CC BY
8
УДК 534.1:534.232
Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев, М. А. Безверха Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя
РУХ ПЛАСТИНИ НА ПРУЖНОМУ ПРОСТОРОВОМУ ШАР1
У po6omi розглянуто рух пластини на пружнш ocHoei, до яко'1 прикладено розподтене нестацiонарне навантаження. Використано ттегральт перетворення з чисельним Их оберненням i3 застосуванням основно'1 теореми про лишки пiдiнтегральноi функцП.
Задачi взаемодп навантажених пластин з пружним шаром виникають при розрахунках основ та фунда-менпв рiзного обладнання пiд дieю нестацюнарних навантажень [1, 2]. Ця робота присвячена розробцi чисельних i аналггичних мегодiв обернення штеграль-них перетворень, яш застосовуються для розрахунку напружень i перемiщень, що виникають у просторо-вому шарi при взаемодп його з пластиною, на яку ддагь нестацiонарнi розподiленi навантаження. Новизною е застосування теореми Кошi [3] у сполученш з методом Ньютона для пошуку комплексних корешв трансцендентного рiвняння. Це необхщно для аналггачно-го обернення перетворення Лапласа при виршенш задач взаемодп пружних тш, що описанi рiзними моделями. Новим також е вираз у просторi зображень напружень та перемщень через функцп, що задають граничнi умови на поверхнях шару. Такий пiдхiд ско-рочуе обсяг обчислень при оберненнi штегральних перетворень та спрощуе написання умов сполучення мiж пластиною та шаром, особливо при розв'язанш про-сторових задач. Створено програму для розв'язання задач такого класу. Загальна схема алгоритму та ос-новнi спiввiдношення поданi у робот [4].
1. Постановка задачi
Розглядаеться рух пластини на пружнш основ^ до яко! раптово прикладене розподiлене нестацiонарне навантаження (рис. 1).
Рiвняння руху пластини мають вигляд
DV 4W = phWtt + g (xb x2) +
(1)
де D =-
Eph
12(1 -v p)
твердеть пластини;
Ep; v p - пружш характеристики матерiалу плас-тини;
h - товщина пластини; Р p - щiльнiсть матерiалу пластини; Р - щiльнiсть матерiалу пружного шару; g(Xi, Х2 ) - розподiлене навантаження;
(0)
g33 - Pеакцiя пружно1 основи.
На площинi контакту справедливi умови сполучення:
w = и 30); g 33) =-t33).
(2)
2. Застосування iнтегральних перетворень Лапласаi Фур'е
Застосуемо до рiвняння руху пластини iнтегральнi перетворення Лапласа i Фур'е. Одержимо умови сполучення в просторi зображень
и f\Kiq 4 + K 2 у 2 p2)=f-t3°\ 2ц
(3)
Тут символи трансформант для спрощення опуще-
но.
Ki = — =
D h3(1 + и) Ep
2Н- 12(1 -up) E
K 2 =
Р ph 2p
4 ^
P
(4)
(5)
Рис. 1. Схема навантаження пластини на пружному шар1
3. Розв'язання ОДУ вщносно зображення Представлення зображень у формi
© В. I. Пожуев, М. А. Безверха 2006 р.
ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металургп та машинобудувант №1, 2006
73
°33 _ (Р2У2 + 2?2)2
2ц
2 р 2 У 2 «1
- и.
2? 2 «2
(0) ск(К1(Н - хз)) + и(1) ск(К1Хз)
зк(К1Н)
«1Н)
22 Р У
и
(0) с^(«2(Н - х3)) гг(1) сА(«2х3) --и -
*к( «2 Н )
8Ь(К2 Н)
(7)
дае можливiсть розв язати задачу про сполучення пружного просторового шару з лежачо! на нiй не-ск1нченною пластиною при наявносп умови ковзання в площинi контакту.
Трансформанта навантаження виражена через
трансформанту перемщення и30) i навпаки за формулами:
г (0)
и 30) _ 1333 д
$ _Д(ч, р)и30).
