Аналитическое решение одной модели ветрового движения вязкой жидкости (трехмерный случай ) Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 16, № 3, 2011

Аналитическое решение одной модели ветрового

и / г» и \

движения вязкой жидкости (трехмерный случаи)*

л. А. Компаниец, Т. В. Якубайлик, О. С. питальс'кая Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Найдено аналитическое решение стационарной задачи ветровохх) движения вязкой однородной жидкости в замкнутом водоеме ирямоух'ольной формы. Проводится сравнение иолученших) решения с решением для модели Экмана (без учета эффекта боковохх) перемешивания), что позволяет определить область применимости более простой предложенной модели. Полученное решение может быть использовано для тестирования вычислительных алх'оритмов, предназначенных для расчета ветровохх) движения жидкости.

Ключевые слова: вязкая жидкость, аналитическое решение.

Введение

Уравнения нестационарного трехмерного ветрового движения вязкой однородной и неоднородной жидкости |1, 2| с соответствующими граничными условиями, учитывающими влияние ветра и твердых стенок, часто используются для определения движения в реальных водоемах. Однако аналитических решений для таких задач в литературе немного |3|. Отметим, что аналитические решения для моделей экмановского тина (когда в уравнениях движения сохраняются только члены, описывающие турбулентное движение в вертикальном направлении и силу Кориолиса) в случае трехмерного или двумерного стационарного течения известны для постоянного и переменного коэффициента вертикального турбулентного обмена и широко используются для анализа решения |2-9| и расчета конкретных задач. Например, в работе |9| аналитическое решение для этой модели применяется в целях оценки эффекта возникновения компенсационного противотечения в водохранилищах равнинного типа.

Сделаем ряд упрощающих предположений, позволяющих найти аналитическое решение системы уравнений, выписанной в |1, 2|, для горизонтальных составляющих скорости как при постоянном, так и при переменном коэффициенте вертикального турбулентного обмена:

1) течение является однородным, коэффициенты горизонтального турбулентного обмена — величины постоянные;

2) в уравнениях движения и в кинематическом краевом условии на свободной поверхности можно пренебречь нелинейными членами (медленное течение);

3) отклонение свободной поверхности от невозмущенного положения мало, и влияние ветра можно рассматривать на невозмущешюй поверхности бассейна |2|;

* Работа выполнена в рамках Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 95.

4) бассейн имеет прямоугольную форму; на дне задано условие, линейно связывающее касательное напряжение и горизонтальную скорость течения;

5) на вертикальных стенках бассейна ставятся условия прилипания;

6) существует стационарное решение уравнений с указанными граничными услови-

Тогда получаем краевую задачу, которая решается в области 0 < х < а, 0 < у < Ь, -Н < г < ((х):

d2u д2u д

Кх--Ь А--1--

xдх2 yду2 dz

д2v д2v д

Кх--Ь А,--1--

xдх2 yду2 дz

^ ди\ дС

д^ дх

Kz

дv дz

— lu

g

К

ду

ди dv dw ^ дх ду дz

с граничными условиями

ди дz

К — Zдz z=0 rx ^, dv Po' " dz z=0 Zk р0

= kbu\z=_ z=-H K — "я' Azdz z=-H = kbv\

u\y=0 = u\y=b = u\ x=0 = u\x=a = 0,

V\x=0 = V\x=a = v\y=0 = v\y=b = 0,

W\z=0 = = W\z=-H = = 0.

\z=-H >

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

Здесь H > 0 — глубина бассейна; и = u(x,y,z),v = v(x,y,z) — горизонтальные компоненты вектора скорости течения; w = w(x, у, z) — вертикальная компонента вектора

g Kx > 0, Ky > 0

енты горизонтального турбулентного обмена; Kz > 0 — коэффициент вертикального турбулентного обмена; ( = ((х,у) — отклонение поверхности жидкости от равновесного положения; rx.t ту — компоненты вектора касательного напряжения ветра на водной поверхности; р0 — плотность в оды; kb = const — коэффициент придонного касательного напряжения; l — параметр Кориолиса. Отметим, что вариант kb = 0 отвечает условию скольжения без трения, a kb = оо — условию прилипания. Ось z направлена вертикально вверх.

