CC BY
42
УДК 532.546 + 536.425
И.Г. Ахмерова
Разрешимость изотермической задачи фильтрации воды и воздуха в пористой среде*
I.G. Akhmerova
The Solvability of the Isothermal Problem of Water Filtration and Air Porous Medium
Доказана локальная разрешимость одномерной изотермической задачи фильтрации воды и воздуха в пористой среде для переменных плотностей. Установлена разрешимость в «целом» по времени в случае постоянства истинных плотностей и малости ускорения.
Ключевые слова: изотермическая задача фильтрации, разрешимость, пористая среда.
БО! 10.14258^^(2013)1.2-01
A local solvability of the isothermal onedimensional problem of air and water filtration in a porous medium is proved. The research defines solvability “in general’ on time in case of constancy of the true density and the smallness of the acceleration.
Key words: isothermal filtration problem,
solvability, porous medium.
Постановка задачи. Рассмотрим движение двухфазной смеси в недеформируемой пористой среде, система уравнений имеет вид [1]:
д^тв) д(р°1тву1)
дЬ дх ’ К ’
д(р%т( 1 - а)) д{р1т{ 1 - в)у2) _ . ,
т дх ’ и
п (дго-\ дгол\ д{тврЛ
+'“1;(1г)+Л7+'’;я”’’ (3)
0—п ^ (ду2 , ду2\ д(т(1-в)р2)1
Лга(1 -*> ( аГ + ь'2) =-------------&-------+
+к§-Х^)~Р + 1>>Щ1~‘)а' (4)
дтв
^ = В(в)(у2 - VI) +Р‘2~о^Г^
Р1-Р2=Рс(в), Р2 = ИР2, (5)
рассматривается в области (х, £) € С^т = ^ х (0,Т), О = (0,1), при краевых и начальных условиях (* = 1,2)
Щ |ж=о,ж=1= 0, VI |4=0= г>°(ж),
(6)
Р2 и=о =р°(х), в |(=0= в°(х).
*Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации №1.3820.2011, гранта РФФИ 13-08-01097 и программы стратегического развития Алтайского государственного университета.
Здесь то, р?, Vi - соответственно пористость, истинная плотность и скорость i-й фазы (г = 1 -жидкость, г = 2 - газ); s - фазовая насыщенность жидкостью порового пространства; р\ - эффективное давление жидкости; р2 - внутреннее давление газа; g - плотность массовых сил, R = const > 0 - универсальная газовая постоянная; кроме того, pi = const - вязкости фаз; B(s) - коэффициент взаимодействия фаз; pc(s) - разность давлений (заданные функции). Задача записана в эйлеровых координатах х, t. Истинная плотность жидкости р\ принимается постоянной. Искомыми являются величины s, р\, Vi, pi, i = 1,2. Следует также отметить, что наличие то не вносит никаких принципиальных трудностей в дальнейшие исследования, если т(х) - достаточно гладкая функция [2]. Поэтому для краткости ограничимся случаем то = const > 0. Более того, после очевидных преобразований можно считать то = 1.
Система (1)—(5) близка по структуре системе уравнений вязкого газа [3, гл. 2; 4]. Особенностью задачи (1)—(6) является наличие двух скоростей v\ и«2, а также необходимость обоснования физического принципа максимума для насыщенности s вида 0 < s < 1 и для истинной плотности газа: 0 < р\ < оо.
В настоящей работе доказана локальная разрешимость задачи (1)-(6) в случае, когда р\ - функция давления, а р\ = const. В предположениях работы [5] установлена разрешимость «в целом». Сформулируем основной результат.
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)—(6) называется совокупность функций (s(x,t), p2(x,t), Vi(x,t), pi(x,t)), i = 1,2 из про-
ll
странств (s,p°2) G Ьоо(0,Т; (§f, G
L2(Qt), vi & Аэо(0, T] W2 (f2)) n
L2(0,T;Wf(n)), (^,^) G L2(Qt), Удовле-
творяющих уравнениям (1)—(5) и неравенствам 0<s<l,0</>2<°o почти всюду в Qt и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.
