CC BY
9УДК 62.752
РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Ю. В. Ермошенко
Иркутский государственный университет путей сообщения Научно-образовательный центр современных технологий, системного анализа и моделирования Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. Е-mail: [email protected]
Рассмотрены вопросы построения математических моделей механических колебательных систем, имеющих в своем составе рычажные связи. Показано формирование метрического пространства при наличии рычажных связей и его учет при построении математических моделей.
Ключевые слова: механические колебательные системы, рычажные связи, рычажные механизмы, математические модели, вибрационная защита.
LEVER TIES. METHODOLOGICAL BASES OF CREATION OF MATHEMATICAL MODELS
Yu. V. Ermosenko
Irkutsk State Transport University Scientific-educational center of modern technology, system analysis and modeling 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation E-mail: [email protected]
Issues of developing mathematical models of the mechanical oscillatory systems incorporating lever ties are considered. Formation of metric space in the presence of lever ties and its status is shown at developing mathematical models.
Keywords: mechanical oscillatory systems, lever ties, lever mechanisms, mathematical models, vibration protection.
Введение. В динамике механических колебательных систем все большее внимание уделяется взаимодействиям элементов, совершающих различные виды движений. Парциальные системы таких сложных структур отражают свойства движения твердых тел, совершающих не только прямолинейные поступательные движения, но и различные виды вращательных движений. При рассмотрении деталей взаимодействия парциальных систем возникают вопросы, решение которых требует учета особенностей движения отдельных элементов, выделяемых определенным образом. Такие задачи возникают при вибрационной защите оборудования и машин различного назначения, в том числе и транспортных средств [1; 2]. Если для твердых тел, совершающих поступательные прямолинейные колебательные движения, не возникает вопросов о точках приложения реакций связей и внешних сил, то для элементов системы в виде твердых тел, совершающих угловые колебания, вопросы размещения точек приложения сил имеют существенное значение [2; 3]. В характерных для транспортных средств сложных колебательных системах возможны такие комбинации парциальных структур, когда оси вращения твердых тел могут быть и параллельными, и находиться в перпендикулярных позициях, а также располагаться в общей плоскости. Ряд примеров такого рода систем приводятся в работах [4; 5].
Динамика движений твердых тел во вращениях различного рода имеет определенную специфику, что
связано с исследованиями малых колебательных движений относительно положений статического равновесия.
Некоторые вопросы методологии построения математических моделей. Механические колебательные системы содержат упругие элементы в их абстрактной форме, когда пружина реализует только упругие свойства. Такая пружина не имеет массы, а ее длина не имеет значения. Такими же идеальными свойствами наделяется материальная точка. Она обладает только массоинерционными свойствами. Все силы и реакции связи группируются в одной точке. Ситуация не меняется, если это будет и твердое тело, совершающее прямолинейные поступательные движения. Иначе обстоит дело с твердыми телами, которые могут содержать вращательные движения и имеют точку вращения. В таких случаях имеет место существование некоторого геометрического пространства, в котором образуется некоторая система сил. Сочетание поступательных и вращательных движений элементов дает много различных форм проявления рычажных связей. В своем составе некоторые механические системы имеют рычажные механизмы, не изменяющие числа степеней свободы, но существенно влияющие на свойства системы.
Если в состав механической колебательной системы входит твердое тело, которое совершает качатель-ные движения, то можно всегда выделить точку вращения или опоры. Она может быть неподвижной
Решетневскуе чтения. 2014
в какой-то системе координат или принадлежать другому объекту.
Рычаги отличаются друг от друга условиями расположения точек опоры. Рычажные связи проявляются во многих механизмах: это шарнирно-рычажные механизмы, зубчатые механизмы и передачи, кулачковые механизмы, кривошипно-ползунные и др.
Рассмотрим объект защиты при соединении его с опорной поверхностью через твердое тело вращения (рис. 1).
к,
т. А 3 ^
ф =
к1к1
к,, + к2к2
(3)
в уравнение (1) дает следующую математическую модель:
Иу" + ук,--= &
к1к1 + к2к2
(4)
Уравнение (4) можно интерпретировать следующим образом:
мУ"+^ = Q■ к, + к2/
(5)
где I = 12Иц - передаточное отношение рычага 2-го рода. Расчетная схема на рис. 1 преобразуется к виду на рис. 2.
а б
Рис. 2. Расчетная схема системы: а - с рычагом второго рода; б - приведенная жесткость кпр
Рычаг в системе соединения элементов приводит к формированию приведенных параметров:
, = к1к2г2 кпр = 1~~Т~2 ■
Рис. 1. Механическая колебательная система с твердым телом
Объект защиты имеет массу М и перемещается по координате у под действием силы 2. Твердое тело имеет момент инерции 3 и может совершать угловые колебания относительно точки О. В тт. А и В с промежуточным телом связаны пружины к, и к2. Пружины разнесены от т. О на расстояния I, и к2. Для упрощения полагается, что центр тяжести твердого тела 3 совпадает с точкой О. Угол поворота - ф.
Таким образом, система имеет две степени свободы. Особенность системы состоит в том, что вращающееся твердое тело позволяет создать некоторую пространственную структуру из элементов системы.
