CC BY
22
10. Модернизированный стенд для испытания асинхронных двигателей методом взаимной нагрузки [Текст] / В. Д. Авилов, Д. И. Попов и др. // Повышение эффективности эксплуатации коллекторных электромеханических преобразователей энергии: Материалы между-нар. науч.-техн. конф. / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2013. - С. 137 - 141.
References
1. Gerve G. K. Promishlennie ispitaniia electricheskih mashin (Industrial testing of electrical machines). Leningrad: Energiaatomizdat Publ., 1984, 408 p.
2. Litvinov A. V. Status and prospects of rolling stock with asynchronous traction drive in Russia [Sostoianie i perspektivi razvitiia podvignogo sostava v Rossii]. Materiali Vserossiyskoi nauch-no-prakticheskoi konferencii «Aktualniie voprosi transportnoi otrasli: problemi i resheniia» (Materials of All-Russian scientific-practical conference «Topical issues of the transport sector: problems and solutions»). - Voronezh, 2013, pp. 30 - 37.
3. Mashiny electricheskie vraschauschiesia. Metody opredelenia poter' i koefficienta poleznogo deistviia, GOST 25941-83 (Rotating electrical machines. Methods for the determination of losses and efficiency, State Standart 25941-83). Moscow, Standarty, 2003, pp. 30.
4. Avilov V. D., Popov D. I., Litvinov A. V. PatentRU140678, 20.05.2014.
5. Avilov V. D., Popov D. I., Litvinov A. V. Evaluation of the energy efficiency of the method of mutual test load of asynchronous traction motors [Otcenka enrgeticheskoi effectivnosti prime-nenia metoda vzaimnoi nagruzki pri ispitanii asinhronnih dvigatelei]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2013, no. 3 (15), pp. 2 - 7.
6. Andruschenko A. A., Babkov U. V., Zarifyan A. A. Asinhronnii tiagovii privod lokomotivov (Asynchronous traction drive locomotives). Moscow: FGBOU «Uchebno-metodicheskiy tcentr po obrazovaniu na geleznodorognom transporte» Publ., 2013, 403 p.
7. Mashiny electricheskie vraschauschiesia. Obschie metody ispotanii, GOST 11828-86 (Rotating electrical machines. Common test methods, State Standart 11828-86). Moscow, Standarty, 2003, pp. 31.
8. Mashiny electricheskie vraschauschiesia. Dvigateli asinhronnie. Metody ispitanii, GOST 721787 (Rotating electrical machines. Asynchronous motors. Test methods, State Standart 7217-87). Moscow, Standarty, 2003, pp. 39.
9. Avilov V. D., Popov D. I., Litvinov A. V. Method of determining the losses in two-tier frequency converters as part of test bench for asynchronous motors by mutual load [Metodika opredelenia poter' v dvuhzvennih preobrazovateliah chastoti v sostave stenda dlia ispitania asinhronnih dvigatelei metodom vzaimnoi nagruzki]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2014, no. 1 (17), pp. 2 - 8.
10. Avilov V. D., Popov D. I., Dankovcev V. T., Litvinov A. V. Upgraded test stand by mutual induction motor load [Modernizirovannii stend dlia ispitanii asinhronnih dvigatelei metodom vzaimnoi nagruzki]. Materiali IX Mezhdunarodnoi nauchno-practicheskoi konferentsii «Povishenie tffec-tivnosti ekspluaracii kollektornih electromehanicheskih preobrazovatelei energii» (Materials of the IX Int. conference «Improving the efficiency of operation of the collector electromechanical energy transformations - verters»). - Omsk, 2013, pp. 137 - 141.
УДК 62.752.2, 621.8.02, 531.831
А. П. Хоменко, С. В. Елисеев, Е. В. Каимов
ВИРТУАЛЬНЫЙ РЫЧАЖНЫЙ МЕХАНИЗМ: ДИНАМИЧЕСКОЕ ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ КАК ФОРМА ПРОЯВЛЕНИЯ РЫЧАЖНЫХ СВЯЗЕЙ
Рассматриваются особенности взаимодействия элементов динамического гасителя колебаний в виде твердого тела с двумя степенями свободы. Показано, что динамический гаситель интерпретируется в структуре механической колебательной системы с объектом защиты как дополнительная отрицательная связь, которая может быть представлена обобщенной пружиной.