Kx = Ky = 0

д_

дz д_

дz

К,—

z дz

д(

+ lv = 9& dv\ д(

K'Tz)-lu = 9W

ди dv dw дх ду дz

(7)

Дня нее па твердых стенках ставится условие равенства пуню составляющих полного потока скорости.

1. Точное решение модели Экмана при постоянном коэффициенте вертикального турбулентного обмена (Kz = const) с учетом наклонов свободной поверхности

Рассмотрим систему уравнений Экмана, описывающую стационарное движение однородной жидкости для случая постоянного коэффициента турбулентного обмена, В комплексных обозначениях

W

, . <9( 'А /А и и + iv, — = —-И--, г дп дх ду

тх + iTy

запишем уравнения и граничные условия для этой задачи

dz2 on

K7

dW

dz

r-W

z=0

— - П=-я

Po

0.

Ее решение |4| для случая бассейна конечной глубины имеет вид

sinh

W

(H + z) w

у/ШГ2

cosh \ -угН

Kz

т

P0

W I

( т / «

cosh \ ——z

cosh 1 / -угН

Kz

- 1

0L

дп'

(8)

/

для случая бассейна бесконечной глубины было выписано Экмаиом в 1905 г. Особенно часто для анализа применяется дрейфовая составляющая, зависящая только от напряжения ветра, хотя учет геострофической составляющей, зависящей от наклонов свободной поверхности, может изменить решение.

Дня нахождения наклонов свободной поверхности |4|, интегрируя (8) но глубине, получаем

о

А тц/ дНВ д( I р0 I дп

W = U + iV = J Wdz

-H

(9)

2Kz

I

где А и В — функции только от Н/й = п ном виде

А = С + гБ, В = Е + %Е.

Тогда уравнение (9) можно представить следующим образом:

I \ дх ду

9Е(р<К+е<К

I у дх ду

Запишем функции A, B в комплекс-

U V

1 ' c^-D^

P0 тх P0

D- C

и коэффициенты C, D, E и F определяются по формулам [4]

C = K/L, D = M/L - 1, E

hN'L- F=-bp'L+i-

(10)

H

где в = 7г—, К = 2 sin б1 sinh в, L = cos 2в + cosh 2Q, М = 2 cos в cosh в, N = sin 2в - sinh 2Q, P = sin 29 + sinh 29.

С учетом граничного условия (6)

о о

д f , d f

—— / u.dz + —— / vdz = ü, ox J dy J

-H -H

что позволяет ввести функцию тока Ф, Обозначим

U = í udz = — и V = [ vdz = J dy J dx

-H -H

Дня нахождения градиентов свободной поверхности необходимо решить уравнение дня функции тока, которое в данном случае имеет вид

д2Ф д2Ф 1

1 / TW rW\

т G curl— + / div— , (11)

I \ Ро Ро J

дх2 ду2 l

где

curl Tw = dry w dr* (hy

tuu 1 rv rv ) U.1 V ( .

дх ду дх ду

Граничные условия на береговой линии Г Ф(х,у)\г = 0. Обозначим

w Tw Tw\

Р(х, у) = - G curl--h / div- .

l р0 р0

Уравнение (11) представляет собой уравнение Пуассона, и если береговая линия -прямоугольник со сторонами a и b, то его решение можно выписать следующим образом:

a b nn nn mn mn

Л Г Г oo oo sm—x sm—£ sm —— у sm —— q

{{ ,.=lm=i (т)+(-)

