CC BY
43
УДК 534.113
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ НА СТЕРЖНЕ
А.М. Ахтямов, А.Р. Аюпова
Рассмотрена возможность применения акустического метода свободных колебаний к диагностике стержней с сосредоточенными массами. Сопоставлены результаты расчетов частот колебаний нагруженных и ненагруженных стержней, полученных с помощью предложенной модели и модели других авторов.
Ключевые слова: неразрушающий контроль, акустическое диагностирование, собственные частоты, стержень, сосредоточенные массы.
ВВЕДЕНИЕ
Большая часть исследовательских работ, выполненных в области акустической диагностики, посвящена восстановлению коэффициентов жесткости, размеров трещин и полостей, так как частотные данные широко используют как диагностический инструмент для обнаружения возможных повреждений, которые могли возникнуть в системе в период эксплуатации [1—7]. Также достаточно детально рассмотрены вопросы выявления распределения сил инерции сложных структурных систем [8]. Подобные задачи встречаются при изучении динамического поведения роторов турбинных и шахтовых машин.
Неизвестные изменения значений сосредоточенных масс, такие как нехватка однородности в материальной плотности из-за производственных процессов для металлических изделий или же наоборот, налипание инородных предметов и частиц, встречаются во многих важных практических случаях. Поэтому определению значений сосредоточенных масс на балке или стержне с помощью акустических методов должно уделяться столь же пристальное внимание, как диагностированию трещин и других видов повреждений.
Одним из главных принципов при решении задач идентификации посредством частотных данных является своевременная проверка точности предложенной аналитической модели структуры. Эта проверка проводится сопоставлением экспериментально полученных собственных частот с частотами, полученными с помощью этой модели. Описания математической модели нагруженной механической системы и метод идентификации были даны ранее в [9—11].
ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ БАЛКИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ
Здесь рассмотрим модель стержня с одной сосредоточенной массой. Пусть балка массой m длиной l нагружена сосредоточенной массой mc. Масса располагается от левого конца балки на расстоянии xc (рис. 1), в результате балка делится на 2 участка: 0 < x < x xc < x < L.
Изгибные колебания балки с постоянной изгибной жесткостью описываются следующим уравнением:
8x 8t2
где u(x, t) — прогиб текущей оси стержня; E — модуль упругости (модуль Юнга), кг/см2; J — момент инерции поперечного сечения стержня относитель-
Азамат Мухтарович Ахтямов, доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института механики Уфимского научного центра РАН. E-mail: [email protected]
Айгуль Рафисовна Аюпова, ассистент кафедры математического моделирования Нефте-камского филиала БашГУ Тел. 8-917-43-83-663, 8(34783)6-80-52. E-mail: [email protected]
но нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, см4; р_
плотность стержня, кг/см3; ^ — площадь поперечного сечения стержня, см2.
У1 У2
// 77, с
/777
Рис. 1. Шарнирно-опертая балка с сосредоточенной массой.
Построение метода продолжим для шарнирно-опертого стержня, хотя модель применима и для систем с другими видами закреплений.
Задача об изгибных колебаниях стержня длины Ь с шарнирно-опертыми концами заменой и(х, = у(х)со8га^ сводится к следующей спектральной задаче:
У(4)(х) = Х4у(х); (1)
у(0) = 0, у" (0) = 0, у(Ь) = 0, у" (Ь) = 0,
(2)
где X4 = рЕа2/Е_; а — частотный параметр, Гц.
Условия сопряжения для участков балки с сосредоточенной массой хорошо известны и записываются в следующем виде [12]:
У№ = Уг(х), У[(х) = УЮ, (ЫуКХ)) = (Е1у2(хс))\
(Е_у!' '(хс)) = (Е_у2 ' \х\) - тса2у(х\
(3)
где т— сосредоточенная масса, кг, хс — абсцисса поперечного сечения местоположения массы на стержне, м.
Нетривиальные решения у1(х),у2(хс) уравнения (1) левее и правее каждой сосредоточенной массы записываются следующим образом:
Уг(х) = С. ^(Х, х) + С.2г2(Х, х) + С.^3(Х, х) + С.^4(Х, х), где 7 = 1, 2,
здесь zi(X, х) являются линейно-независимыми решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям:
Г0 при ] Ф г
2(г-1)(0, X) = \ Р J ], г = 1, 2, 3, 4, [1 при ] Ф г
которые образуют фундаментальную систему Коши и выражаются через функции Крылова.
