ВПЛИВ ПРЯМОКУТНИХ іМПУЛЬСНИХ НАВАНТАЖЕНЬ НА МіЦНіСТЬ ЦИЛіНДРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТіВ КОНСТРУКЦіЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Варивода Ю.Ю., к.т.н., доцент1, Онишко Л.Й., к.т.н.1,2, Сенюк М.М., пров. шж.2 ©

1Льв1вський нацюнальний утверситет ветеринарног медицины та бютехнологт iмет С.З. Гжицького 2Фгзико-мехашчний iнститут iменi Г.В.Карпенка НАН Украгни, Львiв

ВПЛИВ ПРЯМОКУТНИХ 1МПУЛЬСНИХ НАВАНТАЖЕНЬ НА МЩН1СТЬ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТ1В КОНСТРУКЦ1Й

Задачу про дЮ прямокутних iмпульсiв на порожнистий цилтдричний елемент конструкцп розе 'язано методом сюнчених рiзниць тыьки за часом. Числовi результати подано для концентрацп тангенщальних напружень на внутрштх краях цилiндрiв рiзног товщини за дп на них двох або трьох прямокутних iмпульсiв.

Ключов1 слова: порожнистий цилшдр, динамжа, iмпульсне навантаження, скшчеш рiзницi, напруження.

Вступ. Багато елеменив конструкцш устаткування харчово! та переробно! промисловостей працюють тд дieю змiнного в часi навантаження. Зокрема, часто зустрiчаються порожнистi цилiндричнi елементи, яю працюють пiд дieю динамiчного навантаження, а саме iмпульсного. Вщзначалось [1,2,3], що до розв'язування динамiчних осесиметричних задач теори пружностi рашше застосовували аналiтичний метод iнтегральних перетворень та числовi методи кiнцевих та граничних елеменив.

У статтi поставлену динамiчну задачу розв'язано новим анал^ико-числовим методом [4], який можна використовувати для рiзних галузей з концентраторами напружень. Вш не використовуе iнтегральних перетворень Лапласа, а грунтуеться на застосуваннi скiнчених рiзниць тшьки за часом. Цим методом було дослщжено вплив ударних навантажень та iмпульсу на напружений стан цилшдричних елементiв конструкцiй рiзноl товщини [5,6]. У данш роботi цим тдходом розв'язано плоску осесиметричну задачу теори пружностi для порожнистого цилiндра, навантаженого прямокутними iмпульсами, прикладеними до його поверхш. Дослiдження концентрацп напружень у цилшдричнш конструкцп' за рiзноl кшькост iмпульсiв, вiдстанi мiж ними та 1хньо1 тривалостi дасть змогу зробити ряд висновюв щодо l! несучо! здатностi.

Постава задач1 та метод розв'язування. Задачу про пружний несюнченний порожнистий цилiндр з внутрiшнiм (rx) i зовнiшнiм (r2) радiусами пiд дiею iмпульсних навантажень на внутрiшнiй (рг (t)) i зовшшнш (P2(t)) його поверхнях за нульових початкових умов розв'язано за умов плоско! деформацп. Задача е осесиметричною i зводиться до знаходження

© Варивода Ю.Ю., Онишко Л.Й., Сенюк М.М., 2009

198

перемщень и = и (г', I) будь-яко! точки пружного кiльця з наступного рiвняння РУхУ [5]:

д 2ш 1 дш ш д 2ш

—Г +----Т = —Т' (!)

дг г дг г дх

яке записане у безрозмiрних змiнних

г = г'/ г х = с1^г1, ш=ш(г, х) = и/г1 Формули для визначення радiальних а гг (г, х)та колових аее (г, х) напружень запишемо через вiдносне перемiщення ш(г,х) :

2Гдш 7 2Л дш ш^

агг =РС1 + К—\' аее = РС1 I + I' (2)

у дг г) у дг г)

де швидкiсть поздовжньо! хвилi с1 пов'язана з пружними характеристиками матерiалу X, д (константи Ламе) таким чином:

2 2 1 - 2у

рс1 = X + , рс1 -= ,

1 - V

причому р - це густина матерiалу' а V - коефщент Пуассона. Задачу розв'язуемо за початкових

ш = дш/дх = 0, х = 0, 1 <г <у; у = г2/г1 (3)

та крайових умов на внутршнш

а^ = дш/дг + Ь,ш = -р1 (х)/ рс12; х > 0, г = 1, (4)

та зовнiшнiй

а^^дш/дг + ¿\,ш/у = -р2(х)/рс12; х> 0, г = у, (5)

поверхнях цилiндра.

