Робастное субоптимальное управление линейными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

Е. Р. Галяув, И. Б. Фуртат

РОБАСТНОЕ СУБОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Введение

Для управления параметрически и функционально неопределенными объектами предложено большое количество методов и подходов. В основной части работ, например [1, 2], целью управления является гарантия ограниченности всех сигналов в замкнутой системе и выполнение предельного целевого неравенства. Однако на практике, как правило, этого недостаточно. В реальных ситуациях необходимо, чтобы система управления дополнительно обеспечивала выполнение заданных показателей качества переходного процесса.

В настоящее время в классе задач субоптимального управления предложено достаточно большое количество решений. Так, в [3] рассматривается задача синтеза системы субоптималь-ного управления объектами, которые подвержены воздействию неизвестных внешних возмущений. Для управления такими объектами необходимо знание статистических характеристик возмущающих воздействий. В [4] рассматривается задача адаптивно-оптимального и субоптимального управления априорно и параметрически неопределенными объектами. В [5] для оптимального управления неопределенными объектами предлагается сигнал управления представить в виде суммы оптимального управления номинальным объектом и сигнала, с помощью которого осуществляется компенсация неопределенностей объекта. Наиболее распространенным из всех подходов оптимального управления неопределенными объектами является метод Н¥ -оптимизации [6]. Он заключается в разработке стабилизирующего устройства для систем, подверженных влиянию параметрических и функциональных неопределенностей, ограниченных в ¿1 или -норме. Целью управления является минимизация Н¥ -нормы передаточной функции замкнутой системы. В общем случае поиск таких регуляторов ведется по теореме Неванлинны - Пика. Основным недостатком предложенных подходов является высокий порядок регулятора, который к тому же может быть нереализуемым. Его реализуемость достигается заменой на другой регулятор, работающий подобно аналогу лишь в рабочей области частот.

Ниже рассматривается робастное субоптимальное управление линейным параметрически и функционально неопределенным объектом при условии, что измерению доступен вектор состояния объекта. Целью управления является минимизация интегрального критерия качества с бесконечной верхней границей с заданной погрешностью. Синтез системы оптимального управления основан на результатах [5]. Компенсация неопределенностей в объекте базируется на подходе, предложенном в [2]. Работоспособность предложенной схемы иллюстрируется численными примерами.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением в векторно-матричной форме:

х(?) = Ах(?) + £и(?) + Б/(?), (1)

где х(?)е Я" - вектор состояния; и(?)е Ят - вектор управляющего воздействия; /(?)е Я1 -

и 1 "X" П П "Х^^ "Х1

вектор внешнего возмущающего воздействия; А е Я , В е Я и ие Я - неизвестные числовые матрицы.

Предположения

1. Неизвестные постоянные коэффициенты матриц А , В и и зависят от некоторого вектора неизвестных параметров ^ ех , где х - известное ограниченное множество.

2. Пара (А, В) - управляема.

3. Выполнены условия структурного согласования: А = Ан + Внст , В = Внтг + Вн

и и = Внкт , где Ан е Я"Х", Вн е Я"Хт - произвольные номинальные матрицы, причем га^Вн = т,

с е Я", те ЯтХт , ке Ятх1 - вектор и матрицы неизвестных параметров соответственно.

4. Измерению доступны сигналы х(?) и и(?), но не их производные.

5. Известны начальные условия х(0) объекта (1).

6. Внешнее возмущение /(?) - ограниченная функция, недоступная измерению.

Согласно [5], для решения задачи субоптимального управления неопределенным объектом (1) функцию и(?) необходимо представить в виде суммы сигналов и0(?) и ик (?). Функция и0(?) необходима для минимизации целевого функционала качества, ик(?) компенсирует неопределенности объекта.

В связи с вышесказанным целью управления является синтез алгоритмической структуры управляющего устройства, обеспечивающей минимизацию критерия качества

3 = |[хг (?)Qx(t) + ит0 (?)Яи0(?)]а? (2)

0

~ "X" т-» т-» тхт

с некоторой погрешностью, где Qе Я и Яе Я - положительно определенные матрицы,

выбираемые разработчиком.

