Розподіл колових та радіальних напружень в порожнистому циліндрі за імпульсних навантажень на його поверхнях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНОЛОГ1ЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ВИРОБНИЦТВА, ПЕРЕРОБКА ПРОДУКТ1В ТВАРИННИЦТВА ТА ÏX ЗБЕР1ГАННЯ

TECHNOLOGICAL ENSURING OF PRODUCTION, PROCESSING OF PRODUCTS OF ANIMAL ORIGIN AND THEIR PRESERVATION

УДК 539.3

Варивода Ю.Ю., к.т.н., доцент1, Онишко Л.Й., к.т.н.1,2, 3М1гдал В.,

Сенюк М.М.2 ©

1Льегвський нацюнальний утверситет ветеринарног медицины та бютехнологт iмет С.З. Гжицького 2Фгзико-мехатчниы шститут iменi Г.В.Карпенка НАН Украти, Львiв Кратвський аграрний утверситет

РОЗПОД1Л КОЛОВИХ ТА РАД1АЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ В ПОРОЖНИСТОМУ ЦИЛ1НДР1 ЗА 1МПУЛЬСНИХ НАВАНТАЖЕНЬ НА

ЙОГО ПОВЕРХНЯХ

На основi розв 'язюв осесиметричног' динамiчноï задачi теорп пружностi про навантажений iмпульсами порожнистий цилтдр, знайдено розподы колових та радiальних напружень за рiзноï товщини цилiндрiв i часу дИ' iмпульсiв. Проведено числовий аналiз залежностi цих напружень вiд часових та геометричних параметрiв задачi.

Ключовi слова: порожнистий цилтдр, динамжа, iмпульсне навантаження, сюнчет рiзницi, напруження коловi та радiальнi.

Вступ. Дослщженню плоских динамiчних осесиметричних задач Teopiï пружност присвячено низку публшацш. В основному, ïx розв'язування базуеться на штегральних перетвореннях Лапласа [1-4]. Через те, що отримати обернет штегральш перетворення Лапласа не завжди просто дослщники змушеш застосовувати iншi пщходи. Зокрема, це числовi методи: характеристик, кшцевих та граничних елеменив [5-7], яю не завжди дають бажану точшсть отриманих результаив. Вказанi вище труднощi спонукають вчених до розроблення нових методiв, один з яких був запропонований у статт [8]. Вiн е анал^ико-числовий i його можна використовувати для розв'язування динамiчниx задач складноï геометрiï та довiльного навантаження. Цей метод не використовуе штегральних перетворень Лапласа, а грунтуеться на застосуванш сюнчених рiзниць за часом. Цей метод е вигщний ще тим, що звичайш неоднорiднi диференцiйнi рiвняння зводяться до однорiдниx такого ж вигляду,

© Варивода Ю.Ю., Онишко Л.Й., Мвдал В., Сенюк М.М., 2008

211

як i при застосуванш до рiвнянь руху перетворень Лапласа, що дае можливостi користуватися для !х розв'язування добре розробленими тдходами.

Ранiше [9] метод було застосовано до розв'язування плоско! динамiчно! осесиметрично! задачi теори пружностi для порожнистого цилшдра пiд динамiчним навантаженням, заданим довiльним чином. У пропонованш статтi за проведеними числовими розрахунками проаналiзовано напружений стан цилiндричного елемента конструкци, поверхнi якого знаходяться тд iмпульсним навантаженням.

Постава задач1 та метод розв'язування. Розглянемо тонкий порожнистий цилiндричний елемент конструкци технолопчного обладнання, який знаходиться тд зовнiшнiм навантаженням, яке можна змоделювати будь-якою функщею вiд часу на внутрiшнiй (р1 (()) i зовнiшнiй ()) його поверхнях. Для зручност задачу розв'язуватимемо у безрозмiрних координатах

г = г'/ г1, Т = С^/^, ю = и/г

де г' - радiальна координата, ^ - час, а швидккть поздовжньо! хвилi с1 пов'язана з константами Ламе А, д, густиною матерiалу р та Пуассоновим. коефщентом V спiввiдношеннями:

А + 2д = рс2, = рс12 (1 - 2v)/(1 -V).

