Нелинейно-электродинамические эффекты в электромагнитном поле вращающегося пульсара Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейно-электродинамические эффекты в электромагнитном поле

вращающегося пульсара

М. И. Васильев1,а, В. А. Соколов2,6

1 Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского, факультет прикладной математики, механики и информатики, кафедра прикладной математики и информационных технологий. Россия, 121552, Москва, ул. Оршанская, д. 3, корп. В.

2 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высокой энергии. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 23.04.2012, подписана в печать 24.05.2012.

Проведено вычисление нелинейно-электродинамических эффектов, возникающих в электромагнитном поле быстро вращающегося пульсара. Получены точные и асимптотические уравнения для лучей и закон движения по этим лучам электромагнитной волны. Показано, что величина времени нелинейно-электродинамического запаздывания для быстро вращающихся пульсаров почти в 3.5 раза больше, чем для покоящихся или медленно вращающихся пульсаров, а величина угла нелинейно-электродинамического искривления лучей — больше почти в 1.7 раза. Ключевые слова: пульсар, нелинейная электродинамика, уравнения эйконала, лучи. УДК: 537.8, 524.354.4. PACS: 97.60.Gb, 03.50.De, 95.30.Sf.

Введение

В последние годы в научной литературе [1, 8] возрос интерес к нелинейной электродинамике вакуума и к ее проверяемым эффектам. Проведенные исследования показали, что проявление нелинейных свойств электромагнитного вакуума наиболее ярко происходит в сильных полях пульсаров и магнетаров. Поэтому расчет нелинейно-электродинамических эффектов в таких полях представляет несомненный интерес.

В ранее опубликованных работах [7, 8] авторы исследовали эффекты только в полях покоящихся или медленно вращающихся пульсаров, когда Ой <с с, где О — угловая частота вращения пульсара, й — его радиус. В этом случае электромагнитные волны, проходящие вблизи пульсара, подвергаются нелинейно-электродинамическому воздействию со стороны только магнитного и гравитационного полей пульсара. Это приводит к появлению эффекта двулучепреломления, в результате которого электромагнитная волна, проходя область сильного магнитного поля, расщепляется на две нормальные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, распространяющиеся по разным лучам с различными скоростями. В случае же быстрого вращения, когда Ой и с, у пульсара появляется и электрическое поле, сравнимое по величине с магнитным полем. Это обстоятельство позволяет надеяться, что нелинейно-электродинамические эффекты в полях быстровращающегося пульсара будут проявляться сильнее. Выяснению этого вопроса и посвящена настоящая статья.

1. Вывод уравнений для лучей

Рассмотрим пульсар радиуса й, вращающийся с частотой О вокруг оси, расположенной под углом а к направлению распространения плоской электромагнитной волны. Будем считать, что вращение релятивистское, в результате чего Ой и с. Примером такого пульсара

служит, например, пульсар Л748^ 244бай, имеющий период 1.4 мс [9].

Так как магнитосфера пульсаров прозрачна только для рентгеновского и гамма-излучения, то источником плоской волны будем считать удаленные на большие расстояния от рассматриваемого нами пульсара ядра активных галактик, которые излучают в этом диапазоне частот.

Решение уравнений Максвелла в области й < г для вращающегося пульсара с магнитным дипольным моментом т дает [10]

3(т(т)г)г - г2т{т) т(т)

В(г,т) =

cr¿

3(m(r)r)r (т(т)г)г - г2т(т)

СП

Е(г, т) =

[г, т(т)] [г, /п(т)]

сг°

где точка над вектором означает производную по запаздывающему времени т = t — г/с, а /п(т) = = |m|{cos(Or)sina, sin (От) sin a, cosa} — вектор магнитного дипольного момента пульсара.