. nn . mn a b

4 « oo^ sm xsm у ■ ^ Ш7Г

TdX^ /шгч* /ттгч* J J ^ 8111 SU1 —l]dl]d"

ra=lm=4TJ 0 0

nn . mn

Л OO OO sm-xsm——y

4ee*. a 6

cib^^ ~n'm/пж\2 /ттг^'

n= 1 m=l - -+- -

V a / V b

где

a b

nn _ mn

— I I HI.С nloin

- n,m

Ф»г,т = / / /?(£, 1j) SÍ11 — £ SÍ11

оо

Зная Фпт, найдем

дФ ^ \ gH дФ

d( 717 7 ' '

ch Sf Я

~TF

Рис. 1. Годографы скоростей в центральной точке бассейна, модель Экмана: Н = 50м (а), 24 м (б)

1 1 1 / дФ дФ\

С учетом (Ю), (12) решение однозначно определяется но формуле (8). Если ветер постоянен вдоль всей акватории и ту = 0, то для наклонов свободной поверхности имеем

д(_ _ тх(СР-ЕР) д(_ _ тх(СЕ + РР) ду ~ дН(Р2 + Е2) ' дх ~ ~ дН(Р2 + Е2) '

Влияние наклонов свободной поверхности демонстрирует рис. 1, на котором показаны годографы скорости для модели Экмана (сплошная линия — с учетом, точки -без учета наклонов свободной поверхности). Рассматривался водоем длиной и шириной 5000 м. Ветер вдоль всей акватории бассейна постоянен, при этом тх/р0 = 0.4-10-4 м2/е2, ту/р0 = 0, параметр Кориолиса I = 1.5 • 10-4 с-1, коэффициент вертикального турбулентного обмена К = 0.02 м2/с, глубина Н = 50 и 24 м. Из сравнения рисунков а и б следует вывод: уменьшение глубины приводит к увеличению угла между направлением ветра и вектором скорости жидкости на поверхности.

2. Точное решение модели движения жидкости с учетом горизонтального турбулентного обмена при постоянных коэффициентах турбулентного обмена

Если наклоны свободной поверхности равны нулю, легко найти решение системы

Кх = Ку

В комплексной форме уравнения (1), (2) запишутся следующим образом:

^ (д2Ш д2Ш\ „ д2Ш ,Т1Г д( . х

\ дх2 ду2 ) дг2 дп

а граничные условия в таких обозначениях примут вид

дШ

К

К

дг

дШ

т ш

(14)

г=0 р0

дг

= кьШ\г=-н , (15)

г=-Н

Ш = 0 на всех твердых стенках. Если предположить, что градиенты отклонения свободной поверхности малы и ими можно пренебречь, то уравнения запишутся как

( д2Ш д2Ш\ д2Ш

= (16)

Будем искать решение в виде

X)

'ппх\ . (тпу

те те п=1 т=1

Подставляя последнее выражение в (16), имеем

I \ 2 / гтж \ 2 //

А.т ( ) /п,т Ат ( - ) /п,т Аг/ц т И/п,пг 0.

Решениями этого уравнения являются функции

]п,т сп,те + сп,те ,

где

т, • (1')

Кг

^ /пж\2 /тж\2

к,

Величины С1ти СП,т находим из граничных условий (14) и (15), учитывая, что

тх\ . (тку\

-)8111 (пг)

те оо

ш ■ (ппх\ . (тпУ\

Г = в1П —) 8111 J . (18)

п=1 т=1

Решение с учетом наклонов свободной поверхности находится следующим образом,

г

о о 0

д2и д2п\ , ди

дх2 ду2 дг

-н -н

0 - о 0

+ 1 [ = (19)

н дх

^ , I д2ь д2ь\ , ^ ду

Ат / ( + ТТ + К* Т" ч дх2 ду2) дг

-I [ и4г = Нд(20) -н ду

-н -н

о

Г (ди ду дт\ , , .

