Симметрийный анализ нелинейного псевдопараболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 2. С. 152-168.

УДК 517.95

СИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Е. А. Безбогова1", В. Е. Федоров26, А. С. Авилович2,с

1 Южно-Уральский государственный университет

(национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия 2 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "[email protected]; 6 [email protected]; с[email protected]

Получена групповая классификация квазилинейного псевдопараболического уравнения со свободным элементом, зависящим от первой производной по времени. Найдены четырёхмерное ядро основных групп уравнения и все с точностью до преобразований эквивалентности спецификации свободного элемента, которым соответствуют дополнительные симметрии уравнения. Для некоторых нелинейных спецификаций найдена оптимальная система подалгебр пятимерной основной алгебры Ли уравнения и соответствующие этим подалгебрам инвариантные решения и инвариантные подмодели. Кроме того, показана нелинейная самосопряжённость оператора, задающего линейное уравнение исследуемого вида, осуществлён поиск серии законов сохранения линейного уравнения.

Ключевые слова: псевдопараболическое уравнение, групповой анализ, групповая классификация, инвариантное 'решение, закон сохранения.

В работе рассматривается квазилинейное псевдопараболическое уравнение

Уравнения такого вида встречаются при описании некоторых процессов в теории фильтрации [1; 2], в теории полупроводников [3]. Групповой анализ близкого по структуре уравнения со свободным элементом, зависящим от и, проведён в работах [4; 5]. Цель данной работы — исследовать групповую структуру уравнения (0.1), получить его групповую классификацию и для некоторых спецификаций функции f методами группового анализа [6-9] осуществить построение отдельных классов точных решений и поиск законов сохранения уравнения.

1. Группа эквивалентностей квазилинейного псевдопараболического уравнения

Рассмотрим класс уравнений вида

Введение

ихх&, х) + Щхх{г, х) = f (и(г, х)).

(0.1)

Щхх + ихх — У (иь) = °

(1.1)

Статья выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, задание № 1.6462.2017 / БЧ.

содержащих функцию и = п(Ь,х) от двух переменных, её частные производные и произвольную функцию f. Найдём группу преобразований эквивалентности этого уравнения. Считаем, что f — дополнительная переменная, зависящая от Ь, х, и, щ, пх. Генераторы групп преобразований эквивалентности будем искать в виде

У д + £ д + д + д

дЬ дх дп дf'

где функции т,£,п зависят от Ь, х, и, функция р зависит от Ь, х, и, f, п*, пх. Дополним уравнение (1.1) уравнениями

Л = 0, fх = 0, и = 0, ¡их = 0, (1.2)

означающими, что в исходной постановке задачи f зависит только от п*.

Будем рассматривать систему уравнений (1.1), (1.2) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Подействуем на левые части уравнений (1.1), (1.2) продолженным оператором

д д д д д д у_у + фхх | ргхх | р* \ ^х \ рЦ \ рих

дпхх дп*хх дд!х д!и дих

сузим результат действия на многообразие N и получим уравнения

р*хх + рхх - ^ = 0, (1.3)

= 0, рх= 0, ри= 0, рих = 0. (1.4)

Коэффициенты оператора У могут быть вычислены по формулам продолжения, использующим операторы дифференцирования

д д д д У* =^г + Щ— + ..., Пх = п^— + ...,

дЬ дп дх дп

у д д у д д у = дь + Лд] +^ Ух = дх + ^ай + ^

У = д { д у = д д у = д д

и = дп + 1ид] + . ^ и = дй + }ид] + ..., Пих = дй~ + 1ихд] + .. Согласно формулам продолжения

р* = У*(п) - п*У*(т) - пхУ*(£), рх = Ух(п) - п*Ух(т) - пхУх(£),

рхх = Бх(рх) - п*хУх(т) - пххУх(£), р*хх = У*(рхх) - п*ххУ*(т) - пхххУ*(£),

поэтому на многообразии N

р1 = + п*Пи - п*т* - п^ти - пх£г - п*Чх£и,

р 'х + пх'пи пгтх пгпхти пх£х пх£>и1 р пхх + 2пхпхи + пх'пии + пхх'П'и пгтхх

2пхпгтхи 2пгхтх пгпхтии 2пхпгхти пгпххти пх£хх 2пх£хи 2пхх £х пх£ии 3пх пxx£,u, р п*хх + Щ'ххи + 2пх'п*хи + 2пгпхпхии + 2пгхпхи + пх'п*им + пгпхпиии + 2пхЩх'пии+

+uxxntu + utuxxnuu + utxxnu utTtxx utTxxu uttTxx 2uxutTtxu 2uxutTxuu 2uxuttTxu 2ututxTxu 2utxTtx 2ututxTxu 2uttxTx utuxTtuu ut uxTuuu

ux uiiTuu 2uiuxuixTuu 2uxuixTiu 2uiuxuixTuu 2utxTu 2uxuiix Tu utuxxTtu ut uxxTuu uttuxxTu ututxxTu ux Cixx utux Cxxu uix£xx

2uxCixu 2uiuxCxuu 4uxuixCxu 2uxxCix 2utuxxCxu 2uixxCx

UxCiuu UÎUxCuuu 3uxutx Cuu 3uxuxxCiu 3utuxuxxCuu 3utxuxxCu 3uxutxx Cu

utxxTt ututxxTu uxxxCi uiuxxxCu.

Аналогично

^ = АЫ - /tA(r) - ДА(£) - /uA(n) - futW) - fux A(px),

V* = А*ы - /t-Dx(t) - /xddx(c) - /uiDx(n) - /utДг(^) - /uxДг(л = DuM - /t-Du(T) - /x-Du(C) - /u-Du(n) - /utDu(^) - /ux-Du(^x), ^ = D ux M - /t-Dux (T ) - /x-Dux (C ) - /u-D ux (n) - /ut D ux - /ux D Пх (Л

Уравнения (1.4), таким образом, примут следующий вид, учитывая, что в определение многообразия N входят уравнения (1.2):

"ГТ7 - /i

dt ^ dt

0, 7f - /u

0, 7f - /

N du t du

d^4

0, ^ - /

N ÔMx t dux

= 0.