Рассмотрим параметризованную постмаксвеллов-скую электродинамику [11] с лагранжианом

V

L =

32тг ■(0)

(0) i {2/2 + £[(т - 2m)I¡ + 4mh] } - -jnA„, (1)

определитель метрического тензора

где

g¡¿\ описывающего гравитационное поле, £ = 1/В2, Вч = 4,41-Ю13 Гс, 12 = РптРт\ = -

инварианты тензора электромагнитного поля, а величина безразмерных постмаксвелловских параметров гц и г/2 зависит только от выбора модели нелинейной электродинамики вакуума.

Для нелинейной электродинамики Борна-Инфель-да [12] эти параметры совпадают: г/\=щ = а2Щ/4, где 1 /а — характерная для электродинамики Борна-Ин-фельда величина индукции магнитного поля.

Для нелинейной электродинамики Гейзенберга-Эйлера [13] параметры гц и г/2 различны:

гц = -гр— = 5.1 • 1СГ5, 1 45-7Г

V 2 :

7а 180-7Г

= 9.0 • 10^5,

где а — постоянная тонкой структуры.

Как показано в работах [7, 14], уравнение эйконала электромагнитной волны, распространяющейся во внешнем электромагнитном поле в нелинейной электродинамике с лагранжианом (1), зависит от поляризации волны и имеет вид

ih dS dS

nm ё(2)

ds ds

дхп дхт

= 0,

гДе dk

метрический тензор эффективного простран-

т(2)

j (2) = . упт I

'<°>-4 miFnlFl/m

= ^4viAE(r,T)B(r,T)]a,

da

В уравнениях (4) удобно перейти от дифференцирования по параметру а к дифференцированию по координате 2 в соответствии с равенством

d dxг d ^з d d(J d(J dz dz' В результате приходим к системе уравнений:

dz2 Vmi

dx^ ^о 1 dx^ dx^ ~

-Г ■ >--= О

dz m dz dz '

(2)

d^.Li _ 1 dx1 dxm dz2 \ mi dz mij dz dz '

. Jr2 _ ^r3 1 dx1 dxm _ dz2 fmi dz mi\ dz dz '

(5)

ства-времени для одной нормальной волны, а g¡;m — метрический тензор для другой нормальной волны, имеющей к первой волне ортогональную поляризацию. Эти тензоры зависят от метрического тензора gf)Jl, описывающего гравитационное поле, и квадратичной комбинации тензора внешнего электромагнитного поля:

ёпт dz dz

Подставляя выражения (3) в систему уравнений (5), опуская все слагаемые, описывающие гравитационное воздействие и усредняя уравнения по периоду вращения пульсара, для того чтобы исключить быстроосциллиру-ющие члены, приведем их к виду

, £,тМт\2

dz2

А2

Отметим, что индексы у тензора электромагнитного поля Рщ в этих выражениях поднимаются с помощью метрического тензора

Так как эффекты, связанные с воздействием гравитационного поля пульсара на распространение электромагнитных волн, достаточно хорошо изучены в научной литературе и по величине малы, то их можно считать аддитивными добавками к нелинейно-электродинамическим эффектам. Поэтому в настоящей работе мы их рассматривать не будем. Выразим с учетом этого обстоятельства компоненты метрического тензора эффективного псевдориманова пространства-времени ¿¡^ через компоненты полей В и Е:

(3)

Й2) = - Чтл{в2{г, Т)5(ф - ЕаЕв - ВаВв}.

Как показано в математической физике, уравнения эйконала (2) методом Лагранжа-Шарпи могут быть представлены в виде уравнений геодезического движения:

АШ

+ ТрПкркп = 0, ¿^]кпкт = 0, (4)

где а — некоторый аффинный параметр, кт = =^хт^а — волновой четырехвектор, а — символы Кристоффеля эффективного пространства-времени с метрическим тензором для нормальных волн

первого типа и g(^2m — для нормальных волн второго типа.

Решая систему уравнений (4), можно найти лучи, по которым распространяются электромагнитные волны во внешнем электромагнитном поле, а также определить законы движения нормальных волн по этим лучам.