н

Перепишем (19), (20) в терминах функции Ф:

du

К — К — (- —

х дх2 V ду ) Х ду2 у ду

к (ÊOL) + к (Ê0-) + к —

x дх2 \ dx J x ду2 \ dx J z dz

dz

z=0

-К,—

z dz

z=0

z dz

Продифференцируем (22) по y и умножим на (-1), затем продифференцируем (23) по x и сложим получившиеся выражения. Получим уравнение для Ф:

КХДДФ + kb

du ду

-h

z=—H

dv дх

д тх д т.

z= H

ду ро дх ро

(24)

Решение уравнения (24) будем искать в виде

оо оо

V-^ V-^ т /ипх\ (тжу\

(25)

n= 1 m= 1

а решение (13) — в виде

те те

W = {cln<me^^2 - d2n,me-^2 + c3„,md<„,m) sm sin , (26)

n=1 m=1

дС

где cl(nm — коэффициенты разложения в ряд Фурье величины ——. anm определяется

дп

по формуле (17) и

Я Я тете

О Тх О Ту _

ду р0 дх р0

ипх\ /тпу тп m sm (-) sm ( ——

(27)

n=1 m=1

Учитывая граничные условия (4), (5), c1n,m, c2n,m и c3n,m определяются из решения системы уравнений

К /Б—(cl -г? Ï -

Р0

К Гп-(г 1 p~Va"'mH — г9 PVa"'mH) — hdr\ p~Va"'mH 4- г9 PVa"'mH + ГЧ rit

u-n,m^-Ln,m^ ^^n,m° ) n,m° \ ^^nm^ \ l--'Jn,mU/^n,mJ i

( (пи\2 (nm\2\ V V~ô~/ + \ b~) ) m +

= -g

д( д(

С помощью уравнений (22). (23) исключим величины — и —— из уравнений (1). (2):

дх ду

К I— К — lu - —К — (- —) К — (-—)

чдх2 ду2 J ~ dz2 H х дх2 \ ду ) х ду2 \ ду

^ ди дz

z=0

z дz

z= H

И—

дх

(28)

К — К — - lu - —К — (—\ К —

s дх2 ду2 ) z dz2 H х дх2 \дх ) х ду2 \дх )

+Kz

дv дz

-Kz

z=0

дv дz

_Г_дФ

z= H ду

(29)

Подставим решения (25), (26) в уравнения (24), (28), (29), С учетом разложения (27) получим систему алгебраических уравнений, позволяющих найти коэффициенты.

л ' ч,

определяющие функции У. ——. ——.

дх ду

Расчеты проводились дня различного количества членов ряда, и было найдено то по

(в данном случае п0 = 40).

Рисунок 2 демонстрирует влияние па решение членов с наклонами свободной поверхности дня модели с учетом горизонтального турбулентного обмена (сплошная .пиния -

-0.004

-0.008 -

-0.012 -

-0.016 -

-0.020 -

-0.024 -у. м/С

и, м/с

0.010 0.020 0.030 0.040 0.050

-0.0040 -

-0.00S0 -

-0.012 -

-0.016 -

-0.02 -

-0.024 -v. м/с

и, м/с

0.010 0.020 0.030 0.040 0.050

Рис. 2. Годографы скоростей в центральной точке бассейна, модель с учетом горизонтального турбулентного обмена: Н = 50м (а), 24м (б)

-0.006

-0.008 V, м/с

и, м/с

0.004 ■

-0ШШ

-0.004 ■

-0.006

-0.008 V, м/с

и, м/с

0.005 0.010

0.015

О Ф

Рис. 3. Годографы скоростей: а в центральной точке бассейна, б вблизи границы

решение с учетом наклонов свободной поверхности, точки — без учета). Ветер вдоль всей акватории бассейна постоянен, тх/р0 = 0.4 • 10-4 м2/е2, ту/р0 = 0, коэффициенты турбулентного обмена Кх = Ку = 200 м2/е, Кг = 0.02 м2/е, коэффициент придонного касательного напряжения кь = 200 м/с. Для скорости на поверхности наблюдается тот же эффект, что и в случае расчетов но модели Экмана (см, рис.1).

Сравним решения, полученные но двум описанным выше моделям.

Особенностью течения с учетом горизонтального турбулентного обмена является обращение решения в пунь па вертикальных стенках бассейна, в то время как решение уравнения (7) удовлетворяет па границах условию обращения в пунь нормальной составляющей полного потока скорости.