№204(240) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 61
Динамическая жесткость обобщенной пружины зависит от частоты внешнего возмущения и определяет проявления динамических свойств, характерных для режимов динамического гашения колебаний. Обобщенная пружина обладает свойствами квазипружины, что создает возможности различных преобразований структуры системы.
Предлагается введение понятия обобщенного передаточного отношения рычажных связей, возникающих между координатами движения элементов динамического гасителя. Формы передаточных отношений рычажных связей находятся во взаимно однозначном соответствии с системой выбранных координат. Передаточные отношения рычажных связей позволяют детализировать формы взаимных движений элементов системы.
Разработан метод построения математических моделей для оценки рычажных свойств движений механических колебательных систем.
Расчетные схемы машин и механизмов в виде механических колебательных систем, состоящих из упругодиссипативных и массоинерционных типовых элементов, могут иметь несколько степеней свободы и обладать определенными возможностями в конструктивно-технических вариациях структурных форм. Одним из направлений исследования возможностей изменения динамических свойств систем является введение дополнительных связей. Физические реализации дополнительных связей достаточно разнообразны, что предполагает поиск, разработку и использование новых элементов с нетрадиционными свойствами в виде устройств и механизмов [ 1, 2]. В этом отношении показательны такие задачи динамики, как защита от вибрационных возмущений. Особенностью таких задач является выделение объекта защиты (так же, как объекта управления в теории автоматического управления), относительно которого выстраивается виброзащитная система, состоящая из так называемых типовых элементов. Такие элементы чаще всего представляют собой известные в практических приложениях пружины, демпферы, амортизаторы и др. Вместе с тем могут вводиться и дополнительные связи. В ряде случаев формирование таких связей осуществляется на основе использования элементов, создающих эффекты преобразования движения и при динамических взаимодействиях [3 - 5]. Изменяются при этом и представления о структуре и динамических свойствах виброзащитной системы.
В предлагаемой статье рассматриваются возможности введения в структуры виброзащитных систем сложных или составных элементов, состоящих из элементарных звеньев. Такие образования могут обладать несколькими степенями свободы. Задача исследования заключается в развитии соответствующего методологического базиса, обеспечивающего возможности построения адекватных математических моделей в задачах динамического синтеза. В частности, определенный интерес возникает по отношению к особенностям отображения свойств рычажных связей и рычажных механизмов.
Рассматривается механическая колебательная система с тремя степенями свободы (рисунок 1).
В системе имеются объект защиты от вибраций (М0), промежуточные массы т2 и т3 и упругие элементы к1 ^ к4, к13. Виброзащитная система состоит из блока (т1, к1) и опорной поверхности I, образующих так называемую базовую виброзащитную систему [6]. Оставшаяся часть механической колебательной системы представляет собой систему с двумя степенями свободы, реализующую определенную функцию. В частности, такая функция может быть определена в реализации режима динамического гашения колебаний.
Расчетная схема на рисунке 1 отражает особенности системы: твердое тело М0 движется прямолинейно по вертикали: твердое тело с массоинерционными параметрами М, J (ДГ) имеет центр тяжести и центр вращения в т. О (11 и 12 характеризуют положение т. О). Дина-
Рисунок 1 - Расчетная схема системы
с динамическим гасителем в виде твердого тела на упругих опорах (к2, к3)
мический гаситель имеет две степени свободы и рассматривается в двух системах координат - У2, Уз, а также ф и у0. Связи между координатами движения динамического гасителя определяются соотношениями: у0 = ау2 + Ьу3; ф = с • (у, - у2); у2 = у0 - /1ф; у3 = у0 + /2ф;
I
a = -
h + h
b = -
l
1
ll +l2
c =
ll +l2
Для построения математической модели системы используется уравнение Лагранжа второго рода с последующим преобразованием Лапласа [6]. В качестве внешнего возмущения рассматриваются гармонические вибрации опорной поверхности (или основания) z(t).