N

Перейдём к уравнению (1.3), подставив в него найденные ^хх и ^хх и выразив и^хх из уравнения (1.1):

пхх + 2их^х« + ихп«« + иххи4тхх 2ихи4тх« 2и4хтх и*ихт«« 2ихи£хти и4иххт«

их^хх 2ихСхм 2ихх^х ихС«м 3ихиххС« + + + и4^хх« + 2их^4х« + 2и4ихпх«« + 2и4х^х« + ихп4мм + и4ихп««« + 2ихи4хп«« + +ихх^4« + и4иххп«« + и4хх^« и4т4хх и2 тххи иЙтхх 2ихи4т4х« 2ихи2тх«« 2ихи44тх« 2и4и4хтхм 2и4хт4х 2и4и4хтхм 2иЙхтх и4ихт4«« и2ихт««« их 2и4ихи4хтми 2ихи£хт£и 2и£ихи£хтии 2и£хТ' 2ихи^х

и4иххт4« и2иххт«« иЙиххтм и4и4ххтм их ^хх и4их Сххм и4хСхх 2их^4х« 2и4ихСхмм 4ихи4хСхм 2ихх^4х 2и4ихх^хм 2и4хх^х

«мм 3ихи4х С" 3ихихх^4' 3и4ихиххС" 3и4хиххС' 3ихи4хх С'

и4ххт4 и4 и4ххтм ихххС4 и4ихххС« ^

N

пхх + 2их^х« + ихп«м + ихх^« и4тхх 2ихи^тхи 2и£хтх и4ихт«« 2ихи*хт« и*иххт«

uxCxx 2uxCxu 2uxxCx uxCuu 3uxuxxCu +

UtUxn xuu + 2utxn xu + Ux ntuu + UtUx; + uxxntu + UtUxxnuu + (/ uxx)nu UtTtxx ut Txxu UttTxx 2UxUtTtxu 2uxut Txuu

+ ntxx + utnxxu + 2uxntxu + 2utuxnxuu + 2utxnxu + Uxntuu + UtUxnuuu + 2uxutxnuu +

2пхпитхи 2пгпгхтхи 2пгхтгх 2пгп*хтхи 2пыхтх пгпхт*ии п2 пхтиии

пхпЫтии 2ЩпхЩхтии 2пхпгхтги 2п*пхп*хтии 2п2хти 2пхпИх ти пгпххтги пг пххтии пыпххти - М] - пхх)ти пх£гхх пгпх£ххи пгх£хх 2пх£*хи 2п*пх£хии 4пхп*х£хи 2пхх£Ьх 2п*пхх£хи 2(f пхх пх£гии пгпх£иии 3пхпгх£ии 3пхпхх£ги 3пгпх пхх£ии 3пгхпхх£и 3пх(] пхх)£и (f пхх)тг п*(] пхх)ти пххх пгпххх £и р

Таким образом, к нулю приравнен многочлен относительно свободных переменных пх, п**, п*х,пхх, п**х, пххх. Сразу заметим, что коэффициентами при выражениях п**х, пхп**х, пххх, ппххх являются соответственно выражения -2тх, -2ти, -£*, -£и. Поэтому т = т(Ь), £ = £(х). Тогда часть производных в полученных выражениях обнулится и останется уравнение

'хх + 2пхпхи + пхпии + пхх'и пх£хх 2пхх£х +

+ п*хх + п*пххи + 2пх'п*хи + 2п*пх'пхии + 2пЬхПхи + пх'п*ии + п*пх'пиии + 2пхп*х'пии + + пххп*и + ^М^^хх'ии + (f пхх)'и п*х£хх

-2(1' - пхх)£х - (¡' - пхх)т* - Р = 0, (1.5)

а также уравнения

Р* - ¡'МЫ + п*'*и - п*ты) = 0, (1.6)

Рх - ¡'(п*)^ + п*'хи) = 0, (1.7)

Ри - f'(п*)('Ьи + Щ^ии) = 0, (1.8)

Рих = 0.

Из уравнения (1.5) расщеплением по свободным переменным получим

'*хх + ¡''и - 2]£х - ]т* + 'хх + п*'ххи - Р = 0, (1.9)

2'хи - £хх = 0, (1.10)

'и + т* = 0, (1.11)

2'*хи + 2'

хи - хх

(1.12)

' ии = 0.

Из последнего уравнения следует, что ' = А(Ь,х)п + В(Ь,х). Исходя из уравнения (1.10), в уравнении (1.12) получим равенство '*хи = А*х = 0, означающее, что А(Ь,х) = У(Ь) + Е(х). Значит, ' = У(Ь)п + Е(х)п + В(Ь,х). Рассмотрим уравнение (1.10):

'хи = Е'(х), 2Е'(х) = £ "(х), Е (х) = 1 £'(х) + С, ' = 2 £'(х)п + У(Ь)п + В (Ь,х). В уравнении (1.11) получим У'(Ь) = -т'(Ь), У = -т + С,

' = 1 £'(х)п + Сп - т(Ь)п + В(Ь, х). Подставим в уравнение (1.9) все найденные ', £, т и получим

В*хх(Ь,х) + 2£'(х) - т(Ь) + с) - 2]£'(х) - ]т'(Ь) + 1 £'''(х)п+

+Вхх(г,х) + и 2 С///(х) = (1.13)

Распишем уравнения (1.6)-(1.8):

^ - Ли)(-т//(г)и + БЙ(г,х) + и4(-г/(г)) - и4т"(г)) = о, (1.14)

^х - Уы (в4х(г,х) + и2С"(х)) = 0, (1.15)

+ у/(и4)г/(г) = о. (1.16)

Вычислим из уравнения (1.13) и подставим в уравнение (1.16):

1 С///(х) + /ЫЛг) = о,

тогда С////(х) = 0, С = С3х3 + С2х2 + С1х + С0. Полученное уравнение примет вид

3Сз + у/(и4)г/(г) = 0. (1.17)

При поиске групп универсальных преобразований эквивалентности [10] получим т/(г) = 0, Сз = 0, т = к.

