CC BY
27
Онышкевич В.М., Гапаляк К.О. Имитационное моделирование сто-хастичности протекания эколого-экономических процессов
Проанализированы предпосылки учета эколого-экономических противоречий при имитационном моделировании глобальных процессов. Выяснена потребность в прогнозировании влияния экологического эффекта на экономические результаты материального производства и непроизводственной сферы. С целью отображения случайного характера изменения основных эколого-экономических факторов развития общества предложено учитывать стохастичность при математическом моделировании таких процессов. На основании модели Дж. Форрестера в соответствующие дифференциальные уравнения введены некоторые стохастические коэффициенты, характеризирующие вероятности протекания определенных процессов и явлений. В частных случаях при граничных значениях стохастических коэффициентов получен аналог кривых исходной модели. Сделаны выводы относительно прогнозируемых тенденций развития, приведены соответствующие графики.
Ключевые слова: имитационная модель, экологическая экономика, стохастические факторы, система дифференциальных уравнений.
Onyshkevych V.M., Gapalyak Ch.O. Simulation modeling of stochastic running of environmental economic processes
Prerequisites to accounting for environmental and economic contradictions in simulation modeling of global processes have been examined. The necessity of predicting environmental effects on economic results of the material production and non-material sphere is motivated. For the purpose of demonstrating a random character of changes in the main environmental and economic factors of the human society development, it has been suggested that stochasticity should be taken into account in mathematical modeling of such processes. On the basis of the J. Forrester model, certain stochastic factors have been introduced into corresponding differential equations to characterize the probability of occurrence of certain processes and phenomena. In some instances, the analog of curves of the source model was obtained at boundary values of stochastic factors. Certain conclusions have been made concerning the predicted tendencies of development and relevant plots are presented.
Keywords: simulation model, environmental economics, stochastic factors, system of differential equations.
УДК 539.3 Викл. Д.М. Неспляк; доц. Т.В. Магеровська, канд. ф1з.-мат. наук -
Львгвський ДУВС
МОДЕЛЮВАННЯ ЗАДАЧ1 ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТ1 З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ПРОМ1ЖНО1 ТОЧКИ ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИРОСТ1В ПЛАСТИЧНИХ ДЕФОРМАЦ1Й
Викладено методику ягасного дослщження числового розв'язку нестацюнарно! за-дачi термопластичной iз використанням методу промiжноl точки для визначення скш-ченних прирос™ пластичних деформацш. Показано узгоджешсть результа™, отрима-них за представленою безумовно стшкою числовою схемою, iз аналггичним розв'язком. Визначено ефектившсть запропоновано! безумовно стшко! числово! схеми для задачi термопластичш з використанням методу промiжноl точки для визначення скшченних прирос™ пластичних деформацш у товстостшнш трубi шд дieю внутршнього тиску та отримано новi ягасш висновки.
Ключовг слова: метод промiжноl точки, метод Ньютона-Рафсона, задача термоп-ластичностi, метод скiнченних елементiв, безумовно стшка числова схема.
Актуальнiсть проблеми та огляд основних результат. Використан-ня методу пром1жно! точки для визначення прироспв пластичних деформацш в
ггерацшному процес Ньютона-Рафсона розглянуто у працях J.C. Simo, R.K. Taylor, 1.С. Мухи та Р.1. Юсшя [2, 3, 8]. Розв'язування задач термопластич-носп з використанням методу промiжноl точки для визначення прироспв плас-тичних деформацш в iтерацiйному процесi Ньютона-Рафсона викладено у працях [4-7]. Дослщження ефективностi безумовно стшко! числово! схеми для за-дачi термопластичт iз використанням методу промiжноl точки для визначення прирослв пластичних деформацш у товстостшнш трубi пiд дieю внутрiшнього тиску е складною i актуальною задачею.
