CC BY
30ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2013. № 2 (38)
Добыча, транспорт и переработка нефти и газа
УДК 681.5
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ТРУБОПРОВОДНОГО ТРАНСПОРТА НЕФТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
А.А. Афиногентов, Ю.А. Тычинина
Самарский государственный технический университет 443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Математическая модель процесса трубопроводного транспорта нефти представлена в виде линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с однородными граничными условиями второго рода, для которого получено решение методом Фурье (разделения переменных).
Ключевые слова: математическое моделирование, объект с распределенными параметрами, краевая задача, трубопроводный транспорт нефти и нефтепродуктов.
Введение
Для решения широкого круга задач моделирования и оптимального управления процессами трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов применяются различные методы, в том числе численные. Однако аналитические методы получения решений для линейных модификаций математических моделей имеют свои преимущества, в частности для нахождения аналитических представлений оптимальных управлений, получаемых методами, основанными на принципе максимума Понтря-гина.
В статье проведена линеаризация краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта жидких углеводородов, предложенной в работах [1-2], и получено ее аналитическое решение методом Фурье (разделения переменных).
Краевая задача
Взаимосвязь двух управляемых функций (давления Р и скорости а>) объекта управления с распределенными параметрами (ОРП), характеризующих движение нефтепродукта плотностью р по трубопроводу постоянного диаметра О длиной Ь в
Работа проведена с использованием оборудования ЦКП «Исследование физико-химических свойств веществ и материалов» Самарского государственного технического университета при финансовой поддержке Минобрнауки России.
Александр Александрович Афиногентов (к.т.н.), ассистент кафедры «Трубопроводный транспорт».
Юлия Александровна Тычинина (к.т.н.), доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах». 188
любой точке х, х е [о, х], по направлению движения потока и в любой момент времени г, t > 0, может быть описана системой двух пространственно-одномерных нелинейных неоднородных уравнений вида [1, 2]
8Р(х, г) _ Г 8 ю(х, г) А,(ю (х, г)) • ю2 (х, г)
8х 8Р(х,г)
8г
2 • Э
+ g • 5Ш а(х)
_-с •р^
8ю(х, г)
- М ю(х,г ^
(1)
8г ^ 8х
здесь а(х) - угол наклона оси трубопровода к произвольной горизонтальной поверхности; g - ускорение свободного падения; ^(ю(х,г)) - коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от скорости ю(х, г) по формулам Стокса, Блазиуса, Альтшуля; с - скорость распространения волн в жидкости, текущей в стальной трубе с толщиной стенки d , определяется по формуле Жуковского [1-4].
Система уравнений (1), дополненная начальными условиями вида
р(х,г0)_Р0(х), ю(х,г0)_ю0, г0 _0, хе[0, х] (2)
и любыми двумя граничными условиями из набора
ю(0, г )_£ о (г), Р(о, г(г)
ю(х,(г), Р(х,г)_лх(г),
(3)
составляет краевую задачу математического моделирования процесса транспорта нефти по магистральному трубопроводу (МТП).
В правые части уравнений системы (1) входят функция распределения источников давления по длине трубопровода м^ (х, г) и функция распределения источников
жидкости по длине трубопровода мю(х, г), которые, как показано в [1, 2], можно рассматривать в качестве внутренних управляющих сосредоточенных воздействий Мр. (г), приложенных в точках расположения нефтеперекачивающих станций (НПС) х^. е [0, х], к _ 1, К, и мю5 (г), приложенных в точках отбора нефти
хю5 е [0, х], 5 _ 1, Б, где К - число работающих НПС, а Б - общее число точек отбора нефти по длине трубопровода [1, 2]:
К ( ) Б
(х г) _ 2 МРк (г) • 5(х - хрк ), Мю (х г) _ 2 М(г) • 5(
И_5
к _1
х хЮ5 ) ,
(4)
где б(х - х^к ), §(х - хю5) - функции Дирака.