Метод решения

Принимая во внимание предположение 3, преобразуем уравнение (1) к виду

Х(?) = Анх(?) + Вни(?) + Внф(х, и, ?), (3)

где ф(х; и; ?) = стх(?) + тти(?) + кт/(?).

Выделим в (3) номинальный объект

х (?) = Ан х(?) + Вни(?) (4)

и решим для него задачу оптимального управления с минимизацией критерия качества (2). Согласно методу динамического программирования [7], для уравнения (4) оптимальный закон управления, минимизирующий (2), выберем в форме

и{)(?) = -К 0 х(?), (5)

где К0 = Я~1ВтН ; матрица Н = Нт > 0 является решением матричного уравнения Лурье -Риккати А^Н + НАн - НВнЯ-1втН = ^ .

Добавим и вычтем и0 (?) в уравнение (3) и перепишем его в виде

■х(?) = А0х(?) + В^ик (?) + Внф1 (х, и, ?). (6)

Здесь А0 = Ан - ВнК0; ф1(х, и, ?) = ф(х, и, ?) + К0х(?); ик (?) - сигнал, необходимый для

компенсации параметрических и функциональных неопределенностей.

Введем вспомогательный контур

(?) = А0 ху (?) + Вник (?), ху (0) = х(0), (7)

ху(?) е Я" - вектор состояния. Принимая во внимание формулы (6) и (7), составим уравнение рассогласования Х(?) = х(?) - ху (?):

X(?) = А0 Х(?) + Внф1(х, и, ?). (8)

Поскольку из предположения 3 га^Вн = т , то выделим в (8) подсистему

где Ат =

Хт (?) = Ат Х(?) + ВтФ1(Х, U, ?) , (9)

0 /т-Г

т-

; О" - последняя строка матрицы А0; матрица Вт составлена из ненулевых

строк матрицы Вн, т. е. га^Вт = га^Вн . Тогда из (9) функцию ф1(х, и, ?) можно определить как

Ф1(х, и, ?) = Вт1 (X т (?) - АтХ(?)). (10)

Для компенсации ф1(х, и, ?) сигнал управления и(?) зададим в виде

и(?) =-Вт1 (Xт (?) - Ат £(?)), (11)

где Xт (?) - оценка Xт (?), формирование которой показано ниже.

Поскольку х(?), а следовательно и Xт (?) недоступны измерению, то для оценки производной вектора ^т (?) зададим наблюдатель [8]:

1т,- (?) = ~Xт, (?) + -14т,- (?), * = 0, к, т . (12)

т т

Здесь Xш (?), Xш (?) - * -е компоненты векторов Xт (?) и Xт (?) соответственно; т> 0.

Уравнения (12) представляют собой реально-дифференцирующие звенья, т. е.

Л Р

Xш (?) =------Xш (?), где р = й / й - оператор дифференцирования.

тр+1

Учитывая (9) и (12), введем вектор ошибки оценки производной Xт (?), компоненты которого представлены в виде

Лт, (?) =X т, (?)-X т, (?) , * = 0 •••, т . (13)

Продифференцировав (13) по времени, получим уравнение его динамики

Лт, (?) = ~Лт, (?)-&&т, (?). (14)

т

Преобразуем уравнение (6) с учетом (11)-(14):

х(?) = А0х(?) + Вн (-Bf-1Xт (?) + В~т А^т (?) + В^т (?) - В^ AmXm (?)) = Лх(?) + ВиВ~т (Xт (?) - Xи (?)) . (15) В результате получим уравнение замкнутой системы

х(?) = Лх(?) - ВнВт1Лт (?X Лт (?) = Xт (?) - ^ (?); ху (?) = А) ху (?) + Вник (?);

ик (?) ^В,^т (?) - Ат X«; (16)

X т,(?) =-1 т,(?) + - ^ (?Х г' = 1, •••, m,

т т

где Л т |^э т1 X т1 ; X т2 X т2 ; * * *; X тт X тт \ .

Воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений. Тогда существует число т > 0 такое, что при т < т0 система управления (16) диссипативна и функционал качества (2) минимизируется с достаточно малой погрешностью.

Доказательство. Для доказательства утверждения воспользуемся следующей леммой.

