Определение коэффициента в обратной задаче для интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа со спектральными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

14. Донцова М. В. Условия нелокальной разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с правыми частями специального вида // Уфимск. матем. журн. - 2014. - Т. 6. - № 4. - С. 71-82.

Doi.org/10.13108/2014-6-4-68

15. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомГУ. Математика и Механика. - 2012. - № 2. - С. 56-62. http://mi.mathnet.ru/vtgu253

16. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6. № 11 (270). - С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104

17. Юлдашев Т. К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Изв. ИМИ УдГУ. - 2018. - Т. 52. - С. 116-130.

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09

УДК 517. 956

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11729

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА СО СПЕКТРАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры высшей математики Сибирский государственный университет науки и технологии Красноярск, Россия

Абстракт: Рассмотрены вопросы разрешимости и построения решения нелокальной обратной краевой задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения второго порядка с вырожденным ядром и спектральными параметрами. Вычислены значения спектральных параметров, получены необходимые и достаточные условия существования решения прямой и обратной задач. Разложены в ряд Фурье решения задач, соответствующие разным множествам значений спектральных параметров. Доказана абсолютная и равномерная сходимость рядов, возможность их почленного дифференцирования по всем переменным и абсолютная и равномерная сходимость дифференцированных рядов. Кроме того, показано, что решение заданного интегро-дифференциального уравнения устойчиво по функции переопределения и по заданной функции граничного значения.

Ключевые слова: Обратная задача, коэффициент переопределения, интегральные условия, спектральные параметры, разрешимость и построение решений.

DETERMINATION OF THE COEFFICIENT IN A NON-LOCAL INVERSE PROBLEM FOR AN INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE WITH

SPECTRAL PARAMETERS

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor of the Higher Mathematics Department, Siberian State University of Sciences and Technology Krasnoyarsk, Russia

Abstract: The problems of solvability and construction of the solution of a nonlocal inverse boundary value problem for a hyperbolic type integro-differential equation with a degenerate kernel and spectral parameters are considered. The values of the spectral parameters are calculated, the necessary and sufficient conditions for the existence of the solution of the direct and inverse problems are obtained. It is laid out in the Fourier series the solutions of the problem corresponding to different sets of values of spectral parameters. Proved absolute and uniform convergence of the series, the possibility of their term-by-term differentiation in all variables and the absolute and uniform convergence of the differentiated series. In addition, it is shown that the solution of a given integro-differential equation is stable with respect to the redefinition function and with respect to the given function of the boundary value.

Keywords: Inverse problem, redefinition coefficient, integral conditions, spectral parameters, solvability and construction of solutions.

1. Введение

Теория обратных задач возникла при решении задач астрономии, квантовой теории рассеяния, геофизики и т.д. Обратные задачи охватывают решения широкого спектра задач в разных направлениях науки (см., напр. [1-4]). Для нахождения решения прямых задач математической физики требуется задать коэффициенты уравнения, границу области, начальные и граничные условия. Обычно бывает, что во время решения практических задач экспериментальным путем количественные характеристики исследуемого объекта недоступны для непосредственного наблюдения или проведение самого эксперимента по тем или иным причинам невозможно. Тогда на практике исследователь может получить некоторую косвенную информацию и сделать заключение о свойствах изучаемого объекта. Данная информация определяется природой изучаемого объекта и здесь требуются математическая обработка и интерпретация результатов исследований. Часто возникают нелокальные интегральные условия, которые дают усредненную информацию об объекте [5, 6]. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, ставится проблема переопределения математической модели. Такие задачи относятся к классу обратных задач математической физики. Бывает так, что изучаются обратные задачи, в которых все неизвестные коэффициенты зависят только от временной переменной и не зависят от пространственных переменных. Бывает и наоборот, что искомые характеристики не меняются со временем, но зависят только от пространственных переменных. В теории обратных задач часто рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (см., напр. [7-17]).

В настоящей работе изучаются вопросы разрешимости и построения решения нелокальной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром и спектральными параметрами. Обобщаются и развиваются методики исследования, предложенные в работах [18, 19]. Отметим, что прямые и обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных с вырожденным ядром и интегральными условиями ранее рассматривались в работах [20-26]. В области Q = {(t, x,y)| 0 < t < T, 0 < x, y < l} рассматривается гиперболическое интегро-дифференциальное уравнение вида

T

Utt-ш 2(Uxx + Uyy) = vj K (t, s)U (s, x, y) ds + a (t) p (x, y), (1)

0

где Т и I - заданные положительные действительные числа, ю - положительный спектральный параметр, V - действительный отличный от нуля спектральный параметр,

к

а (г) е С [ 0; Т], р (х, у) - функция переопределения, К (г,5) = X а г (г) Ъг (5) ,

г=1

а1 (г),Ъ1 (5) е С[0;Т]. Здесь предполагается, что система функций аг (г), г = 1, к и система функций Ъ1 (5), г = 1, к являются линейно независимыми.

Задача. Найти пару функций и (г, х, у) е С (О) С1 (О') С2 (О), Р(х, у) е С{0 < х, у < I}, удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям

и(0,х,у) = и(Т,х,у), 0 < х,у < I, (2)

Т

\и(г,х,у) йг = ф(х,у), 0 < х,у < ¡, (3)

0

и (г ,0, у) = и (г, I, у) = и (г, х ,0) = и (г, х, ¡) = 0, 0 < г < Т, (4)

Т

|0 (г) и (г, х, у) йг = у (х, у), 0 < х, у < I, (5)

0

где 0 (г) е С[0;Т], у(х,у), ф(х,у)- заданные гладкие функции в области {0 < х, у < I}, ф(0, у) = ф(1, у) = ф(х ,0) = ф(х, I) = 0,

у (0,у) = у(I,у) = у(х,0) = у (х,I) = 0, О' = {(г,х,у)| 0 < г < Т, 0 < х,у < I},

О = {(г,х,у)| 0 < г < Т, 0 < х,у < I}.