Постановка задачь Формулювання результату. Розглянемо процес деформування твердого iзотропного тiла, яке знаходиться в об'емi V, обмежене поверхнею S та пiддаеться одночаснiй ди силових i теплових навантажень, як не призводять до втрати його стшкостг Використаемо математичну модель, що Грунтуеться на теорп нелшшно! незв'язно! термопластичносп пiд час нестащ-онарного теплового процесу i теорп неiзотермiчного пружнопластичного течш-ня. При цьому будемо враховувати залежнiсть теплофiзичних i мехатчних властивостей матерiалу вiд температури. Припустимо, що процеси термосилового деформування вщбуваються достатньо повiльно, що дае змогу використо-вувати квазютатичт спiввiдношення термодинамiки. Рiвновагу тiла будемо визначати, виходячи з принципу вiртуальних робiт.
Фiзичнi спiввiдношення запишемо у виглядi узагальненого закону Гука ар(и,Т) = арь(Т)£еь(»,т), (!)
де: aph;(T) - компоненти матриц пружних констант матерiалу A при значеннi
температури Т , е г=е -е р-еth - пружна складова тензора деформацш, s p -
" th
пластична складова, е - температурна складова.
ЦЫсний процес навантаження роздшимо на достатньо малi етапи, кшь-кiсть i тривалiсть яких дае змогу з необхвдною точшстю описати процес деформування як квазютатичний. Нехай задача теплопровiдностi [4] вже розв'язана, i
вщомий розподш поля температури Т(т) у моменти часу тт. Припустимо дат, що розв'язана i задача про деформування тша у момент часу тт та у попередш моменти. Тодi у тiлi, яке знаходиться у сташ рiвноваги, присутш перемiщення
точок и(т), повт деформаци s(m) i напруження <г(т), якi виникли пiд дiею температурного поля Т(т), масових сил Q(т) i поверхневих навантажень aV на
частит поверхт Sa. Перемiщення и(т) також задовольняють головнi краевi умови на частинi поверхнi Su . Нехай далi за час Атт = гт+1 - тт тiло навантажи-ли додатковi масовi сили Q(т), поверхневi навантаження а^, i точки тша змь нили свою температуру на Т(т). Щд дiею цих факторiв тiло змшило свою кон-фiгурацiю, у ньому виникли додатковi перемiщення и(т), деформаци £(т) i напруження а(т).
Рiвновагу тiла пiсля довантаження будемо визначати, виходячи з принципу вiртуальних робгг:
J (a f+ a f)Se fdV = J (Q m+ Q ^Su (fdV + J (a V+ a^)Su (fdS .
V V Sa
Для визначення малих скiнченних прирослв пластичних деформацiй ви-користаемо метод промiжноl точки. Сутнiсть цього методу полягае у тому, що за умови переходу вщ нескiнченно малих величин до скшченних приростiв пластичш деформаци записуються у деякiй промiжнiй точцi так:
dFI a(m)+ Qu(m\T (m)+ T(m) I
£g.) = Л(т)_1---J . (2)
da ks
Доповнимо це спiввiдношення узагальненим законом Гука (1) у так виг-
лад:
де °a +(т)= aijks |T (m)+ T(m)
a(m ^a+^+af, (3)
A-1(T (m))
a(ml-ethb(T(m))
kspt
а Н= арь(Т (т)+ Т (т>) ((>> ).
Для лшеаризацп спiввiдношення (2) застосуемо метод Ньютона-Канторовича, сутнiсть якого полягае у послщовному наближеннi розв'язку нелшшно1 задачi послiдовнiстю лiнiйних задач. Для розв'язування лшеаризованих задач використаемо метод скшченних елеменлв.
Розглянемо задачу про пружно-пластичне деформування у товстостiннiй пустотшш сферi, яка на внутрiшнiй поверхш пiддаеться ди силового наванта-ження р. Вiдомо, що аналггачний розв'язок ще1 задачi [1] залежить тiльки вiд радiуса сфери г. Для числового розв'язування задачi задамо таю мехашчш характеристики:
• внутршнш та зовшшнш рад1уси а = 0,96 м та Ь = 1,04 м в1дпов1дно;
• модуль пружносп Е = 2 • 105 МПа;
• коефщент Пуасона V = 0,3;
• межа пластичного течшня а* = 160 МПа.
