Розповсюдження в’язкопружних хвиль у тілах з неоднорідною структурою Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА

МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 534.1:534.232

Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев, М. А. Безверха Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя

РОЗПОВСЮДЖЕННЯ В'ЯЗКОПРУЖНИХ ХВИЛЬ У Т1ЛАХ З НЕОДНОР1ДНОЮ СТРУКТУРОЮ

У роботi розглянуто процес розповсюдження в 'язкопружних хвиль у твердих тшах з неоднорiдною багатошаровою структурою при дИ на них нестацiонарного нерiвномiрно розподiленого по поверхнi навантаження. Використано iнтегральнi перетворення по двох просторових змтниху сполуцi зi стнченно-ргзницевою апроксимащею по третш просторовш координатi та часовш змтнш.

Проблеми, пов'язаш з розв'язком динамiчних не-стацюнарних задач теорш пружносп та в'язкопруж-носп, виникають при розрахунках на мщшсть та жорстшсть деталей машин, елеменпв конструкцiй, тдземних споруд, на як1 дiють ударш навантаження або навантаження, що залежать вщ часово! змшно!. Цi навантаження iнодi викликають напруження i де-формацл, що значно перевершують ввдповвдт статичнi навантаження та не можуть бути врахованими коефщ-ieнтами динамiчностi, як1 застосовуються у розрахун-ковш практицi. Часто подiбних розрахунюв вимагають об'екти складно! неоднорщно! багатошарово! струк-тури [1], [2] що пов'язано з 1х кращим опором дина-мiчним навантаженням. Наприклад, захиснi оболон-ки атомних електростанцiй, що складають з двох чи трьох стальних та бетонних шарiв, розраховуються на ударш навантаження при можливому падшш лiтака та на нестацiонарнi навантаження вщ рiзкого тдвищен-ня внутршнього тиску при газопаровому вибуху. У су-часних умовах при побудовi пiдземних споруд таких, як метро, тонел^ особливо у сейсмонебезпечних районах, застосовуються багатошаровi конструкцп з дем-пфуючими шарами. Так1 конструкцп також розраховуються на динамiчнi навантаження ввд дл землетрусiв та робочих навантажень. Багатошаровi захиснi покрит-тя iз полiмерних матерiалiв, що мають демпфуючi вла-стивостi, а також грунти зазвичай мають виражеш ре-ологiчнi властивостi [3]. Це вимагае в динамiчних розрахунках враховувати також так явища, як повзучють та релаксацiя, що можуть бути описаш сшввщношен-нями лшшно! теорп в'язкопружностi. При цьому, ма-ловивченим залишаеться питання про розповсюджен-ня пружних хвиль у тшах, що складаються з рiзноком-понентних матерiалiв. У роботi розглянутi питання застосування для розв'язку вказаних задач штеграль-

них перетворень у поеднанш з сучасними чисельни-ми методами розв'язку рiвнянь теори в'язкопружност! Таке поеднання дозволяе використовувати переваги чисельних та аналиичних методiв для розрахуншв багатокомпонентних та багатошарових конструкцiй i тш.

Постановка задачi

Розглянемо нестацюнарну задачу для просторово-го в'язкопружного тiла з багатошаровою структурою необмеженого у напрямках осей х1, х2 (рис. 1). При цьому, матерiали шарiв можуть бути неоднорщними у напрямку осi Х3, але однорщними поздовж осей х1, Х2. На поверхнях х3 = 0, Н задаються нормальнi та дотичнi навантаження або перемщення точок тiла. Контакт мiж шарами жорсткий, тобто напруження та перемщення на поверхнях контакту неперервш

Рис. 1. Схема прикладення навантаження до в'язкопружного трьохшарового тша

© В. I. Пожуев, М. А. Безверха, 2008

1607-6885 Нов1 матер1али г технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008

83

Запишемо рiвняння руху [4] в'язкопружного тша у перемiщеннях в тензорному виглядi

д2и д

(

дг2 дх.

5„Ь -8+ М •

^ +дЫV

дх, дхг

V _ г Уу

(1)

де и(,и2,и3) - вектор перемiщень точок тiла; г, _ = 1,2,3;

р - щiльнiсть матерiалу; 8 = Лу(и) об'емна де-формацiя;

Ь, М - оператори в'язкопружносп, що у позна-ченнях Больцмана мають вигляд

Ь = Х

' г 1 -{л(( -т)-Мт

V 0

Л

/

( '

М = Ц

1 -|г(( -т)-Ыт

V 0

(2)

(3)

де X, Ц - коефщенти пружностi; л(( -т), Г(( -т) ядра операторiв в'язкопружностi.

Так ядра операторiв релаксацп у найпроспшому випадку можуть бути представленi у виглядi

Щ) = ахв

-к

Л(^) = а 2е

-Р4

(4)

де параметри а1(г), а2(г), р(г) - змшт параметри в'язкопружностi, що характеризують реологiчнi влас-тивостi матерiалу.