2. Разложение решения прямой задачи (1)-(4) в ряд Фурье

Решение уравнения (1) в области О разыскивается в виде следующего ряда Фурье

да

и (г, х, у) = X ип,т (г)-а п, т (х, у), (6)

п, т=1

где

11

u

n, m

, m (t) =\\U (t, X, y) 9 n, m (x, y) dxdy , (7)

00

2 . к n . к m -sin — x sin — / / /

Предполагается также, что и функция р (x, y) разлагается в ряд Фурье

о / \ ^ • • i о

9п m (x,y) = — sin — x sin—;— y, n,m = 1,2,...

р(x, y) = IP n,m 9 n,m (x, y), (8)

n, m=1

где

/ /

P n, m =ÍÍP (x, y) 9 n, m (x, y) dxdy, n, m = 1,2,... . (9)

n, m

00

Подставляя ряды (6) и (8) в уравнение (1), получаем

Т к

< т (г) + ^ П, т ю 2 и п, т =V а, (г ) Ъ (5) Ы „^ т (5) й5 +а (г) р п, т , (10)

0 г =1

где ^ п т = п 2 + т 2 . С помощью обозначения

Í bi (s)Un,m (s)ds (11)

x.

i, n, m

0

уравнение (10) перепишется в следующем виде

k

u"n,m (t) + ^ 2, m Ю 2un,m (t) = V Zai (t) ^ i, n, m + a (t) P n,m ,

i=1

общее решение которого имеет вид

Un, m (t) = Cn, m COS ^ n, m Wt + dn, m Sln ^ n, m Wt + Л и, m (t (12)

где

V k t p t

Л n, m (t, ю) =- Z i, n, m i sln ^ n, m Ю (t " s) ai (s) ds + "' * J Sln ^ n, m ® (t " s) a (s) ds •

^ n, mЮ i=1 0 ^ n, mЮ 0

Условие (2) с учетом формулы (7) принимает следующий вид ii ii Un,m (0) = JJU(0,X,y)-9n,m (X,y) dydx =JJU(T,x,y) 9n,m (x,y) dydx = ^,„ (T)• (13) 0 0 00 Для нахождения неизвестных коэффициентов cn m и dn m в (12), с помощью

условия (13), получаем

unm (t) = £ nm i*,ю) + dn

, sln Ц n,m юТ Sin Ц n,m + "-- • COS Ц n,m

V 1 - COS Ц n,m ЮТ у

(14)

где £ n, m (t, Ю) = ;-!-^ COS Ц n, m + Л n, m (t,

Л n, m (T, Ю)

1 - COS Ц n,m ют

Теперь воспользуемся интегральным условием (3) и формулой (7)

nr \ ^ ^ n, m dn, m X 1n, m (ю) rv / \

ß (x, y, Ю) = X -~-TT- Э n, m (x, y) • (15)

n, m=1 X 2 n, m (Ю)

Тогда из (14) с применением (15) получаем

T d

Ф n, m =J un, m (t) dt = n' m

n, m J n, m

0 Ц n,m Ю

• 2 т~т

Sln Ц n, m юТ

1 - COS Ц n,m ЮТ + -

+ Y n, m (Ю), (16)

1" COS Ц „, и юТ

где уn m (ю) = и m (t,ю)dt. Для определения неизвестного коэффициента m требуем

о

выполнение следующего условия

n,m (ю) = 1 - COS Ц n,m юТ Ф 0. (17)

Тогда из (16) находим

dn, m • (Ф n, m -У n, m (ю)) . (18)

Подставляя (18) в формулу (14), получим

Un, m (t, Ю) = • (ф n, m -У n, m (ю)) 6 0 n, m (t, ю) + ^ n, m (t, ю)

или

k

Un, m (t, Ю) = Ф n, m Bn, m (t, ю) + ¿, n, mDm, m (t, ю) + ß n, m E n, m (t, ЮХ (19)

¿=1

в котором

ц nm ю sin ц nm юТ

B n, m (t, ю) = —:--6 0 n, m (t, ю), 6 0 n, m (t, ю) = Sin Ц n, m ^ +-• COS Ц n, m ^,

2 ^ n, m (ю)

Т

D¿n, m (t, ю) = ht n, m (Т, ю) 6 2 n, m (t, ю) + К n m (t, ю) - В n m (t, ю) J hln m (t, ю) dt,

0

Еп,т(г,ю) = 51п,т(Т,ю)52п,т(г,ю) + 51п,т(г,ю)-Вп т (г,ю)|51п,т(г,ю)йг,

0

1 г

кгп, т (г, ю) =- I Ц п, т ю(г - 5) аг (5) й5, г = 1, к,

Ц п, т ю 0

1 '

5 1п, т (г, ю) =- I ^ Ц п, т ю(г-5) а (5) й5,

Ц п, т ю 0

5 2 п, т (г, ю) =

1

° п, т (ю)

, 5 0 п, т (г, ю) • Т

С08 Ц п,т юг----эт Ц п,т юТ

, Ц ,

л I 2 2

ул/п + т .