Коэффициенты системы дифференциальных уравнений движения в координатах у1, у2, у3 представлены в таблице.
Коэффициенты уравнений движения системы с динамическим гасителем в координатах у1, у2, у3
yi У2 Уз
a„ a12 a13
M0p2 + k1 + k2 + k3 -k2 -кз
«21 «22 a23
-k2 (Ma2 + Jc2) • p2 + k2 -(Jc2 - Mab) • p2
«31 аз2 a33
-h -(Jc2 - Mab) • p2 (Mb2 + Jc2) • p2 + к3
Обобщенная сила
k1z 0 0
Примечание: система обладает линейными свойствами и совершает малые движения относительно положения статического равновесия; силы сопротивления не учитываются.
Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления примет вид, как показано на рисунке 2 (значок «~» означает изображение по Лапласу; p = ую - комплексная переменная).
1 \ У3
p (Mb 2 + Jc2 )■ p 2 + k3
Рисунок 2 - Структурная схема-аналог уравнения движения механической системы,
представленной на рисунке 1
Структурная схема на рисунке 2 состоит из трех парциальных систем с передаточными
функциями: ---1-, -г---1 \ -, т---^-. Межпарциальные
M0p + к + к2 + к3 (Ma2 + Jc2 )p2 + к2 (Mb + Jc )p2 + k3
связи между координатами y2 и y3 являются инерционными (оператор (Jc2 - Mab) • p2); остальные связи между парциальными системами упругие. Так как внешнее возмущение приложено лишь к одному входу, то передаточная функция системы примет вид:
W (p) =
У1 k ~
A
где A0 - частотное характеристическое уравнение:
Л0 a23 ^^^a| ^ ^^^ai ^ I ^a^
2
22a13
a 2
33 12
12 13 23 •
(1)
(
)
2
a22a33 a23
№204(240) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 63
Преобразуем передаточную функцию (1) к виду:
У 1
Ж ( р ) =
кхг
а\Ъ \а22а\Ъ а\2а2Ъ
)" а12 (
^ (аъ ^ ^^^^ ^ а2 ^
)
а22а33 а23
С учетом соотношения (3) структурная схема системы после преобразований представлена на рисунке 3.
а13 (а22а13 а12а23 )
а22а33 а2 а23
>(+) 1
К+) М0р2 + к + к2 + к3
а12 (азза12 а13а23 )
'3^^*12 13 23 ^ 2
22а33 а23
-У 1
^3 ( а22а13 а12а23 ) + а12 ( азз'а12 а13а23 )
Г(+) 1
м0р2 + к + к2 + к
б
Рисунок 3 - Структурная схема: а - с выделением динамических реакций по координатам у , ~3, б - с определением параметров обобщенной связи
Из схемы на рисунке 3, а, в частности, следует, что динамический гаситель (ДГ) образует две обратные отрицательные связи относительно парциальной системы с объектом защиты Мо. Поскольку обратные связи (см. рисунок 3, а) находятся в параллельном соотношении, то вместо двух каналов передачи воздействий можно ввести один, что соответствует схеме на рисунке 3, б. По своей физической сущности дополнительная отрицательная обратная связь (см. рисунок 3, б) соответствует приведенной динамической жесткости обобщенной пружины, сформированной массоинерционными параметрами ДГ (М, I) и упругих элементов с жесткостью к2 и к3.
Более подробная интерпретация связей может быть рассмотрена с использованием вспомогательной расчетной (рисунок 4, а) и структурной (рисунок 4, б) схем.