-{sin2a[2fe4r4[4r4(2^r) + + (Юг3 - 8r2z){x2 + у2) + (Зг - Ъг){х2 + у2)2] + +2Ак2 г2 z{x2+у2)2+%z [2r4-8r2(x2+y2)+l5(x2+y2)2]J + + 36z(x2 + у2) [4г2 - 5(х2 + у2)] cos2 а} = 0, (6)

0 + hhML {sin2 а [2k4r4x [2r3(r - 2) +

+ 3z2(x2 + у2)] - 4k3г5у [4г(г - г) + 5(х2 + у2)] + + 6k2r2x [5г2(х2 + у2) - 4(х2 + у2)2] - 24kr4yz + + 18х[7г2(х2 + у2) - 5(х2 + у2)2 - г4]] + + \ 2х cos2 а Иг4 ^2Ъг2{х2 + у2) + Щх2 + у2)2j } = 0,

0 + Шр1^т2а^г4у[2гНг - 2) +

+ Зг2(х2 + у2)] + 4k3r5x [4г(2 - г) + 5(х2 + у2)] + + 6k2г2у [5г2(х2 + у2) - 4(х2 + у2)2] + 24kr4xz + + 18у[7г2(х2 + у2) - 5(х2 + у2)2 - r4]j +

+ 12i/cos2a[llr4 ^25r2(x2 +у2) + 15(х2 + г/2)2] } = 0,

где г = ^х2 + у2 + z2.

Эти уравнения необходимо дополнить начальными условиями. Для этого зададим две точки, через которые должен проходить луч. В соответствии с постановкой задачи будем считать, что лучи обеих нормальных волн начинаются в одной и той же точке х = хо, у = г/о, 2 = —L в момент времени t = t0 и проходят через точку х = х0, y = yo, z = L, в которой находится детектор рентгеновского или гамма-излучения.

2. Интегрирование уравнений для лучей

Интегрируя уравнения (6) с учетом последнего из соотношений (5), получим уравнение лучей

5 ВМУ. Физика. Астрономия. М 5

x(z) = zCi + C<¿ + Cih,2\m\2\ sin2 a

192 / 2 — arctg ( -

8r03

k4XQ

4z

L8(22 + r02)2

+ k2x0

VoJ 3

2z 2 í z\ 4

-1r—-+ arctg — + —,

Ф2 + Ф 4 VoJ 3^(22 + ф з

322

15

452 /z_\ _

[8(22 + r2)3 - Щ arC g ) + 16r02(22 + r02)

kyo

3 x / 2 \ 2r0(5rn2 + 322)

2arCtgy+ 2(22 + r2)2

8552X0 128r07

57xn

285xn

64r02(22 + r02)2 128r04(22 + r02) 3Xq(522 — r2)1

16(22 + Г2)4

+ x0 eos a

15(7r2 + 522) 5r| + 23z2

.64 r4(r2 + 22)2 8(r2 + 22)4 2252

64r07

arctg -

¿/(2) = 2C3 + C4 +

192 /2

^arctgU

sin2 a

+ k3x0 + k2y{)

'o 2 2

k4y0

4 2

8(22 + r2)2

2 t fz\ 4

lr2(z2 + r¿) Íq \r0J З^(г2 + Г2)3

З22 - r2 452 /2Л 15

8(22 + r2)3 ~ 16^ аГС g U / + 16r2(22 + r2)

3 x f z\ zr0(5r2 + З22) 2ardgy+ 2(22 + r2)2

57í/0

285г/о

8552Í/o . / 2 \

~ТЩ~ аГС g W + 64r2(22 + r2)2 ^ 128r4(22 + r2)

, 3í/0(522 - r02)

