Чисельне моделювання деформації плити у випадку повного та ідеального контактів на межі закріплення Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.313

Т. О. Штефан

Запорiзький нацiональний технiчний унiверситет, м. Запорiжжя

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДЕФОРМАЦП ПЛИТИ У ВИПАДКУ ПОВНОГО ТА ЩЕАЛЬНОГО КОНТАКТ1В НА МЕЖ1

ЗАКР1ПЛЕННЯ

Розглядаеться деформацiя навантажено'1 стшки у виглядi прямокутного паралелепiпеда в умовах плоского деформованого стану. На нижнш межi, вздовжяко'1 стшка спряжена з абсолютно жорстким пiвпростором, розглянуто два типи умов: повний та iдеальний контакт. Проводиться анализ впливу умов за^плення на розподiл напружень.

Ключовi слова: стшка, умови за^плення, повний контакт, iдеальний контакт, плоска деформацiя.

Вступ

Дослщження конструкцш, елементами яких е пря-мокутш плити, е актуальним науковим напрямком. Задача визначення напружень, яш виникають у твердому тш, на яке тисне iнше тверде тшо, ввдноситься до класу контактних задач теори пружност [1], при цьому мiцнiсть тша залежить вiд умов його за^плення.

У свiтi постiйно зростають темпи промислового та аграрного виробництва, тому все бшьш актуальною стае необхвдтсть перевезення велико! шлькосп важких вантаж1в на залiзничних платформах, у кузовах вантаж-них машин, на палубах трансатлантичних лайнерiв та у багажних втд леннях лiтакiв. При перевезеннi вантаж1в !х потрiбно закрiплювати. 1снуе багато способiв закрш-лення, описаних, наприклад, у [2]. Безпека транспорту-вання вантаж1в та !х схороншсть суттево залежать вiд правильностi розмщення та закрiплення вантажу. Не-достатне закршлення вантажу на транспортному засобi може призвести до його пошкодження, втрати або ви-никненню аваршно! ситуацп у зв'язку iз змiщенням погано закрiпленого вантажу [3, 4]. Таким чином, транс-портування ненадiйно закрiпленого вантажу дорогами загального користування небезпечне для шших учас-ник1в дорожнього руху. У зв'язку з чим представлене дослщження е актуальним.

Метою ще! роботи е розробка математично! моделi процесу деформування стiйки в найпростiшому випад-ку статично! пружно! плоско! деформацп та проведения чисельних дослвджень на основi побудовано! моделi.

Отримано точний розв'язок задачi у виглядi рядiв Фур'е, коефiцiенти яких е функщями вiд вертикально! координати. Приведено чисельш приклади, як1 iлюст-рують вплив межових умов на розподш напружень у плит! Подiбнi задачi для випадку параболiчного штампу докладно розв'язаиi в [5].

Постановка задачi

Розглянемо випадок, коли вантаж розмiщуеться на спецiальних стiйках i фiксуеться. Стшки закрiплюються

таким чином, щоб виключити !х рух як абсолютно твердого тша, але ж основа спйки може бути або мехашчно зчеплена з платформою, або довшьно стояти на плат-формi таким чином, щоб виключити горизонталью рухи. З точки зору мехатки мова йде про повний (зчеп-лення) або вдеальний (проковзування) контакти.

В якосп моделi стiйки будемо розглядати прямокут-ний паралелеп1пед ск1нчено! довжини, вiсь якого пара-лельна осi Oz i який знаходиться в умовах плоско! деформацп. Якщо вiзьмемо один з перетишв z = const, то матимемо задачу про випн смуги, що займае область 0 < х < l, 0 < y < h (рис. 1). На верхню межу смуги тисне гладкий абсолютно жорсткий штамп, який пе-ремiщуеться вертикально. Осшльки ми розглядаемо статичну задачу, то будемо вважати, що в шнцевому положент рiвняння лши, яку описуе нижня межа штампу вiдомо i мае вигляд y = f (х), х е[0, l] (рис. 2), значить, виконуеться умова

v(x,h)= f (x)-h .

(1)

Визначимо тепер межовi умови, як вшповвдатимуть двом видам закршлення стшки, що аналiзуються. Гладкость штампу означае, що на верхнiй меж1 смуги дотичнi напруження нульовi:

(2)

, (x, h) = 0.