Подставляя (19) в (11), получаем систему из счетных систем алгебраических уравнений (СССАУ)

к

* гп, т - V X* ]п, тНЦп, т (ю) = ф п, т ^1гп, т (ю) + Р п, т ^ 2гп, т (ю), (20)

7=1

Т

где Нг:п, т (ю) = | Ъ г (5) И:п, т (5, ю) й5,

0

Т Т

^1гп, т (ю) = | Ъ г (5) Вп, т (5, ю) й5, ^ 2 гп, т (ю) = / Ъг (5) Еп, т (5, ю) й5. 0 0

Отметим, что из линейной независимости системы функций аг (г), г = 1, к и

системы функций Ъi (5), г = 1, к следует, что И^пт (ю)ф 0. СССАУ (20) однозначно разрешима, если выполняется следующее условие

. . -VИ,

А п, т ^, ю) =

1 ^И11 п,т ^И12 п,т

-VИ 21 п, т 1-VИ 22 п, т

Ик1 п,т Ик2 п,т

-V И

1кп,т 2к п,т

. . . 1-VИ

кк п

ф 0.

(21)

Если это условие выполняется, то система (20) имеет единственное решение при любой конечной ненулевой правой части. Решения СССАУ (20) записываются в виде

А 1гп,т (V,ю) , „ А 2гп,т (v,ю) . 7~Т * гп, т (ю) = ф п,т ^-;-Г +Р п~ - , г = 1, к

А п, т ^, ю) , А п, т ^, ю)

(22)

где А пп,т(v, ю) =

]гп, т

1-V И -V И

11п, т ... V И 1(г-1)п, т ^ 1п, т V И 1(г + 1) п, т ...

... И 2(г-1)п, т 2п, т -V И 2(г+1) п, т ...

21 п , т

-V И -V И

1к п,т

2кп,т

-V И

к 1п, т ... V И к (г-1)п, т ]кп, т V И к (г+1) п, т

... 1-V И

ккп,т

, 7 = 1,2

Подставляя (22) в (19), получаем

где

ЫИ, т (г,V) = ф п, т т (г,v) + Р п, т МИ, т (г,v),

Рп, т (г, Ю, ^ = Вп, т (г, ю) + V X А 1гп," ^, ю) Иг п, т (г, ю) :

г =1 А п, т (V, ю)

Т

Мп т (/,Ш, V) = Еп т (,ш) + V £ ^, т (у,ш) д п т (,ш) .

, =1 А п, т ^,ш)

Теперь представление (23) подставляем в ряд Фурье (6):

и(1, X, у, Ш, V) = £ [ф п,тРп, т (*, Ш, V) + р п,т Мп, т (*, Ш, V)] Э п,т (X, У) •

п, т=1

3. Регулярный случай

Рассмотрим случай, когда нарушается условие (17).

(24) Пусть

a n m (ш) = 1 - cos р nm ш T = 0 при некоторых ш. Это условие эквивалентно равенству

COS Р nm шТ =1

(25)

где р n m = yVn 2 + m 2 . Уравнение (25) имеет положительные возрастающие решения:

ш, =■

2 y k

Т

, k е Ж, где Ж- множество натуральных чисел. Множество значений

0 < ш к, определенных этой формулой назовём иррегулярным и обозначим через 31.

Множество других значений шк, для которых условие (17) выполняется, назовём

регулярным и обозначим через Л1 = (0, да)\ 31.

Определитель А пт (V, ш) есть многочлен относительно v степени не выше

к. Уравнение А пт (V, ш) = 0 имеет не более к различных действительных корней. Эти

корни называются характеристическими числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Множество таких чисел назовём иррегулярным и обозначим через 32.

Другие значения v назовём регулярными и их множество обозначим через Л2 = [(—да, 0)^(0, да)]\32. Для vеЛ2 условие (21) выполняется. Примем обозначение

К1 = {(ш,V): шеЛ 1, V е Л2} Для регулярных значений (ш,V) еК1 имеет место

разложение (24) в ряд Фурье. Поэтому в данном случае решение краевой задачи (1)-(4) в области О представляется в виде ряда (24).

Покажем, что при определенных условиях относительно функций ф( х, у) и Р(х, у) ряд (24) сходится абсолютно и равномерно. При всевозможных п, т и регулярных (ш,V) еК1 справедливы оценки

n, m=1

Z | Un, m (t, ш, v)| < С1 (t,ш, v) < С1

^^ | Фn, m

n, m=1

+ Z |P n,m

n, m=1

Z

n, m=1

u „

Z

n, m=1

Ф,

+ Z P n,

n, m=1

(26) (27)

где C1 = max{C 11 ; С12 },

С11 = max< max \Fn m (t,ш, v)| ; max \m n m (t,ш, v)|

m, n [te[0,T]! , 1 te[0,T^ , 1

С12 = max \ max

m, n Ite[0,T]

Кm (t,ш, V)

max

te[0,T ]

m' (t,ш, v)

< да,

< да.

Условия А. Пусть функции ф(х,у), р(х,у) е С ([0;/] х [0;/]) на сегменте [0;/] имеют кусочно-непрерывные производные до третьего порядка и

ф(0, у) = ф(/, у) = ф(х ,0) = ф(х, I) = 0, ф XX (0, у) = Ф XX (/, у) = Ф XX (Х ,0) = Ф XX (х) = 0,

фуу(0,у) = фуу(/,у) = фуу (X,0) = фуу (X,/) = 0, р(0,у) = р(/,у) = р(X,0) = Р(X,/) = 0,

да

да

Р хх (0, у) =Р хх (I, у) =Р хх (х ,0) = р хх (х, I) = 0,

р уу (0, у) =Р уу (I , у) =Р уу (х ,0) =Р уу ^ , I) = 0.

