Решение обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагруженности стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.2 ББК В232

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ СТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ И

НАГРУЖЕННОСТИ СТЕРЖНЯ.

Нафикова Э.Р/

Работа посвящена решению обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагруженности стержня по прогибам в нескольких точках.

Показано, что краевые условия, характерные закреплению стержня и коэффициенты полинома степени п, характеризующего погруженность стержня, восстанавливаются однозначно по значениям прогибов в (п+5) различных его точках

1. Введение. Работа посвящена решению обратной статической задачи диагностирования закрепления и нагруженности стержня постоянного сечения по прогибам в нескольких точках.

Суть задачи состоит в следующем: Пусть закрепление стержня на обоих концах неизвестно (концы стержня недоступны для визуального осмотра) и неизвестна интенсивность распределенной нагрузки q(z)=q0‘f4iz+42z24'---+QnZn. Известны длина стержня, прогибы стержня в нескольких его точках. Требуется определить вид и параметры закрепления стержня на обоих его концах, а так же интенсивность распределенной нагрузки q(z)=q0+qiz+q2z2+.. .+qnzn.

В настоящей статье показана однозначная разрешимость этой задачи по значениям прогибов у* в (п+-5) точках. Найден метод её решения.

Ранее решалась только задача диагностирования закрепления стержня по прогибам в четырех точках при q=l [1], а задача диагностирования закрепления и нагруженности стержня поставлена впервые.

2. Математическая постановка обратной задачи в случае стержня постоянного сечения с нормированными краевыми условиями. Дифференциальное уравнение упругой линии стержня постоянного сечения имеет вид [2]:

d*y q

(I)

dzA EJ ’

где q=q(z)=qo+qiZ+q2Z2+...+q„zn - полином, выражающий интенсивность распределенной нагрузки, Е - модуль упругости Юнга, a J - момент инерции относительно оси изгиба.

Заметим, что краевые условия задачи (1) могут быть представлены в следующей нормированной форме [3]:

± cos (р . L ,у + sin <р (L i у = 0 , (2)

где <pi - некоторый угол из сегмента [0, я/2], L^y, М,у - линейно однородные формы от значений прогибов и их производные на краях (или на границе). Представление (2) позволяет найти углы ф| по функции прогиба у с помощью следующей формулы:

L у

tS(Pi=±T7~> (3) <

М'У

Нахождение углов из сегмента [0, я/2] равносильно нахождению вида закрепления и коэффициентов жесткости пружинок при упругом закреплении.

Используем (2) для постановки обратной задачи в случае стержня постоянного сечения.

В терминах нормированных краевых условий (3) обратная статическая задача может быть сформулирована следующим образом:

Найти углы (p, (i= 1,2,3,4) и интенсивность распределенной нагрузки q(z) из (2), если известны значения прогибов стержня у (x/J в (п+5) точках хк (к-1,2,...,п+5).

3. Метод решения обратной задачи.

1 . Найдем функцию прогиба у (z).

Функция прогиба стержня y(z) должна удовлетворять у^&внению:

d4y q

-■ т = • (4)

dz EJ

Общим решением неоднородного уравнения (4) является функция:

Нафикова Эльвира Рамилевна - аспирант первого года обучения кафедры дифференциальные уравнения БашГУ

У{г) =

£/

4 .5 ,3 2

г г г „ г г

а0-----------V (] | + ... + С/ + С. + С і + С - 2 + С 4

0 4! 5! (и + 4)! ' 3! 3 2!

(5)

где С, (7 = 1, 2, 3, 4)— неизвестные произвольные константы, qo, Чь я?, ■ Чп - неизвестные коэффициенты полинома интенсивности распределенной нагрузки.

Если известны прогибы у(2]) в (п+5) различных точках:

0<г,<22<...<211+5<-1, то функция прогибау(г) однозначно определяется из (5). Действительно, из (5) следует:

4 5 п+4 3 2

К1 .у(г ) = д £»_+, £*-+... + 9,—-^ + С,~% + С2 —+С,гА +С4-(б)

4! 5! (и+ 4)! 3! 2!

Определителем системы (п+5) уравнений (6) от (п+5) неизвестных С, 0 = 1, 2, 3, 4), (рО, 1,..., п) является следующий определитель:

г,'"4 *? І

(и+4)! (и+3)! 3! 2!

г?4 4? 4

(и+4)! (п+3)! У. 2!

1 _Ж-3 п+5 ■ т5 " І 4

(«+4)! (я+3)! э. 2!

ь/н-5

1

Обозначим его через Д. Так как определитель А при различных отличен от нуля, то система (п+5) уравнений (6) имеет единственное решение, которое найдем, применяя правило Крамера. По правилу Крамера решение будет выглядеть следующим образом:

Як

А

(к=0, I,... ,п),

С, =

0=1, 2, 3,4),

где

Д = N

п+3

г, 2,

'1

_и+4

_п+3

п н4 пI3

5 гл+5

■'п+5 ^и+5

п+5

1 ! 1

1 I

1

(и+ 4)! 2!

•1,

Ат-Е^

_п>4

п+4

*2 2

_п+4 л+3

гп+5 2ж5

... ><2,) -

- Х^5)

"гн- 5

(определитель, отличающийся от определителя Д тем, что в нем вместо (п+1- к) столбца стоит столбец свободных членов, составленный из у(^));

) г, 1

) *2 1

5) 2гч$ 1

(определитель, отличающийся от определителя Л тем, что в нем вместо (п-Н+1) столбца стоит столбец свободных членов, составленный из у(г,)).

Поэтому система (п+5) уравнений (б) имеет единственное решение, подставив которое в (5), получим функцию прогиба у

'и г* Л«, г.5 г"*4 Л с, г3 дг ,

Л*-----+ —1!------ + ... + —I*----------------------------------------+ -!-+ ... + -±

А 4! А 5! Л (п + 4)! Д 3! Д

У(г) =

EJ

ДС,

= N-E-J

/н-4 л+З

2)

л+4 W+3

2 2

м+4 • • • *"+3

'п+5

У(г,

У(г2

'п+5

'/н5

y(z

п+

Таким образом, ц(г) и неизвестные константы С; (\ = 1, 2, 3, 4). Но осталось найти неизвестные краевые условия, то есть углы ф|, их можно найти по найденной функции прогиба у(г).

2. Подставив найденную функцию в (2),найдем ф| 0 = 1,2,3,4):

( Ж. V

М2у

= -

tg(p, =

\

*W2=о Ь,ул

M*yL

/ 1 Л L2y

\

У 2=0

ЧаУК

/г=1

Неизвестные углы ф|, а значит и краевые условия найдены. Таким образом, поставленная нами обратная задача решена. Из приведенных выше рассуждений следует, что краевые условия и коэффициенты полинома восстанавливаются однозначно по значениям прогибов, причем для восстановления четырех краевых условий и (п+1) коэффициента полинома, выражающего интенсивность распределенной нагрузки, достаточно взять (п+5) значений прогибов стержня в различных его точках.

ЛИТЕРАТУРА

I

1.Ахтямов А.М.//Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ».

http://zliurnal.ape.relam.ni/article.s/2Q03/049.pdf

2.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: перевод с англ.- М.: Мир, 1985 - 590

с.

3. Ахтямов А.М. Математическое моделирование и численное исследование в диагностике закреплений и нагруженности механических систем. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. 345 с.

Поступила в редакцию 02.03.05 г.