CC BY
8
УДК 621.373:530.12
РАЗВИТИЕ МЕТОДА СПИНОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ВАКУУМА
П. А. Вшивцева, А. А.Зубрило, И. В.Кривченков, В. А.Соколов
(.кафедра квантовой теории и физики высоких энергий)
Разработан метод спиновых коэффициентов для интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума. С помощью этого метода получено решение нелинейных уравнений параметризованной постмаксвелловской электродинамики вакуума, описывающее поле магнитного диполя.
В современной теоретической физике большую роль играют различные теоретико-полевые модели, использующие системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Такие уравнения, например, составляют основу общей теории относительности (ОТО), нелинейной электродинамики вакуума [1] и теории калибровочных полей. С общетеоретической точки зрения такая тенденция вполне понятна: природа, как показывают результаты экспериментов [2], нелинейна, и для адекватного описания происходящих в ней процессов необходимо использовать системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Как известно, различные модели нелинейной электродинамики вакуума достаточно долгое время рассматривались как абстрактная теоретическая возможность. Однако в настоящее время их статус существенно изменился, так как проведенные эксперименты по взаимодействию лазерных фотонов с гамма-квантами со всей очевидностью показали, что электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Поэтому в настоящее время одной из важнейших задач теоретической и математической физики является поиск различных решений нелинейных уравнений электродинамики вакуума и на их основе проведение экспериментов по проверке предсказаний различных моделей и выбор среди них наиболее адекватной природе.
Однако исследование нелинейных теоретико-полевых моделей является серьезной математической проблемой из-за отсутствия общих методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому для современной теоретической физики большое значение имеет разработка частных методов интегрирования таких уравнений, применимых только к конкретным разделам [3] теоретической физики. В частности, в ОТО был разработан метод Ньюмена-Пенроуза, на основе которого получена большая часть имеющихся точных решений уравнений Эйнштейна.
В настоящее время возникла острая необходимость разработать аналогичный метод интегриро-
вания уравнений и в нелинейной электродинамике вакуума. Решению этой задачи и посвящена настоящая работа.
Рассмотрим лагранжиан нелинейной электродинамики вакуума [4-5]
107Г с
(1)
где Д/2,/4) — некоторая функция от двух инвариантов 12 = и /4 = Рц1Р,1ПРптРш тензора электромагнитного поля Р^, зависящая от выбора модели нелинейной электродинамики, /г — четырехвектор тока, д — определитель метрического тензора
В частности, в нелинейной электродинамике Бор-на-Инфельда функция Ь имеет вид [6]
1 =
1
-¡9
а4 , а4 .„ Т/4 + Т/|
в то время как в параметризованной постмаксвелловской электродинамике вакуума [7-8]
1 =
32тг
{2/2+е [(т - 2 т)4+4772/4] + о(е2/|)}
--/"4, (2)
с
где £= 1 /В|, а Г)\,Г12,Щ,Щ — свободные параметры теории.
Общековариантные уравнения для электромагнитного поля, получаемые из лагранжиана (1), имеют вид
дь дЬ
р
ы
81
3/4 (3),
4-7Г .
-/
(3)
где V, — ковариантная производная по координате х1 в пространстве-времени с метрическим тензором Р^ =РкпРптРш — третья степень тензора электромагнитного поля.
Кроме этих уравнений необходимо использовать и систему однородных уравнений
VиРпт. "I" V'пРщк "I" V'тРкп — 0-
(4)
Введем четыре специальных базисных изотропных вектора lk, пк, тк и /и|. Векторы lk, пk будем считать действительными, а тк и /и| — комплексно сопряженными. Их скалярные произведения зададим в виде
lklk = nknk = mkmk = nkmk = Lmk = 0,
rv rv rv fl rv '
lknk = -m*kmk = 1.
Используя эти векторы, метрический тензор пеев-дориманова пространства-времени и антисимметричный тензор электромагнитного поля представим следующим образом:
gik = Unk + lkrii- rriim*k - mkm*, (6)
Pik = Um - km)f\ + (hmk - milk)f2 + (hm*k - m*4)/2* + + (rif mk - rriink)h + (щm*k - m*nk)f3* + i(/га,-m*k - m*mk)f4,
где скалярные коэффициенты /i и /4 — действительные, а /2 и /3 — комплексные.
Введем обозначения D = l'Vi, 8 = m'Vi, А = nlVi и 8* = m*ll\7i для ковариантных производных в псевдоримановом пространстве-времени по направлениям базисных векторов. С помощью этих производных можно получить двенадцать комплексных коэффициентов а, ß, 7, е, Л, ß, v, 7г, р, а, т, х, называемых спиновыми коэффициентами:
а = ^ [n'8*li - m*15*rrii], X = m'Dli, -к = -т*1Ощ,
ß=^[ni8li-m*i8mi], p = mi8*li, Х = -т*18*щ,
7 = ^ [n'Ali - m*'Ami], а = m'Sli, ß = -т*'8щ,
£ = ^[n'Dli - m^Drrii], t = m!Ali, v = -т*'Ащ.