Константы С (I = 1, 2;] = 1, 2, 3, 4) являются решениями системы алгебраических уравнений (2), (3). Нули определителя Л(Х) этой системы и являются собственными значениями краевой задачи (1)—(3). После раскрытия данного определителя получим следующее уравнение:
Е_ 2
а
т1 ( сЬ (ХЬ) 8т (ХЬ) • (1 - сЬ (Ххс )22 + со8 (ХЬ) (ХЬ) • (1 - со8 (Ххс )21
т
с
+ 81П
1П (XI) (XX) ■
(2Xx£,) 81п (2Ххс)
Л ^
2EJX3 81П (XX) (XX)
/ /
(тга2Х) = 0, где X :
тю
Ю
Следовательно, из частотного уравнения при известных параметрах системы, имеющей колебания, можно определять значения собственных частот колебания балки с сосредоточенными массами.
Рассмотрим теперь обратную зависимость — зависимость значения масс, сосредоточенной на балке от собственных частот колебаний балки, соответствующих определенным параметрам системы, поставим к прямой задаче (1)—(13) обратную.
ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Известны собственные частоты ак (к = 1...и) задачи (1)—(3) и такие параметры, как, жесткость на изгиб EJ, погонная масса стержня т, местоположения масс х. и длина балки Ь. Требуется восстановить массы т. (7 = 1...и). Данную обратную задачу можно решить с помощью системы
ЛК) = 0, (к = 1...И) (4)
нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных т. (7 = 1...и). '
Неизвестными в этой задаче могут выступать и другие параметры системы, например, масса самого стержня, которую можно восстановить, зная первую собственную частоту колебаний стержня. С помощью системы (4), могут быть восстановлены неизвестные местоположения сосредоточенной массы на стержне.
Далее результаты решения обратных задач идентификации точечных масс и их местоположений с помощью экспериментальных данных сравним с результатами подобной модели, которая была представлена в работе зарубежных авторов Морасси и Дилена [13].
ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ДИАГНОСТИРОВАНИИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХ МЕТОДОВ
Согласно методу авторов Морасси и Дилена вся процедура диагностирования, как самих значений точечных масс, так и их местоположений, основывается на знании изменений, вызванных в паре собственных частот. Определение этих изменений требует знания частот колебаний невозмущенного стержня. Данное условие ограничивает область применения данной модели в связи с тем, что данная информация по ненагруженному стержню может быть не всегда известной. К тому же для определения одной точечной массы требуются две собственные частоты, а не одна, как в предлагаемой нами модели. Необходимо отметить, что метод Морасси и Дилена применим лишь для систем с одной или двумя сосредоточенными массами. Хотя на практике встречаются системы с различным числом составных частей.
Экспериментальная модель состоит из стального стержня с твердым прямоугольным поперечным сечением 0,08x0,01 м и длиной Ь = 1,19 м с опорой на двух концах. Масса единицы длины стержня составляет т = 6,291 кг/м, а изгибная жесткость равна Ы = 1424,55 Нм2. Образец был нагружен одной массой. В первой части эксперимента была приложена одна
точечная масса различной величины т = 0,127 кг, т = 0,262 кг на различные участки на расстоянии х11 = 0,14 м, х12 = 0,34 м, х13 = 0,54 м от левого конца. Массы были прикреплены на поверхность стержня посредством тонкого слоя пластыря.
Используя импульсный метод, были определены первые шесть собственных частот невозмущенного стержня и стержня с нагруженной массой. Возбуждение было введено в месте, расположенном на расстоянии 0,49 м от правой опоры посредством силы импульса молотка РСВ 086В03 (рис. 2). Сигналы вибрации были пойманы динамическим анализатором РСВ 303А03 и затем произведен частотный анализ для измерения соответствующей частотной характеристики.
Piezoelectric
Рис. 2. Экспериментальная модель.
В модели Морасси и Дилена рассмотрена задача с подобными же краевыми условиями для шарнирно-опертого стержня и условиями сопряжения для сечения, где приложена масса. Согласно этой модели, при выполнении
ь _
условия тс = |р(х), изменение собственного значения \к (где \к =ю2, чер-0
той обозначены собственные частоты и собственные значения задачи для нагруженного стержня, без черты — для ненагруженного стержня) будет получено из
Svк = Vк - Vк = -ШсVк (к (X ) )2 ,
где xc — местоположение массы mc; ук(х), — нормированная собственная функция задачи для ненагруженного стержня; n = 1, 2.... Далее вводится пе-
5V
ременная Ск = - --к—, где к > 1, при положительном значении которой,
(2/ PL К
( 2кKXc)
значение mc и переменную X = cos I ——— I местоположения хс определяет
пара {Ск, С2к}, где к > 1.
Для однозначного определения массы и местоположения, необходимо знать такие же Ск для стержня с другими закреплениями. В частности, выведены формулы:
тс = С/-5 + С/1-51;
Х= -1
(- 5/С
51 - 51 к
где Ск5-5 — есть число Ск для шарнирно-опертого стержня; Ск51-51 — для стержня с подвижными концами (у'(х) = у'' '(х) = 0 при х = Ь их = 0) при сохранении обычных значений символов. Данные выражения действительны, если С®-51 > 0, иначе X = -1.