Линейная краевая задача
Линеаризуем первое уравнение в (1) следующим образом [3]:
Ф(х,г»V(х,г) _2 •-•»(х ), (5)
2 • Э К '
способы выбора - описаны в [3, 4]. Далее будем рассматривать задачу при наличии только внутренних источников давления, т. е. Мю(х, г ) = 0. Дифференцируя в (1) пер-
вое уравнение по 8t, второе по 8х и приравнивая правые части, получаем:
82га(х, t) 2 82га(х, t) _ 8га(х, t) ир (X't)
-1—- - с--^^ + 2 - и--f—=-, (6)
8t2 дх2 8t р
где и * (х, t) определяется как
и*Р (х't)=Z!-ЗТ^ '5(х - хрк )- (7)
k=1 dt
В качестве граничных условий выберем пару из (3), обусловливающую неизменное значение давлений в начальной и конечной точках системы с координатами х = 0 и х = L соответственно, при (t) = const и ^ (t) = const, тогда с учетом второго уравнения системы (1) получим:
8^(0,t) = 0, 8«(Lt) = 0. (8) 8х ' 8х Начальные условия запишем в виде
ю(х, t0 ) = ю0, 8ю(х 10 ) = 0, t0 = 0, х е[0, L], (9)
8t
характеризующем стационарное состояние гидродинамической системы в начальный момент времени.
Решение краевой задачи будем искать в виде
ш(х, t) = W (х, t) + w(x, t), (10)
где W(х, t) - решение однородной задачи при заданных (в общем неоднородных) начальных условиях; w^, t) - решение неоднородной задачи при однородных начальных условиях.
Рассмотрим на первом этапе решение однородной краевой задачи при и *р (х, t) = 0 и краевых условиях (8)-(9).
Будем искать решение задачи в виде
W (х, t ) = X (х)- T (t). (11)
Подставляя (11) в (6), после разделения переменных получим:
- с 2 - d^X^ - T(t) + x (х)- + 2-и-X (х)-dT(t) = 0 I : Х(х) : T(t), (12)
dx2 dt2 dt
2 d2X(х)_d2т(г) , 2 _ 2 (13)
X(х) dx2 " т(г) 2 т(г) л { >
Далее необходимо найти те значения параметра цп , при которых задача имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение, удовлетворяющее краевым условиям. Перейдем к задаче на собственные функции. Для левой части (13) собственные
функции Хп (ц п, х) являются решением задачи Штурма - Лиувилля вида
а 2 Хя я , х) _ Ц2 Х („ х)
-—2-_ 2 • я ,х)
ах с
с граничными условиями, получаемыми подстановкой (10) в (9):
ах„ (ц „ ,0)_ ах„ (Ц „, х)_ 0.
(15)
ах ах
Ввиду однородности уравнений (14) собственные функции Хя (ця, х) определяются с точностью до постоянных множителей, и общее решение уравнения (14) будет иметь вид
Xn (Цn , Х)= C1n Xn (Цn , x)
• cos
( \ Цп . x
V
c
+ C2n • sin
( \ • x
= -Cin ^ • sin dx c
с учетом граничных условий (15) получаем:
\
c
/
+ C2n ^ • cos
( \ Цп • x
V
c
/
^ф^ = -Сщ• 0 + С2n ^• 1 = o ^ С2n = о, dx с с
Xn (Цn , L)
dx
Xn (Ц n , x) = С
1n
C1n
c
• cos
lc
.L
= o ^ — • L = л • n ^ ц n =
% • n • c L
(16)
(17)
(18) , (19)
L
^ I% - n ] %• n • с , .
= c1n • cos| —;—.x I, Цn =—;—' n = 1,2-да, (20)
L
где С1я - произвольное действительное число, примем С1я _ 1. Подставляя (20) в (13), запишем для правой части:
^ + 2.-.^ + и2 • Тя(г)_0.
аг2 аг
Характеристическое уравнение для (21) будет иметь вид А,2 + 2 •-•А + Ц Я _ 0, решение характеристического (22) уравнения запишем в виде
Я1 _ 0, Я2 _ 2 а, я _ 0, Аи _ а± Ря, Э > 0, 0 < я < N, _а ± г • Д*, Э < 0, я > N,
где
(21) (22)
(23)
а = -°> Рп =
—2 I ^ • n • c
р; =
n •c 1 —2 ЛГ - и , N =
L
L-U
^ • c
(24)
Решения уравнения (21) для действительных корней уравнения (22) примет вид
n
x
c
c
Ц n
c
c
x
2
2
Т0 к)= С01 • е+ С02 ' п = 0, (25)
Т (г) = С3п • е {а+А+ С4 п • е {а-рп, 0 < п < N *.
