CC BY
10
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
РЕГРЕССИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЙ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИСПЫТАНИЯ ЛЁССОВОГО СУГЛИНКА
1 2 Будикова А.М. , Байманов Т.О.
1Будикова Айгуль Молдашевна - кандидат технических наук, старший преподаватель; 2Байманов Турар Оразайулы - магистрант, кафедра архитектуры и строительного производства, Кызылординский государственный университет им. Коркыт Ата, г. Кызылорда, Республика Казахстан
Аннотация: в статье анализируются условия строительства и изучение просадок лёссового грунта в зависимости от давления и влажности на лабораторных приборах. Модель компрессионного сжатия для определения относительной просадки становится недостаточно достоверной, поэтому предложены эмпирические формулы для определения характеристик лёссового замоченного грунта путем статистической обработки результатов испытания образцов замоченного грунта под нагрузкой в лотке.
Статистическая совокупность, содержащая все исследуемые элементы, называется генеральной. Исследования проводились для восьми различных давлений и значений влажности. Поскольку просадки при различной влажности и одинаковом давлении отличаются друг от друга, было исследовано пять выборок.
Ключевые слова: основание, механика грунтов, просадочные грунты, лессовые породы, геологическое исследование.
УДК626/627:631.6
Регрессионные уравнения для исследуемых зависимостей можно строить лишь тогда, когда между ними существует статистическая связь. Наличие связи было проверено путем сравнения коэффициента корреляции и соответствующей критериальной статистики.
Для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции r использовалась функция КОРРЕЛ Microsoft Excel.
Критериальная статистика вычислялась по формуле:
2
T = r4n —(1) V1 —
г2
При условии истинности Н0 статистика Т имеет распределение Стьюдента со степенью свободы п-2. Для этого же числа степеней свободы вычисляется ^ как квантиль порядка 1-а/2. Гипотеза Н0 принимается, если выполняется неравенство /Т/<кр. Результаты расчетов приведены в таблице 1.
Таблица 1. Критерий независимости для двумерных выборок при уровне значимости а=0.05
p=0 МПа р=0,04МПа p=0,05МПа p=0,1МПа p=0,2МПа
точечная
оценка коэффициента корреляции, г 0,997 0,978 0,981 0,934 0,958
Критериальная статистика, Т -24,113 -7,336 -8,094 -3,498 -4,858
квантиль, t 0,0329 0,0340 0,0340 0,0340 0,0340
Модель парной регрессии представляется в теоретическом виде [7]:
Y=pO+pix+s, (2)
где: pO, pi - теоретические параметры (теоретические коэффициенты) регрессии; s - случайное отклонение (возмущение, ошибка).
Для определения теоретических коэффициентов необходимо использовать все значения Х и У генеральной совокупности, что практически невозможно. При выборке ограниченного объема мы можем построить эмпирическое уравнение:
у= b0+b1x, (3)
где: у - оценка условного математического ожидания У; b0, b1 - оценки неизвестных параметров pO, pi или эмпирические коэффициенты регрессии.
В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки b0, b1 практически всегда отличаются от истинных. Требуется по конкретной выборке найти их так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей среди всех других прямых. Мерами качества найденных оценок служат определенные композиции отклонений ei [1].
Пусть по выборке (х^ yi) i=1, 2...n требуется определить оценки b0, b1 эмпирического уравнения регрессии. Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод наименьших квадратов. Он был предложен Гауссом более 150 лет назад. Здесь вычисляются такие оценки, которые минимизируют сумму квадратов отклонений точек от подгоночной прямой.
При использовании МНК минимизируется следующая функция [6]: Q=Ze, 2= Е (yi - yi) 2 =E(yi - (b0+b1xi)) 2 (4)
Это квадратичная функция параметров b0, b1 она непрерывна, выпукла и ограничена снизу (Q>0), следовательно, имеет минимум. Решение задачи приводит к значениям коэффициентов.
Регрессионный анализ позволяет определить оценки коэффициентов регрессии. Но это только оценки, они не позволяют сделать вывод о том, насколько точно эмпирическое уравнение регрессии соответствует уравнению для всей генеральной совокупности [2], насколько близки оценки b0, b1 к pO pi.
Линейные регрессионные модели представляются уравнением парной регрессии, где входными данными будут значения давления либо влажности грунта, а выходным параметром - значения просадок (влажности, сцепления).
Для построения модели парной регрессии в Excel можно использовать пакет «Анализ данных», в котором имеется специальная подпрограмма РЕГРЕССИЯ. Этот пакет является дополнительной надстройкой над электронными таблицами и находится в опции главного меню «Сервис».
Оценка качества модели будет происходить по следующим критериям [1]:
1. Установление степени адекватности модели, т.е. соответствия функции отклика экспериментальным данным. Только в рамках адекватной модели можно делать выводы и принимать обоснованные решения. Для проверки адекватности модели необходимо чтобы число степеней свободы было h>0. Это разница между числом опытов N и числом параметров уравнения регрессии m. Например, в линейной модели регрессии 2 коэффициента, m=2, при отрицательном числе степеней свободы МНК не может быть использован.
Проверка адекватности основывается на сравнении дисперсии (рассеивания) экспериментальных значений относительно линии регрессии с их же дисперсией относительно своих математических ожиданий.
Чем больше остаточная сумма квадратов Sr, тем больше рассеивание точек относительно линии регрессии. Деление Sr на h делает критерий независимым от числа опытов. Это - остаточная дисперсия. Оценка значимости производится с помощью критерия Фишера F - критерия. Если вероятность p<0,05, то регрессионная модель значима [3].
