CC BY
40
УДК 62.50
Е. Р. Галяув
РОБАСТНОЕ СУБОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПО ВЫХОДУ
Введение
В современной теории автоматического управления одним из основных направлений является синтез систем управления в условиях неопределенности. Это обусловлено невозможностью, в большинстве случаев, точно определить параметры модели объекта, действием внешних неконтролируемых возмущений и т. п. Кроме того, параметры объекта могут изменяться во времени, что требует коррекции параметров управляющего устройства. Именно поэтому возникает необходимость создания таких систем, которые обеспечивали бы требуемое качество функционирования в этих условиях. Для решения этой проблемы предложено множество подходов [1-5]. Например, в [1] параметры управляющего устройства выбираются таким образом, чтобы обеспечить нечувствительность системы к произвольным неизвестным возмущениям. Некоторые способы динамической компенсации ограниченных возмущений рассмотрены в [3-5]. В этих работах выделяется сигнал, несущий информацию о внешних и параметрических возмущениях системы с целью компенсации их влияния на регулируемую переменную.
Кроме того, актуальной задачей является выбор среди множества стабилизирующих регуляторов такого, который оптимизирует некоторый критерий, характеризующий качество управления. Наиболее распространенным ее решением является метод Н¥ -оптимизации, который заключается в построении стабилизирующего регулятора для систем с возмущениями [6]. Регуляторы, синтезированные с использованием этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям.
В данной работе рассматривается еще один возможный подход к синтезу робастных субоптимальных систем управления, основанный на результатах работы [1]. Для конструирования оптимального регулятора управляющее воздействие разложено на две составляющие: оптимальное управление, которое позволяет минимизировать заданный функционал качества, и компоненту, компенсирующую неопределенности системы управления. Целью управления является минимизация интегрального критерия качества. Компенсация неопределенностей в объекте базируется на подходе, предложенном в [3].
Постановка задачи
Рассматривается задача управления нестационарным линейным объектом, динамика которого описывается уравнениями
x(t) = A(t) x(t) + B(t )u(t) + D(t) f (t), y(t) = Lx(t), (1)
где x(t) e Rn - вектор состояния; y(t) e R - управляемый выход объекта; u(t) e R - управляющее воздействие; f (t) e R - внешнее возмущающее воздействие; A(t) e RnXn, B(t) e Rnx1
и D(t) e Rnx1 - неизвестные функциональные матрицы; L = [1,0, к, 0].
Функцию управления u(t) представим в виде суммы сигналов: u0)(t), необходимого для минимизации заданного целевого функционала качества, и uk (t), компенсирующего неопределенности заданного объекта [1].
Проектируемая система управления должна гарантировать минимум критерию качества
¥
J = j [У 2(t) q + uo2(t) r)] dt, (2)
0
где q e R +, r e R + - весовые коэффициенты, выбираемые разработчиком. Составляющая сигнала управления uk (t) не включена в управление, поскольку ее величина зависит от величины возмущения и, при использовании метода динамической компенсации, оптимизация по этой переменной невозможна.
Поставленную задачу будем решать при следующих ограничениях.
Предположения. 1. Неизвестные постоянные коэффициенты матриц A(t), B(t) и D(t) зависят от некоторого вектора неизвестных параметров £ ех , где х - известное ограниченное
т
множество. 2. Выполнены условия структурного согласования: A(t) = Aн + Бну ^),
B(t) = Bн + Bнт(t) и D(t) = Bнk), где Aн е Rnхn , Bн е Rnх1 - произвольные известные номинальные матрицы; у(^) е Rn, ) е R + и k(t) е R - вектор и функции неизвестных параметров.
3. Пара (Ан, Bн) - управляема, а пара (Ан, Ь) - наблюдаема. 4. Измерению доступны выходной сигнал у^) и управляющее воздействие и^). 5. Известны начальные условия х(0) объекта (1).
6. Внешнее возмущение /^) - ограниченная функция времени, недоступная измерению.
Метод решения
Приведем функционал (2), учитывая (1), к виду
¥
J = | [хт ^)Ых^) + и0 (t) г)] Л , (3)
0
т
где матрица Ы = qL Ь .
Согласно предположению 3, преобразуем систему (1) к виду
X(0 = Анх^) + Бни^) + Внф(х,и,t), у^) = Lx(t), (4)
функция ф( х, и, t) = у т ^) x(t) + х(0 и^) + k ^^) содержит все неопределенности объекта (1).
