (Х1 + 2Х2 + сХ3).

Найдем инвариантные решения. Для оператора Х3 инвариантных решений нет, для оператора Х4 функцию п(Ь,х) ищем в виде п(Ь,х) — р(хі — і2)еЛ(ж—2і). После её подстановки в уравнение (1) получим уравнение

вр''(в) + р' (в) + Х2р(в) — 0,

5 — хі — і2. Сделав замену р(хі — і2) — у(у), у — 2Х\/хі — Ї2, получим уравнение Бесселя

у2 у" + у V + у2у — 0,

решение которого выражается через функции Бесселя первого и второго рода индекса 0 [2]: у (у) — С^о(у) + С2Х0 (у), где

к 2к

к=0

(—1)к у

4к(к!)2 ,

вд = п му) (1п |+с)- п и! (|) (1+2+■ ■ ■+к

В итоге

п(г,х) = еЛ(ж-24) (с/о^Ал/хг - г2) + С2Уо(1\у/хЬ - г2)) .

Для оператора Х1 + Х4 получим уравнение для инвариантов

д д д \

(1 + () д + (|г - х) - Ахи^)/ = °

Решив его, найдем инварианты

/ = х(1 + г) - г2, </2 = и(1 + г)-2ЛеЛ(2*-ж-1)

и вид инвариантного решения

и = (1 + г)2Ле-Л(2*-ж-1)^(х(1 + г) - г2) = е2Л 1п(1+*)-Л(2*-х-1)^(х(1 + г) - г2).

Подставив эту функцию в уравнение (1), получим равенство

(в + \)рп (в) + (2А + 1)^; (в) + А2^(з) = 0,

где в = х(1 + г) - г2. Сделав теперь замену ф(г) = г2Л<р(в), г = 2Ау/в + 1, получим урвнение Бесселя г2гф"(г) + ггф'(г) + (г2 - 4А2)ф(г) = 0. Его общее решение можно записать с помощью функций Бесселя первого и второго родов индекса 2А [2] в виде ф(г) = С1/2Л(г) + С2^2Л(г). В итоге

п(х,і) — ^х(Г+Т)-)2 + 1 ^ е Л(2* Х 1) (С1^2Л(2Х\/х(1 + Ь) — І2 + 1) +

+С2У2Х(2\л/х(1 + ї) — і2 + 1 )^ ,

В случае с оператором Х1 + сХ3 находим

+ I с— д/с2+4Лс с+\/с2+4Лс \ п

и(і, х) = єСі Сіє— 2---------х + С2Є— 2--------х , с2 + 4Лс > 0,

и(і, х) = єс(і 2) (С1 + С2х), с2 + 4Лс = 0,

/, ч си-х) I ^ . л/с2 + 4Лс ^ \/с2 + 4Лс \ 2 ,, „

и(і, х) = е ( 2 ) ( С1 вт-----------------------^-х + С2 есе----------------------^-х ) , с + 4Лс < 0.

с2

Для оператора Х2 + сХ3 при с = Л имеем инвариантное решение и(ї,х) =

єЛ—сІ+Сх. Для Х2 + ЛХ3 инвариантных решений нет.

В случае с оператором Х1 + Х2 + сХ3 получаем инвариантное решение

с2 (Ь —х) |

и(ї, х) = є Л+с , с = —Л, при с = —Л инвариантных решений нет.

Наконец, для оператора Х1 + 2Х2 + сХ3 получаем инвариантное решение

, Ч Сі ( Л+2с^л/(Л + 2с)2+8Лс (2х і) -/ Л+2с + \^ (Л + 2с)2 +8Лс (2х А

и(ї,х) = ЄСМ СіЄ 4 (2х-і) + С2Є 4 (2х-і) \

при (Л + 2с)2 + 8Лс > 0,

и(і,х) = є-Л+т£ (2х-і)+Сі (Сі + С2(2х — ї)), (Л + 2с)2 + 8Лс = 0,

и(і,х) = е-^(2х-')+с' (Сі 8Іп(2х — + 2с)2 + 8Лс+

^ (2х — ї)л/(Л + 2с)2 + 8Лс ■ 2

+С2 есе----------------------------------- , (Л + 2с)2 + 8Лс < 0.

Список литературы

1. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

2. Коренев, Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б. Г. Коренев. — М. : Наука, 1971. — 288 с.