2. Оценка способности уравнения регрессии предсказывать значения функции отклика (оценка точности модели). Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детерминации R. Он определяет, с какой точностью регрессионное уравнение описывает изучаемый процесс. Если R>0,95 - высокая точность, 0,8-0,95 удовлетворительная, 0,6 - недостаточная (возможно следует внести новые независимые переменные, учесть нелинейность и т.д.).
3. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессионного уравнения. Происходит по критерию Стьюдента. При р - значении меньшем, чем принятый уровень значимости а коэффициент считается статистически достоверным [5].
Поскольку полученные регрессионные зависимости в дальнейшем не будут использованы для прогноза (при росте влажности лёссового грунта свыше 28% нормальная работа сооружения полностью исключается) приведенных выше статистических оценок качества уравнений вполне достаточно.
При статистическом обобщении результатов испытания лёссового суглинка в лотке была принята точность (абсолютная ошибка) лабораторного определения показателей относительной деформации 0,01, как это установлено нормами. Все полученные опытные величины меньше 0,01 не учитывались, а большие - округлялись до сотой и принимались кратными 0,01. Ступени нагрузки составляли: р=0;0,04;.0,05;0,1;0,2МПа, влажность изменялась от 8% до 26%.
Эмпирические кривые, полученные и исследованные с помощью методов регрессионного анализа, приведены на рисунках 1 - 4.
9
см
Рис. 1. График зависимости Ssl=f(w) при разных давленияхрна плоской модели
Рис. 2. График зависимости
Путем аппроксимации графиков зависимости е81=Д^) (рис. 3.1) при различных значениях давления р и влажности получены следующие формулы для определения относительной просадки [4]:
1) р=0; ез1 = 0^п^)-1,55,
2) р=0,04МПа; ез1 =0,24e0,116w , %,
3) р=0,05МПа; е8 l=1,21e0,055w , %, (5) 4) р=0,1МПа; е^ = 1,30e0,071w, %, 5) р=0,2МПа; е51=1,48е0,83^ %.
сы, МПа
Рис. 3. График зависимости с^=/(»>)
Шз|, %
р, МПа
Рис. 4. График зависимости wsl=f(p)
Путем аппроксимации графика зависимости (рис. 4) wsl=f(p) получена формула для определения средней критической влажности при различных ступенях нагрузки:
wsl =32,6е-7,4 р, %. (6) Для определения угла внутреннего трения фзам и величины удельного сцепления сзам замоченного грунта нами была проведена серия испытаний на сдвиг в приборе прямого плоскостного сдвига образцов лёссового грунта, предварительно замоченных до различных значений влажности, по результатам которых были построены осредненные зависимости фзам и сзам от влажности (рис. 3 и рис. 4) и получены корреляционные зависимости фзам=ДУ) и сзам= ДУ):
Фзам =46,64е"0 0332™ град.; (7) сзам =2,42е"а284^ МПа. (8) 8
По результатам определения характеристик образцов лёссового суглинка природной влажности и замоченного до различной влажности нами получены эмпирические формулы для определения плотности сухого грунта pd зам и коэффициента пористости езам:
Pd зам =Pd прир+ 0,0001w si2+ 0,008wsi; (9)
Yзам=pd зам (1+0,01wsi) g; (10)
езам=еприр- 0,0002wsi2 - 0,0125wrf; (11) Pd »м=(ра прир+0,0001w2+ 0,008w) mi, (12) где: mi - поправочный коэффициент, зависящий от нагрузок ръ принимаемый при р^0,05МПа mj=0,95, р2=0,1МПа m2 =1, р3=0,2МПа m3 =1,02.
Полученные в результате типического выборочного исследования регрессионные уравнения могут быть использованы для расчетов, так как имеют удовлетворительные статистические оценки [7].
Полученные корреляционные зависимости применимы для лёссовидных суглинков, имеющих характеристики в природном состоянии в следующих пределах: удельный вес у0=14,5-16,5 кН/м3; влажность w0=8-10%; влажность на пределе пластичности wp=16-18%; влажность на пределе текучести wL=25-28%; пористость no=46-49%; коэффициент пористости е0=0,870-0,990. Произведенные сравнительные расчеты по формулам (1)-(12) при изменении характеристик грунта в указанных пределах показали, что получаемый разброс результатов не превышает 10%, что допустимо для практических целей.
Список литературы
1. Доброе Э.М. Механика грунтов, Учебник для студентов учебных заведений-Москв. Издательский центр «Академия», 2008. 272 с.
2. Будикова А.М., Тамшыбай Б.С. Ожидаемая совместная просадочная деформация сооружений с учетом области замачивания // «Наука, техника и образование». № 01 (19), 2016. С. 40-42.
3. Будикова А.М., Отепберген Н.О. Инженерно-геологические исследования лессовых просадочных грунтов // Научный журнал РФ «Проблемы науки». № 04 (28), 2018. С. 44-47.
4. Боданов Ю.Ф. Фундаменты от А до Я. Строительство и ремонт фундаментов. Планировка. Технология. Материалы. Москва. Лада, 2006. 224 с.
5. Будикова А.М., Бостандыков Б.Х. Особенности взаимодействия гидротехнических сооружений с лёссовым основанием // Проблемы науки. № 04 (40), 2019. С. 40-43.
6. ГОСТ 20522-2012 Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний, межгосударственный стандарт. Москва, 2012.
7. Будикова А.М. Совершенствование метода расчетного обеспечения эксплуатационной надежности сетевых гидротехнических сооружений мелиоративных систем, возводимых на просадочных основаниях, диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, специальность 05.23.05 -Гидротехническое сооружение. МГУП. Москва, 2008. С. 127.