Изотропные векторы 4. Щ> тк> скалярные коэффициенты /ь /2, /3, /4 и двенадцать спиновых коэффициентов определяются совместным решением системы уравнений Эйнштейна и уравнений нелинейной электродинамики (3) и (4).
Так как векторы lk, nk, mk, m*k образуют базис, то любой тензор может быть разложен по этому базису. Поэтому и ковариантные производные базисных векторов могут быть представлены в виде
Vf4 = k [(7 + 7*)4 - T*mk — тт*к] +
+ т [(e + e*)4 - X*m ~ xK\ +
+ rrii[-(ß* + a)4 + a*mk + pm*k] + + m* [-(ß + a*)4 + p*mk + am*k], Vitik = li[-(j + j*)nk + vmk + v*m*k] +
+ Щ [-(e + e*)nk + Timk + Tx*m*k] + + rrii[(ß* + a)nk - Xmk - ß*m*k] + + m*[(ß + a*)nk - ßtnk - X*m*k], Vimk = Ii [v*lk - rnk + (7- 7*)mk] +
+ щ [тг*4 - хщ + (е- е*)тк] + + Щ[-р*4 + рпк - (а-/3*)тк] + + т* [-Л*4 + апк + (а* - /3)тк], Уг'/иI = и [и1к - т*пк + (7* - 7)/и|] +
+ щ [тт4 - х*Пк + (£* - е)т1\ + + тп1 [-Л4 + (Т*пк + (а - Р*)т1\ + + т* [-р1к + р*щ - (а* - /3)т*к].
Подставим выражения (6) в уравнение (4). Учитывая соотношения (5) и умножая полученное уравнение на векторы изотропной тетрады, найдем линейно независимые уравнения
81* _ г/2 + ¿Д/4 _ (2/3 - г)/2 + (2Г - г*)/2* +
+ уШ - + (Й* - + КЙ* + = 0, ¿7з* - % + 1Щл - (2а - тг)/з* + (2а* - тг*)/3 -
-Х7г + Х/2 + (Р-Р*)/1 - ¿(Р + Р*)/4 = 0,
¿71 - А/3 + £>/2 + (2е - р)/2 + (27* - -
- Щ + (7Г - Г*)/, - (Т72* - Цж + Т*)[4 = 0. (7) Совершенно аналогично из уравнения (3) получим
{ Г2/з* + 2Г4/З* [Д2 + /4 + /2/3* + 3/27З - /42] } + + 8{У4з + 2Г4/з [Л2 - ¿/1 /4 + /27з + З/2/3* - /42]}-
- £>{Г2/1 +2К} [Д3 +1(/2/3 /2 /з)/4 + 2(/2/|+/27З)/1] }-
-^{¿(Р- Р*)/4-7г/з*-тг7з-(р + Р*)/1 --х/2-Х71 + 2«7З + 2«/|}-
- 2У4{;[^/1/3 - ^/,/3* - х/1/2 + х77г + 20/1/3* —
- 2«77з + р/2/3* - Р*/27з + Зр/2*/з - Зр*/г/з*—
- (Р - Р*)/42]/4 + Л2 [2«/3* + 2«7з - тг7з - тг/з-
- (Р + Р*)/1 - Х/2 - Х*/г*] + /42 [тг/з + т7з-
- 2«7з - 2а/3* + х72* + х/2] + (2« - 7г)/2/3*2+ + (2а* - 7г*)/32/2* - х/|/з* - Х7г2/з - Зтг^/з/з*-
- 37г*/2/3/3* - ЗхШз - Зх*/2/2*/3* - (Р + Зр*)/1/2/3*-
47Г Г
- (р* + Зр)Шз + 6«/2*/з/з* + 6«*/2/з/з*} = --/£, 5* { Г2/2* + 2К4/2* [/,2 - ¿/,/4 + /2*/з + З/2/3* - /42] } +
+ Н Г2/2 + 2К4/2 [Л2 + ¿/1 /4 + /2/3* + 3/2*/з - /42] } + + Д{У2/1 +2К} [Д3 + ¿(/2/3*-Ш/4 + 2(/2/з*+/2*/З)/1] }-
- У2{1(р - р*)14 - (Р + Р*)/1 - (2/3 - т)/2+
+ ^ + _ (2/3*-т*)/2*}-
- 2Г4{г[(т - 2/3)/,/2 - (г* - 2/3*)/72* + ^/,/3*--^*/1/з + (Р-Зр*)/2/3* - (Р* -Зр)/2*/з+
+ (р* - р)/42] /4 + /I2 Из* + ^7з + (т- 2Д)/2 +
+ (г* - 2/3%* - (р + Р*)/1] + /42 [(2/3* - т*)/2* + + (2/3 - т)/2 - ^/3* - ^*/3] + (г- 2/3)/3*/|+
4 ВМУ. Физика. Астрономия. № 5
(3/х + /ЛШз+ 2/3)Шз+
4-7Г
■N
+ (T*-2ß*)hf2*2-(3ß* + ß)fif2fS-+ 3^72/з/З* + 3^/27З/З* + 3(Г-
+ 3(г* - 2/ПШз* + ^/2/3 2 + v*fifi } = D{Y2fi + 2F4/2* [Д2 + /2/3 - ¿/1 /4 + З/2/3* - /42] } +
+ Д{Г2/3* + 2Щ [/f + /2/3 + ¿/,/4 + 3/27З - /42] } + + iS{F2/4+2K4[i(/2/з /2/з)/1 -/43 + 2(/2/з+/2/з)/4]}
- Y2{i{T - 7г*)/4 - (r + 7r*)/i + (27 - /i)/3* + Л7з-
-af2-(2e*-p*)f2*}-
- 2Y4{i[(2е* - р*)/,/2* + (27 - /i)/,/| - а/,/2-- А77з + (г - 3vr*)/2/3* + (Зг - тг*)/27з]/4+
+ /f [А7з + (27 - /i)/3* + (р* - 2е*)/г* - (г + тг*)/, -
- + f! [iß - 2Т)/з + - А7з + (2е* - р*)/2Ч