Теорема 1. Пусть данные задачи (1)-(6) подчиняются следующим условиям гладкости:
(v°,s°,p°2) GWiiQ), д £ L2(0,T-,Wl(Sl))
и условиям согласования vf |ж=о,ж=1= 0, г = 1,2. Пусть функции -B(s), Pc(s) и их производные до второго порядка непрерывны для s G (0,1) и удовлетворяют условиям:
k^1sqi (1 — s)® < pc(s) < kosq3(l — s)94,
l(pc(s))sl < k0sq&(l - s)96,
k^s47^ - s)qs < B(s) < k0sqa(l - s)qi°,
где ко = const > 0; q\,...,qw ~ фиксированные вещественные параметры.
Если выполнены условия 0 < m-o < s°(x) < Mo < 1, 0 < т 1 < р°(х) < Mi < оо, х G Cl, где то, Mo, mi, Mi - известные положительные постоянные, то найдется достаточно малое значение to G (0,Т), такое что для всех t < to существует обобщенное решение s(x,t), p2(x,t), Vi(x,t), Pi(x,t), задачи (l)-(6).
При P2 = 0, /л2 = 0 приходим к системе [6]:
ds d(sv i)
О,
dt dx
<9(1 - s) <9((1 - s)v2)
dt
'dvi dv\
dx
0,
(7)
(8)
dp2 _ d(spc dx
dx
) + B(v2 -vi) + p°sg, (9)
0 = -(1 - s)~^ + B(v1 -v2), pi=p2+pc, (10)
замкнутой относительно неизвестных функций 5, Уг, рг, ;ь = 1,2, удовлетворяющих краевым и начальным условиям
=0,ж=1-
о, vi\t=0=v°(x)
Р2 |t=o =р°(х), S |t=0= s°(x).
(11)
Обобщенное решение задачи (Т)—(11) понимается в смысле определения 1, в котором нужно положить р2 = const > 0.
Теорема 2. Пусть р2 = const > 0 и данные подчиняются следующим условиям:
1) функции B(s), Pc(s) и их производные
непрерывны для s G (0,1) и удовлетворяют условиям B(s) = Боаэ(1-а)э+1 > во = const > О, /3 = const > 1; | р'са |< -^ё),р2с < +
2) пусть данные задачи (Т)—(11) удовлетворяют условиям
О < то < s°(x) < Mo < 1,
3) функция д и начальные функции s°, vг°
удовлетворяют следующим условиям гладкости:
д G L2(0,T;W}(Cl)), (s°,v°) G W}(Cl), условиям
согласования: v? |ж=о,ж= i= 0 и дополнительно к
1
(11) выполнено условие Jp2(x,t) dx = 0. Тогда
о
для всех t G [0,Т], Т < оо существует единственное обобщенное решение задачи (Т)—(11), причем существуют числа 0 < m < М < 1 такие, что m < s(x,t) < М, (x,t) G Qt-
Локальная разрешимость. Системе уравнений (1)—(5) можно придать следующий вид
ds d dp d
w + s(m)-o. a + &(№) = °-
P = Рг(1 — -s). P2=RP2,
dv-t dv-t
dx
dp2 d
PIs ( -fo+vi— ) = “s— - l^(sPc(s))+
dx dx
+М1^ (£ ^ +ВД(«2 -О1)+р?80,
(dv2 dv2 \ . . dp2 d (dv2
р {ИГ + г'2Ж) =-{1 -*> + ,,2& (лГ
+В(в)(г>1 - у2) + рд.
Пусть у = у((,,х,£) - решение задачи Коши: = -У1(у, С), ?/1с=* = х- Положим £ =
у(Стхт^)\с=о и возьмем за новые переменные £ и Тогда в(£,£) = в°(£)^(£,^), где ./(£,£) = || - якобиан перехода [3, с. 47]. Переходя от (£,4) к массовым лагранжевым переменным (ж, 4) по правилу
5
= (1х, х(£) = / в°(г])(1г] С [0,1] и сохраняя
о
затем для переменной х обозначение ж, получим ds о 9г;1 dn , . 9г;2
а +8 & = °- ы +('2 “= °-
<12,
Ыллп.ч) -
в d ^У2 В(з)(у 1-у2)
-И2--К-{-К~)----------------------3 = 0. (13)
р ОХ ОХ р
Краевые и начальные условия имеют вид I -п дР2 I _п
\х=0,х=1— и? \х=0,х=1— и?