За умов плоско! деформацi!, задачу зведено [9] до розв'язання наступного рiвняння руху

д2 ю + 1 дю ю д2 ю

дг2 г дг г2 дг2 (1)

з нульовими початковими умовами

ю = дю/ дг = 0, г = 0, 1 < г < у; у = г2 / г1 (2)

та крайовими умовами на внутршнш та зовнiшнiй поверхнях цилiндра

= дю/дг + ^ю = -р1 (г)/ рс12; г > 0, г = у, (3)

а^=дю/дг + Ь^/у = -Р2(г)/Р^2; г>0, г = у,

де Ьv = V /(1

Для розв'язування динамiчно! задачi (1) - (3) застосуемо новий метод, який не використовуе перетворень Лапласа, а замють нього по часу застосовано сюнченш рiзницi [8]. Вщповщно момент часу г^ запишемо у виглядi суми скiнчених рiзниць за часом

212

к=1

де Ахк = хк -хк_1,( х0 = 0), якi за умовами методу обов'язково мають бути рiзними.

Похiднi по часу у рiвняннi (1) запишемо через лiвi рiзницевi похiднi

дш ш7 -ш7-1

^ х=х,

Ах,

а2 ш

дх2

7 7-1 ш - шJ

Ах2

ш7-1 - ш7-2

Ах 7 Ах 7-1

; 7 = 2,3,...; ш0 = 0,

(4)

i перемiщення у кожний момент часу х7 подамо у виглядi суми добутку

невщомих коефiцieнтiв ^ 7т на нововведеш функци шт

j

ш7 =Х шт . (5)

Вiдзначимо, що пiсля безпотередньо! тдстановки (4), (5) у рiвняння (1), отримаемо неоднорiдне диференцiйне рiвняння вщносно просторових змiнних, яке розв'язати вщомими методами важко. Запропонований метод [8], дае змогу з допомогою подання (5) звести задачу до однорщного рiвняння

а2 ш7 1 аш7

дт2

+ ■

т дт

V т

2

2 + ^

ш7 = 0,

=

Ах

(6)

методи розв'язування якого добре розроблеш, бо воно мае ту ж структуру, що i рiвняння, якi отримують при розв'язуваннi динамiчних задач за допомогою методу Лапласа.

Невiдомi коефiцiенти ^ 7т знайдемо з рекурентних сшввщношень [8]:

= 1; ™7,7-1

Ах ,-1

Ах 7-1 Ах 7

(7 = 2,3,...),

Ах

]-П

33 п Ах2-„ -Ах2

1 + ■

_А7

Ах 7-1 У

Ах 7

7-1,7-п Ах 3-2,3-«

1 7-1

;(7 = 3,4...;п = 2,3,...7 -1).

Крайовi умови (3) за використання формул (5) матимуть вигляд:

дш7'/дт + Ьуш7 = р( / рсг2, т = 1;

х=х

1

2

213

Эю7dr + bvraj /у = pJ /рсД r = у ; (7)

де функци навантажень p]n, (n = 1,2) визначаються формулами

p = РП - 2wmpn , Pln = Pn(х) n = 1,J.

m=1

Таким чином, задача зведена до розв'язування однорщного рiвняння (6) за крайових умов (7). Загальний розв'язок цього рiвняння запишемо через функцп Макдональда K1(rsj) та Бесселя I1 {rsjj [10]:

юj (r, Sj) = 4 (Sj) I! (rsj) + Aj (Sj) K (rsj) (8)

З крайових умов (7) за використання розв'язку (8), отримаемо систему рiвнянь для визначення невiдомих коефiцiентiв An (s. j (n = 1,2). У результат спiввiдношення для невщомих функцiй ю матиме вигляд [9]

юj =юj (r, Sj j = ^T [f/ R ВД (rSj j-FJ R Rj)K1 ( jj (9)

pc¡

де

(fí fí ) p1 S j/n (RJ, SJ j-pJ S j/n (R1, SJ j n 12 R i R у

FnRRj)=, n=1,2 R>=1,Rj=у,

/1 R, Sj j=- K1 (RnSj j[bv /у - V Rn ]-SjKo (r^ j, /j (Rn, S; j= I, ^ j[bv /у - V Rn ] + Sjlo {RnS j j .