Рассмотрим уравнение (1.14), подставив вычисленное по уравнению (1.13):

Бйхх + Б4хх УЧи )Б а.

Отсюда получим Би = 0, Б = М(х)г + N(х). Тогда Б4хх = М//(х) = 0. Поэтому М = 5х + Т, Б = + тг + N(х).

Рассмотрим уравнение (1.15), подставив в него из (1.13):

В4ххх — 3у С2 + Б ххх У(и4)(В4х + С2Ш). (1.18)

Зная Б, подставим его в уравнение (1.18) и получим

-3УС2 + N///(х) = У/(и4)(5 + С2и4). (1.19)

Отсюда имеем С2 = 0, 5 = 0, N = Ьх2 + Рх + 2, Б = Тг + Ьх2 + Рх + 2. В итоге

т = К, С = С1х + Со, п = ^С1 + С - К^и + Тг + Ьх2 + Рх + 2,

0 = (-2С1 + С - к) у + 2Ь.

Получено восьмимерное пространство решений. Выбирая в пространстве решений базис подходящим образом, получим следующее утверждение.

Теорема 1. Базис алгебры Ли инфинитезимальных операторов групп универсальных преобразований эквивалентности уравнения щхх + ихх = У(и4) образуют, операторы

ддд д д

= 777 , ^ 2 = 7Т" , ^3 = 7Т", ^ 4 = , = ,

дг дх ди ди ди

= х2#- + 2^, ^ = х^ + 2^-д, П = 2^-д + и^ - 3^.

ди ду дх ди дх ди ду

Отсюда следует, что базис ядра основных алгебр Ли уравнения (1.1) составляют операторы У\, У2, У, У4, которые не преобразуют дополнительные переменные f, щ.

Следствие 1. Базис ядра основных алгебр Ли уравнения щхх + пхх = f (п*) образуют операторы

X = д X = д X = д X = хд

XI = тт:, ^ = тт-, Xз ^ т;-, X4 = .

дЬ дх дп дп

2. Основные алгебры Ли в специальных случаях

Вернёмся к уравнению (1.17) и, предполагая, что f'' = 0, придём к (1.19) без изменений. Отсюда получим N = их'3 + Ьх2 + Рх + Z. Далее в предположении, что С2 = 0 с помощью универсальных преобразований эквивалентности, соответствующих операторам У4 и У6, приведём (1.19) к виду —3f = ]'щ. Отсюда f = ]оЩ3, отметим, что с помощью оператора У7 из теоремы 1 можно получить = 1.

Вычислим основную алгебру Ли уравнения с f = п-3. Вернёмся к равенству (1.13). Имеем равенство

' = 1 £'(х)п + Сп - т(Ь)п + В(Ь, х), дополним его уравнением

В*хх(Ь, х) + п-3(2£'(х) - т(Ь) + с) - 2п-3£'(х) - п-3т'(Ь) + 1 £'''(х)п+

+Вхх(Ь, х) + п* 1 £'''(х) = -3п-4^-т'(Ь)п + В* + 1 £'(х)п* + Сп* - т(Ь)п* - т'(Ь)п^

(уравнение (1.13) с учётом замены f на п-3, а р на ¡'(п*)р* = -3п-4р*). Отсюда следует, что т' = 0, т = К, В = В0 + В1х, £ = С0 + С1х + С2х2, С = К. Таким образом,

т = К, £ = Со + С1х + С2х2, ' =(1 С1 + С2Л п + Во + Вхх.

Лемма 1. Базис основной алгебры Ли уравнения utxx + uxx = ut образуют операторы

X = д X = д X = д X = Тд Xi = тт:, X2 = ТГ, X3 = ^r-, X4 = ,

дЪ дх ди ди

д д 2 д д X5 = 2х— + и—, Аб = х — + хи—. дх ди дх ди

Рассмотрим случай линейной функции f = f^t + f0 и при f1 = 0 с помощью преобразований эквивалентности, соответствующих операторам Y4 и Y7, перейдём к эквивалентной функции f = щ. Теперь в уравнении (1.13) заменим f на щ, а р на pt и получим уравнение

Btxx(t, х) + ut[- 2£'(х) - т(t) - T(t) + C^J + 1 С(х)и+ +Bxx(t, х) + щ2С"(х) = -т'(ъ)и + Bt + 1 С(х)и + Сщ - т(ъ)и - т'(Ъ)щ. (2.1)

Отсюда следует, что £/у = т" = 0. Продифференцируем теперь по и и по х и получим £" = 0, тогда £' = 0, £ = Со, т' = 0, т = К. Уравнение (2.1) теперь примет вид

В4жж(^,х) + Влл(*,х) = Б*. (2.2)

Переобозначим С — К через С и получим

т = К, £ = Со, п = Си + Б(г,х),

где Б удовлетворяет уравнению (2.2).

Лемма 2. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = и образуют операторы

д д д д XI = —, Х2 = —, Хз = и—, Х4 = Б(г,х) —, дг дх ди ди

г^е Б(г,х) — любое решение этого уравнения.

Теперь в уравнении (1.13) возьмём f = 1 и получим уравнение

3 1 1

В4хх(*, х) — 2£'(х) — т(г) — т'(*) + С + 1 £'"(х)и + Бхх(*, х) + 1 £'"(х) = 0.