Нехай на внутршнш поверхнi сфера тддаеться дп силового наванта-
РЬ + Ре 1
ження р = ^ , де рЬ - навантаження, при якому сфера переходить у стан
пластичного течшня на внутршнш поверхш сфери i визначаеться як
2 Ь3 - а3 , Ь Г1,
р =--3— а*; ре = 2а* 1п--граничне навантаження [1], при якому пустотша
3 Ь3 а
сфера буде повнютю знаходитися у сташ пластичного течiння. Межу течiння с можна визначати iз спiввiдношення
= 2£-3, (4)
а 3 V Ь) 2а* 3
яке е нелшшним вiдносно с. Для його лшеаризацп застосуемо метод Ньютона. Нехай с® - деякi наближення межi течiння с на д-тш гтераци. Тодi його значен-ня на ^ + 1)-шiй ггерацп будемо шукати у вигл_вд
де
Ас(^
с{я+1) = с(я) + Ас(^, е величиною вищого порядку мализни, порiвняно iз с'
(5)
Пiдставимо (5) у (4) та розкладемо 1п с(д+1) у ряд Тейлора в околi точки с(?) i залишимо тiльки члени порядку О (с(?)). Тодi для визначення приросту
Ас(д) отримаемо формулу
Д^ 1 ( с(«)"
Ас®:
Р
2а*
1 , с('
---1п-
3
1 ( с
3 [ т
(6)
1 _ с^2 '
~сй> _
На початковiй ггерацп задамо с(0) = а. Розв'яжемо рiвняння (4) в ггера-цiйному процеш (5), (6). Отримаемо аналiтичний розв'язок межi текучостi с = 0,98342.
У табл. 1 представлен абсолютш похибки числового сп та аналиичного розв'язкiв межi текучостi, залежно вщ кiлькостi скiнченноелементних розбиттiв п. З таблиц видно, що числове значення межi пружностi збiгаеться до аналогичного з лiнiйною швидкiстю.
Табл. 1. Залежтсть абсолютних похибок аналтичного i числового розв 'язтв межi текучостг с задачi про пружно-пластичну деформацю у порожнистгй
п 8 1 16 32 64 128 256
сп 0,98211 0,98106 0,98303 0,98276 0,98326 0,9835
с _ сп 0,00131 | 0,00236 0,00039 0,00066 0,00016 0,00008
Як видно iз табл. 2, абсолютш похибки числового й аналиичного розв'язюв межi текучост добре узгоджуються залежно вщ величини внут-рiшнього силового навантаження.
Табл. 2. Залежнкть абсолютних похибок аналтичного i числовогорозв'язшв ме-жi текучост1 с задачi про пружно-пластичну деформацю у порожнист1й сферi вид внутршнього навантаження р
Р 23,65895 24,1032 24,54746 24,99171 25,43597
апаШс 0,97366 0,98168 0,99099 1,00257 1,01999
пит 0,97388 0,98138 0,99076 1,00263 1,01951
аЬ. 0,00022 0,0003 0,00023 0,00006 0,00048
При а < г < с сфера знаходиться у зош пластичного течшня i коловi нап-
г
руження а9 визначаемо згiдно з формулою ар = а*+ аг, де аг = 2а. 1п— р - ра-
а
дiальнi напруження. Для с < г < Ь у сферi здiйснюються пружнi деформацп i ко-ловi напруження ар визначаемо згiдно з формулою ар = р • 11 + -2^ |.
Навантаження для пружно! задачi на межi текучост можна представити
' 1 Ь3 Л ~ с3 „ , с
, де д = д—-г; q = 2с* 1п—
а
Рис. Розподт колових пружно-пластичних напружень у порожнистш сферi
Розглянемо процес термопластичного деформування у товстостшнш трубi шд дiею внутршнього тиску р = 110 МПа.