Значення тангенцiальних cee та радiальних crr напружень в момент часу х = х j запишемо через лiнiйну комбшацш допомiжних функцiй у часових вузлах:

j J °ee = 2 wjm5ш, cj = 2 wjm5mr, (10)

коли

m = 1

де

— m _ J

5ee = PC1

L c6m Sm

bv"^ +-

dr r

\

— m _ J

5 rr = pC1

í m — m \

ю

dr v r

■ + b

. (11)

V ' / V ' /

За використання формул (9), (11) знаходимо вирази для 5ee, 5rr в кожний момент часу х = х j

5ee (r,S; j = FJ (R1,Rj )I(rS; j- FJ (R1,Rj )K( j, 214

m=1

Цг (т,87 ) = ^ (R1,R2 ^7) - F7j (R1,R2 )М(т8} ),

(12)

де

1(т8} )= 8}К10 (т8} )+ ^ I (т8}. ) , к(т8} )=-8;Ь, К0 (т8} )+ ^ ^ (т8}. ), т т

L(т8] ) = 8}10 (т8}. )- ^(т8; ) , М{^87 ) = -8}К0 (т8}. ) - ^К, (т8; ) .

Числов1 результати.

Проведенi обчислення (формули (10), (12)) та побудоваш графiки тангенщальних напружень сее на внутрiшнiй поверхн порожнистих цилiндрiв (товщин у=1,3 i у=5) залежно вiд часу х (рис.1), коли дiють прямокутнi iмпульси рiзноl ширини х* (0 < х < х*). Штрихова лiнiя побудована для удару на внутршнш поверхнi цилiндра. За отриманими графiками (рис.1), видно, що кривi напружень для рiзних iмпульсiв накладаються на штрихову лiнiю i коли дiя iмпульсу припиняеться спостерiгаеться скачок напружень (динамчний ефект) та наступний стрiмкий спад розтяжних напружень, яю переходять у стискальнi, яю досягають 50% вiд максимальних розтяжних. Вщзначимо, що у початковий момент часу, тсля безпосереднього прикладення як удару, так i iмпульсу, отримаемо не нульове стискаюче напруження сее (стрибок напружень), яке спостерiгалося i для колового

отвору у несюнченному тш [11]. Зi збiльшенням товщини цилiндра вiд 7=1,3 до 7=5,

* 1

наприклад, для шпульсу ширини х =1 максимум колових напруження сее зменшуеться вiд 1,7 до 0,7 i пiсля припинення ди iмпульсу рiзко зменшуються до нуля для широкого цилiндра (7=5) (рис.1в), а для вузького (7=1,3) (рис.1а) продовжуе збiльшувaтись вiд 1,7 до 2,65, що свщчить про суттевий вплив крав цилiндра (ефект вщбитих хвиль) i вже поим плавно зменшуеться переходячи з розтяжних до

стискальних.

Рис. 1. Залежносп концентрацп колових напружень ^ее в1д часу х на

внутр1шнш поверхн1 цил1ндр1в товщини 7=1,3 (а) та у=5 (в) за дй' 1мпульсних навантажень рпноУ ширини х* на Тх внутр1шнш поверхш

215

1,3

s to 15 X

/ 1.05 0

\ Y\3j6 1

I N¿5/

\ 1,5y^"

1,1 ®

Рис. 2. Залежносп напружень a rr ввд параметру часу I за 1мпульсного

навантаження ширини I =3,7 на внутр1шн1й (p^ (l) = 1) поверхш цил1ндра товщини у=1,3 (а) та у=5 (в) для р1зних значень рад1усу r (y>r>1)