Тогда £= 0, £ = Со + С:х + С2х2,

3

Б4хх(*, х) + Бхх (¿, х) = т (г) + т '(г) — С +2 С1 + 3С2х,

т = т (¿), £ = С0 + С1х + С2х2, п = 1 С1и + С2хи + Си — т (г) и + Б(г,х). Обозначим через Бд(4,х) произвольное решение уравнения

Б4хх(¿, х) + Бхх(¿, х) = х).

Лемма 3. Базис основной алгебры Ли уравнения и4хх + ихх = 1 образуют операторы

д д д д д Х1 = т & + (Бт (^Ю^ — т ^ Х2 = Х3 = 2х^^ + (и + Б3(^,х)) —,

д д д д Х4 = х2 дх + (хи + Бзх(^х)) —, Х5 = (и + Б-1^,х)) —, Хб = Бо (г,х) —.

Для f = 0 аналогичным образом получим следующее утверждение.

Лемма 4. Базис основной алгебры Ли уравнения и4хх + ихх = 0 образуют операторы

д д д д д Х1 = т(г)— — тХ2 = —, Хз = х—, Х4 = и—, дг ди дх дх ди

д д д Х5 = х2 — + хм—, Хб = Бо(г,х) — дх ди ди

г^е Бо(г, х) — любое решение этого уравнения.

3. Групповая классификация уравнения

Если продолжить генераторы групп преобразований эквивалентности уравнения м;хх + мхх — / (м;) = 0 с нелинейным / до преобразований по м;, то они будут иметь вид

5

5

5

у; = т-, у = , у = ^

Ув

5

5

дх

5

дм

5

У4 д

х — + 2—, У7 = х— + 2м— + 2м4——, дм д/ дх дм дм

д д д х^-> У5 = + , дм дм дм;

д д д д

Уз = 2х— + м---3/ — + м; —.

дх дм д/ дм;

Рассмотрим алгебру Ли, полученную из проекций этих операторов на подпространство переменных /, м;, т. е. алгебру с базисом

я = д Я

21 = / 2

/ д 2 = д / 5/' 23 = дм;'

Я4

м;

А

дм;

(3.1)

^ет^ что = 1 р^/^)ув, Я2 = ;РГ(/,«4)(У7— 2У8), 23 = Р^/,«*)^ 24 = ;РГ(/)Ш)У7.

Вычислим таблицу коммутаторов [2^, 2?] = 2^2? — Я? 2 для данной алгебры Ли и найдём тем самым ненулевые структурные константы

21 2 (О 2 со 24

21 0 21 0 0

2 (О — 21 0 0 0

2 со 0 0 0 2 со

24 0 0 — 23 0

г1 = 1 г1 = -1 г12 = 1' г21 = 1'

з4

1, с3з = —1.

По формуле = г^в евдд7 найдём генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли

д

1д

д

Е = е27Г7, £2 = —, Е = е4 —, £4 = —е3

Н&1 Н&1

д

де1' 2 " де1' 3 " де3' де3

и сами автоморфизмы

£1 : е1 = е1 + ае2, £2 : е1 = е1е-а, £3 : е3 = е3 + ае4, £4 : е3 = е3е-а.

1. Пусть е4 = 0, тогда е3 = 0.

1.1. Если е2 = 0, то е1 = 0 и поэтому базисный вектор имеет вид 2С = (0, г, 0,1), г = 0.

1.2. Если е2 = 0, то возможны следующие случаи:

1.2.1. При е1 = 0 получим (0,0, 0,1) — соответствует оператору 2С при г = 0.

1.2.2. Если е1 = 0, то 2 = (1, 0, 0,1), учитывая наличие автоморфизма е1 ^ —е1.

2. Пусть е4 = 0.

2.1. Если е2 = 0, то е1 = 0, с учётом зеркальной симметрии для е3 2 = (0,1,1,0) или 2 = (0,1, 0, 0).

2.2. Если е2 = 0, то возможны следующие случаи:

2.2.1. Пусть е1 = 0, е3 = 0, тогда 2 = (1, 0,1, 0).

2.2.2. При е1 = 0, е3 = 0 имеем 2 = (1, 0, 0, 0).

2.2.3. Если е1 = 0, е3 = 0, то 2 = (0, 0,1, 0). Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 5. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь4 с базисом (3.1) имеет вид ©1 = {(21), <2>, + £3), +24), <2+2$), (г^+24), г е К}.

3

Для каждого оператора из оптимальной системы далее понадобится проекция соответствующего генератора группы преобразований эквивалентности на подпространство переменных Ь, х, п. Получится соответствие с точностью до множителя:

д д д д Zl ^ х2 —, Z2 ^ х^-, Zз ^ Ь—, Zl + Zз ^ (2Ь + х2) —, (3.2) дп дх дп дп

д д д д Zl + Z4 ^ х— + (х2 + 2п) —, Z2 + Zзз ^ х— - 2Ь—, (3.3)

дх дп дх дп

дд

cZ2 + Z4 ^ (1 - с)х— + 2п—. (3.4)

Для каждого оператора Z из оптимальной системы вычислим выражение Z(Г(п*) - f )|/=р = 0. Получим следующие результаты:

Zl(F(п*) - f=Р = -1 = 0;

Z2(F(п*) - f=Р = -Г = 0; Zз(F(п*) - f )У=Р = Г(п*) = 0, Г = С, с учётом растяжения по f оператором У8 можно взять Г =1, если С = 0;

(^ + Zз)(F(п*) - f)У=р = -1 + Г'(п) = 0, Г = п* + С,

с учётом преобразований эквивалентности, порождаемых оператором У5, можно взять Г = п*;

(^ + ZA)(F(п*) - f)^=Р = -1 + п*Г'(п*) = 0, Г = 1п п| + С, с учётом растяжения по п оператором У7 можно взять Г = 1п

(Я2 + Zз)(F(щ) - f=Р = -Г + Г' = 0, Г = Сеи, осуществляя сдвиг п* оператором У4, получим Г = еиг, если С = 0;

(cZ2 + Z4)(F(п*) - f)Ь=Р = 0, ^ = с^, Г = СпС.