Як розрахункову схему товстостшно! труби розглядаемо цилiндр iз внутрiшнiм та зовшштм радiусами Еа = 0,2 м i ЕЬ = 0,4 м i довжиною Ь = 0,3 м.
Мехашчш та теплофiзичнi характеристики такi:
• модуль пружност Е = 2 • 105 МПа,
• коефщ1ент Пуасона V = 0,3,
• межа пластичного теч1ння с* = 160 МПа,
• р =7820 кг/т3,
• су = 565,47 Дж/(кг-К),
• Л=30,9542 Дж/(ш-К-с),
• а=3496,988 Дж/( т2-К-с).
Точнiсть £ = 1,0е - 5 .
Навантаження будемо здшснювати рiвномiрно протягом М крокiв.
Задача е симетричною за осьовою та коловою координатами. Для числового розв'язування задачi побудуемо 128 скiнченних елеменлв першого порядку за товщиною. Як видно iз табл. 3, значення розподшу колових напружень за-лежить вiд кiлькостi крокiв за часом. Це випливае з того, що процес навантаження, нашть для задачi Ляме про пружнопластичне деформування у товстос-тiнному цилшдр^ е складним.
Табл. 3. Розподт колових напружень при значент радiальноi координаты r = 0,20033, залежно eid параметра промiжноi точки в та ктькост1 кротв
навантаження M
M\в 0 0,5 1,0
4 75,44352 76,34719 76,55897
8 76,35252 76,46353 76,53788
16 76,46311 76,49748 76,52629
32 76,48774 76,50285 76,51672
64 76,49655 76,50377 76,51069
512 76,50361 76,50449 76,50537
У деформацшнш теорп пластичносп постулюеться колшеаршсть тензора пластичних деформацш i девiатора напружень в кшщ кроку навантаження. У теорп текучосл на кожному крощ навантаження постулюеться колiнеарнiсть приросту тензора пластичних деформацш i девiатора напружень, залежно вщ в, на початку (в = 0), посерединi (в = 0,5) або в кшщ (в = 1) текучого кроку навантаження. А оскшьки тензор приросту пластичних деформацш змшюе сво! значення на кожному крощ навантаження, то при M > 2 розв'язки задач за те-орiею пластично! текучостi та деформацшною теорiею будуть вiдрiзнятися. 3i збiльшенням кiлькостi крокiв навантаження розв'язки задачi за теорiею пластично! текучосл прямують до деякого стащонарного значення, яке i е ютинним розв'язком задачi.
Висновки. Викладено методику яюсного дослiдження числового розв'язку нестащонарно! задачi термопластичностi iз використанням методу промiжно! точки для визначення скшченних приростiв пластичних деформацiй. Показано узгоджешсть результатiв, отриманих за представленою безумовно стшкою числовою схемою, iз аналличним розв'язком. Визначено ефективнiсть запропоновано! безумовно стшко! числово! схеми для задачi термопластичнi iз використанням методу промiжно! точки для визначення скiнченних прироспв пластичних деформацiй у товстостiннiй трубi пiд дiею внутрiшнього тиску та отримано новi якiснi висновки.
Л1тература
1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М. : Изд-во "Наука", 1969. - 420 с.
2. Кисиль Р.И. Безусловно устойчивые численные схемы для решения задач нелинейного деформирования твердых тел / Р.И. Кисиль, И.С. Муха // Прикладная механика. - 1996. - Вип. 32. - № 6. - С. 66-73.
3. Муха 1.С. Лшеаризоваш задач! квазютатичного термов'язкопластичного деформування твердих тш / 1.С. Муха. - К. : Вид-во 1СДО, 1995. - 52 с.
4. Муха 1.С. Числове дослщження процешв термопластичного деформування осесиметричних тш з урахуванням розвантаження / 1.С. Муха, Д.М. Неспляк // Математичш методи i ф1зико-мехашчш поля. - 2010. - Вип. 53, № 4. - С. 117-126.
