CC BY
27
НЬ Hh ^
Устойчивость стержней
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА
СТЕРЖНЯ
А.М. АХТЯМОВ*, д-р ф.-м..н., профессор, М.А. ЗАХАРОВА**, старший преподаватель * Институт механики Уфимского научного центра РАН, ** Уфимский нефтяной технический университет
450054, г. Уфа, пр. Октября, 71, ИМех УНЦ РАН; [email protected]
Найдены формулы идентификации интенсивности постоянной поперечной распределенной нагрузки и упругих закреплений стержня по пяти значениям его смещений. Приведен соответствующий пример.
Ключевые слова: обратная задача, идентификация краевых условий и интенсивности поперечной нагрузки, продольно-поперечный изгиб стержня
Современным проблемам продольно-поперечного изгиба стержней, балок и колон посвящено большое число работ (см., например, [1-5]). В настоящей работе для классической проблемы продольно-поперечного изгиба стержня [6-12] рассматривается обратная задача: найти общие краевые условия упругого закрепления стержня и интенсивность поперечной распределенной нагрузки по значениям прогибов стержня в пяти точках. Для поперечного изгиба стержня и
графа из стержней соответствующая задача решена в [13-15]. Для продольно-поперечного изгиба эта обратная задача ранее не ставилась.
Как известно, если начального смещения нет, то продольно-поперечный изгиб стержня описывается уравнением [10, с. 230]
d4y N d2 y q
—7- +---^r = -L-, (1)
dz4 EJ dz2 EJ где y = y(z) - упругое смещение стержня, N > 0 - продольное усилие, q -интенсивность поперечной распределенной нагрузки, E - модуль упругости Юнга, J - момент инерции относительно оси X (ось Z считаем направленной вдоль стержня, оси X и Y перпендикулярны оси Z ). На протяжении всей статьи считаем, что N, q , E , J являются константами.
Общие краевые условия в случае упругих закреплений записываются в виде [10, с. 230]:
EJ y т(0) + N y'(0) + к, y(0) = 0, EJ y"(0) - к2 y '(0) = 0, (2)
EJ y m (í) + Ny' (í)-кз y(í) = 0, EJ y'' (f )+ к 4 y' (f )= 0, (3)
где kj, к2, k3, к4 - коэффициенты жесткости пружин.
Цель настоящей статьи: решить задачу, обратную к (1)-(3): Найти к1, к2, к3, к4,q, с помощью смещений стержня y(zi) в пяти точках zi (i = 1; 5).
Решение этой обратной задачи, также как и в [13,14], проводится в два этапа. На первом этапе находится q , а на втором - ki; i = 1; 4 .
Решение уравнения (1) известно [10, с. 230]:
y = C1 + C2z + C3 sin kz + C4 cos kz + y *, (4)
где y* = qz2/(2N) - частное решение уравнения (1), C1, C2, C3, C4 - числовые константы, к = V N/ (EJ) .
Подставив значения смещений y(zi) в точках zi (i = 1; 5) в (4), получим
систему пяти уравнений с пятью неизвестными C1, C2, C3, C4 и q
2
Í \ qz —
y(zi) = C1 + C2zi + C3 sin kzi + C4 cos kzi + ; i = 1; 5 . (5)
Решение системы (5) легко находится по формулам Крамера. С помощью найденных C1, C2, C3, C4, q и (4) можно записать решение уравнения (1) в любой точке отрезка [0; í]. Подставив полученное решение y(x) в краевые условия (2)-(3), получим систему относительно коэффициентов ki; i = 1; 4 .
Решение этой системы определяет коэффициенты жесткости ki : = - EJy - (0)-Ny' (0) = EJy• (0)
k =-y(0)-• k ^"Я^Г • <6)
= EJy ' (f) + Ny ' (f) =- EJy • (100) (7)
k3 = y(f) • k4 = y' (100) . (7)
П р и м е р. Рассмотрим стержень длиной 4 м и квадратным сечением со стороной 0,1 м, Е = 2 -1010 кг/м2; N = 10 кг; у (0,5) = 0,0272734, у(1) = 0,031819, у(2) = 0,040910, у(з)= 0,050001, у(3,5) = 0,054546. Найдем для
этого стержня соответствующие краевые условия и нагрузку q. Из системы (5) получаем С1 =-83,665641, С2 =-0,002324, С3 = 1,473794, С4 = 83,688369; q = 0,050214. Откуда y(z) = -83,665641-0,002324 • z + 0,002511 • z2 + +1,473794 • sin(0,007746z) + 83,688369cos(0,007746z). Подставив это y(z)в (6) и (7), получим (J = 0,14 /12 = 8,333-10-5м4): kx = 1,022527, k2 = 1,793911, k3 = 3,005727, k4 = 4,244533. Заметим, что упругие смещения стержня в пяти точках были выбраны как решения прямой задачи отыскания упругих смещений по известным kx = 1кг/м, k2 = 2 кг м, k3 = 3 кг/м, k4 = 4 кгм, q = 0,05 кг.
Таким образом, решение поставленной обратной задачи находится с помощью формул Крамера для (5) и формул (6),(7). Эти формулы позволяют диагностировать интенсивности поперечных нагрузок и надежность закрепления балок по значениям их прогибов в доступных для осмотра местах. А значит, они помогают оценить опасность обрушения строительной конструкции.
Авторы выражают признательность М.А. Ильгамову за полезные советы при обсуждении статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и АН Республики Башкортостан (проекты 11-01-00293-а, 11-01-97002-р_поволжье_а).
Л и т е р а т у р а
1. Анфилофьев А.В. Теории «малых» и «больших» искривлений стержней в общем аналитическом представлении // Известия Томского политехнического университета. 2007. Т. 310. № 2. С. 55-59.
2. Астапов Н.С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37. № 4. С. 135-138.
3. Богданович А.У. Метод структурно-пластических ослаблений при расчётах сжатых стержней на устойчивость // Известия КГАСУ, 2006, №2(6), С. 34-37.
4. Гениев Г.А., Колчунов В.И., Клюева Н.В. и др. Прочность и деформативность железобетонных конструкций при запроектных воздействиях. - М.: Изд-во АСВ, 2004.
5. Еремин А.А., Санжаровский Р.С., Бондаренко В.М. К вопросу оценки несущей способности железобетонных колонн // Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2009. № 1-21. С. 19-21.
6. Волъмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967, 984 с.
7. ДинникА.Н. Продольный изгиб. - М.;Л.: ГОНТИ, 1939.
8. Крылов А.Н. О формах равновесия сжатых стоек при продольном изгибе / Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
9. Николаи Е.Л. О работах Эйлера по теории продольного изгиба // Труды по механике. - М.: Гостехтеоретиздат, 1955.
10. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1.
11. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. Пер. с англ. - М.: Гостехиздат, 1957. 536 с.
12. Якупов Н.М. Леонард Эйлер - один из основателей строительной механики (К 300-летию со дня рождения) // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2007. Т. 7. № 1. С. 52-55.
13. Ахтямов А. М. К решению обратной статической задачи// Эл. журнал ''Исследовано в России'', 49, c. 567--573, 2003: ttp://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf
14. Ахтямов А.М., Нафикова Э.Р. Восстановление краевых условий и функций нагрузки // Контроль. Диагностика. 2007. № 9. С.50-52.
15. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М.: Физматлит. 2009. - 272 с.
THE INVERSE PROBLEM FOR LONGITUDINAL-AND-TRANSVERSAL
BENDING OF BAR
Akhtyamov A.M., Zakharova M.A.