Г п*

С помощью оператора У7 получим Г = п*, если С = 0.

Таким образом, спецификации свободного элемента f = еиг в силу (3.2)-(3.4) соответствует дополнительная симметрия х дх - 2Ь ди, для f = 1п ^^ получена симметрия хдх + (х2 + 2п) ди, для f = пС — (1 - с)хдх + 2пди, в частности для f = п — симметрии пди, (2Ь + х2)ди, которая является частным случаем симметрии К4 из леммы 2. Для f = 1 имеем дополнительную симметрию Ь ди, являющуюся частным случаем симметрии К6 из леммы 3. Можно также заметить, что функция Г = 0 подходит операторам Z2, Z3, cZ2 + Z4, поэтому спецификации f = 0 соответствуют дополнительные симметрии х, Ь, (1 — с)х+ 2п, линейная оболочка которых

" 1 ах' аи' 'ох ди' 1

образует подалгебру в алгебре из леммы 4.

Получена групповая классификация исследуемого уравнения, которая сформулирована в виде следующей теоремы.

Теорема 2. 1. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + пхх = п-'3 имеет вид

д д д д д д 2 д д — , Л2 = -7—, Xз = —, Л4 = х—, Л5 = 2х— + п—, Аб = х — + хп—. дЬ дх дп дп дх дп дх дп

2. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = и£ при с = 0, с =1, с = —3 имеет вид

д д д д д д Х1 = —, Х2 = —, Хз = —, Х4 = ж—, Х5 = (1 — с)ж— + 2и—. д* дж ди ди дж ди

3. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = имеет вид

д д д д д д X = Х2 = —, Хз = —, Х4 = ж— Х5 = ж— — 2*—.

дг дж ди ди дж ди

4. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = 1п |и1 имеет вид

д д д д д , 2 . д Х1 = 777, Х2 = —, Хз = —, Х4 = ж—, Х5 = ж— + (ж + 2и) —. д* дж ди ди дж ди

5. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = и образуют операторы

д д д д Х1 = -, Х2 = —, Хз = и— Х4 = В (г, ж) — , дг дж ди ди

где В(*,ж) — любое решение этого уравнения.

6. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = 1 образуют операторы

д д д д д Х1 = Т (Г) д* + (Вт (4)+т'(4)(Г,ж) — Т (Г)и) ^^ Х2 = ^ Х3 = 2ждж + (и + В3(г,ж)) —,

д д д д Х4 = ж2 дж + (жи + Взх(*, ж)) ди, Х5 = (и + В-1(*,ж)) ди, Хб = Во (¿,ж) —,

где В5(4,х)(Г, ж) — любое решение уравнения щхх + ихх = д(*,ж).

7. Базис основной алгебры Ли уравнения щхх + ихх = 0 образуют операторы

д д д д д Х1 = т(¿) — — т(¿)и—, Х2 = —, Хз = ж—, Х4 = и—, д* ди дж дж ди

д д д Х5 = ж2— + жи—, Хб = Во(*,ж) —, дж ди ди

где В0(Г, ж) — любое решение этого уравнения.

8. В случаях спецификаций свободного элемента f, не приводимых к перечисленным выше преобразованиями эквивалентности, основная алгебра Ли уравнения Щхх + ихх = f (и4) совпадает с ядром основных алгебр Ли и имеет вид

V = д Х = д Х = д Х = жд Х1 = ТТ7 , Х2 = ТТ", Хз = ТТ", Х4 = .

дг дж ди ди

4. Инвариантные решения и подмодели

4.1. Уравнение с экспоненциальной функцией

Рассмотрим уравнение и^хх + ихх = , основная алгебра Ли которого имеет базис

д д д д д д Х1 = -, Х2 = —, Хз = —, Х4 = ж— Х5 = ж— — 2*—. (4.1) д* дж ди ди дж ди

Для неё вычислена таблица коммутаторов. Ненулевыми структурными константами являются с?5 = —2, с24 = 1, с25 = 1, с42 = —1, сз1 = 2, с52 = —1, с45 = —1, с44 = 1.

По формуле Еа = о^р найдём генераторы внутренних автоморфизмов алгебры

Ли е1 = -2е5дез, е2 = е4дез + е5£2, е4 = -е2- едЪ, е5 = 2е дез - е2де2 + е4-¿ж и соответствующие им автоморфизмы

Е1 : е3 = е3 - 2а1е5

Е2 : е3

е3 + а2е4, е2 = е2 + а2е5,

Е4 : е3 = е3 - а3е2, е4 = е4 - а3е5, Е5 : е3 = е3 + 2а4е1, е2

3-о,4е2 р4 = е«4е4

1. Пусть е5 = 0, тогда е4 = е3 = е2 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (а, 0, 0, 0,1), а € К.

Xl X (О X со X4 X5

Xl 0 0 0 0 -2X3

X2 0 0 0 Xз X2

X со 0 0 0 0 0

X4 0 0 0 -X4

X5 2X3 ^2 0 X4 0

2. Пусть е5 = 0, тогда возможны следующие случаи:

2.1. При е4 = 0 имеем е3 = 0. 2.1.1. Если е2 = 0, то X = (1,0,0,1,0) или X = (0, 0, 0,1, 0). При этом используется внутренний автоморфизм Е6 : е1 ^ -е1, е2 ^ -е2, е3 ^ -е3.

2.1.2. Пусть е2 = 0, тогда получим X = (а, 1, 0,1,0), а € К, вновь учитывая наличие внутреннего автоморфизма Е6.

2.2. Если е4 = 0, то возможны следующие случаи:

2.2.1. При е2 = 0 имеем е3 = 0, X = (1,1, 0, 0, 0) или X = (0,1, 0, 0,0). При этом учитывается наличие внутреннего автоморфизма Е7 : е1 ^ -е1, е3 ^ -е3, е4 ^ -е4.