На рис. 3 приведено сравнение скоростей, полученных с помощью решения (26) (точки), и решения дня модели Экмана (8) (сплошная линия) в центре бассейна и

4000 -

3000 -

2000

5000-

1000 - —

5000

5000

4000 -

3000 -

2000 -

1000 -

■ ---\ \

\ \ \ \ .-ч\\\\\ \ \ \ \ \ ч \ \ \ \ \ \ ■ \ \ \ \ \ \ \

v 1 М 1 и 1 > ' ! 1 II М

'>'!!! 1 I ---///// / ■ - ^ / / / / / 1 ■ -/// / // / / — / •/ / У / / ' ^ / / /

4000^

3000 -

2000 -

1000"

1000

2000 3000

х

4000

5000

II

5000 4

4000 -

3000 -

2000

1000 -

1000

2000

3000

4000

5000

5

/ / / / / ^ ^ *------ч ч ч \

/// У ^ ^ ----

/ / / / г- ** ----

'/// У У У '-------. ^ Ч \ \ \ \

/ / / / ^ ^ ' ■-----■ - \ \ \ \ \ \

11 / // ''г

11/(1''.....V \ \ \ \ \

; ( I I I ' ' ■ - - • - * 1 1 1 \ 1

11М11....... м П | I

111111...... 1 , 1 1 I (1

V V X V V 1 , , I () 1 /

\ \ \ \ \ .....'-'11111

\ \ \ \ \ г /

, \ \ ч ч n. ^ ^----

--

\\\ \ \ -----^^уу^///

X X~-4f-.--.r--,-,-

1000 2000 3000 4000 5000

X

Рис. 4. Распределение скоростей на поверхности при постоянном ветре (I) и при круговом движении ветра (II): а модель с вязкостью (26), б модель Экмана

вблизи границы. Рассматривался водоем длиной и шириной 5000 м, при этом тх/р0 = 0.4 • 10-4 м2/с2, ту/р0 = 0 коэффициент придонного трения кь = 200 м/с, коэффициент вертикального турбулентного обмена Кх = 0.02 м2/с, коэффициенты го-

Кх = Ку = 1 2/ Н = 50

слсдует: чем ближе к границе расположена точка, тем сильное различие результатов, полученных но рассматриваемым моделям.

На рис. 4, I показано распределение скоростей на поверхности дня моделей (26) и Экмана при постоянном ветре (тх/р0 = 0.4 • 10-4 м2/с2, ту/р0 = 0), на рис. 4, II — при

ветре, заданном но формулам — = —у, — = х. Рассматривался водоем длиной и шири-

р0 р0

ной 5000 м, коэффициент придонного трения кь = 2 м/с, коэффициент вертикального турбулентного обмена Кх = 0.02 м2/с, глубина Н = 50 м.

Видно, что в области, достаточно удаленной от берегов, решения близки. При увели-

Кх

пиями модели с учетом горизонтального турбулентного обмена (26) и модели Экмана становятся все более существенными.

3. Решение модели с учетом горизонтального

турбулентного обмена при переменном коэффициенте вертикального турбулентного обмена без учета наклонов свободной поверхности

3.1. Точное решение при переменном вертикальном коэффициенте турбулентного обмена (Кг = сг + б)

Получить решение дня модели с учетом горизонтального турбулентного обмена в случае переменного коэффициента турбулентного обмена при учете наклонов свободной поверхности сложно, однако эта задача становится реальной дня достаточно малых наклонов (в этом случае правую часть уравнений (1)-(3) можно считать равной нулю). Найдем решение для модели с учетом горизонтального турбулентного обмена при Кх =

дС

сг + й, Кх

Ку и условии _

дп ^ íд2W

=0

д2Шч

дх2

дУ2

д (, ,,дШ

- гШ = 0,

(30)

следовательно,

^ /д2Ш д2Ш\ дШ . А д2Ш

^гт" + тт ++ + ¿Ьгг -гШ

\ дх2 ду2 ) дг дг2

граничные условия

дШ

(й - сН)

дг дШ

дг

z=0

z=-Н

т

р0

кьШ и_

Н

па всех твердых стопках

Ш = 0.