Динамiчну задачу (1), (3)-(5) розв'язуемо методом сюнченних рiзниць тiльки за часом [4]. Використовуемо лiвi рiзницевi похiднi по часу

дш

"дх

ш1 -ш1 1

Ах;

д2 ш

дх2

ш1 -ш11 ш11 -ш1 2 . _ „ 0

2 ; 1 = 2,3,...; ш0 = 0,

Ах 2 Ах 1 Ах, 1

1 1 1 1

де момент часу х ^ запишемо у виглядi суми скшченних рiзниць: Ах к = х к -х кч за умови, що х 0 = 0

х=х

199

х 1 =£ Ах^ (6)

к=1

а перемщення - за допомогою нових функцш ш т та невщомих коефiцiентiв ж. :

1т

ш 1 ш т .(7)

т =1

Неоднорiдне диференцiйне рiвняння (вщносно просторових змiнних)' яке отримаемо тсля пiдстановки (6), (7) у рiвняння руху (1), зводимо [4] до однорщного вiдносно нових функцiй

д2ш1 1 аз1 ( 1 2 ^„.. Л

"ТТ" + --^Н— + \ш1 = 0, (8)

дг2 г дг У г2 )

де sj = е часовим параметром, а невiдомi коефщенти ж1т визначаються 1 Ах1 1 рекурентними стввщношеннями:

Ах,,

Ж =* 1 =А^; (/ =^

1 1 (9)

Ах2

1-п

ж ,■ ,„ =-

1,1-п Лт-2

Чп -Ах;

( Ах, ^

У Ах1-1)

Ах1

1+--— Ж , ■--— Ж 2 ■

1-1,1-п Л_ 1-2,1-п

(1=3,4...»=23.1 -1).

Ах1-1

Крайовi умови (4),(5) в кожний момент часу х = х^ за використання формул (7) набудуть вигляду:

дш'!дг + Ь,ш1 = р1 /рс12, г = 1; дсодг + ¿Vco 1/у = р2; /рс12, г = у; (10)

де функци навантажень р», (п = 1,2) визначаються формулами:

1-1

р» = р» Ж]тр*п , р» = р»(х)' » = 1,2

т=1

Таким чином, задача зведена до розв'язування однорiдного рiвняння (8) за крайових умов (10). Методи розв'язання однорiдних диференцiйних рiвнянь е добре розробленi' i загальний розв'язок (8) запишемо через функци Макдональда K1(гsj) та Бесселя 11 (rsj) [5]

11

ш1 (г, s] )= 4(^1 )/1 (г*1)+Л^ )К ) (11)

З крайових умов (10), за використання розв'язку (11), отримаемо сшввщношення для невщомих коефщенив

200

Ап(5.), (п = 1,2):= (ЗЛ), " = 1,2, де

Щ (Ц Ц) = [р1 )/п (Ц2 , )" р2 ^ )/п Ц )] п = 12

" /2 ((1, ) ((2, ^ )" /2 ((2, ^ ) ((1, ) ' "

У результатi спiввiдношення для невiдомих функцш ш матиме вигляд:

(, ) == рК Щ; (Ц, Ц) /1 ) - Щ (Ц, Ц,) К )1 (12)

РС1

Тангенцiальнi аее та радiальнi агг напруження в момент часу т = т, запишемо через лшшну комбiнацiю допомiжних функцiй у часових вузлах

[4]: 4) = !™^, < =^^1, (13)

т=1 т=1

де

^ее(г5 )=Щ(ЦЦ)/^)-Щ(ЦЦ)^)оЦг,)=Щ(Ц Ц)^)-Щ(Ц ЦуМг,) (14)

/(г5, ) = /0 (г5, ) + ^/1 (г5, ) , К(г5, ) = -В,ЪуК0 ((5, ) + ^К, (г5, ) (15)

Г г

)= 5/о)-^/1 ), М)= -5,Ко(г5, )-^К1 (г5,)

Числов1 результати та висновки. За формулами (13)-(15) проведено числовi розрахунки та побудовано графiки залежност концентраци тангенцiальних напружень на внутршньому краю цилiндра вiд часу для двох

прямокутних iмпульсiв рiзноl ширини (навантаження позначенi на рисунках прямокутниками, i 1х величини бачимо з графшв) (рис.1). У початковий момент часу тсля безпосереднього прикладення iмпульсiв отримаемо ненульове стискаюче напруження аее (стрибок напружень). Такий динамiчний ефект