+ ¿(VГ* - г)/4] + [3(р* - 2е*)/2*/3* + (27 - /i)/f-
- За/27з - ^/2/3 + ЗА7З/З1/2 - [(г + 3vr*)/2/3*+ + (Зг + тг*)/27з]/1 + (Р* - 2e*)ffh + А727з2+
+ 3(27-р)ШЗ*} =
_4тг м с
(8)
где введены обозначения У2 = дЬ/д12, У.4 = дЬ/д].4.
К уравнениям (7) и (8) необходимо добавить уравнения Эйнштейна, записанные в терминах спиновых коэффициентов.
В зависимости от постановки задачи возможны три основных способа применения данного метода для нахождения точных решений уравнений нелинейной электродинамики вакуума. Первый из них состоит в решении уравнений (7) и (8) на фоне псевдоевклидова пространства-времени. В этом случае в гравитационной части уравнений все независимые проекции тензора Вейля и тензора энергии-импульса вещества следует положить равными нулю.
В случае если решение уравнений нелинейной электродинамики вакуума ищется на фоне некоторого неплоского пространства-времени, то необходимо использовать второй способ. В этом случае спиновые коэффициенты и компоненты изотропной тетрады являются известными функциями и их следует подставить в уравнения (7) и (8) нелинейной электродинамики.
И, наконец, третий способ применения данного метода для интегрирования уравнений нелинейной электродинамики вакуума предполагает учет влияния тензора энергии-импульса электромагнитного поля
7Ъ = ^{[Г2+/2Г4]42)-|
на создаваемое гравитационное поле. В последнем случае тетрадные проекции тензора Фг-£ и Л имеют
L — (2/4 — />) У1
Sik
вид
4vrG
Tik -1gikT
A=—T
3с4 '
Таким образом, выбирая модель нелинейной электродинамики вакуума и подставляя выражение для ее лагранжиана в соотношения (8), получаем замкнутую систему (7)-(8) дифференциальных уравнений первого порядка, которую можно интегрировать при наличии определенных симметрий у искомой полевой конфигурации.
В частности, для параметризованной поетмаке-велловской электродинамики вакуума, описываемой лагранжианом (2), пренебрегая собственным гравитационным полем, можно найти аксиально симметричное решение уравнений (7)-(8), соответствующее полю магнитного диполя:
/7(0) _
Г31 —
\т\
1
3 rg П2гц(\т\
's 2 г
ЗЗг6
F,
(0) _
2\т\
32
Зг„
1 +
Ar
1677i£|m|:
ЗЗг6
sin в -
2lT?ig|m|3 . 4
llr8 Sm
sin в cos в ■
12гц(\т\3 ,л л —' ' ' smJ в cos в, 11 г'
где т — вектор магнитного дипольного момента.
Интегрирование уравнений (7)-(8) для других моделей нелинейной электродинамики вакуума будет продолжено в последующих работах.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 04-02-16604) и гранта Президента РФ (НШ-4476.2006.2).
Литература
1. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. // ТМФ. 2003. 136, № 3. С. 517.
2. Burke D.L., Feld R.C., Horton-Smith G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. 79. P. 1626.
3. Денисова И.П. // Дифф. уравн. 1999. 35, № 7. С. 935.
4. Денисов В.И. // ТМФ. 2002. 132, № 2. С. 211.
5. Denisov V.l. // Phys. Rev. D. 2000. 61. P. 036004.
6. Денисова И.П. Введение в тензорное исчисление и его приложения. М., 2004.
7. Denisov V.l., Krivchenkov I.V., Kravtsov N.V. 11 Phys. Rev. D. 2004. 69. P. 066008.
8. Denisov V.l., Svertilov S.I 11 Phys. Rev. D. 2005. 71, N 6. P. 063002.
Поступила в редакцию 17.10.05