Тогда путем интегрирования по частям три раза по переменной х интегралов в (15) и (9) получаем, что

Ф,

—

/ ^ тт

l I Ф n, m о î, , ß n

К

—

n'

113 ßn,

К

где

Ф"

= J} д3Ф(x,у)»,

00 l I д3

д x:

Р'П,m = JJ ».

00

д x3

(x, y) d xd y,

(x, y) dxdy.

(28)

(29)

(30)

Путем интегрирования по частям три раза по переменной у интегралы (29) и (30)

получаем, что

_

Ф П, m

' 7 \3

I I Фп,m

—

к у m"

где

VI Ф n, m

ll яб .

ß"' = -I

г n, m

I Y ßVI

l I И n, m

к у m

3

(31)

Я ^"г » n,m (x, y) dxdy, ß VI m = J J д^^Т » n,m (x, y) dxdy.

00 дx дy3

00 дx дy3

Здесь справедливы неравенства Бесселя

2

£

n, m=1

VI Ф n, m

l l

2 4 rr

JJ

l 00

д 6 Ф ( x, y) д x3 д y3

Из (28) и (31) следует, что

Ф n

œ г 1? A l

dxdy, £ [ß VIm. J J

n, m=1 l 0 0

Г116 ß

д 6 ß ( x, y) д x3 д y3

dxdy.

116 ФИ

3 3

к у n m

— ß

4 5 H n

6 qVI n, m

к у n3 m3

(32)

Учитывая оценку (26), формул в (32) и применяя неравенства Коши-Буняковского и Бесселя, для ряда (24) получим

2

\U(t,x,y,ш, v)| < - £

l n, m=1

un, m (t, ш, v)

. К n sin — x I

. к m sin-y

l 7

<

<

где у 1 =■

- Y i I \

- C1 Г116

1

n, m=1 n m

l l J J

0 0

д 6 Ф (x, y)

д x3 д y3

dxd y +

ll J J

00

д 6 ß (x, y)

д x3 д y3

dxdy

<œ, (33)

l

К

Из (33) следует, что ряд (24) абсолютно и равномерно сходится в области О . Для функции (24) с учетом оценок (26) и (27) и применяя неравенства Коши-Буняковского и Бесселя, аналогично (33) легко показать непрерывность всех производных, входящих в уравнение (1). Следовательно, в области О функция и (г, х, у, ю, V), определенная рядом (24), удовлетворяет условиям задачи.

Для установления единственности решения прямой задачи (1)-(4) покажем, что при

Т

однородном интегральном условии |и(г,х,у,ю, V) йг = 0, 0 < х,у < I и нулевой правой

части (Р (х, у) = 0) краевая задача (1)-(4) имеет только тривиальное решение.

2

да

2

2

0

Предположим, что ф(х,y) = 0, р(х,y) = 0. Тогда фn,m = 0, Рn,m = 0 и из формулы (23) и (7) следует, что

11

JJU(t,х,y,ш, v)Эn,m (х,y) dxdy = 0, n,m = 1,2,... .

00

Отсюда в силу полноты систем собственных функций j sin —^ х

|^|ysin —■my | в Z2 ([0,l] х [0,l]) заключаем, что U(t,х,y, ш, v) = 0 для всех х,y е[0,l]

и t e[0,T]. Следовательно, если выполняются условия (17) и (21), то для прямой задачи (1)-(4) существует решение и это решение единственно в области Q.

Лемма 1. Пусть выполняются условия А. Тогда прямая задача (1)-(4) при фиксированных значениях Рп т однозначно разрешима в области Q при всевозможных

n, m и (ш, v) еК ^. Это решение определяется рядом (24). При этом возможно

почленное дифференцирование ряда (24) по всем переменным и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

4. Определение коэффициента в обратной задаче Теперь определим неизвестный коэффициент р (х, y). С этой целью воспользуемся условием (5). Тогда из (23) получаем

l l llT

ш,

V n, m = JJV (х, y) Э n, m (х , y) dxdУ = JJJ0 (t)U (t, х, y, ш , v) dt Э n, m (х, y) dxdУ =

0 0 0 0 0

T

= J© (t) Un, m (t, ш, v) dt = Ф n, m X 1n, m (ш , v) + Р n, m X 2 n, m (ш , v),

'n, m ( , Ш, v)=Ф n, m X 1 n,m (ш , v) ^Р n, m X 2n,m'

0

T T

где % 1п,т (ш, V) = |0(г)^ т (г,ш, у)М, % 2п,т (ш, V) = |©(г)М„,т (г,ш, у)М. 0 0 Отсюда определяем, что

О _ V п, т _ф п, т х 1 п, т У)

Р п, т = / ч . (34)

X 2 п, т у)

Проверяем условие, что в (34) %2п т (ш, у) ф 0. Предположим

т

х 2 п, т (ш, у) = 1 © (г) Мп, т (г, ш, V) dг = 0. (35)

0

Применяем теорему о среднем. По условию постановки задачи © (г) ф 0, г е [0, Т]. Тогда

т

из (35) получим, что | Мп т (г,ш, у)dг = 0. Анализ функций Мп т (г,ш, у) показывает,

0

что это возможно, если справедливы следующие равенства

Т т

| sinр п,т ш(Т - г)аг (г)dг = 0, | sinр п,тш(Т - г)а (г)dг = 0 (36)

0 0 для ше^. Применяем теорему о среднем к равенству (36). По условию постановки

задачи а, (г) ф 0, а (г) ф 0, г е[0, Т]. Тогда из (36) получаем, что

т

| sin р пт ш(Т - г)dг = 0. Вычисляя этот интеграл, приходим к тригонометрическому

0

уравнению cos ^ n m ш T = ■

= —л/n2 + m2 . Множество положительных

возрастающих решений ю к этого уравнения обозначим через 3 3. Так как 3 3 ^Л1, то рассмотрим ю к е Л3 =Л 1 \33 . Для всех ю к е Л3 выполняется условие %2п,т (ю) ф 0.