За аналопею з [6] вважаемо, що 6okobí сторони смуги зчеплет з тонкими листами - дiафрагмами, що доз-воляють точкам смуги, яш з ними зчепленi, вшьно пе-ремiщуватися в горизонтальному напрямку i не дозво-ляють перемiщуватися у вертикальному напрямку. Математичний запис описаних умов мае вигляд

v(0, y ) = 0, v(l, y) = 0. (3)

У випадку зчеплення будемо вважати, що нижня межа смуги (при y = 0) спаяна з абсолютно жорсткою

© Т. О. Штефан, 2014

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2014

117

основою. Це означае, що вертикальнi та горизонталью перемiщення точок смуги, яш лежать на цiй меж1, дор-iвнюють нулю, тобто

¿(х,0) = 0, у(х,0)= 0.

(4)

Для випадку iдеального контакту вертикальнi пере-мщення та дотичнi напруження точок смуги, що лежать на нижнш меж1, дорiвнюють нулю:

у(х,0) = 0, т ^ (х,0) = 0

(5)

/01111111 х

Рис. 1.

/0 1111111 х

Рис. 2.

Таким чином, нам потрiбно знайти функцп, як1 за-довольняють системi рiвнянь Ламе i межовим умовам (1)-(4) для випадку зчеплення та межовим умовам (1)-(3), (5) у випадку щеального контакту. Зауважимо, що

оск1льки ст х (0, у) = 0, то при такш деформаци нормальн1 напруження на бокових дiафрагмах будуть дорiвнюва-ти нулю.

Метод розв'язання

Оск1льки функщя у(х, у) задовольняе однорщним межовим умовам (1)-(3), то будемо И шукати у виглядi тригонометричного ряду за синусами як i в [5]:

^ у )=Ё ¥к (у)т (а кх).

(6)

к=1

Тут а = п/1.

У цьому випадку розклади функцп и(х, у),

ст х (х, у), ст у (x, у), т ху (x, у)у тригонометричш ряди матимуть вигляд:

и = Ъик (у)С05(акх), ст х = X Бк (у^Цакг),

к=1

к=1

и = ^ик(у)соз(акх), стх = XЯк(у^1п(аАх). (7)

Встановимо тепер зв'язок мiж функцiями Ук,ик,Бк,Мк та Тк. Для цього тдставимо розклади (6) та (7) в кожне з рiвнянь системи Ламе [1]. Отримаемо так1 розклади:

V = (Л + уВк )ск(аку) + (Ск + уВк ^к(аку),

ик = ^^ОТ Вк + уСк + уу°к ^(аку) +

+ 2| (Ц^ Вк + уЛк + ууВк \к(аку), ак )

Бк =-2ц((3 - 2v)Bk + акСк + акуБк )ск(аку) + + ((3 - 2v)Dk + акЛк + акуВк )к(аку),

Мк = 2(акЛк +акуВк + (1 - 2v)Dk ^(аку) + + (акСк + аkуDk + (1 - 2v) Вк )ск(аку)),

Тк = Н-

(Лк (1 + 2у)ак + 2Dk )ск(аку)+ + Вк ак (1 + 2v)у • ск(аку)+ + (Ск (1 + 2у)ак + 2Вк )к (аку)+ + Dk ак (1 + 2v)у • sк(аkу)

(8)

к=1

к=1

Тут Лк, Вк, Ск, Dk - довшьт константи.

1з межових умов (1)-(4) або (1)-(3), (5) iз врахуван-ням розкладiв (6), (7) та виразiв (8) матимемо системи

лтйних рiвнянь ввдносно неввдомих Лк, Вк, Ск та Dk. Розв'язок вщповщно! системи для випадку зчеплення мае вигляд:

Лк = 0,

Вк = уаЮ(2ск(акк)+акк(1 + 2v)sк(аkк))^

Ск = -о(2(1 - ^^^(акк)+ акк( + V - 2v 2 )?к(акк)],

Dk = о(акЦ1 + 2v]cк(аkк) - ( - V - 2v2 )^к(аkкУ (9)

де позначено □ = 8 к / [2vakк - (1 - vУ^к(2аkк)].