спостер^ався ранiше [7] при дослщжент дп ударного навантаження на поверхню порожнистого цилiндричного елемента. Цей факт свщчить про те, що отримаш у цiй роботi числовi результати е достовiрними. Вiд збiльшення ширини другого iмпульсу величина максимальних напружень, яю виникають на внутрiшнiй поверхш цилiндра, суттево зростае, а тсля закшчення ди iмпульсу напруження рiзко падають i з часом переходять у стискальн, особливо для тонких цилiндрiв (рис.1а,в,с). Такi знакозмiннi напруження, як i всi iншi

201

виявлеш динамiчнi ефекти, можуть привести до виникнення руйнування через розтрюкування поверхш або появу крайових дефекпв типу трiщин.

/ / \ ©

/ \

/ 1 \ \

1 / \ \

!

// -;- '--

Г 2 в Ч ^ 12 14 18 т го

\

/ \ / / /

/ / \ \ \

/ 1 \ / V -- \ - \

/ // ч - " ----

? г 4 6 в \ О 12 4 га----гв--------дп 4 ^

V ___

Рис.1. Залежносп концентрацп напружень аее ввд часу т на внутр1шн1й

поверхш цилшдр1в товщини у=5 (суц1льна лш1я) та при у=1,3 (штрихова лш1я) за прямокутних 1мпульсних навантажень рпно!' ширини

202

/ \ ^ 1 \ / 4 7

/ \

/ / \ / v

г w J^nj,

Г i \ 1 1& \ у 15 \ 20 * Т 2 f \ '

\ / V /

■—^

Рис.2. Залежносп концентрат!' напружень аее вщ часу х на

внутр1шшх поверхнях цнлшдр1в товщини у=5 (суц1льна л1н1я) та при у=1,3 (штрихова лш1я) за трьох прямокутних 1мпульсних навантажень однаково!' ширини

За часовою залежнiстю напружень аее для трьох однакових iмпульсiв

(рис.2) можна не тшьки оцiнити концентрацiю тангенщальних напружень на внутрiшнiй поверхнi тонких, або товстих порожнистих цилiндрiв, але й трактувати li як синусо1ду для товщини цилiндра у=5 (суцшьна лiнiя), що з фiзичноl точки зору е^валентне циклiчному пульсуючому навантаженню. Експерименти показують, що таке навантаження е небезпечне, тому що раптове руйнування деталi може вiдбутися при напруженнях значно менших вiд границ мiцностi матерiалу.

Л1тература

1. Fu C.C. A method for the numerical integration of the equations of motion arising from a finite-element analysis // J. Appl. Mech. - 1970.- 37.- Р.399-605.

2. Frangi A. Elastodynamics by BEM: a new direct formulation // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1999.- 45.- Р 721-740.

3. Cinelli G. Dynamic vibrations and stresses in elastic cylinders and spheres // J.Appl. Mech.- 1966.- 33.- Р.825-830.

4. Саврук М.П. Новий метод розв'язування динамiчних задач теори пружност та мехашки руйнування // Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 2003.-№4. - С.194-198.

5. Варивода Ю., Онишко Л., Сенюк М. Напружений стан цилiндричних порожнистих елеменив конструкцiй харчово! та переробно! промисловостi за динамiчних навантажень. // Науковий вюник ЛНУВМБТ iм. С.З. Гжицького Том 10, №2 (37). Частина 5, 2008. - С. 27 - 34.

6. Варивода Ю., Онишко Л., Сенюк М. Розподш колових та радiальних напружень в порожнистому цилiндрi за iмпульсних навантажень на його поверхнях. // Науковий вкник ЛНУВМБТ iм. С.З. Гжицького Том 10, №3 (38). Частина 3, 2008. - С. 211-217.

203

7. Саврук М., Онишко Л., Сенюк М. Плоска динамiчна осесиметрична задача для порожнистого цилвдра // Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв - 2007 - :№6.- С.54-

62.

Summary

Varyvoda Yu.Yu;., Onyshko L.Yo., Senyuk М.М.. INFLUENCE OF RECTANGULAR IMPULSE LOADING ON THE STRENGTH OF CYLINDRICAL CONSTRUCTIVE ELEMENTS

By the method of finite differences with respect to the time the problem of influence of rectangular impulses on the whole cylindrical element is solved. Numerical calculations are made for concentration of tangential stresses on the inner boundary of cylinders of different thickness under the influence of two or three rectangular impulses.

Стаття надшшла до редакцИ 16.09.2009

204