Решим задачу оптимального управления с минимизацией критерия качества (3) при отсутствии параметрических и внешних возмущений для номинального объекта, описанного уравнением
хн ^) = Анхн ^) + Вни^), ун (t) = Ьхн ^). (5)
Согласно методу динамического программирования [6], оптимальный закон управления для системы (5), минимизирующий (3), выберем в форме
ио^) = -К 0 х^),
1 т т
Ко = — Вн Н ; матрица Н = Н > 0 - решение матричного уравнения Лурье - Риккати
г
аТн+НАн -1 НБн Бтп Н = -Ы . г
Добавим и вычтем в правой части системы (4) выражение К() х^) и перепишем ее в виде
х^) = А0х^) + БнUk (t) + Бнф1(х, и, t), у^) = Ьх^), (6)
где А0 = Ан — БнК0; Ф1 (х, и, t) = ф(х, и, t) + К()x(t); uk (t) - сигнал, необходимый для компенса-
ции параметрических и функциональных неопределенностей.
Введем вспомогательный контур
ху ^) = А0 ху ^) + Бни (t), ху (0) = х(0), уу (t) = Ьху ^), (7)
ху(t) е Rn - вектор состояния. Принимая во внимание (6) и (7), составим уравнения рассогласования ) = х^) - ху ^):
&&^) = А0 ^) + Бнф1(х, и, t), e(t) = Ь'ф) . (8)
Преобразуем систему (8) к уравнению в переменных «вход-выход»:
е(*) = Л(х, «, *)• (9)
Qo( Р)
О) (р) и Яо (р) - полиномы порядков п и т соответственно, полученные при переходе от уравнений (8) к (9); р = й/й - оператор дифференцирования.
Принимая во внимание то, что вектор состояния х(*) и его производные недоступны измерению, закон управления сформируем следующим образом:
«(*) = - ОотР) £(0 = -<&(х, и, *), (10)
Яо( Р)
где ^(х, и, *) - оценка параметрических и внешних возмущений ф1(х, и, *); €(*) - оценка сигнала е(*), полученная с помощью наблюдателя [7]:
&) = бо&О + ЗД*)-е(*)), £(*) = Ь&), (11)
Со =
1 т § 1 £ |С^ , ^ = Л Ї2 Ґп _ т
0 0 _ м м 2’‘ ”5 м п_т м _
; числа /1, ...,/п-т выбираются так, чтобы
матрица G = G0 -ЕЬ была гурвицевой, X = [1,0, ...,0], ЕТ =[/1, •••,/п-т]; т - малое положительное число, 1п-т - единичная матрица порядка (п — т - 1) X (п — т - 1).
Для оценки точности наблюдения введем вектор нормированных отклонений [3]:
Т(*) = Г-1(&) -0(*)),
в котором 0Т(*) = [е(*),£(*), £*(*), ., £(п-т-1)(*)], Г-1 = diag{mп-т-1, ..., т,1}.
Продифференцировав уравнение для вектора отклонений по времени, получим
Т|(*) =1 Оц(*) + Ье(п-т) (*), А(*) = €(*) - е(*) = т(п-т-1)Ьл(0 •
т
Преобразуем последнее уравнение в эквивалентное относительно первой компоненты Т1 (*) вектора т(*):
тТ (*)=1 бщо + Ь £(*), А(*) = т(п-т-1)т1(*)=т(п-т-1)ьп(0, (12)
т
где Т(*)е Яп-т , ЬТ = [1,0, ., 0^ Последние два уравнения эквивалентны относительно переменных т (*) = Т (*), т к они являются различными векторно-матричными формами записи
одного уравнения (рп-т + й1т-1 рп-т-1 +... + йп-тт-п+т)т1(*) = £(п-т)(*) •
Подставим уравнения (10), (11) и (12) в (6) В результате получим
х(0 = А0 х(*) + Ьт п-т-1 g А(*), Я*) = Ьх(*), (13)
А(*) = [Лх(*),л1(*), к, Т1(п-т)(*)]; g - вектор, составленный из коэффициентов полинома 00 (1) •
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений. Тогда существует число т0 > 0 такое, что при т £ т0 для системы управления (7), (10)-(13) обеспечивается малое отклонение фазовых переменных (5) и (13).
Доказательство утверждения подобно доказательству [8], поэтому здесь не приводится^
Пример
Рассмотрим объект управления вида (1):
" 0 1 0 " " 0 " " 0 '
X(t) = 0 0 1 x(t) + 0 u(t) + 0
ai(t) a2(t) a3 (t)_ b(t)_ d (t)
f (t), y(t) = Lx(t).