Для качественного сравнения двух методов рассмотрим результаты решения прямой и обратной задач определения значения массы и ее местоположения.
В табл. 1—3 представлены значения первых двух собственных частот: экспериментально измеренных, полученных из предложенной аналитической модели и модели Морасси.
Таблица 1
Экспериментальные и аналитические частоты для стержня с точечной массой, расположенной в поперечном сечении с абсциссой х = 0,14 м. Значения частот в Гц
Ненагруженный т = 0,127 кг с ' т = 0,262 кг с
к эксперимент модель Морасси предложенная модель эксперимент модель Морасси предложенная модель эксперимент модель Морасси предложенная модель
1 16,69 16,69 16,69 16,65 16,66 16,65 16,61 16,62 16,61
2 66,49 66,77 66,77 65,98 66,26 66,25 65,43 65,72 65,70
Таблица 2
Экспериментальные и аналитические частоты для стержня с точечной массой, расположенной в поперечном сечении с абсциссой хс = 0,34 м. Значения частот в Гц
Ненагруженный т = 0,127 кг с т = 0,262 кг с
к эксперимент модель Морасси предложенная модель эксперимент модель Морасси предложенная модель эксперимент модель Морасси предложенная модель
1 16,69 16,69 16,69 16,51 16,51 16,50 16,34 16,33 16,33
2 66,49 66,77 66,77 65,47 65,68 65,68 64,45 64,67 64,67
Таблица 3
Экспериментальные и аналитические частоты для стержня с точечной массой, расположенной в поперечном сечении с абсциссой хс = 0,54 м. Значения частот в Гц
т = 0,127 кг с т = 0,262 кг с
к эксперимент Модель Морасси и Дилена предложенная модель эксперимент Модель Морасси и Дилена Предложенная модель
1 16,40 16,42 16,42 16,14 16,15 16,15
2 66,40 66,67 66,66 66,28 66,58 66,55
Как видно из таблиц, результаты обеих моделей или совпадают, или достаточно близки, что подтверждает правильность метода и хорошее согласование с известными результатами.
В табл. 4—6 показаны решения обратной задачи идентификации значения т .
с
Для определения неизвестной массы используем экспериментально определенные значения собственных частот из соответствующих табл. 1—3 при тех же параметрах системы.
Таблица 4
Определение величины точечной массы тс с помощью предложенной модели и модели Морасси. Вычисления проведены для точечной массы, расположенной в точке х = 0,14 Значения масс в кг
с
т = 0,127 кг с ' т = 0,262 кг с
к модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность
1 0,109 14,2 % 0,14 13,4 % 0,213 18,7 % 0,282 7,6 %
Таблица 5
Определение величины точечной массы тс с помощью предложенной модели и модели Морасси. Вычисления проведены для точечной массы, расположенной в точке
х = 0,34 Значения масс в кг
с
к т = 0,127 кг с ' т = 0,262 кг с '
модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность
1 0,123 3,1 % 0,124 2,4 % 0,241 8,0 % 0,253 3,4 %
Таблица 6
Определение величины точечной массы тс с помощью предложенной модели и модели Морасси. Вычисления проведены для точечной массы, расположенной в точке
х = 0,54. Значения масс в кг
с
т = 0,127 кг с 7 т = 0,262 кг с
к модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность модель Морасси погрешность предложенная модель погрешность
1 0,109 14,4 % 0,124 2,4 % 0,213 18,7 % 0,253 3,4 %
Учтем первую собственную частоту ю = 16,65 Гц для случая стержня, нагруженного массой в поперечном сечении хс = 0,14 м. Подставив все известные параметры системы, запишем определитель Д(т ) (4):
1
0 0 0 1
0,02 0,47 9640,6 + +10952,8т.
0 0 0 0 0,14 1
0,02 674,8+ +1532,4т.
0 1
0 0 0,01 0,14 1
31,5+ +107,3т.
0 0 0 0
0,0004 0,01 0,14 1425,6 + +5т.
0 0 5,27 43,61 -1,0004 -0,02 -0,47
0 0 2,18 15,15 -0,14 -1 -0,02
0 0 0,31 2,18 -0,01 -0,0004 -0,14 -0,01 -1 -0,14
0 0
0,9 5,27
-9640,6 -674,8 -31,5 -1425,6
= 0.
Уравнение для нахождения тс тогда будет
292,44тс - 74,26 = 0, откуда тс = 0,144 кг.
Согласно табл. 1 данной собственной частоте ю = 16,65 Гц соответствует нагруженная масса тс = 0,127 кг. Погрешность составила 10 %. Решим остальные задачи идентификации вышеописанным методом.