ах
Щ |(=о ='0°1(х), р2 |(=о = р°(х), в |(=о= в0(ж).
Будем строить локальное обобщенное решение как предел приближенных решений
(в", рп, -у", «2), где «",«2 представляются в
П
виде конечных сумм: -у" = ^ м”(£) вт^гж),
Ъ=1
П
«2 = ^2 вт(7г*ж), п = 1,2,..., с неизвестными
г=1
коэффициентами и™ (Ь), V™ (Ь), г = 1,2, ...,п. Для определения последних предполагается, что уравнения (12)—(13) выполняются приближенно:
1
J Ьх(5п, рп, г?2 ) $т{т1;1х)<1х = 0, (14)
о
1
J 1/2 (^ рп, г?™, г?2 ) 8т(7тгж)с&с = 0. (15)
о
Функцию 5П(х,£), рп(х,£) определим из решения задач:
г)«п
^ + (Л2^=°, *п|*=о=Л*), (16)
?£- + (уп- - о
& +(г;2 У1>3 дх +р 5 аж -0,
Рп |*=о= Р°(ж). (17)
Из (16) для в"(ж,£) получим следующее соотношение
I
вп(ж,£) = в°(ж)(1 + в°(ж) J г^йт)-1. (18)
Задаче (17) придадим следующий вид: <9Д" rr„.dRn
Un
dt дх
Rn |t=0= Д°(ж),
-/* ^1п — -рп
Jl(v2 Is 7 Р ) — 11 5
(19)
где Д" = 1прп, 11п = {у2 — «")в", /" = —
Соответствующая (19) характеристическая система уравнений имеет вид
(20)
где y(t,£) = ж, fl"(t,£) = Rn{y,t), I =
имеем
I
= exp J(v? - v?)xsn + (v% - v?)Syr.
0
Затем (18) подставим в (14)—(15), полагая при этом
t
У? = J Кdr, i = l,...,n.
о
Тогда u™(t), vf(t), у™ находятся из решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
d 7/^
__2_ — ^)П(п ч,п-ъ,п i)n-r,,n ч,п- пп\
^ ^i v 1 ^ • • • 7 ^п 7 1 1 " '1 ^п tVl 1 "'1 Уп 7 Р )i
1
и™{0) = 2 J и°(х) sm(7rix)dx, о
dvn
г туи („ п .п. п п . Л п „п.
^ ( 1^ * * * 7 П 7 1 7 • • *7 7 У\ 7 * * * 7 Уп 7 Р /7
1
w"(0) = 2 J v° (х)вт(тг ix)dx, (21)
dyk
dt
, к 1,2
Здесь Aq = 1, Л,- = 2, j = 1, 2,..., n,
5 B(sn)(v2 - -у") о і • / • ч ,
-^(S -Pc(S )H----------------^----------Ь/915']81П(7Г*Ж)ЙЖ,
дип{у{т, £),т)
о
.±(-Е—т + Д(^)К-^п)
<9ж 1 — ап рп
дип
— (у2 — 'у1')5"^г^_ + 51] втЫжЫж. ох
Таким образом, приближенное решение (г;", «2 , в", уо") удовлетворяет задаче Коши (16), (17) и (21), локальная разрешимость этой задачи при каждом фиксированном п следует из теоремы Коши-Пикара [7].
Укажем такое значение £о, для которого данная задача на интервале [0,£о] разрешима для всех п. Одно из условий, с учетом которого в дальнейшем выбирается величина промежутка to, связано с требованием положительности вп(ж,£), рп(х,£). Поскольку 0 < то < в°(ж) < Мо < 1, 0 < гп1 < р°(х) < М\ < оо, потребуем, чтобы для вп(ж,£) и рп(х, 4) выполнялись соотношения
(22)
для всех п при х (Е [0,1],£ (Е [О, £о]- Кроме того, из (16), (19) и (22) получим
К !<<?(! + /К** 1<П (23)
О
г г
р” |< С(1 + I I в” II I йг + I I ^ I йт).