Через К 2 обозначим множество К 2 = {(ю, у): ю е Л 3, у е Л 2 } В силу достаточной гладкости функций у (х, у), ф(х, у), покажем, что следующий ряд сходится абсолютно и равномерно

п/ ч ^ у п, т _ф п, т % 1 п, т У) п , \

Р(х,У) = X ---Г- ^ п,т (х, У). (37)

п,т=1 % 2п,т (ю, У)

Условия Б. Пусть функция у (х,у) е С2([0;/] х [0;/]) на сегменте [0;/] имеет кусочно-непрерывные производные до третьего порядка и

у (0, у) = у (/, у) = у (х,0) = у (х,/) = 0, у хх (0, У) = у хх (/,У) = у хх (х,0) = у хх (х,/) = 0,

У уу (0, у) = у уу (/, у) = у уу (х,0) = у уу (х, /) =

Для этой функции справедливы оценки

У n, m

ll л6.

I | У n, m

IT I ""3 3' z

KJ n m n, m=1

VI У n, m

2 4 \\

<72 и

l 00

а6 У (x, у)

3 а ,.3

а x а у

dxdy,

(38)

где у V,т =Я^гу(иг Эп,т (х,у) dхdy. 00 ^ х а у

Учитывая формул (26) и (38) и применяя неравенство Коши-Буняковского, для ряда (37) получим

ода/

iß (x, y)i - 2 z (

l n, m=1

У,

+

Ф n

X

1n,m (ш' v) )■

0 да

- 2 z

1 n, m=1

f

У n, m + С1 Ф n, m

V

\( T

' J

X 2 n, m (Ш' v)

N -1

-1

-

" 2 J|

V 0

< ■

2 (l

С 02l V —

. 3 „„ 3

n, m=1 n m

VI У n, m

+ С

1

01 z 3 3

n, m=1 n m

VI Ф n, m

<

-

<y.

V

n, m=1 n m

l l

i i

0 0

а6 у (x, у)

а x3 а у3

T

2 (l

dxdy+С

01

ll

i i

00

а6 ф (x, y)

а x3 а у3

d у d x

< да, (39)

где у3 =—1-1 , С0i = С J|0(t)|dt, i = 1,2, С2 J|0(t)|dt < min x 2n,m(ш, v). C 02l V—J 0 0 m'n

Из (39) следует, что ряд (37) сходится абсолютно и равномерно в области

{0 < x, у < l}. Подставляя (34) в (24) окончательно определим основную неизвестную

функцию U(t,x,у,ш, v) :

Mn, m (t, Ш, V) .

U (t, x, у, ш, v) = £ Ä n, m (x, у)

n, m=1

У n

f

+ Ф n

Fn,m (t,ш, v) -Mn,m (t,ш, v)

X 2 n, m (ш, v) X 1n, m (Ш v)

Y

(40)

% 2п,т (ю, у)

Для ряда (40) нетрудно доказать справедливость оценок, которые доказаны для случая ряда (24). При этом имеет место почленное дифференцирование ряда (40) по всем

1

2

T

0

6

1

да

да

2

2

1

да

6

T

переменным и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

Теперь покажем, что решение интегро-дифференциального уравнения (1) и (V, х, у, ю, у) устойчиво по функции восстановления р (х, у). Пусть и, х, у, ю, у) и

и2(1,х,у,ю, у) — два различных решения краевой задачи (1)-(4), соответствующие двум

различным значениям функции восстановления ^ (х,у) и р2 (х,у), соответственно.

Положим, что |р 1п, т — р 2 п, т| <5 п, т, где 0 <8 п, т — достаточно малые величины,

ТО

что ряд X 5 п, т сходится. Тогда с учетом это, в силу условий теоремы, из (24) имеем

п, т=1

2

и^, х, у, ю, у) — и2(г, х, у, ю, у) <- X Мп, т (V, ю, у) -р 1п, т —Р 2п,

1 п, т=1

<

2

<— тах

I *е[0,Т]

Мп, т (V , ю , у) Х5 п

п, т=1

Отсюда окончательно получаем утверждения об устойчивости решения интегро-дифференциального уравнения (1) по функции восстановления, при этом положим

2 то

8= -таХ Мп, т ( , ю , у) X5 п, т • Ье[0, Т] , п, т=1 ,

Аналогично можно показать, что решение интегро-дифференциального уравнения (1) и(V,х,у,ю, у) устойчиво по заданной функции ф(х,у).

Лемма 2. Пусть выполняются условия А и Б. При всевозможных п, т и (ю, у) еК2 решения обратной задачи (1)-(5^ однозначно определяются из рядов (37) и (40). При этом решение интегро-дифференциального уравнения (1) и(V, х, ю, у) устойчиво по функции переопределения р (х, у) и по заданной функции ф (х, у).