Решение уравнения (21) для комплексных корней в (22) может быть получено из второго уравнения в (25) по формулам Эйлера:
Тп(0 = еа(-(с5п • С08^г)+ с6п • г)) п > N*. (26)
Подставляя (25) в (11) и суммируя по п частные решения задачи, запишем общее решение для ж (х, г) в виде
N *
'0 (*)■
W(x, 0 = Wo (t)+f (Сзи • e(«+pn > + С4И • > )• cos• x) +
n=1 V L
+ Y e • (с 5зп • cos (pn • t)+ C6n • sin fe • t)) cos • x
n=(N*+i) ^
(27)
Подставляя (27) в начальные условия (9), получим:
Coi = Сзп = С4n = C5n = Сбn = o ^ W0(t)= C02 = (28)
ra(x, t ) = (29)
Физически решение (29) означает, что при отсутствии внутренних управлений (возмущений) и однородных ГУ второго рода в системе бесконечно долго сохраняется начальное стационарное состояние.
Замечание 1. Особенностью полученного решения является учет членов ряда
при 0 < n < N * • Необходимость учета в решении значения N * возникает в задачах
моделирования протяженных трубопроводов. Оценим значение N * в зависимости от длины L, [м], для задачи моделирования магистрального трубопровода диаметром
D = 1000 мм, транспортирующего нефть плотностью р = 840 кг/м 3с кинематиче-
—6 2 /
ской вязкостью v = 7,65 -10 м /с, и скоростью распространения звука в системе «нефть - труба» с^998 м/с [2].
Для рациональных скоростей перекачки значение линеаризующего коэффициента в (5) примем v « 0,01 * 0,02, ^ , тогда с учетом (24) получим:
N * «(0,0318 * 0,0636)< 1 при L = 104 м = 10 км; N * «(0,318 * 0,636)« 1 при L = 105 м = 100 км; N * «(1,59 * 3,18) > 1 при L = 5 405 м = 500 км .
Найдем теперь решение неоднородной задачи (6-7) при однородных граничных условиях (8) и однородных начальных условиях вида
ю(х,t0)= 80 (х10) = 0, t0 = 0, x е[0, L]. (30)
8t
Согласно теореме о разложимости функций в ряд Фурье периодическая функция с периодом T = 2L может быть представлена (для четных функций) в виде
192
>,(x)=ao+2 an •cos • x)' (31)
n=1
где коэффициенты разложения будут иметь вид
an = — J y(x)-cosí % n x Jdx, n = 1,2...да, «o = — J j(x)dx, n = 0. (32) L o l L J L o
Представим функцию u * (x, t), описываемую уравнением (7), как периодическую четную функцию, для чего симметрично относительно начала координат отразим ее на отрицательную полуось на участке [- L,o], а затем получим ее описание в виде (31), т. е. разложим в ряд Фурье по косинусам, тогда
^ (xt)= f (t) )= /o(t) , 2 f (t). cos f %Ln
_/(^(х)^ + 2/(*)• Н^• х| , (33)
1-1 я=1
где коэффициенты разложения /я (г) будут определяться согласно (32) и известным свойствам 5 -функции в виде
. (Л 2 (г) 0
р^х ^ аг
к_1 (34)
/n (t )=Л-2
,dM_k(t)
-•L t? dt
• cos
^%•n•x - ^
l L J
, n = 1,2...да.
Разделяя переменные и переходя к задаче о собственных функциях в (6, 7, 8, 30), получим аналогично (21)
^ + 2• — • ^ + • Т.(,)_/.(,) (35)
аг2 аг
с однородными начальными условиями
Тя(0)_ аТ8г)_ 0. (36)
Решение задачи будем искать в виде
г„ (г)_ Тя (х, г)+г;(х, г), (37)
где Тя (г) - общее решение однородной задачи при /я (г)= 0 в (35); Тп*(г) - частное решение неоднородной задачи (35, 36), определяемое методом подбора. Далее положим в (7)
(t)
dt
= м pt
:= const, t e[o, да). (38)
Так, при м^ < 0 выражение (7) эквивалентно росту с постоянной скоростью
потери напора (давления) в точке хк трубопровода, что может быть вызвано закрывающейся с линейно зависимой от угла поворота степенью дросселирования потока задвижкой.