Початковi умови задачi:

и (х,0) = 0 ди( х,0)

дг

=0.

(5)

Застосуемо до рiвняння руху iнтегральнi перетво-рення Фур'е по координатах х1 i х2 та одержимо систему рiвнянь у частинних похiдних у просторi зобра-жень

д 2ик дг2

д

дх3

(

дк (Ь + М )• из + М

и

дх3

—

дк (Ь + М )• (и + д2и2)- (( + д22) • ик

д 2и 3 '~6гГ

дх,

(( + 2М)

ди 3

дх

3 у

-(( + М )•

41

ди

дх

1 + ди2 1 + 42-2-

дх3

(2 + 422) -и3. (6)

Тут ги1,ги2,и3 - трансформанти перемiщень; г комплексна одиниця;

к = 1,2;

41,42 - параметри перетворень Фур'е;

По координап х3, нормальнiй до гранично! пло-щини, застосовуемо скiнченно-рiзницеву апроксима-цш. Представимо систему звичайних диференщаль-них рiвнянь (6) у виглядi векгорно! системи рiвнянь першого порядку

ди - д¥ —

= V —— = Ж

дг ' дг

(7)

де

и = (и1,и2,и3), а V,Ж - И

вiдповiдно швидкють

i прискорення точок тiла.

Розв'язок системи (7) представимо у виглядi розк-ладу в ряд Тейлора поблизу деякого моменту часу г = гк i на цiй основi побудуемо ггерацшний обчис-лювальний процес. При цьому, виберемо достатньо малий крок за часом Агк, чого вимагае опис швидкоз-мiнних процесiв у цш задачi. Одержимо

Аг2 dW Аг3 ,.

ик+1 = и к + Vk Агк + + + о(Ак4), (8)

2 dг 6

Vk+1 = Vk + Ж Агк +

dWk Аг2 3 —^ + о(Аг3). dг 2

(9)

Значения компонентов вектора Жк обчислюемо на основi правих частин рiвиянь (6), що представлеш в скiнченних рiзницях. Значення компонент вектора

Ж

dг

обчислюемо також на основi правих частин

рiвнянь (6), тiльки замiсть компонентов вектора и = (и1,и 2,и3) поставляемо компоненти вектора , V2, ^э ). Ьтегр^^ що входять у в'язкопрyжиi

оператори вираховуються чисельно. При цьому, вико-ристане рекурентне спiввiдношения, яке враховуе значення тих iнтегралiв, як1 були знайдеш на попереднiй ггерацп

1к * 1к-1 + Агкг(Агк)/(),

(10)

де Iк, Iк-1 - значення iнтегралiв на послщовних гге-рацiях;

Г(Агк ) - оператор релаксацп;

/ (гк ) - фyнкцiя, до яко! застосовано оператор релаксацп.

Р

д

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1

Для обернення iнтегральних перетворень Фур'е застосовуеться швидке перетворення Фур'е по кожному з параметрiв , що значно прискорюе обчис-лення. Збiжнiсть чисельних методiв дослщжувалась шляхом чисельних експериментiв.

Розглянемо для прикладу трьохшарове тшо з на-ступним розподiлом товщини

Н1 = 0,2, Н2 = 0,8, Нз = 0,2. Н Н Н

Постшт нормальнi навантаження, що раптово при-

• и а = 1 Ь = 2

кладенi в прямокутнику а х Ь , де — = 1,~ = 2, та

Н Н

на поверхш х3 = 0, задаш законом:

/ \ . | П • Х9 д(х2, Хз, I ) = -2

81П

П • х

Ь

?((), (11)

де е() одинична функцiя Хевкайда.

Дотичнi навантаження на цiй поверхш ввдсутш На поверхнi х3 = Н задаш нульовi дотичнi навантаження та нульовi нормальнi перемщення. При цьому, ре-ологiчнi властивосп мае тiльки середнiй шар, що мае також вдвiчi меншi пружш характеристики X та Ц порiвняно з несучими шарами. На рис. 2 наведений розподш перемiщень и3 у перетиш х3 = 0. Шнп рiвня показують змiну характеру розповсюдження хвилi у середньому в'язкопружному шарь На рис. 3 показана

Рис. 2. Перемщення в трьохшаровому тш з урахуванням

в язкосп

Рис. 3. Напруження в трьохшаровому тш з урахуванням в'язкосп

картина розподалу напружень а33 пiсля ввдбиття пруж-

но! хвилi вiд нерухомо! поверхш. Штчене роздвоен-ня максимуму напружень. Крiм того, порiвняння з роз-в'язком вщповщно! задачi без реолопчних складових, показало помiтне згладжування розривних фронлв напружень у в'язкопружному шарь

Основнi висновки та результата

1. У робот пропонуеться чисельно-аналiтичний метод для розв'язку нестацiонарних задач динамiки в'язкопружних тiл з використанням штегральних перетворень та !х чисельним оберненням за допомогою швидкого перетворення Фур'е у поеднанш зi сшнчен-но-рiзницевим методом.