5. Иррегулярные случаи

5.1. Случай 1. Рассмотрим иррегулярные значения параметра юеЗ3 и регулярные

значения параметра уеЛ 2, т.е. % 2 пт (ю) = 0. Принимаем обозначение К3 = {(ю,у): юе^, уеЛ2| Необходимым условием существование решения является ф п,т = 0 . Тогда у п,т = 0 и вместо формулы (34) имеем р п,т = Сп т , где Сп,т — произвольные действительные числа. Отсюда приходим для (ю, у) еК 3 и всевозможного п, т к ряду

ТО

р(х,у) = X Сп,т а п,т (х,у), (41)

п, т=1

ТО

и (V, х, у, ю, у) = X Сп, тМп, т (V, ю, у) Э п, т (х, у), (42)

п, т=1

где Сп,т — произвольные действительные числа.

Лемма 3. Для всех (ю,у) еК3 и всевозможных п, т обратная задача (1)-(5)

имеет бесконечное множество решений и эти решения определяются из рядов (41) и (42). Необходимым условием существование решения является ф(х, у) = 0.

5.2. Случай 2.

Теперь рассмотрим регулярные значения параметра ю е Л1 и иррегулярные значения параметра уеЗ2, т.е. Апт(у,ю) = 0. Итак рассматриваем случай, когда нарушается условие (21). Принимаем обозначение К 4 ={(ю, у): юеЛ 1, уеЗ 2|

ТО

Необходимым условием существование решения в данном случае является либо 1)

Bn,m (s, ш) = 0. En,m (s, ш) = 0 ; либ° 2) Ф n, m = 0 p n, m = 0 .

Рассмотрим первый вариант: Bnm (s, ш) = 0, Enm (s, ш) = 0. Это возможно, если для регулярных значений параметра юеЛ 1 выполняются условия

sin^n mшТ

5 0 n, m (t.ю) = sin ^ n, m ш +-• C0s ^ n, m = 0

a n, m (Ю)

1 t

5 1n, m (t , Ю) =- í Sin ^ n, m ®(t " S) a (s) ds = 0-

^ n, m Ю 0

К сожалению, эти условия выполняются только для иррегулярных значений параметра юе31. Первый вариант отпадает. Теперь рассмотрим второй вариант:

Фnm = 0, Pn m = 0. Тогда приходим к однородной системе из счетных систем

алгебраических уравнений (ОСССАУ)

k

Т i n , m +V ZT jn,mHijn,m (ю) = (43)

j=1

ОСССАУ (43) имеет некоторое число p (1 < p < k) линейно независимых ненулевых

вектор-решений {т((2 т , т т , .... т klm } t = 1-Р. функЦии

k _

u tnm (t,ш, v) = v£t (t) Dinm (t,ш) , t = 1,p будут нетривиальными решениями

i=1

соответствующего однородного уравнения

k T

un^ m (t, ш, v) = v£ íO in, m (t, s, ш) u„, m (s, Ш, v) ds , (44)

i=1 0

где Фги,m (t,s,ш) = Din,m (t,ш)bi (s).

Общее решение однородного интегрального уравнения (44) можно записать в виде

Р

u n,m (t, ш, v) = Zqt ut,n,m(t, ^ v), (45)

t=1

где q ¡, - произвольные постоянные. Подставляя (45) в ряд Фурье (6), получаем

да р

U (t, X, y, ш) = Z Z q t u t, n, m (t, ш, v) Э n, m (x, y). (46)

n, m=1 t=1

Следовательно, для всех (ш,v) gK4 и всевозможных n,m справедливо разложение

(46). При этом необходимым условием существование решения прямой задачи является Ф (x, y) = 0, p (x, y) = 0.

Лемма 4. Для всех (ш, v) eK 4 и всевозможных n, m справедливо разложение (46).

При этом необходимым условием существование решения прямой задачи (1)-(4) является Ф (x, y) = 0, p (x, y) = 0. В данном случае, прямая задача имеет бесконечное множество решений, а функция переопределения - тривиальная. 5.3. Случай 3.

Рассмотрим случай (ш, v) gK5 ={(ш, v): ше31, ve (-да; 0) ^ (0, да)}, т.е. случай когда ше31 - иррегулярные, а ve (-да; 0) (0, да) - пока произвольные

действительные числа отличные от нуля. В данном случае теряет смысл формула (14). Из (12) приходим к представлению

n, m (t, ш) = ~n, m (C0S ^ n, m ш t + Sin ^ n, m Шt )+v Z Т in, mhrn, m (t, ш) + P n, m 5 1n, m (t, ш) , (47)

i=1

где йпт — произвольные постоянные. Подставляя представление (47) в формулу (11), приходим СССАУ

где

к ~

Т гп,т —у ХТ ]п,тОг]п,т (ю) = й п, т Яип.т (ю) + р п,т б 2ш,т (ю), ]=1

бип.т (ю) = Т Ъ1 (в) [

СОБрп т ю5 + Б1Прп т ю5

,

(48)

б 2 г п, т (ю) = | Ъг (5) 5 1п, т , ю) , Ог ] п, т (ю) = / Ъг (5) ] т , ю) •

0 0

СССАУ (48) однозначно разрешима, если выполняется следующее условие

• • • —уО,

А п,т (у, ю) =

1 у 011 п, т у 012 п, т • • • у 01кп, т

уО 1 уО • • • уО

21 п , т 2 2 п , т 2 к п , т

у 0к 1 п, т у 0к 2 п, т • • • 1 у 0ккп, т

ф 0^

(49)

Предположим, что выполняется условие (49). Тогда согласно свойству

определителя имеем Агп,т (у,ю) = ~п,т А1гп,т (у,ю) +рп,т А2гп,т (у,ю) , где А]гп,т(у,ю) =