0

Будем искать решение в виде

п,т=1

К,т= V —хят—у; (31)

±—' п п

учитывая (18) и подставляя (31) в уравнение (30), имеем

д21п

(с, + д) + сЦ^ - (кх + Кх + й) /п,т = 0.

дг2 дг \ \ а / V Ь

Проведем замену переменных

С Сг + ^, !п,т(г) Хп,т{С),

ее + ■с -щ- - \кх [-) + А, ) + ) Хп,т = 0.

Поделим обе части уравнения на с2 и умножим на С

е -^г- + е-^г- - ^ (А, (-) + А, ) + г^ Хп,т = 0. (32)

Граничные условия преобразуются к следующему виду:

дХп,т

дхп,т -С

— кьХп,т|г=^сЯ

£=4-сИ

Уравнение (32) представляет собой однородное модифицированное уравнение Бес-

соня, решение которого выписывается как

-7 (I Г,-^

п,т с п,т

^ /иж\2 /тж\2

9 ._\ А, — +А, — +г1

-у/^й = + агкпо,

С / К г

здесь

^(С), К0(С) _ функции Бесселя,

3.2. Решение при переменном коэффициенте вертикального турбулентного обмена (Кг = двХг)

Если коэффициент вертикального турбулентного обмена Кг — ёвХг, Кх — Ку и

— = 0. то уравнение (13) примет вид ди

\ дх2 ду2 ) дг дг2

Ищем решение в виде (31), т№ представим как разложение в ряд (18), Подставим выражения (18), (31) в (33):

- (Л- + Л- (=)* + и) /,,„, + + = 0.

Л / ПЖ \ 2 / гтгК\

Сделаем замену переменной £ = е~зг, апт = Кх у—) + Кх у—— у +И, после чего приходим к уравнению

X2 1 д/ X2 д2 /

(• X и ] п,т г л и ] п,т _ «

~ап,т1п,т ~ Г 0~ = и

с соответствующим образом преобразованными граничными условиями

2£ д£

Умножим (34) на £2 и разделим на

д/п

<Рг.

С=1 ™п> д£

4 :

. — къ /п,ш1_ ^н • (34)

А тт С —в ^

4 ¿2 г ¿д/п,т ¿2д /п,т п /,г\

- + £ = 0. (35)

Последнее уравнение представляет собой однородное модифицированное уравнение Бессоня, решение которого выписывается в виде

и,т = СГХ11 (д + сгхк, (д ^р) • (36)

Подставляя данное решение (36) в уравнение (35) и граничные условия (34), находим

п,т п,т

коэффициенты С^ ,С2 и получаем решение

п=1

2 I _ А -

. /2 /С1'/г,т _Аг\\ . П7ГХ . тТГХ

+ 6 2 а1(л"ге 2))

На рис, 5 представлено сравнение скоростей дня трех коэффициентов вертикального турбулентного обмена, как постоянного, так и переменного. На рис, 5, а приведены графики трех распределений коэффициента Кх по глубине: постоянного — сплошная линия, линейного — точки, экспоненциального — штрих. На рис, 5, б изображены годографы скорости дня трех случаев: сплошная линия — годограф, построенный но формуле дрейфовой составляющей модели Экмапа дня постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена с условиями прилипания па дне — решение вида (8)

при ^ = о." точки И штрих - годографы для модели Экмана в случае линейного дп

Кх = сг + й и экспоненциального Кх = ёеХг коэффициентов вертикального турбулентного обмена соответственно. На рис, 5, в, г приведены годографы скорости дня модели с учетом горизонтального турбулентного обмена: сплошные линии, штрих и точки -