Лемма [9]. Если система описывается уравнением х = /(х, т1; т2), хє Ят, где /(х, т1, т2) - непрерывная функция, липшицева по х, и при т2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности П1 = {х|Е(х) < с}, где Е(х) - положительно определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует т0 > 0 такое, что при т1 < т0 и т2 < т0 исходная система имеет ту же область диссипативности П1, если для некоторых чисел С1 и т при т2 = 0 выполнено условие

8ир

Ы <й

(' ЭЕ (х)х Т дх

/(х, |І1, 0)

< -С1 при Е(х) = С .

(17)

Для доказательства близости фазовых переменных первого уравнения (16) и (4) введем вектор отклонения е(?), равный разности векторов состояний первого уравнения (16) и (4),

при подаче на последнее оптимального управления и = и0 (?) :

Є(?) = 4,Є(0 - ВнВ/Лт (*), Мт / ^) = —Л ті (^) - ^Хт/ (t), г 1

(18)

т,

где т = т 2 = т.

Согласно лемме [9], рассмотрим (18) при т2 = 0 :

е(?) = А0е(?) - Вн ВтЛт (?);

^тг (?) = -Лт, (?), , 1 •••, т.

Последняя система асимптотически устойчива, т. к. матрица А0 - гурвицева. Следовательно, существует некоторая область П1, в которой переменные X т% (?), 7 = 1, *, т , ограничены: Xт{ (?)| <%,■. Очевидно, что условие (17) выполнено, если в качестве функции Е(х) взять функцию Ляпунова

1 1 т

V (Г) = 2 ЄТ (Ґ) N є(ґ) + - 2 Лт/ (():

/=1

где положительно определенная матрица N рассчитывается из уравнения

Ш0 + AoTN = —2р 1П .

(19)

(20)

I" - единичная матрица порядка " X " , р > 0 .

В соответствии с леммой существует т0 > 0 такое, что при т1 < т0 и т2 < т0 область П1 остается прежней. Однако при т2 Ф 0 система (18) не будет асимптотически устойчивой, а будет иметь некоторую область притяжения. Для определения этой области вычислим полную производную от функции (19) на траекториях системы (16), принимая во внимание матричное уравнение (20), при т1 = т 2 = т 0:

2 т 1 V(t) =—р|є(0| —еТ (0 NBnB-2Лm (0 — 2 ~Л2т/ (0 + Л ті (0 Хт/ (0

1=11 т 0

(21)

Воспользуемся оценками:

— ЄТ ^Вт1Лт (0 <ІЄ^)

NBH вт1

Лт (0| )|2 +02 2 Лт/ (0І'

і=1

• • і її.. і і і 1 і |2 2

■ Лт/^) Х т/^) < Лт/ (t) Хті ^) < Лт/ (t) Х/ < — Лт/ (0 + 0Хг

................................2т 01 '

где о2 =| |^н в-т1\\.

Подставив эти оценки в (21), получим

2 т ( 1 \ і2 т

V(t)<—(р—1)|e(t)|2 — 2|-—02 Лт/(О + 22т0Х?.

(22)

Если выбрать числа р и т0 из условий р> 1, т0 < 0,502, где 1 тах(N) - максимальное собственное число матрицы N, то в силу структуры функции Ляпунова (19) ее производную (22) можно переписать как

Здесь а 0 = 2тіп \

р — 1 .

1 тах ( N)’

V 2т 0

— 02

, а1 = —2 х,2.

Решим последнее неравенство:

V^) < е■aotV(0) + ]

а

Тогда limV(t) <^^^1. Значит, |e(t)| < \е aotV(0) + , а при t ®

а

а

|є(t)| < ІН°аї.

V а0

Таким образом, выбором числа т 0 можно добиться сколь угодно малого

отклонения фазовых переменных первого уравнения (16) и (4). Следовательно, функционал (2) с ограничениями вида (16) минимизируется с малой погрешностью, причем чем меньше значение т0, тем меньше данная погрешность.

Пример. Рассмотрим объект управления вида (1)

" 0 1 0" "0" "0"

х^) = 0 0 1 х^) + 0 ы($) + 0

«1 «2 «3 _ Ь й

/ (0.