1 — у 011п, т

— у О г

у 01(г—1)п, т б] 1п, т у 01(г+1) п, т

21п, т

— у О,

• •• —у О

• •• —у О

1к п,т

— у ^Т — V О

_ ч. . 3... ] 2п, т 2(г + 1)п, т 2кп, т

уО уО

0 ,-г-„ », у», ••• 1 уО

к 1п, т ••• у Ок (г—1)п, т б]кп, т у Ок (г+1) п, т

Поэтому решения СССАУ (48) записываются в виде

ккп,т

, ] = 1,2 •

* гп, т (ю) = йп

к 1г п, т

(у, ю)

+ р п

к 2г п, т

(у, ю)

:(у , ю)

г = 1, к •

А п, т (у, ю)

Подставляя (50) в (47), получаем

ип, т С, ю) = ~, т У1п, т , Ю, у) + р п, т У2 п, т (/, ^ у) ,

(50)

(51)

где У1п,т (1,Ю,у) = уХ

к А

1гп, т

(у, ю)

=1 А п, т (у, ю)

Нгп, т (, ю) + СОБ Р п, т Ш + Б1П Р п, т ю

к А

У2п,т (*,Ю,у) = у X"

2 г п, т

(у, ю)

кгп, т (*, ю) + 5 1п, т (*, ю) •

г =1 А п, т (у, ю)

Теперь приступим к определению коэффициента переопределения р (х, у). С этой целью воспользуемся условием (5). Тогда из (51) получаем

У,

= 1©(0ип,т ,ю)= ~п,т % 1п,т (ю) + р п,т % 2п,т (ю),

где Хщ, т (ю) = |0 (Т)УХп, т (V, ю) йг, % 2 п, т (ю) = /© (^У2 п, т (', ю) ¿г •

Отсюда определяем, что

р п, т

V п,т —йп,т % 1п,т (ю)

% 2 п, т (ю)

(52)

Нетрудно убедиться, что условие выполнения % 2п, т (ю) ф 0 совпадает с условиями выполнения % 2пт (ю) ф 0^ Как показано выше для всех ю к еЗ 3 нарушается условие

145

0

0

0

0

X 2п, т (ю) ^ 0- Но, мы рассматриваем случай ю к ё31. Так как 31 п>3 3 = 0, то для ю к ё31 всегда выполняется условие ~2п,т (ю) ^ 0.

Определитель А п т (у, ю) в (49) есть многочлен относительно V степени не выше

к. Уравнение Аи т (у, ю) = 0 имеет не более к различных корней. Эти корни являются иррегулярными числами для данного случая. Множество таких чисел обозначим через 3 4. Другие значения V назовём регулярными и их множество обозначим через

Л4 = [(—да, 0)^(0, да)]\34. Для уеЛ4 условие (49) выполняется. Примем обозначение К6 ={(ю, у): юе31, уеЛ 4} Очевидно, что К 6 5. Для всех (ю, у) еК 6 и всевозможных п, т из (52) получаем, что справедливы разложения

п/ \ да У п,т — ^п,т х 1 п,т (ю) п , Л

Р(х,у,ю) = £ -,-~ , '- Э п,т (х, У), (53)

п, т=1 X 2 п, т (ю)

U (t, X, у,ш) = X S и>и (X, у)

n, m

n, m=\

~ ТЛ f* \ ^ n, m dn, m X 1n, m (ш) Л dn, m V1n, m (t> Ш V) +-~-—- V2 n, m (t, Ш > ^

X 2 n, m (Ш)

(54)

где dnm - произвольные постоянные.

Лемма 5. Для всех (ю, v) еК6 и всевозможных n, m для обратной задачи

существуют бесконечное множество решений, для которых справедливы разложения в ряд Фурье (53) и (54). 5.4. Случай 4.

Так как К 6 сХ5, то рассмотрим и случай К7 = \К6 = ((ю, v): ю е 31, ve3 4}, т.е. случай A nm (v, ю) = 0. Здесь QXin m (ю) = 0 для всех юе31. Но, равенство Q 2in m (ю) = 0 выполняется только для юе3 3 и при этом 3i ^3 3 = 0. Поэтому необходимым условием существование решения прямой задачи выступит условие Р n m = 0. В данном случае мы приходим к ОСССАУ

k

Т in,m +V ZT j n, m Gij n,m (ю) = 0 (55)

j=1

T

где Gijn, m (ю) = i Ъг (s) hjn, m (s, ю) ds. 0

ОСССАУ (55) имеет некоторое число ~ (1 < pP < k) линейно независимых

ненулевых вектор-решений (т^, т 22, m,..., т ¿2, m }, г = 1, pP. Функции

k _

7, m (t, ю, v) = vZt hinm (t, ю), г = 1,~

U In,m ^,Ю V) = V

г=1

будут нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

k T

Un, m (t, Ю V) = VZ J ^n, m (t, S,ю) Un, m (s, Ю V) ds , (56)

г =1 0

где Win,m (t, s, Ю) = hin,m (s, Ю) bi (s)-

Общее решение однородного интегрального уравнения (56) можно записать в виде

U n,m (t. V) = ^ U^,n,m(t. Ю V). (57)

^=1

где а i — произвольные постоянные. Подставляя (57) в ряд Фурье (6), получаем

то p

U (t, X, y, ш) = X Еа i Ui, n, m (t, Ю> v) Э n, m (х, yX (58)

n, m=1 i=1

Следовательно, для всех (ш,v) еК7 и всевозможных n,m справедливо разложение

(58). При этом необходимым условием существование решения прямой задачи является ß ( x , y) = 0.

Лемма 6. Для всех (ш,v) еК7 и всевозможных n, m для уравнения (1) существуют

бесконечное множество решений, для которых справедливо разложение (58). При этом необходимым условием существование решения прямой задачи является тривиальность функции переопределения ß (х, y) = 0.