(14)
Класс неопределенности х задан неравенствам: |аг- (V)| < 50, / = 1,3, 1 < Ъ(^) < 9,
(V)] < 20, /(V)] < 10, Ь = [1, 0, 0]. Предполагается, что доступны измерению сигналы х(V), и({)
и известны начальные условия х(0) = [1 1 1Г.
Цель управления - минимизация функционала качества (2) с q = 3 и г = 2.
Номинальный объект управления (4) описывается матричным дифференциальным уравнением
1 0 0 I "0"
x(t ) = 0 0 1 x(t) + 0
-1 - 3 - 3 1
‘(t), Ун (t) = LXн (t) .
(15)
Решением уравнения Риккати A1^H + HAK -HBKR BH = -Q является матрица
-1d Ti
H =
5,4550 4,1216 1,1623
4,1216 4,0263 1,2448 1,1623 1,2448 0,4015
Зададим вспомогательный контур (7):
Xv (t) = AoXv (t) + [0 0 l] Tuk (t), yv (t) = Lxv (t), Xv (0) = [l 1 l]T ,
гДе A0 = Ak - BkK0 =
10Л v
0
0
1,58115
1
0
3,6224
■3,20075
Уравнение рассогласования X(t) = x(t) - xv (t) (8) запишется следующим образом:
jL(X, u, t) .
"0 1 0I "0"
x (t) = 0 0 1 X(t) + 0
-1,58115 - 3,6224 - 3,20075 1
Построим наблюдатель (12), в котором Go =
0 1 0
, FТ =[-15, - 75,-125], m = 0,01.
0 0 1 0 0 0
Тогда закон управления (10) определится в виде
uk (t) =-( p3 + 3,20075p2 + 3,6224p + 1,58115)€(t).
На рисунке приведен переходный процесс по ошибке e(t) = y(t) - ун (t), когда параметры в системе (14): aL(t) = 1 + sin0,2t, a2(t) = 3 + 2sin0,5t, a3(t) = 2 + 5sin0,7t, b(t) = 2 + sin t, d = -1 + 2sin2t, f (t) = 4 + 2sin3t.
e(t)
х 10-
Переходный процесс по ошибке е() = у() — ун ({)
Результаты моделирования показали, что отклонение значений критерия (2) для номинального объекта (15) - Jн = 22,9398 и объекта с возмущениями (14) - J = 22,9361 достаточно мало.
Заключение
Предложена схема решения задачи робастного субоптимального управления для параметрически и функционально неопределенного нестационарного линейного объекта. Для управления таким объектом достаточно знать множество значений его параметров и начальные условия. Приведенный алгоритм позволяет минимизировать интегральный критерий качества (3) в условиях априорной неопределенности и действия внешних возмущений с малым отклонением от значения критерия для номинального объекта (8). Идея формирования управляющего воздействия системы оптимального управления базируется на работе [1], где управляющий сигнал предложено разложить на две составляющие: оптимальное управление, позволяющее минимизировать заданный функционал качества, и компоненту, компенсирующую неопределенности системы управления. Компенсация параметрической и функциональной неопределенностей основана на подходе [3]. Результаты численного моделирования подтвердили аналитические выводы работы.
3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.
2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
3. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений //
Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.
4. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления линейными динамическими объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 8. - С. 7-12.
5. Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения в условиях запаздывания по управлению // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С. 19-23.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления. Теория оптимизации автоматического управления / под ред. К. А. Пупкова и Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. - 2004. - Т. 4. - 744 с.
7. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.
8. Галяув Е. Р., Фуртат И. Б. Робастное субоптимальное управление линейными объектами по выходу // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2010. - № 8. - С. 24-31.
Статья поступила в редакцию 25.11.2010
ROBUST SUBOPTIMAL CONTROL OF LINEAR NONSTATIONARY OBJECTS ON AN OUTPUT
E. R. Galyauv
The problem of suboptimal control for parametrically and functionally uncertain, linear non-stationary object is solved. It is supposed that only scalar input and output of the object are available for measurement. The purpose of the control is sub - minimize the integral with an infinite top limit from square-law function, dependent on an output signal and a control signal. The received algorithm is simple, and does not require difficult analytical calculations of parameters of a control system. The serviceability of the received algorithms is illustrated on numerical examples.
Key words: robust suboptimal control, external disturbance, integrated criterion of quality, observer, non-stationary object.