Положим
**(*) = кип2+к ин2+\\<т2+\шт2-
ъ ъ
+\{! 1Кжж(т)Н2^ + J 1Кжж(т)112^)-о о
Из (14)—(15) с учетом оценок для вх,рх из (23) выводим неравенство ^ < С(||д(£)||2 + ,г®(£)) с
независящей от п постоянной С. Откуда при £о < т
(У2(гп(0 )+С /||<?(т)|| ^т)~4 следует неравенство
тах |КЖ(£)||2 + тах |Кж(г)||2-
и<-с<-со и<-с<-со
Кхх(*)Ц2 + 1Кхх(*)1|2)^<^ (24)
сильно сходящиеся к ги\1ги2 в Ь2(0, Ь2(С1)). Из
(23), (24), очевидно, вытекает сильная сходимость в”,,оп к в Ь2((?«,)•
Предельным переходом в равенствах (14)—(17) показывается, что предельные функции в, г^, г^, р дают обобщенное решение задачи (1)-(6) на промежутке [0, ^о] • Теорема 1 доказана.
Случай несжимаемых сред. Глобальная разрешимость. Существование решения на малом промежутке времени [0, £о] Для системы уравнений (7)—(Ю) доказывается с небольшими изменениями так же, как в теореме 1 данной статьи. Поэтому основная трудность связана с получением глобальных априорных оценок, независящих от величины £о- После этого локальное решение можно продолжить на весь отрезок [0, Т].
Следует также отметить, что наличие д в уравнении (9) не вносит никаких принципиальных трудностей в дальнейшие исследования, если д{х, £) - достаточно гладкая функция. Поэтому для краткости ограничимся случаем д = 0. При выполнении условий теоремы 2 для решения задачи (7)—(11) для любого £ (Е [0, Г] справедливы неравенства
с постоянной N, не зависящей от п. Тогда из (18), (21) выводим, что
то о
1 + 21/2МоЫ1/Ч30/4
< в"(ж, £) <
М0
1-21/2М0М1/Ч30/4’
т\е 2
Мо±121/2дг1/243/4 Мо±121/2дг1/243/4
■ ^ о <рп(х,г)<м1е 2 ^ п .
Если выбрать £о < тот{(
1 -М0
(1 +М0)21/2м0Ж1/2
)4/3,
(
21/Нп2
(М0 + 1)Ж1/2
1
)4/3,~^(гп(0) + С! ||5(г)||2сгг)-4},
то получаем неравенства (22) при х (Е [0,1], £ (Е [0, *о] -
Оценки (24) позволяют выделить из последовательностей {в"}, {«"}, {у2}, {рп} сходящиеся подпоследовательности. Полученные равномерные оценки по п позволяют выделить слабо сходящиеся подпоследовательности: у™х,
у^х слабо сходятся в Ь2(0, £0; Ь2(П)), у?хх, у%хх, у21 слабо сходятся в Ь2((34о), <3(0 = (0,*0) х (0,1).
Из равномерных оценок «",«2 в Ь2(0,г0;Ь2(П)), и <4,^4 В ь2(с2(0) воз-
можно выделить подпоследовательности г?]2,г?2,
£ 1
о о
(1-
;)с1хс1т < С\,
0 < то < в(ж,£) < М < 1,
с1
л
<С72(1 + |К||2) <С3,
(25)
(26)
где постоянные С\,Сз,т,М зависят только от данных задачи (7)—(11) и не зависят от £о-
Для всех £ (Е [0, Т] справедливы оценки эир |Д(ж,£)| + эир |м(ж,£)| <
0<ж<1
0<ж<1
< С\[ вир |Д (ж)| + эир |и°(ж)|], (27)
0<ж<1 0<ж<1
где С4 зависит только от то, М, /лі, /3, р\. Следо- функциями. Следствием оценок (25)—(27) являет-
вательно, и{х,і), Д(ж,і) являются ограниченными ся результат теоремы 2.
Библиографический список
1. Ведерников В.В., Николаевский В.Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1978. - №5.
2. Папин А.А. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтрации / / Сиб. журн. индустр. математики. - Новосибирск, 2009. - Т. 12, №1(37).
3. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.
4. Канель Я.И. Об одной модельной системе
уравнений одномерного движения газа // Диф-ферен. уравнения. - 1968. - Т. 4, №4.
5. Goz М. Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed equations // ZAMM.Z. angew. Math. Mech. -1991. - №71:6.
6. Gard S.K., Pritchett J. W. Dynamics of gas -fluidized beds // Journal of Applied Phisics. - 1975.
- V. 46, №10.
7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М., 1970.