2.4.6. Основной результат Как основной результат данного параграфа, сформулируем теорему. Из справедливости доказанных выше лемм, что справедлива следующая

Теорема. Пусть выполняются условия А и Б. Тогда прямая задача (1)-(4) однозначно разрешима в области Q при всевозможных n, m и (ш, v) еК1. Это решение

определяется рядом (24). При этом возможно почленное дифференцирование ряда (24) по всем переменным и полученные ряды будут сходиться абсолютно и равномерно. Кроме того, при всевозможных n, m и (ш, v) еК2 решения обратной задачи однозначно

определяются из формул (37) и (40). При этом решение интегро-дифференциального уравнения (1) U (t, х, y, ш) устойчиво по функции восстановления ß (х, y).

Для всех (ш,v) еК3 и всевозможных n, m обратная задача разрешима и бесконечное множество решений определяется из рядов (41) и (42). Необходимым условием существование решения является ф n m = 0.

Для всех (ш,v) еК4 и всевозможных n,m справедливо разложение (46).

При этом необходимым условием существование решения прямой задачи является ф (х, y) = 0, ß (х, y) = 0. В данном случае, прямая задача имеет бесконечное множество решений, а функция переопределения - тривиальная.

Для всех (ш, v) еК 6 и всевозможных n, m для обратной задачи

существуют бесконечное множество решений, для которых справедливы разложения в ряд Фурье (53) и (54).

Для всех (ш,v) еК7 и всевозможных n,m для прямой задачи существуют

бесконечное множество решений, для которых справедливо разложение (58). При этом необходимым условием существование решения прямой задачи является тривиальность функции переопределения ß (х, y) = 0.

Список литературы

1. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сборник. - 1990. - Т.181. - № 1. - С. 68-74.

2. Аниконов Ю.Е. Обратные задачи математической физики и биологии // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 318. - № 6. - С. 1350-1354.

3. Баев А. В. Использование преобразования Радона для решения обратной задачи рассеяния в плоской слоистой акустической среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. -2018. - Т. 58. - № 4. - С. 550-560.

4. Козлитин И. А. Восстановление входных параметров расчета внешней баллистики тела по результатам траекторных измерений // Мат. моделирование. - 2017. -Т. 29. - № 9. - С. 121-134.

5. Гордезиани Д.Г., Самарский А.А. Некоторые задачи термоупругости пластин и

147

оболочек и метод суммарной аппроксимации // Компл. анализ и его приложения. - М.: Наука, 1978. - С. 173-186.

6. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 1. - С. 94-103 .

7. Белов Ю.Я. Полынцева С.В. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения // Доклады РАН. - 2004. - Т. 396. - № 5. - С. 583-586.

8. Белов Ю.Я., Фроленков И.В. Некоторые задачи идентификации коэффициентов полулинейных параболических уравнений // Доклады РАН. - 2005. - Т. 404. - № 5. -С. 583-585.

9. Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19. - № 12. - С. 2166-2169.

10. Денисов А. М. Единственность и неединственность решения задачи определения источника в уравнении теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 2016. - Т. 56. - № 10. - С. 1754-1759.

11. Искендеров А.Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 5. - С. 890-898.

12. Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Восстановление коэффициента диффузии, зависящего от времени, по нелокальным данным // Сиб. журн. вычисл. матем. - 2018. -Т. 21. - № 1. - С. 55-63.

13. Камынин В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения // Мат. заметки. -2003. - Т. 73. - № 2. - С. 217-227.

14. Кожанов А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. мат. журнал. - 2005. - Т. 46. - № 5. - С. 1053-1071.

15. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сборник. -1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49-68.

16. Саватеев Е.Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // Доклады РАН. - 1995. - Т. 344. - № 5. - С. 597-598.

17. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 9. - С. 1577-1583.

18. Юлдашев Т.К. О разрешимости одной краевой задачи для дифференциального уравнения типа Буссинеска // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - № 10. - С. 1411— 1419.

19. Юлдашев Т.К. Об одной нелокальной краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырождением ядра // Дифференц. уравнения. - 2018. - Т. 54. - № 12. - С. 1687-1694.

20. Юлдашев Т. К. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение псевдопараболического типа с нелокальным интегральным условием // Вестник ВолГУ. Серия 1. Математика. Физика. - 2016. - Т. 32. - № 1. - С. 11-23.

21. Юлдашев Т. К. Нелокальная смешанная задача для интегро-дифференциального уравнения типа Буссинеска с вырожденным ядром // Укр. мат. журн. - 2016. - Т. 68. - № 8. - С. 1115-1131.

22. Юлдашев Т. К. Нелокальная краевая задача для неоднородного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Вестник ВолГУ. Серия 1. Математика. Физика. - 2017. - Т. 38. - № 1. - С. 42-54.

23. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной задаче для неоднородного интегро-дифференциального уравнения типа Буссинеска с вырожденным ядром // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017. - Т. 159. - № 1. - С. 88-99.

24. Юлдашев Т. К. Об одной краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка с вырожденным ядром // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - Т. 145. - М.: ВИНИТИ РАН, 2018. - С. 95-109.

25. Юлдашев Т. К. Об одной нелокальной обратной задаче для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Веппеу-Ьике с вырожденным ядром // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. - 2018. - № 3. - С. 19-41.

26. Юлдашев Т. К. Определение коэффициента и классическая разрешимость нелокальной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Бенни-Люка с вырожденным ядром // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - Т. 156. - М.: ВИНИТИ РАН, 2018. - С. 89-102.