Результаты идентификации местоположений хс = 0,14 и хс = 0,34 получены в табл. 7,8 соответственно.
Таблица 7
Определение расположения х точечной массы тс с помощью предложенной модели и модели Морасси. Действительное положение массы: хс = 0,14 м
т = 0,127 кг с т = 0,262 кг с
к Модель Морасси, м Погрешность Предложенная модель, м Погрешность Модель Морасси, м Погрешность Предложенная модель, м Погрешность
1 0,154 10 % 0,148 5,7 % 0,159 13,6 % 0,144 2,9 %
Таблица 8
Определение расположения х1 точечной массы т1 с помощью предложенной модели и модели Морасси. Действительное положение массы: х1 = 0,34 м
т= с 0,127 кг т = 0,262 кг с
к модель Морасси, м погрешность предложенная модель, м погрешность модель Морасси, м погрешность предложенная модель, м погреш ность
1 0,344 1,2 % 0,334 2 % 0,342 1,2 % 0,332 2 %
Аналитические результаты хорошо сходятся с экспериментальными данными для стального стержня. Как видно из таблиц результаты предложенной модели с первой частотой оказываются точнее результатов Морасси и Дилена. Отклонения от точных массовых параметров незначительны и составляют 2,4—13,4 % от реальной массы. Для параметров местоположения отклонения составили 1,2—5,7 %. Такие отклонения допустимы при решении практических задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математические модели для диагностирования нагруженности систем являются новыми не только по методам решения, но и по постановке. С помощью предложенного метода решаются обратные задачи идентификации величин п сосредоточенных масс или их местоположений по п собственным частотам. Так как изменения значений сосредоточенных масс могут говорить об изношенности деталей или налипании инородных предметов, что также может привести к поломке конструкции, то найденные формулы могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей разборки, тем самым, повысив эффективность эксплуатации объекта.
Полученные аналитические результаты совпадают с результатми зарубежных авторов Морасси и Дилена в том числе с полученными с помощью эксперимента.
Работа выполнена при финансовой поддержке Президента РФ, РФФИ, АН Республики Башкортостан, Министерства образования и науки Республики Казахстан (проекты НШ 6406.2012.1, 11-01-00293-а, 11-01-97002-р_ поволжье_а, 2989/ГФ3 МОН РН).
1. Ахтямов А . МАюпова А . Р. Определение полости в стержне методом отрицательной массы.— Дефектоскопия. 2010, № 5, с. 29—33.
2. Ахтямов А . М., Урманчеев С . Ф . Определение параметров твердого тела, прикрепленного к одному из концов балки, по собственным частотам колебаний.— Сибирский журн индустриальной математики, 2008, т. XI, № 4, с. 19—24.
3. Ахтямов А . М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения.— М.: Физматлит, 2009.— 272 с.
4. Ильгамов М. А . Диагностика повреждений вертикальной штанги.— Труды Института механики Уфимского научного центра РАН, вып. 5. Под ред. М.А. Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, С.В. Хабирова.— Уфа: Гилем, 2007, с. 201—211.
5. Ильгамов М. А ., Хакимов А . Г. Диагностика повреждений вертикальной штанги.— Труды Института механики Уфимского научного центра РАН, вып. 5. Под ред. М.А. Ильгамова, С.Ф. Урманчеева, С.В. Хабирова.— Уфа: Гилем, 2007, с. 212—220.
6. Ильгамов М. А ., Хакимов А . Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом.— Дефектоскопия, 2009, № 6, с. 83—89.
7. Гладвелл Г. М. Л. Обратные задачи теории колебаний. М.— Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2008.— 608 с.
8. Chen J.C and Garba J.A. Analitical model improvement using model test results.—AIAA Journal, 1980, 18(6), р. 684—690.
9. Ахтямов А . М, Аюпова А . Р. Диагностирование двух масс, сосредоточенных на балке.— Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, 2010, № 1, с. 42—44.
10. Ахтямов А . М, Аюпова А . Р. О решении обратной задачи восстановления сосредоточенных масс по собственным частотам изгибных колебаний.— Электронный журнал "Техническая акустика", http://ejta.org, 2009, 12.
11. Закирьянова А . Р. Диагностирование величины трех сосредоточенных масс по собственным частотам.— Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005, т. 12, вып. 4, с. 962—963.
12. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, т. 3. Под. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968.— 294 с.
13. Morassi A., Dilena M. On point mass identification in rods and beams from minimal frequency measurements.— Inverse Problems in Engineering, 2002, v. 10, No. 3, p. 183— 201.
Институт механики Уфимского научного центра РАН Нефтекамский филиал БашГУ
Поступила в в редакцию 12 ноября 2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