5. Неспляк Д.М. Дослщження процеав нелшшно! теплопровщносп у товстостшних складових тшах / Д.М. Неспляк, 1.С. Муха // Математичш методи i ф1зико-мехашчш поля. -2007. - Вип. 50, № 2. - С. 176-182.
6. Неспляк Д.М. Числове дослщження термопластичносп у ротор1 парово! тербши за теор1ею пластичного течшня / Д.М. Неспляк, 1.С. Муха // Прикладш проблеми мехашки i математики. - Льв1в : Вид-во 1н-ту прикладних проблем мехашки i математики ¡м. Я.С. Пщстригача НАН Укра!ни, 2010. - С. 125-132.
7. Mukha I.S. Numerical analysis of processes of thermoplastic deformation of axisymmetric bodies with regard for unloading / I.S. Mukha, D.M. Nespliak // Journal of Mathematical Sciences, March, 2012. - Vol. 181, No 4. - Pp. 438-449.
8. Simo J. C., Taylor R.K. Consistent tangent operators for rate-independent elastoplasticity / J.C. Simo, R.K. Taylor // Comp. Meth. Appl. Mech. Ing. - 1985. - Vol. 48. - Pp. 101-118.
Неспляк Д.М., Магеровская Т.В. Моделирование задачи термопластичности с использованием метода промежуточной точки для определения приращений пластичных деформаций
Изложена методика качественного исследования числового решения нестационарной задачи термопластичности с помощью метода промежуточной точки для определения конечных приращений пластических деформаций. Показана согласованность результатов, полученных по представленной безусловно устойчивой числовой схеме, с аналитическим решением. Определена эффективность предложенной безусловно устойчивой числовой схемы для задачи термопластичности с использованием метода промежуточной точки для определения конечных приращений пластических деформаций в толстостенной трубе под действием внутреннего давления и получены новые качественные выводы.
Ключевые слова: метод промежуточной точки, метод Ньютона-Рафсона, задача термопластичности, метод конечных элементов, безусловно устойчивая числовая схема.
NesplyakD.M., Magerovska T.V. Modelling of the thermoplastic task including a method of the mediate point to determinate the gain of plastic deformations
The method of the quality research of the numeral decision of untrivial task of the thermoplastic including the method of mediate point for determition of the terminal plastic deformations was represented. The consistency of results, got by the presented no doubt stable number scheme with analytic decision was shown. The effectively of an offered stable number scheme for the task of thermoplastic including a method of the mediate point to determinate the gain of plastic deformations into thick-wall pipe under the inside pressure was defined and the new qualitative conclusions were gotten.
Keywords: a method of the mediate point, a method of Newton-Rawson, the task of thermoplastic, the method of eventual element, no doubt stable number scheme.
УДК 339.1 Доц. Н.Ю. Глинський, канд. екон. наук;
студ. НА. Карачевська - НУ "Львiвська полiтехнiка "
ПРОБЛЕМИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ 1НТЕРНЕТ-РЕКЛАМИ В УКРА1Н1
Здшснено аналiз сучасних тенденцш розвитку рекламних комушкацш у мережi 1нтернет як у свгтовому масштабi загалом, так i в Укра1ш зокрема. Висв^лено способи, якими може здшснюватись 1нтернет-реклама. На пiдставi аналiзу розроблено рекомендаций що стосуються тдвищення ефективност використання 1нтернету в рамках цшей системи просування суб'ек^в господарювання.
Ключовг слова: 1нтернет-аудитс^я, 1нтернет-реклама, маркетинге^ комушкаци.
Постановка проблеми. Реклама як заиб маркетингових комушкацш вщдавна вважаегься одним i3 основних засоб1в шформування споживач1в про товар, нагадування, стимулювання його продажу. Навики планування та реаль зацп рекламно! стратеги користуються постшно зростаючим попитом в еру ш-тегрованих комушкацш. Важливу роль реклами, як засобу комушкаци 3i спо-живачем, можна продемонструвати як з позици творчо! стратеги, так i з позици засобiв реклами. Перша полягае в тому, що реклама якнайбшьше (порiвняно з