16(22 + Г2)4

+ yo eos a

15(7r2 + 522) 5r2 + 2322

64r4(r2 + 22)2 8r4(r2 + 22)4

2252 x /2

"64^arCtgU

r2z

2{r2 + z2f 5 2

1712

572

128r4(r2 + 22) 64r2(r2 + 22)2

'OVO

'"o

92r2 171 /2

16(r2 + 22)3 + 8(r2 + 22)4 + 128r05 аГС g U z(5r¡? - z2) 5г(5г| + З22)

9 eos2 a

.24 (r2 + 22)4 192r4(r2 + 22)2 ^arCtg(f

+ 2 + C5,

где Сь C2, C3, C4, C5 — постоянные интегрирования, го — прицельное расстояние луча R < го = у■ R — радиус пульсара.

Постоянные интегрирования С1, С2, С3, С4, С5 можно определить, потребовав, чтобы лучи обеих нормальных волн начинались в одной и той же точке х = Xq , у = yo, z = —L в момент времени t = íq и проходили через точку х = х0, у = Уо, z = L, в которую помещен детектор рентгеновского и гамма-излучения.

Учитывая, что пульсары находятся от Земли на расстояниях порядка 10 кпе, будем считать, что L -¥ оо, и во всех выражениях ограничиваться только асимптотически главной частью. Тогда получим следующие выражения, справедливые только при |г| ~L -¥ 00:

ct(z) = ct0 + z + L+ x

19£4r4

15£2r2 16

171 128

.2 45 2

sin a + — eos a x 64

X ir 2 +

fr] i,2|m r7 ro

l9k4ÍQ 45 k2r?s 1 u 1 855" sin2 a 225

8 f 16 + 128

X 'wL T ~ +

■ eos2 a

4£m,2N2fe4x0 3r2

+ ^(4 k2r2, y(z)=y0 + 1 X

^ — sgn(2)j sin2 a + 3) ^ — 2 arctg

sin2 a,

и закон движения электромагнитных импульсов по этим лучам

ct(z) = £,r]i 2\m\2< sin

r¿2

4(r2 + 22)2

132

+¿2

152

52

16r2(r2+22) 8(r2 + 22)2

15

ТЩ

2 г2 zr0

arctg (— i 2 ? , ,_ ,_

0 8(г2+22) ф2+z2 ^{r2+z2f

arctg

й)

19é4r4

45é2r| 16

7ГL

855 128

о 225 о sin а + -—¡- eos а 64

T^2ardgU

4^1,2\m\2kAy{) г 2

Зг2 L¿

^0 / , ,2 „2 , q\

- sgn(2)j sin2 a -

T"2arctg(f

sin2 а.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

И

3. Вычисление нелинейно-электродинамических эффектов

Полученные соотношения позволяют найти время нелинейно-электродинамического запаздывания электромагнитного сигнала, переносимого из точки х = = хо, у = г/о, 2 = —£ в точку х = 0,у = 0,г = Ь первой нормальной волной, по сравнению с сигналом, переносимым второй нормальной волной:

er;

о

45 2 х < — cos а + 64

Ш4г04 15 k2r2 171

16

128

sin2 а

Из этого выражения следует, что величина времени нелинейно-электродинамического запаздывания Ы достигает максимального значения при а = 7г/2 и минимального при а = 0.

Найдем теперь углы /?1)2 нелинейно-электродинамического искривления лучей нормальных волн после их прохождения через электромагнитное поле вращающегося пульсара. Для этого вычислим компоненты касательных векторов к лучу = (с!г/(1г)\г=^1 в точке г = -1 и = (йг/с1г)\г=1 в точке г = Ь:

К(х> = _кт = *&Ыт\2хо х

2 г7 zr0

19 k4r4 45 k2r2 855' ^ 128

KP = -К™ =

Ж4 г4

16

^т,2\т\2Уо

2 г7

45k2 rl

16

855 128

о 225 о sin а + —г- cos а 64

, о 225 о sin а + —— cos а 64

Составляя векторное произведение этих векторов и определяя из него синус угла между нимми, найдем углы (3\ 2 между асимптотами к лучам обеих нормаль-

ных волн:

sin =

19£4г4

45 k2r 16

855 128

, о 225 о sin а + —— cos а 64

Из этого выражения следует, что величина угла 2 нелинейно-электродинамического искривления лучей нормальных волн после их прохождения через электромагнитное поле вращающегося пульсара достигает максимального значения при а = 7г/2 и минимального при а = 0.