Из представленной на рисунке 4, б схемы может быть определена динамическая жесткость обобщенных упругих элементов в цепях обратных связей на схеме, приведенной на рисунке 3 , а. При этом автономно используются вспомогательная расчетная схема (рисунок 4, а), где в качестве внешнего кинематического внешнего возмущения принимается движение объекта защиты М0 по координате у, и соответствующая структурная схема на рисунке 4, б. Обозначим передаточные функции как Ж2доп(р) (координата у2) и Ж3доп(р) (координата у3). Таким образом, получим:
а
а а а
22 33
23
Уг аи \а22аи а12а23
) )' {[(Ma2 + Jc2) • Р2 + К ]' ("k ) " {~К ) (" J°2 + Mab ) • P2}
y1 a22a33 -4 [(Ma2 + Jc2)-p2 + k2]• [(М>2 + Je2)• p2 + k3] + (Je2 -Mab)-p4
(4)
К • {к [(Ma2 + Jc2) • p2 + к ] + к (Jc2 - Mab ) • p2}
где
Д = a22a33 " a^3 = [(Ma2 + Jc2) • p2 + k2 ] [(Mb2 + Jc2) • p2 + К + (Jc2 - Mab ) • p4. (5) В свою очередь
,) И-) ■■ {[(^ + Jc~) ■■ Р2 + ^ ] • {~к2) - Из) • {-Je2 + Mob) • р1}
= 4 " (6)
W in) - У -
^ЛР)-^- 4
К •{[(Mb2 + Jc2 )• p2 + К ]• к + К •( Jc2 - Mab )• p2}
M, J
(/c2 - Mab) p2
i (Jc2 -Mab) p2 i
(Ma2 + Jc2 )• p2 + К (Mb2 + Jc2 )• p2 + k3
Q II У? ^У 2 Q " = К зУУ:
'У з
а б
Рисунок 4 - Вспомогательная расчетная (а) и структурная (б) схемы, отражающие особенности динамических связей динамического гасителя
В данном случае определение Ж2доп(р) и Ж3доп(р) аналогично определению передаточных функций в системе с двумя степенями свободы (см. рисунок 4, а) при кинематическом возмущении ~ со стороны опорной поверхности. На рисунке 4, б показаны в связи с этим эквивалентные силовые воздействия Q'= к2 ~ и Q" = к3~ так, что при рассмотрении динамических связей, если иметь в виду динамическое гашение колебаний (см. рисунок 4, а) объекта защиты (М0), структурная схема (рисунок 4, б) имеет два входа для реализации внешних возмущений. В этом случае передаточные функции динамического гасителя при использовании структурной схемы на рисунке 4, б определяются по формулам:
^ к,[(Мг + Jc2)-p2 + k3~j + k3(jc2 -Mab)-p2
W(p) = £ = - ;
г~з k[(Ma2 + Jc2)-p2 + k^ + k2(jc2 -Mab)-p2
У\
4
(7)
(8)
Отметим, что числитель уравнения (7) связан с выражением (4) через множитель к3, а уравнение (8) связано с выражением (6) через множитель к2, т. е.
ai3 (a22ai3 ai2a23 )
= К •W'(p);
№ 4(20) 9014 ИЗВЕСТИЯ Транссиба 65
20 14 I
а12 (а33аи а1за2з) _ ^ р) . (10)
Таким образом, выражения (9), (10) по своей физической сути характеризуют приведенную динамическую жесткость в точках, соответствующих креплению упругих элементов к1 и к2, что предопределяет динамические реакции, передаваемые на динамический гаситель.
Если рассматривать структурную схему на рисунке 3, б отдельно, то можно таким же образом найти общее динамическое воздействие на объект защиты со стороны динамического гасителя, суммируя две части, определяемые выражениями (9), (10).
Что касается динамических реакций, передаваемых на объект защиты, то в этом случае структурная схема должна быть трансформирована к виду, как показано на рисунке 5.