На рис. 2 побудовано графки ра,щальних напружень arr залежно вщ часу I. Видно, що 3i збшьшенням товщини цилiндра напруження a rr змiнюютъ суттево свою конфiгурацiю. Для тоншого цилiндра (рис. 2а) в короткий початковий момент часу i=0.5 спостерк,аютъся екстремуми цих напружень (стискальш) незалежно вщ координати r i виражений ix стрибок з наступним плавним збiлъшенням i при завершены ди iмпулъсу величина напружень a rr рiзко падае, переходячи 3i стискальних до розтяжних. Бшьш плавний характер змiни ра,щальних напружень бачимо для цилiндра бщьшо! товщини (рис. 2в). Изю перепади напружень a rr пояснюються не ильки змiною ширини цилiндра або часом да iмпулъсу, але i динамiчними явищами накладання прямих та вщбитих хвиль.

Результати дослджень можуть бути використаш при проектувани цилiндричних елеменив конструкций, яю знаходяться пщ даею iмпулъсних навантажень.

Висновки

Числовi розрахунки концентраци колових та радiалъних напружень в залежност вiд часу показали рiзкi перепади напружень arr, aee, якi пояснюються не тщьки змшою ширини цилiндра або часом ди iмпулъсу, але i динамiчними явищами накладання прямих та вщбитих хвиль. Рiзка змiна напружень( з розтяжних у стискалънi i навпаки) е небезпечною i може привести до руйнування поверхонь цилшдричних елементiв конструкцiй.

Л1тература

1. Kroom A. Zur Ausbreitung von Stobwellen in Kreislochscheiben // (ZAMM)Zeitschrift fur angewandt Mathematik und Mechanik, 28(4), 1948. - 104-114 p. and 297-303 p.

2. Selberg H.L. Transient compression waves from spherical and cylindrical cavities // Arkiv for Fyzik. - 1952. - 5. -P.97-108.

3. Cinelli G. Dynamic vibrations and stresses in elastic cylinders and spheres // J.Appl. Mech.- 1966.- 33.- Р.825-830.

4 Chou P.C., Koenig H. A. A unified approach to cylindrical and spherical elastic waves by method of characteristics // J. Appl. Mech.- 1966.- 33.- Р. 159-167.

5. Fu C.C. A method for the numerical integration of the equations of motion arising from a finite-element analysis // J. Appl. Mech. - 1970.- 37.- Р.399-605.

6. Chung-Cheng Wang, Hui-Ching Wang, Gin-Show Liou Two-dimensional elastodynamic transient analysis by QL time-domain BEM formulation // International journal for numerical methods in engineering.- 1996.- 39.- Р. 951-985.

7. Frangi A. Elastodynamics by BEM: a new direct formulation // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1999.- 45.- Р 721-740.

216

8. Саврук МП. Новий метод розв'язування динамiчних задач теори пружност та механки руйнування // Фiз.-хiм. механка матерiалiв. - 2003.-№4. - С. 194-198.

9. Саврук М., Онишко Л., Сенюк М. Плоска динамiчна осесиметрична задача для порожнистого цилiндра // Фiз.-хiм. механка матерiалiв - 2007 - №6.- С.54-62.

10. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальним функциям - М.: Наука, 1979.- 832 с.

11. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - К.: Наук. думка, 1968.- 888 с.

Summary

Varyvoda Yu.Yu;., Onyshko L.Yo., Senyuk М.М..

DISTRIBUTION OF CIRCULAR AND RADIAL STRESSES IN HOLLOW CYLINDER UNDER IMPULSE LOADING ON ITS SURFACES

On the basis of solutions of dynamic elasticity problem about hollow cylinder loaded by impulse the distribution of circular and radial stresses by different cylinder thicknesses and times of impulse are found. The numerical analysis of dependences of these stresses on time and geometric parameters of problem is carried out.

Стаття надшшла до редакцИ 1.09.2008

217