2.2.2. Пусть е2 = 0,е1 = 0, тогда е3 = 0, X = (1,0, 0, 0, 0).

2.2.3. Если е2 = е1 = 0, то X = (0, 0,1, 0, 0).

Лемма 6. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь5 с базисом (4.1) имеет вид

в1 = {{Xl), X), X), X), X + X2), X + X4), ^1 + X5), ^1 + X2 + X4),a € К}.

Решения и подмодели [11], инвариантные относительно одномерных подалгебр из оптимальной системы в1, получены и приведены в табл. 1.

Таблица 1

Инвариантные решения и подмодели в случае экспоненциальной нелинейности

Подалгебра из 01 Инварианты Решение или подмодель

1 X! X, и 1 х2 + Ах + В

2 X2 Ь, и нет

3 Xз Ь, х нет

4 X4 Ь, х нет

5 Xl + X2 Ь - х, и р''' + р'' = е*

6 Xl + X4 х, и и = Ьх + ех + Ах + В

7 аЛ1 + X5, а = 0 Ь - а 1п |х|, ар''' + (а +1)р'' + р' = е'Р * ,

Ь2 + аи г = Ь - а 1п |х|, р = р(г)

X5 Ь, 2Ь 1п |х| + и и =(Ь +1) 1п(2Ь + 2) - Ь(1 + Ь |х|) + В

8 aXl + X2 + X4 Ь - ах, и - х2/2 а2 р''' + а2р'' + 1 = еУ

4.2. Уравнение с логарифмической функцией

Для уравнения щхх + ихх = 1п 1щ1 основная алгебра Ли имеет базис

д ЛГ д ЛГ д ЛГ д д 2 д "7Г7, X2 = , Xз = —, X4 = X—, X5 = X— + (х + 2п) —. дЬ дх ди ди дх ди

Составим таблицу коммутаторов для данной алгебры Ли и найдём ненулевые структурные константы сз4 = 1, с25 = 1, с^ = 2, с35 = 2, с42 = —1, = 1, с^ = -2, с§2 = —1, с^з = —2, с54 = —1. С их помощью получим генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли £2 = е5 А + е4 д|з +2е5 ¿ж, £з = 2е5 ^, £4 = — е2 дез + е5 дет, £5 = е2ддег + 2е3дез + (2е2 + е4) ^ и соответствующие им автоморфизмы

£2 : е2 = е2 + а^5, е3 = е3 + а^4 + а2е5, е4 = е4 + 2а^5, £з : е3 = е3 + 2а2е5, £4 : е3 = е3 — азе2, е4 = е4 + азе5, £5 : е2 = е"4е2, е3 = е2"4е3, е4 = е"4е4 + 2а4е"4е2.

1. Пусть е5 = 0, тогда е2 = е3 = е4 = 0, поэтому базисный вектор подалгебры имеет вид X = (а, 0, 0, 0,1), а е М.

2. Пусть е5 = 0, тогда возможны следующие случаи. 2.1. Если е2 = 0, то е3 = е4 = 0,

X = (а, 1, 0, 0,0), а е М.

2.2. Пусть е2 = 0, тогда возможны следующие случаи.

2.2.1. Если е4 = 0, то X = (1, 0, 0,1,0) или X = (0, 0, 0,1,0).

2.2.2. При е4 = 0, имеем X = (1, 0,1, 0, 0) или X = (0, 0,1,0, 0). В этом и в предыдущем случае учитывается наличие внутреннего автоморфизма е1 ^ — е1.

Лемма 7. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь5 с базисом (4.2) имеет вид ©1 = {^з>, ^4), (XI +Xз), (XI +X4>, (0X1 +X2>, (0X1+X5),a е М}.

В табл. 2 приведены решения и подмодели, инвариантные относительно подалгебр из леммы 7.

Таблица 2

Инвариантные решения и подмодели в случае логарифмической нелинейности

X2 Xз X4 X5

0 0 0 0 0

X2 0 0 0 Xз X2 + 2X4

Xз 0 0 0 0 2X3

X4 0 —Xз 0 0 X4

X5 0 — X2 — 2X4 —2X3 —X4 0

Подалгебра из ©1 Инварианты Решение или подмодель

1 Xз Ь, ж нет

2 X4 Ь, ж нет

3 Xl + Xз ж, и — Ь и = Ь + Аж + В

4 Xl + X4 ж, и ¿ж и = 4ж2(21п |ж| — 3) + жЬ + Аж + В

5 0X1 + X2 Ь — аж, и аУ" + аУ = 1п

6 0X1 + X5 Ь — а 1п |ж |, — 1п |ж| + иж-2 —аУ" + (а2 — 3аУ + (3а — 2)р'+ +2^ + 3 = 1п И

4.3. Уравнение со степенной функцией

Базис основной алгебры Ли уравнения и4хх + ихх = и£, с = 1, с = 0 имеет вид

д д д д д д X! = —, X2 = —, Xз = —, X4 = ж—, X5 = (1 — с)ж— + 2и—. (4.3) дЬ дж ди ди дж ди

Вычислена таблица коммутаторов для данной алгебры Ли и определены ненулевые структурные константы с;]4 = 1, с25 = 1 — с, с35 = 2, с32 = —1, с45 = 1 + с, с52 = с — 1, с353 = —2, с544 = —1 — с. По ним найдены генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли £2 = е4д|з + (1 — с)е5д^, £3 = е5дЦз, £4 = —е2дЦз + (1 + с)е5дЦт, £5 = (с — 1)е2дЦг — 2е3дЦз — (1 + с)е4дЦг и соответствующие им однопараметрические группы преобразований

Е2 : е2 = е2 + (1 - с)а^5, е3 = е3 + а^4, Е3 : е3 = е3 + а2е5, Е4 : е3 = е3 - а3е2, е4 = е4 + (1 + с)а3е5, Е5 : ^2 = е(с-1)«4е2 е3 = е-2"4е3 е4 = е-(1+с)"4е4