(К2 ^ К3 ) (а22а33 а23 ) ^ а13 (^13^22 ^12^23 ) ^ а12 (^33^12 ^13^23 )
К1 1 2 ^22^33 а23
у(+) 1
у- ¿1 м0 р 2
* 1
►Л
Рисунок 5 - Структурная схема с объектом защиты в качестве основного элемента (М0)
Произведем ряд преобразований, используя выражения (4), (6), и получим выражение для передаточной функции цепи обратной связи в структурной схеме, приведенной на рисунке 5 (при упругом элементе к1, находящемся в параллельном соединении):
^доп ( Р )_
-(¿2 + К)(
а22а33 а23
) + а1з (
а22а13 а12а23
) + а12 (
(а33а12 а13а23
)
а22а33 а23
(11)
При определении динамической реакции, создаваемой на объекте защиты М0 (см. рисунок 5), обратная отрицательная связь имеет передаточную функцию:
Сп ( Р )_
(К + ¿2 + ¿3 ) (а22а33 а23 ) + а13 (а22а13 а12а23
) + а12 (
а (а а а а )
а22а33 а23
Зная значение выражения (12), можно найти динамическую реакцию:
. (12)
(13)
Из анализа уравнения (13) следует, что у знаменателя передаточной функции (12) могут быть найдены две частоты динамического гашения, что соответствует корням уравнения:
А1 _ [(Ма2 + Лс2 )• р2 + К2 ] [(МЬ2 + Лс2 )• р2 + К ] - [(./с2 -МаЬ) • р
_ 0.
(15)
На этих частотах значение коэффициента обратной связи на структурной схеме (см. рисунок 5) стремится к ю, поэтому объект защиты будет неподвижен. Это явление можно истолковать физическим образом: приведенная динамическая жесткость обобщенной пружины, создаваемой динамическим гасителем и упругими элементами, бесконечно велика, поэтому силы, действующие на объект защиты, не вызывают упругих смещений. Существуют и другие проявления особенностей динамических свойств.
Поскольку выражение (11) определяет значения двух частот, обращающих в нулевое значение числитель передаточной функции, то система может на этих частотах иметь параметры движения, характерные для системы с одной степенью свободы (М0, к0).
2
2
Рассмотрим ряд частных случаев, полагая, что динамический гаситель имеет параметры (М = 0, 3 = 0), т. е. вместо твердого тела ДГ трансформируется в жесткий невесомый стержень. Воспользуемся выражением (11) и получим:
. „ ч -(к + к ) к;оп( р) = 2_^_—_3 2 3_3 2 2 = о.
к2 к3
(15)
Выражение (15) равно нулю, что соответствует ситуации, в которой упругая система к2, к3 без элементов с массоинерционными свойствами динамических воздействий не создает.
При 3 = 0, а М Ф 0, что соответствует представлениям о динамическом гасителе как о рычаге, масса которого сосредоточена в точке вращения, но геометрические связи остаются (жесткий стержень с точечной массой в центре вращения). Тогда из уравнения (11) следует:
Си ( Р )=■
к2кМр2
(кМ2 + ктМо1) + к2к3
(16)
Отметим, что знаменатель передаточной функции у1/к1г1 (выражение (3)) может быть преобразован к виду:
А =
МР 2 + к +
к2къМр
(17)
Мр2 (к2Ъ2 + къа2) + к2к3
что дает возможность ввести в рассмотрение обобщенную пружину, работающую параллельно с пружиной жесткостью к1. Передаточная функция обобщенной пружины зависит от частоты и характеризует, как отмечалось выше, динамическую жесткость (в операторной форме), представленную выражением (16).
Таким образом, ДГ в виде твердого тела, опирающегося через упругие элементы к2 и к3 на объект защиты М0, в рамках структурных представлений [1], может рассматриваться как отрицательная дополнительная (по отношению к упругому элементу к1) обратная связь. Физический смысл этой связи заключается в том, что она зависит от частоты внешнего воздействия. В этом смысле пружина к1 обладает постоянной жесткостью, а обобщенная пружина имеет динамическую жесткость, которая зависит от частоты. Для примера рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Прир ^ го получим:
К: (р )|=
к2к3
р—>а
к2Ъ + къа
(18)
При р ^ 0 из уравнения (18) следует, что Коп (р)| _ 0 , т. е. в статическом состоянии
динамическая жесткость физического влияния не оказывает.
При высокой частоте движение объекта защиты будет осуществляться при учете действия двух пружин, соединенных параллельно:
Кп (р )|=к
+-
к2к3
р—а
к2Ъ + къа
В условиях частного случая (3 = 0, МФ 0) обобщенная пружина при частоте:
ю2 =
дин
к2к3
м (к2ъ2+къа2)
(18')
(19)
1
№ 4(20) 9014 ИЗВЕСТИЯ Транссиба 67
20 14 I
приобретает динамическую жесткость Wa0n (p)
^ да
, что соответствует режиму динами-
ческого гашения, т. е., режим динамического гашения может соотноситься с увеличением до да значения динамической жесткости.