Аналогiчно знайдено розв'язок системи у випадку щеального контакту:

Лк = 0,

Вк = -акТ(1 + 2v), Ск = Т(2 + акк(1 + 2v)ctк(аkкУ Dк = 0, (10)

тут позначено Т = 8к/ 2^к(акк ).

Поставивши знайденi коефщенти (9) або (10) в ряди (6), (7) для нормальних напружень стх, сту та дотичних напружень т ху матимемо шуканi розвинення вказаних функцш у тригонометричнi ряди. Отриманнi результата застосуемо для аналiзу впливу умов закршлення на нижнiй меж1 плити на розподiл у нш нормальних та до-тичних напружень.

У

У

ь

Результати чисельного моделювання

Наведемо результати чисельного моделювання де-формацп плити штампом у випадках, коли на нижнш меж1 виконуються умови зчеплення та iдеального контакту. Вiзьмемо l = п , h = 1, v = 0,25 . Напруження будемо вiдносити до модуля зсуву ц.

Будемо вважати, що поверхня штампу представляе собою одну хвилю синусо!ди, тобто рiвняння верхньо! меж1 смуги пiсля деформацп буде мати вигляд

f (x) = h - p sin x,

(11)

де p - достатньо мале додатне число, яке мае po3MÍpHÍCTb довжини i характеризуе випн поверхш штампу.

У цьому випадку вертикальнi перемiщення точок смуги описуються формулою:

v(x, h) = f (x)- h = - p sin x.

(12)

Розкладемо функцш (12) у ряд Фур'е i отримаемо рiвнiсть:

ад

-psinx = k sinkx.

k=1

В силу однозначностi розвинення функцп в ряд Фур'е матимемо, що лише один i3 коефщенпв 5k ввдмшний ввд нуля, а це означае, що для отримання точного розв'язку нам достатньо в рядах (6), (7) утримати лише першi доданки.

Отримаемо явнi розклади функцiй перемiщень та напружень окремо для кожного з випадшв:

1) Повний контакт. З формул (9) для отримаемо чи-сельт значення констант:

А1 = 0, В = 0,546р, С =-1,638р, D =-0,07p.

З урахуванням цього наведемо вирази для напру-жень та перемiщень у випадку зчеплення:

u = p(- 0,035 y • chy + (-0,105 + 0,273y)shy )cos x,

v = p(0,546y • chy + (-1,638 - 0,07y)shy)sin x,

a x = -pp((-1,092 + 0,035y)chy + (0,245 - 0,243y) • shy )sin x,

ay = -^p((-3,276 - 0,175y) chy + (-0,105 + 1,365y) • shy)sin x,

т xy = pp((-0,14 + 0,819y) • chy + (-1,365 + 0,105y)shy)cos x. (13)

Зауважимо, що в рамках задано! точносп виконуються ввдповщщ межовi умови та рiвняння теорi! пруж-ност!

2) 1деальний контакт. З формул (10) отримаемо наступи чисельнi значення констант:

А1 = 0, В = -0,638р, С = 1,689р, D = 0.

Вирази для напружень та перемщень у випадку проковзування приймають вид:

u = p(0,113 • chy + 0,319yshy)cos х , v = p(0,638y • chy -1,689shy)sin х, aх = |jp(1,389chy + 0,319y • shy)sin х, a = -|_p(3,265 chy -1,595y • shy)sin х, т^ = -|jp(0,957y • chy +1,257shy)cos х . (14)

Для цього випадку також можна безпосередньо пе-реконатися, що в рамках задано! точносп виконуються вiдповiднi межовi умови та рiвняння теорi! пружносп.

Далi наведемо результати чисельних розрахунив для двох видiв межових умов: випадку зчеплення (13) та випадку ¡дсального контакту (14).