Х1 Х2 X со Х4 Х5

Х1 0 0 0 0 0

X (О 0 0 0 Х3 (1 — с)Х2

X со 0 0 0 0 2X3

Х4 0 —Х3 0 0 (1 + с)Х4

Х5 0 — (1 — с)Х2 —2X3 — (1 + с)Х4 0

Найдём оптимальную систему одномерных подалгебр рассматриваемой алгебры Ь5. Рассмотрим сначала случай с = — 1. Дословно повторяя рассуждения из раздела 4.1, дойдём до случаев 2.2.2 и 2.2.3, в которых, используя внутренний автоморфизм Е : е1 ^ — е1, получим дополнительную к полученным в разделе 4.1 подалгебру с базисным оператором X = (1, 0,1, 0,0). В случае с = —1 рассуждения отличаются только тем, что при е5 = 0 получается базисный оператор X = (а, 0, 0, Ь, 1), а, Ь € К.

Лемма 8. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь5 с базисом (4.3) при с = 0, с =1, с = —1 имеет вид

©1 = «Х1>, (Х2>, <Х3>, <Х4>, (X! + Х2>, (X! + Х3>, (X! + Х4), (аХ1 + Х5>, (аХ1 + Х2 + Х4>, а € К}.

Лемма 9. Оптимальная система одномерных подалгебр алгебры Ь5 с базисом (4.3) при с = —1 имеет вид

©1 = {(Х1>, (Х2>, (Х3>, (Х4>, (Х1 + Х2>, (Х1 + Х3>, (Х1 + Х4>, (аХ1 + Х2 + Х4>, (аХ1 + ЬХ4 + Х5>, а, Ь € К}.

Полученные решения и подмодели, инвариантные относительно одномерных подалгебр из оптимальной системы ©1, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Инвариантные решения и подмодели в случае степенной нелинейности

Подалгебра из ©1 Инварианты Решение или подмодель

1 Х1 х, и Ах + В

2 Х2 ¿, и В

3 Х3 ¿, X нет

4 Х4 ¿, X нет

5 Х1 + Х2 Ь — х, и р''' + р'' = (р')с

6 Х1 + Х3 х, и Ь 1 х2 + Ах + В

7 Х1 + Х4 х, и ¿X и = ¿х + (с+1)(с+2) + Ах + В, с = —1, с = —2

и = ¿х + х 1п |х| + Ах + В, с = —1

и = ¿х — 1п |х| + Ах + В, с = —2

8 аХ1 + Х2 + Х4 Ь — ах, и — х2/2 а2р''' + а2р'' + 1 = (р')с; р = х + В при а = 0

9 аХ1 + Х5 (1 — с)Ь — а 1п |х|, 2 их 1-с а2(1 — с)р''' + а(а — 3 — с)р''+ + 2(1+е)-а(3+С) р'+ 2(1-н=) р =(1 с)С(р')С

10 аХ1 + ЬХ4 + Х5, с = —1 2Ь — а 1п |х|, их-1 — 2-1Ь 1п |х| 4а2р'" + 2а(а — 2)р'' — 2ар' + Ь = ^

5. Законы сохранения

Используя методы работы [12], найдём условия нелинейной самосопряжённости дифференциального оператора, задающего уравнение (1.1). Для формального лагранжиана £ = у(щХх + иХХ — f (щ)) уравнения (1.1) вычислим

0£

д £

т- = —А^- + Д

г* ""— ^ О ' XX Ь'Х'Х

о и дщ дихх ди

д £ д£

— Дгхх о- = vtf'(ut) + vf"(ut)utt + Ухх — Угхх = А(и, V).

*хх

Будем искать функцию V = р(г,х,и), удовлетворяющую уравнению

А(и^)1,и=(р = Л(г,х,и)(щх + Щхх — f (щ)) (5.1)

при некоторой функции Л = Л(г,х,и). Имеем

Vt = Щ + ЩиЩ, Vx = Щх + Риих, VXX ЩХХ + 2рхиих + рииих + РииХХ1

vtxx щ*хх + ^ххп^'* + 2рtxuux + 2рхиии^х + 2рхи^х + 'рЬаи иХ + + риии и^Х + 2<рииихиМх + рШихх + РиииМихх + РииМхх.

Подставим эти выражения в левую часть равенства (5.1) и после расщепления по свободным переменным получим

?'(щ) = 0, f = Дщ + Е,

ДЩ + Дщфи + Щхх — ЩXX — Щфххи + ЛДщ + ЛЕ = 0,

р = А(г)и + В(г,х), Л = —А(г),

2Щи = Щы, 2А(г) = А'(г), А(г) = Ов2*, р = Се^и + В(г,х), Л = —Се2.

Тогда (2Сеши + Вь(г,х))Д + Се^щД + ВХХ(г,х) — В1Хсх(г,х) + ЛДщ + ЛЕ = 0, поэтому С = 0,

В*(Ь, х)Д + Вхх(г, х) — В*хх(Ь, х) = 0. (5.2)

Таким образом, при f (щ) = Дщ + Е, Л = 0, V = В (г, х), где В удовлетворяет уравнению (5.2), выполняется равенство (5.1). В этом случае уравнение (1.1) является нелинейно самосопряжённым [12].

Законом сохранения уравнения (1.1) будем называть пару функций (С 1,С2), для которой на решениях уравнения (1.1) выполняется равенство

дС1 дС2

+

дг

дх

0.

(1.1)

Найдём некоторые законы сохранения уравнения (1.1), используя формулу [12]

С *

+Д] №)

W

д £

дщу

Ё—] +Д Дк

Ч]

д£

ди

-Дк

д£

ди]

+ ...