2. Если принять J Ф 0, М Ф 0, то формируемые динамические связи имеют более сложный вид и характеризуются выражением:
к: ( р )=■
( k2 + k ) MJc2 P4 + Mk2k3p2
р 4MJC2 + p2 • M (къа2 + k^2)+Jc2 (k+k)
+ k2k3
(20)
Выражение (20) можно рассматривать как передаточную функцию ДГ, принимая во внимание физический смысл процесса динамического гашения колебаний как введение в базовую систему (М0, к) дополнительной пружины с динамической жесткостью.
Обобщенная пружина, если иметь в виду ее возможные формы соединения с другими упругими элементами, в том числе и с обобщенными пружинами, ведет себя как обычный упругий элемент с постоянной жесткостью. В работах [7, 8] обобщенную пружину было предложено назвать квазипружиной, или компактом.
В рамках структурной теории виброзащитных систем [1, 6] динамический гаситель в виде твердого тела с двумя степенями свободы может, таким образом, рассматриваться, по сравнению с традиционными элементарными типовыми звеньями (пружина, демпфер, масса и др.) механических колебательных систем как самостоятельное звено более высокого уровня сложности. Такое звено имеет передаточную функцию в виде дробно-рационального выражения, в котором числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок (в данном случае -четвертый). Числитель в данном случае имеет частный вид, определяемый простой конфигурацией упругой системы (к2, к). При более развитой системе связей полином в числителе передаточной функции (20) принимает полную форму.
Динамический гаситель колебаний является сложным элементом в механической колебательной системе (см. рисунок 1) с тремя степенями свободы. При действии внешнего возмущения со стороны основания ~ соотношение между координатами движения и у3 будет определяться выражением:
W32 (р)= ^ = ОР) = ~2
а21а32 а22а31
(21)
2 2 2 2 2 2 2 где a21 = -k2; a32 = -(Jc - Mab); a31 = -k3; a22 = (Ma + Jc )p + k2; a33 = (Mb + Jc )p + k3;
a2\ = ci\2, a23 = a32, что следует из таблицы.
Передаточная функция = %jy2 представляет собой характеристику межпарци-
альных связей в координатах - . Отношение уъ/у2 можно также интерпретировать как
обобщенное представление передаточного отношения твердого тела, которое представлено в виде невесомого жесткого стержня с двумя материальными точками по концам. Массы этих точек являются приведенными и определяются в системе координат у, у2, ~3 значениями a22 и a33 из таблицы. В данном случае твердое тело можно рассматривать как виртуальный рычаг, точка опоры которого не является неподвижной. Однако такая форма определения рычажных связей вполне совместима с обобщенными представлениями о рычаге. Особенность представлений о таком рычаге заключается в том, что он характеризует физические детали взаимодействия парциальных систем по координатам у2 и у3, т. е. совпадает с координатами движения ДГ.
Очевидно, что передаточное отношение будет зависеть от частоты внешнего воздействия. Точка вращения виртуального рычага также будет иметь движение в плоскости, по-
№ 4(20) 2014
2 2 Ю ^Ю,
скольку ДГ совершает плоское движение. Знак и величина передаточного отношения г32(р) характеризуют формы движения ДГ, определяемые параметрами сочетания поступательных движений материальных точек по координатам ~2 и ~3. После преобразований выражение (21) принимает вид:
¿32 (Р) =
М(ак3 -Ък2)р2 + Лс2(к2 + к3) + к2к3
М(Ък2 -ак3)р2 + Лс2(к2 + к3) + к2к3 Передаточное отношение прир ^ 0 принимает вид:
¿32 (Р )| = 1
32 *
р^0
При р ^ да из уравнения (22) получим:
32
(Р )
Зс2 (к2 + к3 )+М (ак3 - Ък2 ) Зс2 (к2 + к3 ) - М (Ък2 - ак3)
(22)
(23)
(24)
Выражение (24) соответствует соотношениям, которые выстраиваются при высокой частоте. Отметим, что формула (24) - передаточное отношение движения ДГ при различных параметрах системы. Так, например, при к3а = к2Ь /32(р) = 1, что соответствует частной форме поступательного движения динамического гасителя колебаний. При изменении знака передаточного отношения /32(р), который может быть отрицательным или положительным, меняется форма движения динамического гасителя, что отражается во взаимных переходах рычажных связей от рычагов первого рода к рычагам второго рода и наоборот [9].