(23)

Класс неопределенности х задан неравенствами: - 5 < а, < 5, , = 1, 3, 1 < Ь < 4, 1 < ё < 4, |/^)| < 5 . Предполагается, что доступны измерению сигналы х^), и($) и известны начальные

условия: х(0) = [1 1 1Г.

Цель управление - минимизация функционала качества (2) с Q = {1, 2, 3} и Я = 2 .

Выберем Ан =

" 0 1 0" "0"

0 0 1 и В н = 0

—1 -2 — 2 1

. Тогда номинальный объект управления (4)

описывается матричным дифференциальным уравнением

" 0 1 0 " "0"

х() = 0 0 1 х^) + 0

— 1 — 2 — 2 1

) .

Решением уравнения Лурье - Риккати А^Н + НАн — НВн Я 1В'^Н

(24)

-0 является матрица

0

1=1

1

2=1

оо

Н =

2,6921 2,4641 0,4495

2,4641 5,97 1,4641

0,4495 1,4641 1,2779

Зададим вспомогательный контур (7):

ху (і) = Ао ху (і) + [0 0 1]г ик (і), ху (0) = [1 1 1]г

г0Л и А_1 ик'

" 0 1 0 "

0 0 1

-1,2248 - 2,7321 - 2,6389 Составим уравнение рассогласования Х(і) = х(і) - ху (і) (8):

где А0 = Ан - Вн Я -1вн'н =

" 0 1 0 " "0"

Х(і) = 0 0 1 Х(і)+ 0

-1,2248 - 2,7321 - 2,6389 1

ф1(х, и, і) .

Так как гап§Вн = 1, то выделим в последнем матричном уравнении третью строку:

Х3(і) = [-1,2248 - 2,7321 - 2,6389]Х(і) + фД х, и, і).

Тогда фДх, и, і) = Х3(і)-[-1,2248 -2,7321 -2,6389]£(і).

Построим наблюдатель (12), где число т выберем равным 0,01. Тогда уравнение (11) определится в виде

ик (і) = [-1,2248 - 2,7321 - 2,6389]Х(і) -£3(і).

На рисунке приведен переходный процесс по х(і), когда параметры в (23): а1 = 1, а1 = 2 ,

= 3, Ь = 2, ё = 3, / (і) = 1 + 8ш і + 8Іп (2і + р 6).

х(і)

Анализ результатов моделирования показывает, что для объекта (23) значение интегрального критерия качества (2) составляет / = 8,6954. Если бы объект управления описывался уравнением номинальной модели (24), то значение интегрального критерия составило бы / = 8,7502. Очевидно, что погрешность минимизации интегрального критерия качества мала. Результаты моделирования показали: с уменьшением значения числа т данная погрешность также уменьшается, что подтверждает результаты аналитических выводов.

а

Заключение

В работе предложен подход робастного субоптимального управления параметрически и функционально неопределенным линейным объектом при условии измерения его вектора состояния. Целью системы управления является минимизация интегрального критерия качества (2) с некоторой погрешностью. Идея формирования управляющего системы оптимального управления базируется на [5]. Компенсация параметрической и функциональной неопределенностей основана на подходе [2]. Результаты численного моделирования подтвердили аналитические выводы работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

2. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

3. Сиван Р., КвакернаакХ. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Мир, 1977. - 653 с.

4. Тертычный-Даури В. Ю. Адаптивная механика. - М.: Факториал Пресс, 2003. - 464 с.

5. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. -Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.

6. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

7. Методы классической и современной теории автоматического управления. Теория оптимизации ав-

томатического управления / под ред. К. А. Пупкова и Н. Д. Егупова. - М.: Изд-тво МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - Т. 4. - 744 с.

8. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления нестационарным линейным объектом с компенсацией возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С. 33-40.

9. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 12.12.2008

ROBUST SUBOPTIMAL CONTROL OF LINEAR OBJECTS

E. R. Galyauv, I. B. Furtat

The approach to robust suboptimal control of linear objects with measured state vector is offered in the paper. The integrated criterion of quality with infinite top border is considered. The purpose of the paper is to choose a control system minimizing the given criterion of quality with some error. The results of numerical modeling confirming the analytical results of the paper are also given there.

Key words: robust suboptimal control, state vector, integrated criterion of quality, linear object.