Рис. 3. Перемщення u (x, y )/ p

Рис. 4. Перемщення v(x, y)/ p

На рис. 3-4 зображено типовi граф^ функцiй гори-зонтальних та вертикальних перемщень точок плити для двох титв межових умов при значенш товщини h = 1. Аналiз графiкiв 3-6 показав, що вертикалью пере-

мiщення

v(x y )

практично не залежать вщ виду межо-

u(x, y)

вих умов; горизонтальш перемiщення ——— для

x е (0; л/2) бiльшi для випадку щеального контакту, а для x е (п/2; п) бiльшi для випадку зчеплення; в точщ x = п/ 2 графши перемiщень перетинаються. Нор-

a

мальнi напруження

■(x, y)

mp

для iдеального контакту

бiльшi нiж у випадку зчеплення, а нормальш напружен-

ня

a y (x y)

mp

для идеального контакту меншi, нiж для ви-

ISSN 1607-6885 Hoei матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2014

119

' à 1

б 1

Рис. 5. Нормальнi напруження: а

б - ^U

(x y )

pp

Рис. 6. Дотичш напруження

y ( y)

pp

падку зчеплення. Дотичш напруження в смуз1 у випадку идеального контакту незначно в1др1зняються в1д нуля, а у випадку зчеплення вщбуваеться значний перероз-подш дотичних навантажень. Як можна побачити, ме-жов1 умови на нижнш меж1 найбшьш сильно вплива-ють на перерозподш дотичних навантажень у плит!

Висновки

У данш робот наведена математична постановка задач1 про плоску деформацш однор1дно1 невагомо1 1зотропно1 пружно1 смуги, яка знаходиться тд тиском з1 сторони абсолютно жорсткого штампу. Розв'язано статичну задачу методом розкладу функцш перемщень та навантажень в тригонометричш ряди. Отримано точ-ний розв'язок задач1 у вигляд1 ряд1в Фур'е, коефщенти яких е функщями в1д вертикально! координати.

Розглянуто два типи межових умов на межах, яш не контактують з1 штампом, а саме умови зчеплення та умови щеального контакту. Для обох задач отримаш розрахунков1 формули та проведено детальний чисель-ний анал1з.

Список лтератури

1. Ворович И. И. Механика контактных взаимодействий / Ворович И. И., Александров В. М. - М. : Физматлит, 2001. - 670 с.

2. Егоров С. А. Совершенствование методики расчета элементов крепления в статически неопределимых схемах закрепления единичного груза / Егоров С. А., Гребе-нюк, Л. А., Хорунжин, С. Ю. // Известия ТРАНССИБА. -Омский государственный университет путей сообщения (Омск) : Вып. № 4. - 2011. - С. 87-94.

3. Калитвенцев А. Ю. Совершенствование методов размещения и крепления грузов на автомобильном транспорте / Калитвенцев А. Ю. // Актуальные проблемы эксплуатации АТС. Матер. междунар. научн.-практич. конф. - Владимир, 20-22 ноября 2007. - С. 64-67.

4. «Правила безопасного размещения и крепления грузов в кузове автомобильного транспортного средства», Респ. Беларусь, утв. 10 октября 2005 г., Постановление № 58.

5. Величко О. В. Вплив геометричних i пружних характеристик плити на положення зон можливо'1 пластично!' деформаци /О. В. Величко, Т. О. Штефан //Вюник ХНУ. Секщя М1А. - Харюв. - 2013. - № 1063. - С. 51-56.

6. Власов В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. - Москва : ГИФМЛ, 1960. - 490 с.

Одержано 01.10.2014

а

х

Штефан Т. А. Численное моделирование деформации плиты в случае полного и идеального контактов на границе закрепления

Рассматривается деформация нагруженной стойки в виде прямоугольного параллелепипеда в условиях плоского деформированного состояния. На нижней границе, вдоль которой стойка сопряженная с абсолютно жестким полупространством, рассмотрены два типа условий: полный и идеальный контакт. Проводится анализ влияния условий закрепления на распределение напряжений.

Ключевые слова: стойка, условия закрепления, полный контакт, идеальный контакт, плоская деформация.

Shtefan T. Numerical modeling of the deformation plate in case of complete and perfect contact at the border consolidation

We consider the deformation of the loaded rack in the form of direct parallelepiped in terms ofplane strain state. At the lower boundary, along which the stable coupled with rigid half-space, considered two types of conditions: a complete and perfect contact are considered. The analysis of the effects of consolidation on the stress distribution.

Key words: front, fixing condition, complete contact, perfect contact, elastic deformation.