При изменении частоты внешнего воздействия передаточное отношение /32(р) имеет такие особенности, когда /32(р) становится равным нулю или бесконечности, что соответствует, следующим частотам:
Ю12 = т 2
к2 к3
Зс2 (к2 + к ) + М (к3а -к2Ъ )'
ю2 = т 2
к 2 к3
Лс2 (к2 + к3 ) -М(к3а - к2Ъ)
(25)
(26)
На частотах возмущения, определяемых выражениями (25), (26) режимы движения динамического гасителя колебаний носят частный характер, когда одна из координат точек твердого тела «останавливается» при увеличении значений другой координаты движения.
Переход к системе координат у1, у10, ф позволяет рассматривать особенности движения с учетом того обстоятельства, что парциальные системы ДГ имеют различные виды движения, поэтому обобщенное передаточное отношение по координатам у0, ф будет иметь размерность в отличие от системы координат у1 - у3. Однако между обобщенными передаточными отношениями рычажных связей будет соответствие, позволяющее переходить от одной формы отношений к другой, определяя особенности рычажных связей особого типа, связанных с понятиями о виртуальном рычаге винтового типа.
Используя соотношения связи между координатами движения динамического гасителя, запишем:
Из (28) следует, что:
У о ау2+Ъу3
¿32 (Р) =
С(*32 (Р)~С)
а + Ъ-132{р) '
с-а-Ъ • гз2(р)
(27)
№ 4(20) ■2014
с
Таким образом, Ц,2(р) = ф1у0 является передаточным отношением, характеризующим
связь между вращательным и поступательным движением. Такая связь отображается винтовым соединением, что можно рассматривать как одну из форм обобщенных представлений о рычажных связях в механических колебательных системах.
Введение твердого тела на упругих опорах, взаимодействующего с объектом, совершающим вертикальные колебания, представляет собой задачу динамического гашения колебаний с динамическим гасителем нетрадиционного вида.
В рамках структурной теории виброзащитных систем такой ДГ интерпретируется как новый типовой элемент, расширяющий набор известных типовых элементов в виде линейных пружин, диссипативных и массоинерционных элементов. Такой элемент можно назвать квазипружиной, динамическая жесткость которой определяется передаточной функцией дробно-рационального вида с равными порядками полиномов в числителе и знаменателе передаточной функции. Вместе с тем квазипружина (или ДГ) может рассматриваться как дополнительная по отношению к базовой системе (объект защиты М0 и пружина к1) обратная отрицательная связь.
Действие квазипружины предопределяет эффекты, создаваемые динамическим гасителем колебаний. В этом смысле динамический гаситель колебаний может интерпретироваться как форма проявления свойств обобщенных пружин. Обобщенные пружины обладают свойством квазипружины.
Рычажные связи проявляются при рассмотрении форм движения элементов динамического гасителя колебаний, что может быть сделано при помощи обобщенного передаточного отношения виртуального рычага. Такое понятие формируется на основе передаточных функций межкоординатных парциальных связей и позволяет оценивать формы взаимных движений элементов при изменении частоты внешних воздействий.
Список литературы
1. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2011. - 394 с.
2. Механизмы в упругих колебательных системах: особенности учета динамических свойств, задачи вибрационной защиты машин, приборов и оборудования [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев и др. / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2013. - 187 с.
3. Хоменко, А. П. Возможности эквивалентных представлений механических систем с угловыми колебаниями твердых тел [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. -Иркутск. - 2014. - № 2 (42). - С. 8 - 15.