Заключение

Проведенные расчеты показали, что наличие у быстро вращающегося пульсара электрического поля, сравнимого с магнитным полем, увеличивает величину времени нелинейно-электродинамического запаздывания At почти в 3.5 раза (при kr0 ~ 1), а величину угла нелинейно-электродинамического искривления лучей ß\<2 — почти в 1.7 раза.

Следует отметить, что из-за большого расстояния от Земли до пульсаров провести эксперимент по измерению углов ßi 2 в настоящее время невозможно. Величина же At достигает значения, которое после увеличения точности поляризационных измерений у рентгеновского и гамма-излучений может быть измерено в будущих спутниковых экспериментах.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 12-02-31033а_мол).

Список литературы

1. Burke D.L., Feld R.C., Horton-Smith G. et al. // Phys. Rev. Lett. 1997. 79, N 9. P. 1626.

2. Denisov V.l. 11 Phys. Rev. D. 2000. 61, N 3. P. 036004.

3. Лобанов A.E., Муратов A.P. // ЖЭТФ. 2003. 123. № 4. С. 757.

4. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. // ТМФ. 2003. 136, № 3. С. 517.

5. Denisov V.l., Krivchenkov I.V., Kravtsov N.V. 11 Phys. Rev. D. 2004. 69, N 6. P. 066008.

6. Родионов В.Н. 11 ЖЭТФ. 2004. 125, № 3. C. 453.

7. Denisov V.l., Svertilov S.I. 11 Phys. Rev. D. 2005. 71, N 6. P. 063002.

8. Денисов В.И., Денисова И.П. // Докл. РАН. 2003. 393, № 4. С. 465.

9. Hessel J., Staris S., Freire I. et al. 11 Science. 2006. N 311. P. 1901.

10. Денисов В.И. 11 ЖЭТФ. 1978. 74, № 2. С. 401.

11. Денисов В.И., Денисова И.П. // Докл. РАН. 2001. 378, № 4. С. 463.

12. Born М., Inf eld. L. // Proc. Roy. Soc. 1934. A144. P. 425.

13. Heisenberg W., Euler H. // Z. Phys. 1936. 26. P. 714.

14. Денисов В.И. // ТМФ. 2002. 132, № 2. С. 211.

Nonlinear-electrodynamic effects in the electromagnetic field of the rotating pulsar M. I. Vasilycv1 , V. A. Sokolov2 b

1 Department of Applied Mathematics and Information Technologies, Faculty of Applied Mathematics, Mechanics and Computer Science, Russian State Technological University, Mocsow 121552, Russia.

2 Department of Quantum Theory and High-Energy Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

Nonlinear-electrodynamic effects have been calculated in the field of a fast-rotating pulsar. Exact and asymptotic equations of electrodynamic rays and the law of these rays' motion have been derived. It has been shown that

6 ВМУ. Физика. Астрономия. M 5

the value of time for a nonlinear-electrodynamic delay is 3.5 times greater for a fast-rotating pulsar than for fixed or slow-rotating pulsars, and the value of an angle for a nonlinear-electrodynamic curvature of rays is 1.7 times greater.

Keywords: pulsar, nonlinear-electrodynamic, eikonal function, rays. PACS: 97.60.Gb, 03.50.De, 95.30.Sf. Received 23 April 2012.

English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2012).

Сведения об авторах

1. Васильев Михаил Иванович — ассистент; e-mail: [email protected].

2. Соколов Владимир Андреевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель; e-mail: [email protected].