2. Збiжнiсть методу доведена на основi чисельних експерименпв.

3. Виявлено ряд нових ефекпв для динамiчного навантаження багатокомпонентних в'язкопружних тш.

4. Зроблено оцiнку впливу в'язко! складово! на характер розповсюдження хвиль, !х дисипацiю та на дем-пфуючi властивостi середовища.

5. Проаналiзовано змшу пружних хвиль на меж1 рiзно-рщних шарiв та при вiдбиттi ввд нерухомо! основи.

Перелж посилань

1. Горшков А. Г., Пожуев В. И. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1992. - 223 с.

2. Пожуев В. I., Безверха М. А. Розповсюдження збурень у пружному просторовому шар1 // Нов1 матер1али 1 технологи в металургй 1 машинобудуванш. - 2005. - №2. -С. 94 - 99.

3. Победря Б. Е. Модели линейной теории вязкоупругос-ти // Механика твердого тела . - Изд.Рос. акад. Наук, 2003. - № 3. - С. 120 - 134.

4. Савш Г. М., Рущицький Я. Я. Елементи механжи спад-кових середовищ. - Ки!в: «Вища школа», 1976. - 251 с.

Одержано 24.12.2007

1607-6885 Нов1 матер1али г технологи в металургй та машинобудуванш №1, 2008

85

В работе рассмотрен процесс распространения вязкоупругих волн в твердых телах с неоднородной структурой под действием нестационарной нагрузки, неравномерно распределенной по поверхности. Использован метод интегральных преобразований по двум пространственным переменным в сочетании с конечно-разностной аппроксимацией по третьей пространственной координате и по времени.

In this work the process of the viscoelastic wave's distribution in solid bodies with non-uniform structure under the action of non-stationary irregularly distributed load over the surface is considered. The method of integral transformations for two spatial variables is used in combination with the finite-difference approximation for the third spatial value andfor the time value.

УДК 621.793.7

А. Г. Попович, канд. техн. наук В. Г. Шевченко Национальный технический университет, г. Запорожье

МЕТОДИКА ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВА ПОКРЫТИЙ ДЛЯ РАБОТЫ В УСЛОВИЯХ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУР

На основе теорий термоупругости и теплопередачи разработана методика снижения температурных напряжений в покрытиях на деталях, работающих в условиях неоднородного температурного поля. Методика позволяет рассчитывать концентрации компонентов смеси, из которой путем напыления формируется защитное покрытие.

Вступление

При увеличении рабочих температур в деталях с нанесенными покрытиями в системах «покрытие-основа» резко возрастают напряжения, что часто приводит к разрушению покрытий. Температурные напряжения вызваны разницей коэффициентов термического расширения материалов покрытия и подложки. Для повышения работоспособности и надежности деталей с покрытиями, функционирующих в условиях повышенных температур и агрессивных сред, важно уметь регулировать температурные напряжения, возникающие в покрытиях во время эксплуатации. Для этой цели применяют многослойные покрытия, используют подслои между подложкой и покрытием, обеспечивающие плавный переход свойств от материала подложки к материалу покрытия. С помощью программируемой автоматики можно наносить сначала подслои металлического покрытия, далее непрерывно меняющуюся по составу металлокерамическую смесь, затем богатую керамикой керамико-металлическую смесь, и, наконец, полностью керамический наружный слой. Выполнить это можно путем управления количеством подаваемых от разных питателей керамического и металлического порошков, без остановок процесса напыления [1].

Оценка влияния изменения коэффициента термического расширения на температурные напряжения в покрытиях не нашла должного отражения в литературе.

Цель работы - аналитически определить, как нужно выбирать состав покрытий, чтобы температурные напряжения в них были минимальны.

Основная часть

Причиной разрушения большинства покрытий являются напряжения 1-го рода, которые уравновешиваются в объемах, соизмеримых с размерами всего покрытия [2]. Поэтому для аналитической оценки температурных полей в деталях с покрытиями и вызываемых ими температурных напряжений допустимо использовать теорию физики сплошной среды.

Рассмотрим сначала, как должен меняться по объему тела коэффициент его термического расширения, чтобы при наличии в теле неоднородного температурного поля (градиент температур) вызываемые этим полем температурные напряжения были как можно меньше. Наличие градиента температур связано с процессом стационарной теплопередачи, например, от горячей жидкости в резервуаре или трубе через стенки к наружной поверхности.

Задача термоупругости [3] состоит в нахождении шести функций - компонентов ст_ симметричного тензора напряжений. Они должны удовлетворять уравнениям равновесия

3 до,.,.

Ё—_ + ^ = 0, г = 1, 2, 3 (1, а)

_=1 дх,

© А. Г. Попович, В. Г. Шевченко, 2008 86