Рассмотрим малые колебания относительно положения статического равновесия от действия гармонической силы 2. Составим уравнения движения, используя уравнение Лагранжа 2 рода:
Иу" + у (к,) - Мф = 2, (1)
3 ф'' + ф(к1к12 + к2к22) - к1к1у = 0. (2)
Если принять, что 3 = 0, то твердое тело превращается в рычаг второго рода. Уравнение (1) после подстановки
к, + к2^2
(6)
В данном случае рычаг при силе 2, приложенной к массе М, и точке опоры О, связанной с опорной поверхностью, дает последовательное соединение пружин с участием рычажного механизма. Это приводит к изменению жесткости системы и формированию некоторой пространственной системы, позволяющей делать дополнительные подключения и др. Приведенные приемы могут быть распространены на использование и других типовых элементов: это диссипатив-ные элементы - демпфера, а также другие устройства для преобразования движения.
Рычажные связи широко используются для построения различных динамических гасителей. Это могут быть маятниковые устройства, стержневые гасители и др. [5; 6].
Заключение. При выделении элементов в виде твердых тел, совершающих угловые колебания, учет характера расположения точек контакта при взаимодействиях предопределяет появление рычажных связей и их развитых форм в виде рычажных механизмов. При малых моментах инерции твердых тел рычажные связи могут быть реализованы через использование невесомых жестких стержней с локализацией точек приложения реакций связей и внешних сил.
Таким образом, сложные механические колебательные системы, состоящие из нескольких парциальных структур, имеющих различные формы движения, входя во взаимодействия, раскрывают метрические особенности или пространственное расположение точек приложения реакции связей и силовых факторов.
Библиографические ссылки
1. Елисеев С. В., Артюнин А. И., Большаков Р. С. Некоторые вопросы динамики взаимодействия в механических колебательных системах с рычажными связями // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2012. № 4(14). С. 36-45.
У
2. Елисеев С. В., Хоменко А. П., Ермошенко Ю. В. Непланарности в механических колебательных системах при введении в их структуру рычажных связей // Информационные и математические технологии в науке и направлении : сб. 2012. С. 101-110.
3. Хоменко А. П., Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы (Ч. II) // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 1(37). С. 8-22.
4. Елисеев С. В., Кашуба В. Б., Савченко А. А. Рычажный гаситель колебаний в механической системе с объектом защиты от вибраций в виде твердого тела на упругих опорах // Наука и образование: электронное науч.-техн. издание. 2012. № 10. С. 30.
5. Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Сочленения звеньев в динамике механических колебательных систем. Иркутск : ИрГУПС. 2012. 156 с.
6. Хоменко А. П., Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : ИрГУПС. 2012. 288 с.
References
1. Eliseev S. V., Artyunin A. I., Bol'shakov R. S.
Nekotorye voprosy dinamiki vzaimodeystviya v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh s rychazhnymi svyazyami (Some questions of dynamics of interaction in mechanical oscillatory systems with lever ties) // Mashinostroenie i bezopasnost' zhyznedeyatel'nosti. 2012. № 4(14), p. 36-45.
2. Eliseev S. V., Khomenko A. P., Ermoshenko Yu. V.
Neplanarnosti v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh pri vvedenii v ikh strukturu rychazhnykh svyazey (Not planarity in mechanical oscillatory systems at introduction in their structure of lever ties) // Informatsionnye i matematicheskie tekhnologii v nauke I upravlenii. 2012, p. 101-110.
3. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Ermoshenko Yu. V. Metidologicheskie osnovy reheniya zadach dinamiki. Mekhanronnye podkhody (Chast' II) (Methodological bases of the solution of problems of dynamics. Mechatronics approaches (Part II)) // Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie. 2013. № 1(37), p. 8-22.
4. Eliseev S. V. Kashuba V. B., Savchenko A. A. Rychazhnyy gasitel' kolebaniy v mekhanicheskoi sisteme s ob 'ektom zaschity ot vibratsiy v vide tverdogo tela na uprugikh oporakh (Lever quencher of oscillations in mechanical system with object of protection against vibrations in the form of a solid on elastic bearing parts) // Nauka i obrazovanie: elektronnoe nauchno-tekhnicheskoe izdanie. 2012. 156 p.
5. Eliseev S. V., Ermoshenko Yu. V. Sochleneniya zven 'ev v dinamike mekhanicheskikh kolebatel 'nylh system [Joints of links in dynamics of mechanical oscillatory systems]. Irkutsk : IrGUPS. 2012. 156 p.
6. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Ermoshenko Yu. V. Sistemniy analiz i matematicheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozaschitnykh system [The system analysis and mathematical modeling in mechatronics of vibroprotective systems]. Irkutsk : IrGUPS. 2012. 288 p.
© EpM0meHK0 to. B., 2014
УДК 628.822
ИТЕРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ТРИБОКОНТАКТА РОЛИКА С ПЛАСТИНОЙ
В. А. Иванов
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26 E-mail: [email protected]
Разработан итерационный метод для самосогласованного расчета давлений и деформаций в зоне гидродинамического контакта ролика с упругой поверхностью.
Ключевые слова: итерации, контактное взаимодействие, смазочный слой.
ITERATIVE CALCULATION OF TRIBO-CONTACT BETWEEN THE ROLLER AND PLATE
V. A. Ivanov
Siberian Federal University 26, Kirensky str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: [email protected]
The iterative method is developed for the self-consistent calculation of pressure and deformations in the zone of hydrodynamic contact of a roller with an elastic surface.
Keyword: iterations, contact interaction, lubricant layer.
Задача упругогидродинамического контакта ролика с деформируемой поверхностью рассматривалась во многих публикациях [1-3]. Решение этой задачи
необходимо для расчета и проектирования роликовых подшипников качения, в которых возникают упругие деформации рабочей поверхности, контактирующей
