Генерация второй и третьей гармоник вращающимся пульсаром в параметризованной постмаксвелловской электродинамике Текст научной статьи по специальности «Физика»

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 621.373:530.12

ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ И ТРЕТЬЕЙ ГАРМОНИК ВРАЩАЮЩИМСЯ ПУЛЬСАРОМ В ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ ПОСТМАКСВЕЛЛОВСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

В. А. Соколов

(.кафедра квантовой теории и физики высоких энергий) E-mail: [email protected]

Рассматривается эффежт генерации жратных гармониж вращающимся пульсаром в параметризованной постмажсвелловсжой элежтродинамиже. Вычислены угловые распределения интенсивности излучения и жоэффициенты преобразования для излучения на удвоенной и утроенной частоте вращения пульсара.

В современных теоретических моделях электродинамика в вакууме является нелинейной теорией. Наличие нелинейных слагаемых делает возможным предсказание новых эффектов, которые не наблюдаются в электродинамике Максвелла в вакууме. К таким эффектам относится генерация кратных гармоник вращающимся пульсаром.

В приближении слабого электромагнитного поля лагранжиан нелинейной электродинамики в параметризованном постмаксвелловском приближении [1] может быть записан в виде

I = [Е2 - В2] + £[т (Е2 - В2)2 + 4т(ВЕ)2} }-

--}%, (1)

с

а поетмаке-

■27

Ге~

где С = УЩ = 0.5 • 10" велловские параметры гц и щ зависят от выбора теоретической модели. Оценки показывают, что для электродинамики Борна-Инфельда 'П\ = % ~ 4-9 • 10^6, а для электродинамики Гейзен-берга-Эйлера гц = 5.1 • 10^5, щ = 9.0 • 10^5.

Уравнения электромагнитного поля, получаемые из лагранжиана (1), аналогичны уравнениям макроскопической электродинамики

А„ 1 8D 4,т. ,. _ .

rot жж — —--—I--/, div£) = 47rp,

с at с

roiE =

]_эв

'с dt'

(2)

divB = О,

со специфическими материальными уравнениями 81

»^^Е + Ч^-В^Е + швеЩ,

81

Н = = В + 2ф/,(Е2-В2)В-2т(В Е)Е).

(3)

Пусть пульсар или магнетар, обладающий магнитным дипольным моментом \т\, вращается с частотой ш вокруг оси г, составляющей угол во с вектором дипольного момента.

Вращающийся магнитный диполь излучает электромагнитные волны. В электродинамике Максвелла это излучение происходит на частоте вращения пульсара. Так как в материальные уравнения нелинейной электродинамики (3) входят кубические комбинации полей, то можно ожидать, что наряду с излучением на частоте вращения будет наблюдаться излучение на удвоенной и утроенной частоте вращения. Для определения свойств этого излучения воспользуемся малостью поправок нелинейной электродинамики в постмаксвелловском приближении и будем искать решение для уравнений (2) методом последовательных приближений на фоне плоского пространства-времени, полагая, что

В = Во + • Е = 1?о + Е\,

где Во и Д) описывают электромагнитное поле вращающегося магнитного диполя в максвелловском приближении, выражения для этих полей получены в работе [2], а В\ и Е\ определяют поправку первого порядка малости, возникающую из-за наличия нелинейных членов в (3).

Асимптотически главные члены в материальных уравнениях примут вид

D = E0-

H = Bq-

■Ех В,

Щт(Ео

-Щ)Ео ■

2£{т(Е2-В2)В0

2Г12(В0Ео)ВО}, -2т(В0Е0)Е0}.

(4)

Учитывая (4) и (2), получим уравнения для попра-

вок нелинейной электродинамики

„ 1 дЕ\

rot В1 = -

• с dt

— 2£ rot {771 (Eq

div jE*i = —div{i7i (Eq -1 dB

- B20)B0 ■

- Bl)E0 -■ Bo)E0 -

- 2rj2(BoEo)Eo}^ ~2ri2(B0E0)B0}, 2m(B0E0)B0},

rot jEi =---

dt

divBi =0.

(5)

Для нахождения решения удобно перейти к потенциалам Герца [3], в терминах которых система (5) примет вид

ПП = {т (Е1 - В2)Е0 + 2г,2(В0Е0)В0},

UZ={m(E2

■ В2о)Во ■

2г12(В0ЕО)ЕО}.

Решая эти уравнения с точностью до асимптотически главных слагаемых по малому параметру (кй5), где & = ш/с, а — радиус звезды, несложно найти выражения для потенциалов Герца и компонент поля Е\ и В\, изменяющихся с частотами 2ш и Зш, и, используя полученные решения, вычислить средние угловые распределения интенсивности излучения на соответствующей частоте.

Среднее угловое распределение интенсивности излучения на частоте ш для электродинамики Максвелла определяется выражением

dl , . k4c\m =-

2 Sin2(0o)(l +«г

8тг

где пг — компонента единичного вектора п = = {пх,пу,пг}, определяющего направление на наблюдателя. Среднее угловое распределение на частоте 2ш имеет вид

. 2к8с\т\

-т =-

6e2sin4(0o)cos2(0o)

(105)27Г/?|

х [324^14 + 1629т?2я2 - 7Ыг]1Г]2п1 + 49т|га2 +

+ 225^2 — 2\0гцг12 + 49^|] (1 — га2).

Особенность этого распределения состоит в том, что излучение на частоте 2ш исчезает в случае, если ди-польный момент лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, в то время как для электродинамики Максвелла излучение на частоте ш при этом максимально. Угловое распределение интенсивности на частоте Зш определяется выражением

Зе2??|5т6(0о)(1 +га2)(га2- I)2

dl ч Ssksc\m\ ¿Ö(3W) =-

27352vr/?f

Введем коэффициенты преобразования как отношение среднего углового распределения интенсивности на частоте 2ш и Зш соответственно к среднему угловому распределению на частоте ш:

«1,2

"'(¡ьЛ/Г^и)-

dü 7/ \dü

16Ä4|m|4C2sm2(0o)cos2(0o) fl-n2z

x

(105)2/?f \1+л§

x {324^fra^ + 1629^fга2 - 1\Ащг]2п\ + + 49т|га2 + 225r)2 -210щг]2 + 49^}

«1,3

"VM^mi-

dü 7/ \dü

38k4\m\4fri2ism4(e0) 24(35)2/?f

2\2

(1-n*)

Оценка порядка коэффициента преобразования для излучения на удвоенной частоте вращения пульсара дает

«1,2

k4\m\4{;2ri2 sin2(0o) COS2(0O)

R!

-24

Для коэффициента преобразования на утроенной частоте вращения получим

К) з « 0.3K1i2 ~ 10

-25

При вычислении этих оценок было принято, что (kRs) = 10^2 и Вр — характерная индукция поля пульсара, Вр ~ 1012 Гс.

Литература

1. Denisov V.l., Kravtsov N.V., Krivchenkov I.V. 11 Phys. Rev. D. 2004. 69, N 6. P. 06608.

2. Ценисов В.И. 11 ЖЭТФ. 1978. 74, № 2. C. 401.

3. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1977.

4. Александров Е.Б., Ансельм A.A. // ЖЭТФ. 1985. 89, № 10. С. 1181.

5. Денисов В.И. // ТМФ. 2002. 132, № 2. С. 211.

Поступила в редакцию 19.12.2007