К., м2/с

' | I | ' | ' I ' ' | | I

0.005 0.010 0.015 0.(

' I I ' I I I V 1 1 I 1 1

фо 0.025 о.дзо 0.035®

/

/ ** / «

/

/

/ <.®

/

/ «

/

V *

0.005

0.010

и, м/с

0.015

-0.016 -V, м/С

Рис. 5. Распределения трех коэффициентов вертикального турбулентного обмена и годографы скоростей (полученные но описанным моделям), соответствующие этим распределениям

при постоянном Кг — 0.02 м2/с, линейном Кг — сг + й и экспоненциальном Кг — 6еЛг распределении соответственно (рис. в — Кг — 1м2/с, г — Кг — Ку — 200м2/с),

Расчеты были проведены при следующих значениях параметров: параметр Кориоли-са 1 — 1.5 ■ 10-4 с-1, тх/р0 — 0.4■ 10-4м2/с2, ту — 0, бассейн со сторонами а — Ь — 5000 м и глубиной Н — 50 м. При этом с — 7 ■ 10-4, й — 3.75 ■ 10-2 и А — 2 ■ 10-2, 6 — 3.16 ■ 10-2 для линейного и экспоненциального распределений но глубине коэффициента вертикального турбулентного обмена соответственно. Скорости выведены в центральной точке бассейна. Из рис. 5 следует, что изменение коэффициента турбулентного обмена но глубине приводит к появлению глубины, на которой скорости имеют направления, про-

тивоположпые направлениям па поверхности, в то время как увеличение коэффициента горизонтального турбулентного обмена вызывает противоположный эффект.

Заключение

В линейном приближении найдено решение трехмерной стационарной модели ветрового движения жидкости с учетом горизонтального турбулентного обмена, В случае постоянного коэффициента вертикального турбулентного обмена проведена оценка области, в которой достоверны результаты, получаемые дня прямоугольного бассейна по более простой модели экмаповского типа. При линейном и экспоненциальном изменении по глубине коэффициента вертикального турбулентного обмена найдены решения, по учитывающие наклоны свободной поверхности, проанализировано влияние па решение изменения коэффициентов вертикального турбулентного обмена.

Авторы выражают благодарность проф. В.М, Белолипецкому за содержательное обсуждение результатов представленных исследований.

Список литературы

[1] Саркисян A.C. Моделирование динамики океана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. 296 с.

[2] КочЕРГИП В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978. 128 с.

[3] Компапиец Л.А., Яку бай лик Т.В., Питалъская О.С. Аналитическое решение одной модели ветровсл'о движения вязкой жидкости /7 Вычиел. технологии. 2009. Т. 14, № 4. С. 46 57.

[4] Welaxder P. Wind action on a shallow sea: Some generalisations of Ekman's theory /7 Tellus. 1957. Vol. 9. P. 45 52.

[51 Квоп B.II. Гидротермический расчет водоемов охладителей /7 Изв. АН СССР. Энер-гстика и транспорт. 1979. № 5. С. 129 137.

[6] Волкова Г.Б., Квоп В.И., Филатова Т.Н. Численное моделирование ветровых течений в Чудском озере /7 Водные ресурсы. 1981. № 3. С. 91 99.

[7] Компапиец Л.А., Якувайлик Т.В. Аналитическое решение одной модели ветровохх) движения жидкости /7 Вычиел. технологии. 2003. Т. 8, № 5. С. 78 83.

[8] Модели экмановскох'о тина в задачах гидродинамики. / Л.А. Комнаниец, Т.В. Якубай-лик, Л.В. Гаврилова, К.Ю. Гуревич. Новосибирск: Наука, 2007.

[9] Зырянов В.Н., Фролов А.П. Природные компенсационные противотечения в водохранилищах равнинжих) тина /7 Водные ресурсы. 2006. Т. 33, № 1. С. 5 13.

[10] Камке Э. Справочник но обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1972.

[11] Коренев Б.Г. Введение в теорию бессолевых функций. М.: Наука, 1971.

[12] Wang Y., Kolumban H. Methods of substructuring in lake circulation dynamics /7 Adv. Water Res. 2000. No. 23. P. 399 425.

Поступила а редакцию 15 июля 2010 г., с доработки Ц февраля 2011 г.