+ Д] Дк ^)

д £

дщ]к

+

где W = п — тщ — £иХ соответствует оператору симметрии

X = д + сд + д Т дг дх П ди

Рассмотрим, например, уравнение

формальный лагранжиан для которого имеет вид

^ /1 1 1

Для каждой допускаемой группы укажем найденные законы сохранения при заданном V = В(¿,ж), удовлетворяющем уравнению В; + Вхх — В;хх = 0. Получим

д 111

Х1 = 777, С = Ви; — - Вжжи4 + 77 Вжи4ж — 77 Buta,

д£ 3 3 3

2 2 1 12

С = ВхШ — з В^и + з ВжИй; — Вм4ж + з В^х — з Вм44ж;

д 111

Х2 77 , С Вих 77Вжжиж + 77ВжИжж 77Вижжж,

дж 3 3 3

2 2 1 12

С Вхих 3 + 3 Вихх + 3 3

д 111

Хз = И—, С1 = — Ви + -ВххМ — "ВжМх + 77ВМхх, ди 3 3 3

2 2 1 12

С = — ВхИ + 3 В^И — 3 ВхИ + ВИх — 3 В;Их + 3 ВИ;х.

Последний закон сохранения соответствует также симметрии, порождаемой оператором Х4 = Р(¿,ж)ди, где Р — произвольное решение уравнения (5.3), но является при этом тривиальным [12].

Заключение

В работе проведена полная групповая классификация квазилинейного псевдопараболического уравнения + = f (и;) со свободным элементом, зависящим от первой производной. Для некоторых нелинейных спецификаций свободного элемента f найдены инвариантные решение или подмодели уравнения. Показано, что уравнение является нелинейно самосопряжённым лишь в случае линейной функции f. Найдены некоторые законы сохранения соответствующих линейных уравнений.

Список литературы

1. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад. математика и механика. — 1960. — Т. 24, вып. 5. — С. 852-864.

2. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998. — 438+хуп с.

3. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Аль-шин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физматлит, 2007. — 736 с.

4. Панов, А. В. Групповая классификация одного класса полулинейных псевдопараболических уравнений / А. В. Панов // Уфим. мат. журн. — 2013. — Т. 5, № 4. — С. 105-115.

5. Панов, А. В. Оптимальная система подалгебр суммы двух идеалов aff(R)®sl(2,R) / А. В. Панов // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер.: Математика, механика, информатика. 2015. - Т. 15, № 2. - C. 90-96.

6. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

7. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983.

8. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. — М. : Мир, 1989.

9. Ibragimov, N. H. Selected Works. Vol. 1, 2 / N. H. Ibragimov. — Karlskrona : Blekinge Inst. of Technology, Alga Publ., 2001.

10. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, C. В. Хабиров. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. — 659 с.

11. Овсянников, Л. В. Программа «Подмодели». Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 29-55.

12. Ibragimov, N. H. Nonlinear self-agjointness in constructing conservation laws / N. H. Ibragimov // Archives of ALGA. — 2010-2011. — Vol. 7/8. — P. 1-99.

Поступила в 'редакцию 05.06.2017 После переработки 26.06.2017

Сведения об авторах

Безбогова Екатерина Александровна, студентка, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Федоров Владимир Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Авилович Анна Сергеевна, студентка, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 2. P. 152-168.

SYMMETRY ANALYSIS OF NONLINEAR PSEUDOPARABOLIC EQUATION

E. A. Bezbogova1", V. E. Fedorov2b, A. S. Avilovich2c

1 South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia

2 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia "[email protected]; [email protected]; [email protected]

The group classification is obtained for quasilinear pseudoparabolic equation with a free element depending on the first order time derivative. Four-dimensional kernel of principal groups and all free element specifications up to equivalence transformations which correspond to additional symmetries of the equation are found. For some nonlinear specifications optimal one-dimensional subalgebras system of five-dimensional principal Lie algebra and corresponding invariant solutions or invariant submodels are calculated. Besides, nonlinear self-adjointness is shown for the operator that defining the linear equation of the species. A series of conservation laws of a linear equation was searched.

Keywords: pseudoparabolic equation, group analysis, group classification, invariant solution, conservation law.

References

1. Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks (strata). Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1960, vol. 24, iss. 5, pp. 1286-1303.

2. Demidenko G.A., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-Order Derivative. New York, Basel, Marcel Dekker, 2003. 490 p.

3. Sveshnikov A.G., Al'shin A.B., Korpusov M.O., Pletner Yu.D. Lineynye i nelineynye uravneniya sobolevskogo tipa [Linear and nonlinear Sobolev type equations]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 736 p. (In Russ.).

4. Panov A.V. Group classification of a class of semilinear pseudoparabolic equations. Ufa Mathematical Journal, 2013, vol. 5, no. 4, pp. 101-111.

5. Panov A.V. Optimal system of subalgebras of the direct sum of two ideals. Journal of Mathematical Sciences, 2016, vol. 215, no. 4, pp. 537-542.

6. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. Transl. from the Russian. New York, Academic Press, 1982. 416 p.

7. Ibragimov N.H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics. Springer, 1985.

8. Olver P.J. Applications of Lie groups to differential equations. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, Springer-Verlag, 1986.

9. Ibragimov N.H. Selected Works. Vol. 1, 2. Karlskrona, Sweden, Alga Publ., Blekinge Institute of Technology, 2001. 291 p.

10. Chirkunov Yu.A., Khabirov S.V. Elementy symmetriynogo analiza differentsial'nykh uravneniy sploshnoy sredy [Elements of symmetry analysis for differential equations of the continuum mechanics]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University Publ., 2012. 659 p. (In Russ.).

11. Ovsyannikov L.V. The "podmodeli" program. Gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, iss. 4, pp. 601-627.

12. Ibragimov N.H. Nonlinear self-agjointness in constructing conservation laws. Archives of ALGA, 2010-2011, vol. 7/8, pp. 1-99.

Accepted article received 05.06.2017 Corrections received 26.06.2017