4. Елисеев, С. В. Мехатроника виброзащитных систем с рычажными связями [Текст] / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко, Р. Ю. Упырь // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск. - 2009. - № 3 (23). -С.104 - 119.
5. Белокобыльский, С. В. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно-упругие связи [Текст] / С. В. Белокобыльский, С. В. Елисеев, И. С. Ситов. СПб : Политехника, 2013. - 319 с.
6. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник и др. / Иркутский гос. ун-т. - Иркутск, 2008. - 523 с.
7. Елисеев, С. В. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения [Текст] / С. В. Елисеев, С. В. Ковыршин, Р. С. Большаков // Современные технологии. Системный ана-
лиз. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск. - 2012. - № 4 (36). -С. 61 - 70.
8. Хоменко, А. П. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности систем при исключении переменных динамического состояния [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование / Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск. - 2013. - № 2 (38). - С. 8 - 17.
9. Кинематика, динамика и точность механизмов [Текст] / Г. В. Крейнин, А. П. Бессонов и др. - М.: Машиностроение, 1984. - 216 с.
References
1. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P. Mekhatronnye podkhody v dinamike mek-hanicheskikh kolebatel'nykh system (Mechatronics approaches in dynamics of mechanical oscillatory systems). Novosibirsk: Nauka, 2011, 394 p.
2. Khomenko A. P., Eliseev S. V., Artyunin A. I., Parshuta E. A., Kaimov E. V. Mekhanizmy v uprugikh kolebatel'nykh sistemakh: osobennosti ucheta dinamicheskikh svoystv, zadachi vi-bratsionnoy zaschity mashin, priborov i oborudovaniya (Mechanisms in elastic oscillatory systems: features of the accounting of dynamic properties, problems of vibration protection of machines, devices and equipment). Irkutsk: IrGUPS, 2013, 187 p.
3. Khomenko A. P., Eliseev S. V. Possibilities of equivalent representations of mechanical systems with angular oscillations of rigid bodies [Vozmozhnosti ekvivalentnykh predstavleniy mek-hanicheskikh sistem s uglovymi kolebaniyami tverdykh tel]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2014. no. 2 (42), pp. 8 - 15.
4. Eliseev S. V., Khomenko A. P., Upyr' R. Yu. Mechatronics of vibroprotective systems with lever ties [Mekhatronika vibrozaschitnykh system s rychazhnymi svyazyami] // Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2009. no. 3 (23), pp. 104 - 119.
5. Belokobyl'skiy S. V., Eliseev S. V., Sitov I. S. Dinamika mekhanicheskikh system. Rycha-zhnye I uprugo-inertsionnye svyazi (Dynamics of mechanical systems. Lever and inertial and elastic ties). Saint-Petersburg, 2013, 319 p.
6. Eliseev S. V., Reznik Yu. N., Khomenko A. P., Zasyadko A. A. Dinamichskiy sintez v obob-schennykh zadachakh vibrozaschity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob'ektov (Dynamic synthesis in the generalized problems of vibroprotection and a vibration insulation of technical objects). Irkutsk, 2008, 523 p.
7. Eliseev S. V., Kovyrshin S. V., Bol'shakov R. S. Features of creation of compacts of elastic elements in mechanical oscillatory systems. Interactions with elements of systems and forms of joint [Osobennosti postroeniya kompaktov uprugikh elementov v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Vzaimodeystviya s elementami sistem i formy soedineniya]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2012. no. 4(36), pp. 61 - 70.
8. Khomenko A. P., Eliseev S. V. Quasi-elements in mechanical oscillatory systems. Features of systems at an exception of variables of a dynamic state [Kvazielementy v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Osobennosti sistem pri isklyuchenii peremennykh dinamicheskogo sos-toyaniya]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2013. no. 2(38), pp. 8 - 17.
9. Kreynin G. V., Voskresenskiy V. V., Pavlov B. I. Provorotova E. A., Sergeev V. I. and many others. Kinematika, dinamika i tochnost' mekhanizmov (Kinematics, dynamics and accuracy of mechanisms). Moscow, 1984, 216 p.
№204(240) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 71