(8)
(9)
У даному випадку маемо
д/ , (У2Р2 + 2?2)2 - 4д/(Р2 + Ч2)(У2Р2 + Ч2)
Д(Ч, Р) _-^-.(12)
у р
4. Обернення перетворення Лапласа аналiтично за допомогою теорп лишк1в
Для обернення перетворення Лапласа знаходимо полюси шдштегрально! функцп. Для обчислення не-власних штегралiв, що виникають при оберненнi тег-ральних перетворень, використано основну теорему про лишки шдштегрально! функцп [3].
Полюси шдштегрально! функцп знаходилися чи-сельно як щш зворотно! функцп комплексно! змшно!. Для складних комплексних рiвнянь застосування гге-рацiйних методiв ускладнено через рiзке збiльшення числа можливих напрямк1в, за якими можна наближа-тися до кореня. Крiм того, часто бувае важко встано-вити чи юнують корнi взагалi та вказати !х можливе мiсце розташування [3].
Для побудови методiв пошуку комплексних коренiв, що не вимагають iтерацiй при визначеннi !х значень з бажаною точнiстю [5], використана теорема Кошi про логарифмiчнi лишки [6]. Згiдно з теоремою, шльшсть коренiв усерединi областi комплексно! площини Б для аналiтично! функцп /(2), знаходиться як штеграл ввд логарифмiчно! похiдно!/2) по границ областi Б зам-кнутiй кривш С
(0) _ Я _1
и 3
2Ц К1Ч4 + К2у2р2 +Д(ч, р)
(10)
N _ — <С й2
2ж1 С /
(13)
Розглянемо випадок раптового додавання рiвномi-рно розподшеного навантаження iнтенсивностi Я 0 до поверхш пластини на прямокутнику 2а х 2Ь . Трансформанта навантаження мае вигляд:
* _ Я0 вт^а^ш^Ь)
Я 3 _—-
4п
?1?2
(11)
У випадку, коли тдстава пружна напiвплощина, д(Ч, р) знаходимо за формулою:
Разом з тим, точш значення коренiв за допомогою (30) обчислюються складно. Тому, спочатку за допомогою (13) знаходимо область з одним iзольованим коренем, а попм уточнюемо його положення чисель-ним методом Ньютона, розширеним на комплексну область [4].
5. Обернення перетворення Фур'е Обернення перетворення Фур'е виконаемо чисель-но методом Файлона.
+
х
Рис. 2. Перемщення пластини i пружного шару при г _ 2
Рис. 3. Перемiщення пластини i пружного шару при t = 4
при цьому v = v = 0,3; —Р = 2; = 2;
Р
6. Побудова графшв. Аналiз результатiв
На рис. 2, 3 показаш перемщення пластини та пе-ремiщення точок шару на глибиш Н _ 5Н для двох моментiв часу г _ 2 i г _ 4,
Ер Е
а _ 5к; Ь _ 10й .
З рисунков видно, що у випадку передачi наванта-ження на шар через пластину ввдсутт розриви по-хiдних вiд перемщень.
Висновки
1. Застосовано алгоритм для розв'язання нестаць онарних задач динамжи пластини, що контактуе з пружним шаром, на основi iнтегральних перетворень з чисельним !хшм оберненням на основi теорп вира-хувань i чисельних методiв, розроблених у робот [4].
2. Вирiшено нестацiонарну просторову задачу про рух пластини на пружному шарi, що дозволило описа-
ти явища, як1 вiдбуваються у процеа !хнього дефор-
мування.
Список л^ератури
1. Горшков А. Г., Пожуев В. И. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций - М.: Машиностроение, 1992. - 223 с.
2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - К.: Наукова думка, 1981. - 283 с.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
4. Пожуев В. I., Безверха М. А. Розповсюдження збурень у пружному просторовому шар1 // Нов1 матер1али 1 технологи в металургй 1 машинобудуванш. - 2005. - №2. -С. 94-99.
5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. -872 с.
6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1981. - С. 483-484.
Одержано 27.02. 2006р.
В работе рассмотрено движение пластины на упругом основании, к которой приложена нестационарная нагрузка. Использованы интегральные преобразования с численным их обращением с применением основной теоремы о вычетах подынтегральной функции.
Plate movement on elastic base under distributed non-stationary load is discussed. Integral transformations at their numerical inversion using base theorem of underintegral function excess were used.
ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудувант №1, 2006
75