Общее решение задачи для произвольных начальных условий получено нами выше в виде (25, 26), частное решение Тп* (г) будем искать в виде
Т0*(г)=С*-г, п = 0,
*0У *0 (39)
Т*(г) = с;, п = 1,2...а).
t=50c t=200c . t = 500c
XP1 = 0,35L
4
450
= 0,6L L,[KMI
450
б
Распределение скорости потока по длине трубопровода в различные моменты времени:
~ max л к п I . £ max max л г, гг /
а - при upl =-10 кПа/с ; б - при upl = -up 2 = 10 кПа/с
Подставляя (39) в (35), получаем:
а
2• v • C0* =
/0 (t)
C* _
o
1
£ • C*= / (t C* =
2
2 • v • p• L t=1
K Г
м
£ • P-L
max л л _ •cos
k=1
pk ,n = 0,
Л
77 П • X
pk
L
, n = 1,2...да;
у
подставляя (25, 26) и (39) в (37), а затем в (36), получаем значения неизвестных коэффициентов:
C 02 = -C 01 = C о/2 •« > C 3n = Cn* •(a-ß n V2 •ß n , C4n =- Cn* •(a + ß n У2 -ß n > C5n = -СП > C6n = «• C*/ß*n .
(41)
Подставляя (41) в (11) и суммируя все частные решения по п, после окончательной подстановки полученного результата и (29) в (10) получим:
- е ) ^
2 • а
ra(x, t)
= ю 0 + C о
У C* \ (a-ß n ) • e (а+ßn >' - (a + ß n ) • e (а-ßn > + 1Л • cos r^n • X V
n=1 n l 2•ßn 2•ßn J l L J
(42)
n = N
*+1)
C*
n
a't
-e
•t • cos(ßn • t• sin(ßn • t)+ 1I cosi^L
ß n J l L
•XI.
На рисунке приведен пример расчета распределения скорости потока нефти в трубопроводе протяженностью L=450 км и диаметром D=i200 мм при наличии прироста и снижения с постоянной скоростью итх давления в точках хрк. Для расчетов учитывались первые сто членов ряда в (42) при N =4.
2
Замечание 2. Для отыскания функции пространственно-временного распределения давления транспортируемой жидкости в трубопроводе P(x, t) необходимо подставить полученное решение (42) в первое уравнение системы (1) с учетом того, что
sin a(x) = ^, (43)
dx
где z(x) - высота оси трубопровода над плоскостью сравнения (уровень моря).
Заключение
Полученное в работе решение краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти описывает в аналитическом виде зависимости от времени и координаты давления и скорости потока в трубопроводе, рассматриваемых в качестве управляемых величин объекта управления с распределенными параметрами (ОРП). Для применения описанной выше методики аналитического представления ОРП необходимо наличие гладкой, как минимум дважды дифференцируемой функции в правой части уравнения (35).
При наличии разрывных функций в правой части (35), получаемых при решении задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина, для
интегрирования уравнений необходимо применение аппарата обобщенных функций, в частности метода функций Грина.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афиногентов А.А., Плешивцева Ю.Э., Снопков А.С. Математическое моделирование управляемых гидродинамических процессов трубопроводного транспорта жидких углеводородов // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. - Самара: Сам-ГТУ, 2010. - Вып. 7(28). - С. 137-144.
2. Афиногентов А.А., Плешивцева Ю.Э., Ефимов А.П. Оптимальное по быстродействию управление переходными режимами работы магистрального нефтепровода // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. - Самара: СамГТУ, 2011. - Вып. 3(31). - С. 6-13.
3. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. - М.: Недра, 1975. - 296 с.
4. Мирзаджанзаде А.Х, Галлямов А.К., Марон В.И., Юфин В.А. Гидродинамика трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов. - М.: Недра, 1984. - 287 с.
Статья поступила в редакцию 20 марта 2013 г.
SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR MATHEMATICAL MODEL OF OPERATION OF TRUNK PIPELINES FOR PETROLEUM TRANSPORTATION BY THE FOURIER METHOD
А.А. Аfinogentov, Yu.A. Tychinina
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
The mathematical model of operation of trunk pipelines for petroleum transportation is presented in the form of the linear differential equation of the second order with homogeneous boundary condition of the second sort for which the decision is received by Fourier method (separation of variables).
Keywords: mathematical simulation, object with distributed parameters, boundary problem, trunk pipelines for petroleum and petrochemical products transportation.
Alexander A. Afinogentov (Ph.D. (Techn.)), Assistant. Yulia A. Tychinina (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor.
